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Martin Carlson
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1 Exo7 Séries de Fourier Exercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr Exercice ** * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Soit f la fonction définie sur R, -périodique et impaire telle que x ],, f x sin x Déterminer f x pour tout réel x Soit f la fonction définie sur R, -périodique et paire telle que x, ], f x sin x Déterminer f x pour tout réel x Correction 578] Exercice Développer en série de FOURIER les fonctions suivantes puis déterminer la valeur des sommes indiquées : ** f : R R -périodique paire telle que x,], f x x En déduire n, n n n et n n 4 ** f : R R -périodique impaire telle que x,], f x x x En déduire et n 6 n n 6 3 ** f : R R -périodique telle que x ],], f x sin x n n n n 3, En déduire n n n 6n 6n3 4 *** f : R R -périodique telle que x, ], f x chλ x λ réel strictement positif donné En déduire n n, λ n n et λ n n λ n 5 ** f : R R telle que x R, f x sup,sinx En déduire Correction n 4p 578] Exercice 3 *** Soit a C \,] a Développer en série trigonométrique la fonction f : t a cost utiliser la racine de plus petit module, notée b, de l équation z az b La série obtenue est-elle la série de FOURIER de f? Déduire de la valeur des intégrales I n Correction cosnt a cost dt, n N 5783] Exercice 4 *** I un développement en série de fonctions de sinz et cotanz Soit α C \ Z Soit f l application de R dans C, -périodique telles que x, ], f x cosαx Développer la fonction f en série de FOURIER En déduire que pour tout z C \ Z, sinz z z n n et cotanz z n z n z z n

2 Correction 5784] Exercice 5 ** Développer en série de FOURIER la fonction f : x x Ex Correction 5785]

3 Correction de l exercice Puisque f est impaire, f Puisque f est impaire et -périodique, f f f et donc f Puisque f est -périodique, pour k Z, f k f et f k f Finalement, k Z, f k Soit x ], Puisque f est impaire, f x f x sin x sin x et donc x ],, f x sin x Soit x R \ Z Il existe k Z tel que < x k < et puisque f est -périodique, f x f x k sin x k k sin x De plus, < x k < k < x { si x Z x R, f x k sin x où k E x si x / Z < k et k E x Soit x,] Puisque f est paire, f x f x sin x sin x et donc x,], f x sin x Soit x R Il existe k Z tel que < x k et puisque f est -périodique, f x f x k sin x k x R, f x sin x k où k E x Correction de l exercice La fonction f est continue par morceaux sur R et -périodique On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER Puisque f est paire, n N, b n f puis pour n N, a n f Par suite, a f puis pour n N, a n f x sinnx n ] n x cosnx dx ] sinnx dx 4 cosnx n n 4 n n La fonction f est -périodique, continue sur R et de classe C par morceaux sur R D après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIER de f converge vers f sur R Par suite, pour tout réel x, f x a f n a n f cosnx b n f sinnx 4 n n cosnx 8 n cospx p p x R, f x 8 cosnx n n L égalité f fournit n n 8 S n Ensuite, si S n n, on a n n n 8 S 4, et donc S D autre part, puisque f est continue par morceaux sur R et -périodique, la formule de PARSEVAL fournit a f n a n f b n f f x dx et donc 3

4 64 4 n n 4 x dx et donc n n Enfin, si on pose S, n 4 et donc S n S n n 4 n 3 x n S 6, 3 ] n 8, n n 6 et n 4 n La fonction f est continue par morceaux sur R et -périodique On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER Puisque f est impaire, n N, a n f puis pour n N, b n f n x xsinnx dx x sinnx ] n n x x cosnx n sinnx dx ] 4 n n cosnx n xcosnx dx ] 4 n n 3 La fonction f est -périodique, continue sur R et de classe C par morceaux sur R D après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIER de f converge vers f sur R Par suite, pour tout réel x, f x a f n a n f cosnx b n f sinnx 4 n n sinnx 8 n 3 sinpx p p 3 x R, f x 8 sinnx n n 3 L égalité f 4 fournit n n 3 n 3 3 Ensuite, puisque f est continue par morceaux sur R et -périodique, la formule de PARSEVAL fournit a f n a n f b n f f x dx et donc 64 n ] n 6 x x dx x3 x4 3 4 x et donc n n Enfin, si on pose S, n 6 S n n 6 n 4 n S 64,

5 et donc S n n 3 n 3 3, n 6 n 6 96 et n 6 n La fonction f est continue par morceaux sur R et -périodique On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER µ µ La fonction f a mêmes coefficients de FOURIER que la fonction g définie sur R, impaire et périodique telle que x ],, gx Donc n N, an f puis pour n N, b n f x sin sinnx dx sin n x n sin n n n n n 4 n cos n x cos n x dx x 8n 4n ] n n n n La fonction f est -périodique et de classe C par morceaux sur R D après le théorème de DIRI- CHLET, la série de FOURIER de f converge en tout réel x et a pour somme f x f x En particulier, x ],, sin x 8 n n n 4n sinnx L égalité f fournit 8 n n n 4n sin n 8 p p 4p sin p 8 p p p 6p p3, n n n 6n 6n3 4 f est -périodique, continue par morceaux sur R et paire Pour n N, b n f puis pour n N, a n f chλxcosnx dx ère solution Soit n N 8 5

6 a n f Re Re chλxe inx dx Re e λin e λin n shλ Re λ in λ in λ n λ in λ n e λinx dx e λin e λin λ in ème solution Une double intégration par parties fournit a n f ] shλx cosnx n λ λ n shλ n chλx λ λ λ n shλ λ n λ a n f, e λinx dx n Re λ shλ n n λ shλ λ in shλxsinnx dx n shλ λ ] sinnx n chλxcosnx dx λ n λ shλ λ in et donc n N, a n f n shλ λ λ λ shλ n λ n n λ La fonction f est -périodique, continue sur R et de classe C par morceaux sur R D après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIER de f converge vers f sur R On en déduit que x R, f x shλ λ L égalité f fournit shλ λ n n n λ et l égalité f chλ fournit n n λ λ shλ n n λ shλ λ shλ λ >, n n n λ λ shλ n n cosnx n λ n λ et donc shλ λ chλ shλ λ λ shλ et n shλ λ λ shλ λ chλ shλ λ shλ λ chλ shλ n λ λ shλ La fonction f est -périodique, continue par morceaux sur R L égalité de PARSEVAL s écrit a f n a n f b n f f x dx avec f x dx ch λx dx chλx dx shλ, et donc shλ n sh λ λ λ n 4λ sh λ 4λ sh λ n λ >, n λ n puis shλ sh λ λ λ λ shλ 4λ sh λ 8λ 4 sh λ λ λ chλshλ λ sh λ λ n 4λ sh λ shλxsinnx dx 5 La fonction f est continue par morceaux sur R et -périodique On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER 6

7 Soit n N a n f Soit n N { supsinx,cosnx dx sinx dx si n cosnx n cosn x n { si n n n si n ] sinxcosnx dx si n ] cosx sinn x sinn x dx si n n n n n si n b n f { sinxsinnx dx cosn x cosn x dx si n si n La fonction f est -périodique, continue sur R et de classe C par morceaux sur R D après le théorème de DIRICHLET, la série de FOURIER de f converge vers f sur R On en déduit que pour tout réel x supsinx, sinx n n cosnx n sinx p 4p cospx x R, supsinx, sinx n 4n cosnx L égalité f fournit n et donc 4n n 4n Remarque n 4n lim N N n n n limn N Correction de l exercice 3 a Soit a C \,] Pour tout réel t, a cost et a cost a e it e it e it e it ae it 7

8 L équation z az admet deux solutions non nulles inverses l une de l autre On note b la solution de plus petit module de sorte que b On ne peut avoir b car alors il existe θ R tel que b e iθ On en déduit que a b b cosθ,] puis que a,] ce qui n est pas Donc b Plus précisément, puisque b b, on a b < et b En particulier, b b Ensuite, pour t < b, on a a cost e it e it b e it b b b b b b b be n it n b b b n e int b n e int n b n cosnt b e it b /b e it b b n e int n n b n e int b be it b be it be it car be it be it b < b b n t R, a cost b b n bn cosnt b n e int n b n e int b Pour tout réel t,] et tout entier naturel non nul n, on a b n cosnt b n Comme la série numérique de terme général b n converge, on en déduit que la série de fonctions de terme général t b n cosnt, n N, converge normalement et donc uniformément sur le segment,] On sait alors que la série obtenue est la série de FOURIER de f Puisque la fonction f est paire, pour tout entier naturel n, a n f naturel n y compris pour n, Finalement, cosnt a cost dt a n f bn b n N, cosnt a cost dt bn b cosnt a cost dt Donc, pour tout entier Correction de l exercice 4 Soit α C \ Z La fonction f est -périodique, continue sur R et de classe C par morceaux sur R Donc la série de FOURIER de f converge vers f sur R d après le théorème de DIRICHLET Puisque f est paire, n N, b n f puis pour n N, Finalement, a n f cosαxcosnx dx cosn αx cosn αxdx ] sinα nx sinα nx car α / Z α n α n sinα n sinα n n α sinα α n α n α n α C \ Z, x,], cosαx sinα α sinα α n n cosnx α n 8

9 Soit z C \ Z On prend α z et x dans la formule précédente et on obtient sinz z Maintenant, sinz z n n z n sinz i eiz e iz e iz e iz e iz iz iz z Z Puisque z C \ Z, sinz et l égalité peut s écrire De même, en prenant α z et x, on obtient cosz sinz z z n z n sinz z z n n z n sinz z z n n et cotanz z n z n z sinz z n et donc cotanz z n z z n Correction de l exercice 5 La fonction f est -périodique, continue par morceaux sur R On peut donc calculer ses coefficients de FOU- RIER La fonction f a mêmes coefficients de FOURIER que la fonction g : x Donc, n N, a n f puis pour n N { f x si x / Z si x Z qui est impaire b n f n nt f tsin t cosnt n dt ] n t sinnt dt cosnt dt n n La fonction f est de plus de classe C par morceaux sur R et d après le théorème de DIRICHLET, en tout réel x, la série de FOURIER de f converge et a pour pour somme f x f x En particulier, x R \ Z, f x x Ex sinnx n n Soit p N Pour n N, b n f p p f ptsinnt dt t cosnt n n Remarque Soient p N et x,] \ ] n f usin n u du p p cosnt dt { k p, k, p]] } Alors px / Z et donc n n 9

10 f p x f px sinnpx n n k b k,p sinkx où k N, b k,p { si k / pz k si k pz p mais malheureusement, on ne peut pas récupérer ces coefficients car la série obtenue ne converge pas normalement p,q N, f qx f q x dx PGCDp,q pq

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Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 8 EXERCICE 1 séries de FOURIER 1 si t α f t)= si α