Recapitulare: Integrala definita. Primitive

Transkript

1 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul Integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminr recpitultiv Integrl definită. Primitive. Să se rte că Rezolvre: f d, dcă f este funcţie pră, f d =, dcă f este funcţie impră. Astfel vem conform proprietăţii de ditivitte că Acum dcă f este pră, dică f d = f d + f = f, [, ], tunci în prim integrlă fc schimbre de vribilă = y y = f d. De ici obţinem că d = dy precum şi noile limite de integrre: dcă = tunci y = şi dcă = tunci y =. Deci integrl devine, conform schimbării de vribilă, f d = f y dy = f y dy = f y dy Dr, conform unei convenţii b f d = b f d deci f d = de unde obţinem că Dcă f este impră, dică f d = f d + f y dy = f d = f = f, [, ], tunci în prim integrlă fc ceeşi schimbre de vribilă = y y = f d f d. De ici obţinem d = dy şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = şi dcă = tunci y =.

2 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc Deci integrl devine, conform schimbării de vribilă, f d = f y dy = f y dy = f y dy = f y dy = f d deci f d = Obţinem deci că f d = f y dy = f d +. Arătţi, folosind pritte funcţiei de sub integrlă, că rctg / e d =, b cos ln + + e / d =, π/ c sin tg 3 =, d π/ + d = Rezolvre: f d. f d = Aplic eerciţiul nterior. Astfel vom răt că funcţiile cre se integreză sunt impre. Pentru cest folosim pritte funcţiilor trigonometrice: Notăm cu f : [, ] R, f = rctg e +e. sin = sin, cos = cos tg = tg, rctg = rctg rctg rctg f = = e + e e = f. + e 3. Fie f : R R, o funcţie continuă şi periodică de periodă T >. Să se rte că re loc şi poi să se clculeze: +T f d = T f d, R nπ Rezolvre: sin d, n N, b nπ cos d, n N Funcţi f periodică însemnă că f + T = f, R. Avem conform proprietăţii de ditivitte că +T T +T f d = f d + f d + f d T În ultim integrlă fc schimbre de vribilă = y + T y = T De ici obţinem d = dy şi limitele de integrre devin: dcă = T tunci y = şi dcă = + T tunci y =. Deci integrl devine, conform schimbării de vribilă, +T T f d = f y + T dy = f y dy = f y dy

3 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc deci +T f d = T +T T f d + f d + f d = f d T Ştim că sin şi cos sunt periodice de periodice de periodă π deci evident şi funcţiile sin, cos. Conform celor de mi sus, vem că sin + π = sin, R cos + π = cos, R Ir nπ π = sin d = sin d + π π sin d + π π sin d nπ sin d sin d n π π sin d = n π sin d π sin d = π sin d + = cos π π π sin d = cos π π = π sin d π π sin d deci nπ sin d = n π sin d = n.. Să se clculeze următorele integrle folosind tbelul: d pd, b d, c, d d d , e d, f, d d g, h 5, i d 3 + 5, j d 7 8, k d 3d, l +, d m, n d. 5. Să se clculeze următorele integrle folosind metod de integrre prin părţi: + 5 e d, b e sin b d, c sin d, d ln 3 d, e 3 ln d f + d, R, g d, h Rezolvre: ln 3 d = 3 ln d = ln d. Dcă f şi g sunt funcţii cu derivtele continue pe domeniul de definiţie I tunci re loc formul de integrre prin părţi: f g d = f g f g d. 3

4 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc Folosim e = e : + 5 e d = + 5 e d = + 5 e + 5 e d = + 5 e + 5 e d = plicăm încă o dtă = + 5 e + 5 e d = + 5 e + 5 e + 5 e d = + 5 e + 5 e e d = + 5 e + 5 e + e + C, C R b Folosim e = e : e sin b d = e sin b d = e sin b = e sin b b e cos b d = plicăm încă o dtă = e sin b b e cos b d = e sin b b = e sin b b e cos b + be sin b d = e sin b b e cos b b e sin b d e sin b d e cos b e cos b d Deci e sin b d + b e sin b d = e sin b b e cos b + C, C R e sin b d = + b e sin b b e cos b + C, C R Observţie: putem plec şi de l sin b = b cos. b d ln 3 d = ln 3 d = ln 3 ln 3 d = ln 3 3 = ln 3 3 = ln 3 3 ln ln d = ln3 3 ln d = ln 3 3 ln = ln 3 3 ln ln ln d = plicăm încă o dtă ln d ln d = ln 3 3 ln ln d = ln 3 3 ln ln + C, C R. ln d

5 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc f Deci I = + d = rţionlizre = = + d + = ln d = = ln I + + d d d + ln + + I = + d = + + ln C, C R. 6. Să se clculeze următorele integrle folosind metod de integrre prin părţi: 3 + e 5 d, b e sin b d, c e cos b d, d e 3 sin d, e e cos 3 d, f 3 cos d, g 3 sin 5 d, h 3 cos 5 d, i ln d, j ln 3 d, k + 5d, l 5d, m 5 d ln ln n d, o cos d, p + 3 ln d. 7. Folosind prim metodă de schimbre de vribilă să se clculeze: + rccos d, b ln d, c ln 5 d, π/ cos 3 d + sin d, e 6 5 d, f + + d Rezolvre: Aplic prim metodă de schimbre de vribilă: f u u d = F u + C, C R, unde F este o primitivă lui funcţiei f. De semene re loc şi în czul integrlei definite: b f u u d = ub u Observ că = rccos, deci + rccos d = = d + rccos rccos d = f y dy = F y y=ub y=u = F u b F u. rccos d = d + rccos d rccos. rccos rccos d Acum dcă notăm y not = rccos dy = rccos d 5

6 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc deci integrl devine + rccos d = ydy = y + C = rccos + C, C R b Observ că = ln şi voi not y not = ln dy = ln d ln d = ln ln d = y dy = y dy = y C = ln C, C R. d Observ că cos = sin şi voi not y not = sin dy = sin d şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = sin = şi dcă = π/ tunci y = sin π/ = π/ cos + sin d = π/ + sin sin d = e Folosim form cnonică trinomului de grdul + b + c = + b + unde = b c. Deci şi = = = 3 + = 3 6 5d = 3 3 d = + y dy = rctgy = rctg rctg = π/ d Notez y not = 3 dy = 3 d şi limitele de integrre devin: dcă = tunci y = şi dcă = 3 tunci y = d = y dy Pentru clcul ultim integrlă vezi eerciţiile precedente. 8. Folosind prim metodă de schimbre de vribilă să se clculeze: cos sin sin cos d, b d, c d, d sin cos cos sin 3 d d 3 e, f e 3 d, g d. 9. i Să se ducă l form cnonică următorele trinome de grdul l doile: f = + 5, b f = + 3 5, c f = + + 3, d f = e f = 5 + 3, f f =, g f = + 3, h f = + +, i f = + + 5, j f = 3 +, k f = + 3, l f = + 5 ii Să se clculeze diferenţilele df le următorelor funcţii de o vribilă: f = sin, b f = ln, c f = ln, d f = 3, e f =, f f = cos, g f = e 3, h f = +, i f =, j f = tg. 6

7 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc. Folosind dou metodă de schimbre de vribilă să se clculeze integrlele: Rezolvre: cos d, b d, c d, d + d. Aplic dou metodă de schimbre de vribilă: Dcă fcem schimbre de vribilă = u y tunci d = u y dy, unde u este invers funcţiei u, şi integrl devine y = u b f d = u b u f u y u y dy Vom not = y = y deci d = ydy şi integrl devine cos d = cos y ydy = y cos y dy Pentru clculul cestei integrle vezi metod de integrre prin părţi. L sfârşit se v înlocui y =. b Avem substituţiile trigonometrice:. Dcă integrl conţine termenul tunci este utilă substituţi = sin y su = cos y. Dcă integrl conţine termenul tunci este utilă substituţi = chy 3. Dcă integrl conţine termenul + tunci este utilă substituţi = shy unde şi evident vem sh def = e e, ch def = e + e ch sh =, sh = ch, ch = sh. În czul nostru este utilă substituţi = sin y de semene e utilă şi substituţi = cos y. Deci şi d = sin y dy = cos ydy = sin y y = rcsin /. Limitele de integrre devin: dcă = tunci y = rcsin = şi dcă = tunci y = rcsin / = π/6. Atunci integrl devine = 6 d = π/6 π/6 sin y sin y cos ydy sin y sin y cos ydy = 6 π/6 sin y cos ydy Avem formulele sin y + cos y = sin y = sin y cos y sin y cos y = cos y = cos y cos y = cos y = sin y sin y = sin y +cos y cos y 7

8 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc Deci = d = 6 π/6 π/6 cos y dy = sin y cos y dy = π/6 dy π/6 π/6 cos ydy = sin ydy d În cest cz este utilă substituţi = ey e y. Deci d = ey e y dy = ey + e y dy şi + = ey e y e + = y + e y Deci + d = = e y + e y + y ey + e y + C, C R sin y π/6 y = π = ey + e y + = ey + e y. ey + e y dy = e y + e y e dy = y + e y + dy. Să se clculeze următorele integrle din funcţii ce conţin un trinom de grdul l doile: d 5 + 7, b d, c d, d d, e + d, f d, g d 3 +, h. Să se clculeze următorele integrle din funcţii rţionle: d, b α d, α, c d, d b e h j d, f + 8 d, g d, i d = d = + + b + c d d, b + 3. Să se clculeze următorele integrle din funcţii rţionle: Rezolvre: d, b 3 d, c + Dcă integrl este dintr-o funcţie rţionlă tunci: 3 d, d d. + b α d, c d, d Psul I: dcă grdul numărătorului este mi mre decât grdul numitorului tunci mi întâi se împrt polinomele până se junge c grdul numărătorului să fie mi mic strict decât grdul numitorului. Psul II: poi se vor căut divizorii numitorului şi se v descompune frcţi în frcţii simple. 8

9 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc = + = + = + + = + + = Descompunere în frcţii simple însemnă să căută constntele, b, c, d.î. să ibă loc Aducând l celşi numitor obţin + + = + b + + c+d = + ++b ++c+d = b + + c + d + = + b + c 3 + b + d + + b c + b d + b + c = b + d = + b c = b d = Rezolvând sistemul obţin = /, b = /, c =, d = / deci re loc + + = + + dică b d = d + = + ln ln + rctg + C + + d = + + d = + + = + + b+c + = b + c = + b + + b + c + + c + b = + b + c = + c = Rezolvând sistemul obţin = /3, b = /3, c = /3 deci re loc + + = /3 /3 + / dică 3 + d = 3 + d = + 3 ln + 3 Acum vem + d = + d + + d d. Pentru ceste două se vor fce clcule stndrd. Mi întâi, pentru prim, se formeză l numărător derivt numitorului dică + d = + d = + + d = + d + + d = + + d + + d = ln + + / + 3/ d = ln + + / + 3/ d = ln + + 3/ rctg / 3/ + C. 9

10 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc c 3 + = + = = + b + c unde, b, c trebuie determinţi. d Rădăcinile întregi le lui = se găsesc printre divizorii termenului liber.. Să se clculeze următorele integrle din funcţii rţionle: d 3 d, b 3 d, c + +, d e d , f d, g + 5. Să se clculeze următorele integrle din funcţii irţionle: d, b + 3 d, c + Rezolvre: Fie integrlele de form R, +b c+d p d, d d +, d d p q q, +b c+d,... d unde R este o epresie rţionlă. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle cu jutorul substituţiei + b c + d = ts unde s este cel mi mic multiplu comun l numitorilor q, q,... Apre termenul + = + / deci este utilă substituţi deci integrl devine + = t = t d = tdt d = t + t = t t dt = t + t t tdt t + t 3 dt = t + t t + t + dt şi m juns l integrl dintr-o funcţie rţionlă. Descompunem în frcţii simple t + t t + t + = t + bt + c t + t + cu, b, c determinţi ducând l celşi numitor şi identificând coeficienţii. Obţin =.b =, c = şi integrl se reduce l integrle simple. I = t+ t t +t+ dt = t t+ t +t+ dt = ln t t+ t +t+ dt Mi întâi t + t + t + dt = t t + t + dt + t + t + dt ir ceste se fc prin clcule stndrd. L sfârşit se v înlocui t = + /. b Apre = / şi 3 = /3 deci se v fce substituţi = t 6 unde 6 este cel mi mic multiplu comun l numitorilor şi 3.

11 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc 6. Să se clculeze următorele integrle din funcţii irţionle integrle binome: d, b d, c e Rezolvre: + 3 d, f 5 d, g + d + 3 5/3 3 + d, d d, Fie integrlele de form m + b n p d unde m, n, p Q. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle dor în următorele trei situţii cu jutorul substituţiilor respective: i Dcă p este număr întreg. ii Dcă m + este număr întreg şi în cest cz este utilă substituţi + b n = t s unde s este n numitorul lui p. iii Dcă m + + p este număr întreg şi în cest cz este utilă substituţi + bn n n = t s unde s este numitorul lui p. + 3 = / + /3 deci m = /, n = /3, p = deci suntem în prim situţie şi, evident, merge substituţi = t 6 d = 6t 5 dt deci integrl devine + 3 d = t 6 / + t 6 /3 6t 5 dt t 6 = / + t 6 /3 6t 5 dt = = t 3 + t 6t 5 dt t 3 + t 6t 5 dt şi obţin integrl dintr-o funcţie polinomilă. b c 3 + = 5/ + /3 3 deci m = 5/, n = /3, p = 3 deci suntem în primul cz. = / + / /3 deci m = /, n = /, p = /3 şi m + n = / + / deci suntem în dou situţie şi merge substituţi = Z + / = t 3 / = t 3 = t 3 d = t 3 3 3t dt deci integrl devine 3 + d = / + / /3 d = t 3 / t 3 /3 t t 3 3 dt = t 3 tt t 3 3 dt = t 3 t 3 dt = t 6 t 3 dt = t 7 /7 t / + C şi cum se înlocuieşte t cu + / /3. d, e Suntem în situţi ii. f, g Suntem în situţi iii.

12 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc 7. Să se clculeze următorele integrle din funcţii trigonometrice: sin sin cos 3 3 d, b cos d, c d, d sin + tg e Rezolvre: cos d, f + sin + cos d + sin d, Fie integrlele de form R sin, cos d unde R, b este o epresie rţionlă în şi b. Aceste integrle se reduc l integrle rţionle cu jutorul următorelor substiţituţii: i Dcă R sin, cos = R sin, cos tunci este utilă substituţi cos = t. ii Dcă R sin, cos = R sin, cos tunci este utilă substituţi sin = t. iii Dcă R sin, cos = R sin, cos tunci este utilă substituţi tg = t. iv Substituţi universlă tg = t. În czul integrlelor din funcţii trigonometrice sunt utile următorele formule trigonometrice sin + cos =, sin cos = sin = sin = Avem că R sin, cos = sin cos 3 deci sin, sin cos =, cos +cos =, t +t, cos = t +t, unde t = tg, t, cos = +t +t, unde t = tg. R sin, cos = sin cos 3 = sin cos 3 = R sin, cos dică suntem în czul ii. Este utilă substituţi sin = t sin cos 3 d = sin cos cos d = sin cos sin d = sin sin d sin deci sin = t dt = d sin = sin d dică I = t t t dt = t dt = t 3 /3 t 5 /5 unde t trebuie înlocuit cu sin. b R sin, cos = sin3 cos este impră în sin, deci czul i c R sin, cos = sin +tg. În cest cz vom folosi substituţi universlă în czul integrlelor trigonometrice: tg = t = rctgt = rctgt d = + t dt Deci, folosind şi formulele trigonometrice respective, re loc = = sin + tg d = t +t + t t t t dt = = ln tg sin + sin d = cos + t dt = t dt = t tg + C. t t dt t +t + t ++t t +t t +t t +t + t dt + t dt t dt = ln t t + C

13 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc d e Suntem în czul iii. f Suntem în czul iv. 8. Să se clculeze următorele integrle folosind metod de integrre prin părţi: rctg d, b rctg d, c rctg d d rcsin d, e rcsin d, f rcsin d. 9. Să se clculeze următorele integrle: d +, b d +, c d +, d e Rezolvre: d + 3, f + 3 d, g d +, sin n d, n {,, 3,,...}. d + d = + d = + + d = + + d + d = + d + d = rctg + d = 3 rctg d = 3 rctg d = 3 rctg + + rctg + C. g Pentru n = : sin sin d = sin d = cos cos d = subst. cos = t = = ln t t + + C = ln cos cos + + C. t dt su, folosind substituţi universlă obţinem tg = t sin d = Pentru n =, folosind tbelul obţinem: su, folosind substituţi universlă, obţinem sin d = = t +t = rctgt = rctgt d = + t dt tg t + t +t dt = t dt = ln t + C = ln + C. sin d = ctg + C + t dt = + t t dt = tg tg + C = ctg + C. t + t + C = t + C t 3

14 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc Pentru n = 3 : sin 3 d = sin sin d = = cos cos d = subst. cos = t = t + b + t + c t + d + t dt. t dt su, folosind substituţi universlă, obţinem sin 3 d =. Să se clculeze următorele integrle: + + d, b d d, e t +t d, c + + d. + t dt = + + d, + t dt.. Să se clculeze ri figurii plne cuprinsă între curbele dte eplicit y = p şi = py. Să se prticulrizeze pentru p = /. Rezolvre: Dcă suntem în czul în cre curbele cre du domeniul sunt dte eplicit ir domeniul este deci D = {, y : b, f y f } tunci ri domeniului D este dtă de A D = b [f f ] d. Să se clculeze volumul sferei şi volumul elipsoidului ceste se obţin prin rotţi unui semicerc şi respectiv unei semielipse în jurul ei O. Rezolvre: Dcă volumul V R 3 este obţinut prin rotţi mulţimii F = {, y : b, y f } tunci volumul este dt de V F = π b f d În czul nostru sfer este dtă de rotţi domeniului semidiscului F = {, y : r r, y } r respectiv dt de rotţi domeniului semielipsei { F =, y :, y b }. t 3 3. Să se determine volumul corpului de rotţie dt de f : [, /] R, f = rcsin.. Să se determine lungime grficului funcţiei f : [3, 8] R, f = 3. Rezolvre: Dcă suntem în czul în cre curb este dtă eplicit de C : y = f, b tunci lungime curbei este dtă de b L C = + f d. 5. Să se determine lungime grficului funcţiei f : [π/3, π/] R, f = ln cos.

15 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc { = cos 6. Să se determine lungime curbei dtă prmetric 3 t y = sin 3 t, t [, π/]. Rezolvre: { Dcă suntem în czul în cre curb este dtă curb este în pln şi este dtă prmetric de = t C :, t b tunci lungime curbei este dtă de y = y t L C = b t + y t dt = cos t 7. Să se determine lungime curbei din spţiu dtă prmetric y = sin t, t [, π]. z = ct = t Rezolvre: În czul în cre C : y = y t, t b dică în czul în cre curb este dtă z = z t curb este în spţiu şi este dtă prmetric lungime curbei este dtă de 8. Să se determine ri discului. L C = 9. Să se determine lungime cercului. b t + y t + z t dt. 5

16 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi plicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminr recpitultiv. Aneă Derivtele funcţiilor elementre. c =. = 3. n = n n, n N. =, R + 5. = obţinută în prticulr pentru = / 6. = obţinută în prticulr pentru = 7. = ln, R +, 8. e = e obţinută în prticulr pentru = e 9. ln =. sin = cos. cos = sin. tg = cos 3. ctg = sin. rcsin = 5. rccos = 6. rctg = + 7. rcctg = + 8. sh = ch, unde sh def = e e este sinusul hiperbolic 9. ch = sh unde ch def = e + e este cosinusul hiperbolic 6

17 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc Derivtele funcţiilor compuse. u n = nu n u, n N. u = u u, R + 3. u = u u obţinută în prticulr pentru = /. = u u u obţinută în prticulr pentru = 5. u = u ln u, R +, 6. e u = e u u obţinută în prticulr pentru = e 7. ln u = u u 8. sin u = cos u u 9. cos u = sin u u. tg u = cos u u. ctg u = sin u u. rcsin u = u u 3. rccos u = u u. rctg u = + u u 5. rcctg u = + u u 6. sh u e u e u = = ch u u 7. ch u e u + e u = = sh u u Operţii cu funcţii derivbile. f + g = f + g. C f = C f 3. f g = f g + f g. 5. = g g g f = f g f g g g 7

18 Recpitulre: Integrl definit. Primitive Lect. dr. Lucin Mticiuc Integrle nedefinite d = + C α d = α+ α + + C, α R, α d = ln + C + d = rctg + C, d = ln + + C, ± d = ln + ± + C, d = rcsin + C, > d = ln + C, >,, sin d = cos + C cos d = sin + C cos d = tg + C sin d = ctg + C tg sin d = ln + C cos d = ln tg + π tg d = ln cos + C ctg d = ln sin + C + C e d = e + C Metode de clcul. Formul de integrre prin părţi pentru integrl definită b f g d = [f g ] b b f g d.. Prim metodă de schimbre de vribilă pentru integrl definită: pentru clcul se noteză y not = u deci dy = u d şi re loc b f u u d = ub u f y dy = F y ub u b = F u b F u. f u u d 8