Corrigés des exercices du chapitre 25

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1 MPSI Corrigés des exercices du chapitre 5 Exercice I- () () Si deg P =, alors ;, P = Doc, (P,P ',P",,P ) est ue famille écheloée e degrés doc libre Comme elle cotiet + élémets et dim K [X] = + : () (P,P ',P",,P ) est ue base de K [X] Exercice I- ) N, o a deg H = La famille (H,H,,H ) est alors ue famille écheloée e degrés de + polyômes de C [X], qui est de dimesio + doc : B = (H, H,, H ) est ue base de C [X] ) Si P GL ( C ) est la matrice de passage de la base caoique élémets de si ème coloe sot les coordoées de Doc : Or : H das la première lige de P est composée des termes costats des H ; La deuxième lige de P est composée des coefficiets de X des H ; la diagoale de P est composée des coefficiets domiats des (, X, X,,X ) de [X] C à B, alors les (, X, X,,X ) doc les coefficiets de H Le terme costat de H = est C est aussi so coefficiet domiat et il y a pas de terme e X Pour, H se factorise par X doc so terme costat est ul et le coefficiet de X vaut H Comme (X i) est uitaire, le coefficiet domiat de H est! Aisi, o a : i= ( ) ( ) P =!! 3) O a P C [X], ϕ (P) = P(X + ) P(X) O a ϕ (H ) = ϕ () =, ϕ (H ) = ϕ (X) = = H et pour : H (X + ) = (X + i) = (X + ) (X + i) = (X + ) (X i)!!! i= i= i= i= i= i= ( ) = (X + + ) (X i) = (X i) + (X i) = H (X) + H (X)!! ( )!

2 MPSI Doc, H (X + ) H (X) = H (X) soit : Aisi : ϕ (H ) = H La matrice de ϕ das B est Exercice I-3 O a Alors De plus, P = α + α( X a) + α( X a) + + α( X a) = α ( X a) et comme P est uitaire, α =, doc : = P ' = α ( X a) = = = = P ( X a) P ' = α ( X a) α ( X a) = ( ) α ( X a) +, doc : = = P '' = ( ) α ( X a) = ( + )( + ) α ( X a) + = = P = ( X a) P ' + P" P ( X a) P ' = P" ( ) α ( X a) = ( + )( + ) α ( X a) α = et pour tout, ( ) Soit, : ( ) α = ( + )( + ) α + Comme α = et α =, ue récurrece descedate fiie simple permet prouver que pour tout,, o a α quad est pair et α = quad est impair Alors, pour tout, p, o a : ( p) ( p )( p ) O a alors par télescopage, pour tout p α p = + + α p+ = α( p+ ), p : α ( p + )( p + ) ( p) α p α ( + )( + ) ( p + )( p + )( p + 3)( p + 4)( ) ( )! α p = = = = = p α = p α( + ) = p ( ) p+ ( p)!( p)! ( ) ( )! E remarquat que = = α, o a fialemet : ( )!( )! p= = p ( )! P = ( X a) p ( p)!( p)! p

3 MPSI 3 Exercice I-4 O a P = + X et : 3 P = ( + X )( + X ) = + X + X + X P = ( + X )( + X )( + X ) = + X + X + X + X + X + X + X O cojecture que pour tout N, Pour =, o a =, doc + + P = + X + X + + X = X O le prouve par récurrece sur O suppose la relatio vraie à u rag N O a alors : Par hypothèse de récurrece : + La relatio est doc vraie au rag + = P X X + = + = + et la propriété est vraie + + P = ( + X )( + X )( + X )( + + X ) = ( + X ) P + + P = ( + X )( + X + X + + X ) = + X + X + + X + X ( + X + X + + X ) = + X + X + + X + X + X + X + + X = + X + X + + X + X + X + X + + X Fialemet, la propriété est iitialisée et héréditaire doc vraie pour tout N, soit : + + = = = P X X X X Exercice I-5 a Soit P ue solutio évetuelle de 8P = P 'P" Il est clair que le polyôme ul est solutio Si deg P = ou, alors P 'P" =, soit P = ce qui est absurde (car deg = ) Doc deg P O a alors deg(8p) Posos alors = deg(p' P") soit : deg P = deg P' + deg P" = deg P + deg P = deg P 3 deg P = 3 3 P = ax + bx + cx + d avec 4 (a, b,c,d) R et a O a : Doc : P ' = 3aX + bx + c et P" = 6aX + b 3 6(aX + bx + cx + d) = (3aX + bx + c)(6ax + b) 3 3 8aX + 8bX + 8cX + 8d = 8a²X + 8abX + (4b² + 6ac)X + bc Aisi, 8a = 8a² 8b = 8ab 8c = 4b² + 6ac 8d = bc P X bx b X b 3 7 a = 3c = b² 7d = b 3 3 = avec b R fixé 3

4 MPSI 4 Réciproquemet, Fialemet : b R, si P a la forme ci-dessus, o a : = = = P ' P" (3X bx b )(6X b) 8X 8bX 6b X b 8P Les solutios sot et 3 3 X + bx + b X + b avec b R 3 7 b Remarquos préalablemet que : si (,Q) est solutio, alors si (P,) est solutio, alors Q = X + ou P = X + ou Q = (X + ) ; P = (X + ) Soit (P, Q) u couple solutio tel que deg P = p et deg Q = q O a alors O peut doc poser Alors O a aisi : Comme deg(p + Q ) max(p, q) = deg (X + ) = 4 doc max(p, q) P = ax + bx + c et P + Q = (X + ) deviet : Q = a 'X + b 'X + c ' avec a et a ' évetuellemet uls (a + a ' )X + (ab + a 'b ')X + (ac + a 'c' + b + b ' )X + (bc + b'c')x + c + c' = X + X + a + a ' = c + c' = ab + a 'b ' = bc + b'c' = (ac + a 'c') + b + b' = a + a ' = c + c' =, o peut poser a = cos θ, a ' = si θ, c = cos ϕ et c' = si ϕ (ac + a 'c') + b + b' = deviet alors θ ϕ θ ϕ et o peut poser b = si cos α et b ' = si si α Alors, ab + a 'b ' = bc + b'c' = deviet : Deux cas se présetet alors : b + b ' = (cos θ cos ϕ + si θ si ϕ ) = cos( θ ϕ ) = 4si θ ϕ θ ϕ si cos( α θ ) = si cos( α ϕ ) = θ ϕ Si si =, alors θ = ϕ + π avec etier Das ce cas, o a a = c = cos θ et a ' = c ' = si θ et b = b' =, soit : P = cos θ (X + ) et Q = si θ (X + ) Remarquos que ce cas eglobe les solutios triviales doées au début (avec θ multiple de π ) θ ϕ θ ϕ π Si si, alors cos( α θ ) = cos( α ϕ ) = doc α = θ + + ' π et ϕ = θ + π avec et ' etiers Das ce cas, o a : ' π ' π a = cos θ, a ' = si θ, c = ( ) cos θ, c' = ( ) si θ, b = ( ) si si θ et b ' = ( ) si cos θ o Si = p, o a a = c = cos θ, a ' = c ' = si θ et b = b' = doc o se retrouve das le cas précédet o Si = p +, a = c = cos θ, a ' = c' = si θ, b = ( ) si θ et b ' = ( ) cos θ (avec = ' + p ), soit : P = cos θ(x ) + ( ) si θ X et Q = si θ(x ) ( ) cos θ X

5 MPSI 5 Réciproquemet, θ R : Si Si P = cos θ (X + ) et Q = si θ (X + ), alors P = cos θ X + ( ) si θx cos θ et P + Q = (cos θ + si θ )(X + ) = (X + ) Q = si θx ( ) cos θx si θ avec Z, alors : Fialemet : 4 P + Q = (cos θ + si θ) (X ) + 4X = X + X + = (X + ) Les solutios sot de la forme ( cos (X ),si (X ) ) ( cos (X ) ( ) si X,si (X ) ( ) cos X ) θ + θ + ou θ + θ θ θ avec θ réel et etier c Soit (P,Q,R) u triplet solutio de l équatio O a alors x R : ɶ ɶ ɶ avec P(x) = x(q (x) + R (x)) ɶ ɶ Q (x) + R (x) Ceci est possible que si ɶ ɶ, soit Q(x) ɶ = R(x) ɶ =, ce qui etraie P(x) ɶ = Aisi : Q (x) + R (x) = La seule solutio das R [X] est (P,Q,R) = (,,) Exercice I-6 Posos P = a X + a X + + a X + a avec (a,a,,a,a ) + Z O a alors Z : = P(X + ) = a (X + ) + a (X + ) + + a (X + ) + a = a (X + ) A l aide de la formule du biôme de Newto, o a où * N : (X + ) = X = X X + = XQ (X) + Q est u polyôme à coefficiets etiers Alors : Comme les etiers De plus, p p p p p= p p= p = = = = P(X + ) = a (X + ) = a XQ (X) + = X a Q (X) + a Q sot à coefficiets etiers et les a sot etiers, a = P() et aisi, P(X ) XQ(X) P() = Q + = + doc : P(P() + ) = P()Q(P()) + P() = P() ( Q(P()) + ) Alors, comme Z, P Z [X] et Q Z [X], o a P() Z et N = Q(P()) + Z Fialemet, o a P(P() + ) = N P() avec N Z doc : P() divise P( P() ) + = a Q est u polyôme à coefficiets =

6 MPSI 6 Exercice I-7 ) O a ici P =, P = X et N, O cojecture que Au rag, o a Au rag, o a P = XP + X P Alors : + + P = XP + X P = X P = XP + X P = 3X P = XP + X P = 5X N, P P a X = a X Prouvos cela par récurrece double = = doc la propriété est vraie avec P X a X = = doc la propriété est vraie avec Supposos la propriété vraie aux rags et + O a alors : a = a = P = XP + X P = Xa X + X a X = (a + a )X La propriété est doc vraie au rag + avec de plus a + = a + + a Aisi, la propriété est iitialisée et héréditaire doc elle est vraie N O a de plus, a = a = et N, a + = a + + a La suite (a ) N est doc la suite de Fiboaci L équatio caractéristique associée est x² x = de racies + 5 Avec a = a =, o obtiet : Aisi, N, a λ + µ = λ + µ = a = λ + µ λ + µ = λ µ = 5 et λ = 5 5 µ = = 5 + = 5 5 O a alors : + + et fialemet : N, P = X ) O a ici P =, P = X et N, P + = XP + + P Soit a R Si o pose N, u = P (a), o a u = P (a) =, u = P (a) = a et N, u+ = au+ + u La suite u est ue suite récurrete liéaire d ordre L équatio caractéristique associée est x² ax = de racies a + a² + et a a² + O a alors N : ( ) ( ) u = λ a + a² + + µ a a² + Avec u = et u = a, o obtiet (avec a² + ) : λ + µ = λ ( a + a² + ) + µ ( a a² + ) = a λ + µ = λ µ = λ = µ =

7 MPSI 7 Aisi, O a doc N : a R et N : ( ) ( ) u = a + a² + + a a² + ( ) ( ) ( ) ( ) P (a) = a + a² + + a a² + = a² + a + a² + a = = E ( )( ) ( ) = + ( ) a² + a = a² + a = (a² + ) a = = = pair Fialemet : E P = (X + ) X = Exercice II- a O a : P = X 4X + X = X (X + 4) 4X 4X + X = X (X + 4) 4X (X + 4) + 6X 4X + X = + + = (X 4X )(X 4) 4X 4X (X 4X )(X 4) 4X(X 4) 6X 4X = = (X 4X 4X)(X 4) 4(X 4) 56 6X (X 4X 4X 4)(X 4) 6X 57 Doc, la divisio euclidiee de P par Q est : 4 P = (X 4X 4X + 4)Q + 6X 57 b Comme deg P = < 3 = deg Q, la divisio euclidiee de P par Q est : P = Q + X + X c E procédat de la même faço que das la questio a, o obtiet : d A ouveau comme au a : P est divisible par Q e O sait que ( ) P = 4X (3 + 4i)X + 7i Q + 8 6i P = (X + X + )Q 3 X (X )(X X X X ) = doc : 3 P (X X X X )Q = Exercice II- O a : 4 3 P = X X + a = (X + ax + a )Q + (a a )X a + a + Alors Q divise P si et seulemet le reste de la divisio euclidiee est ul, soit ecore 3 a a = a a = 3 (a a )X a + a + =, ou

8 MPSI 8 ± 5 La deuxième coditio (qui est ue équatio du secod degré) doe a = et o a : 3 3 a a = a a a a = a a = a (car a ) a a = Doc 3 a a = a a = et aisi : Q divise P ± 5 a = Exercice II-3 Appelos q est le quotiet de la divisio euclidiee de m par m Remarquos déjà que si m <, soit deg X < deg ( X ), o a r = m et le reste de la divisio euclidiee de m X par X est X X m r = Supposos maiteat que m, alors q Posos P = X O a alors X = P +, doc : q q q X = X = X ( X ) = X ( P + ) = X P X P X P X P X = + = + = = = q r q Doc, si o pose Q = X P, o obtiet : q q q m q+ r r q r q r r r r r = m r X QP X r = + avec deg X = r < = deg P Cette écriture est la divisio euclidiee de Fialemet, o a toujours : m X par P X = et le reste est bie r X Le reste de la divisio euclidiee de m X par X est r X Exercice II-4 a Posos P = a X et ( ) ( ) = Q X = P X X, soit P( X ) = X + Q( X ) O a alors : i i P ( P( X )) = P( X + Q( X )) = a ( X + Q( X )) = a X Q( X ) i = = i= i i i i = a X + X Q( X ) a X a Q( X ) X Q( X ) i = + i = i= = = i= i = P( X ) + Q( X ) a X Q( X ) i = i= i et comme P P( X ) P( X ), soit : = i = i= i i Doc, P ( P( X )) P( X ) Q( X ) a X Q( X ) coclut que Q divise ( ) i i a X Q( X ) [ X ] i K, o e = i= P( X ) X divise P( P( X )) P( X )

9 MPSI 9 O peut écrire P ( P( X )) X = P( P( X )) P( X ) + [ P( X ) X ] Comme P( X ) (et se divise lui-même), o a immédiatemet : P( X ) X divise P ( P( X )) X X divise P( P( X )) P( X ) b Prouvos la propriété par récurrece sur Pour =, o a P * N = P et P( X ) X divise P( X ) X! Doc, la propriété est vraie au rag O suppose la propriété vraie à u rag O veut prouver que P( X ) D après l hypothèse de récurrece, o a : Or, P( X ) X divise P( P( X )) P( X ) * N Il existe doc R [ X ] ( ) P( X ) X = P( X ) X R( X ) X divise P + ( X ) X = P ( P( X )) X K tel que : ( ( )) ( ) = ( ( )) ( ) ( ( )) P P X P X P P X P X R P X, doc P( P( X )) P( X ) R ( P( X )) P( X ) Comme plus haut, o obtiet immédiatemet : P( X ) La propriété est doc vraie au rag + Aisi : X divise P ( P( X )) P( X ) X divise P ( P( X )) X = P ( P( X )) P( X ) + [ P( X ) X ] Fialemet, la propriété est iitialisée et héréditaire doc vraie pour tout P( X ) X divise P ( X ) X * N, soit : Exercice III- θ R et N tel que, posos P = si θx si( θ ) X + si[( ) θ ] Les racies de Or : Doc i e θ Doc, das X cos θ X + sot i e θ et i e θ iθ iθ iθ P(e ) = si θe si( θ ) e + si[( ) θ] ( ) ( ) = si θ cos( θ ) + i si( θ) si( θ) cos θ + i si θ + si( θ θ) = si θ cos( θ ) + i si θ si( θ) cos θ si( θ) i si θ si( θ ) + si( θ θ) = si( θ θ ) + si( θ θ ) = est racie de P Comme P est à coefficiets réels, Comme P R [X] et C [X], P se factorise par e iθ iθ iθ X cos X (X e )(X e ) iθ = e est aussi racie de P θ + = doc Q C [X] tel que : P = (X cos θ X + )Q X cos θ X + est u facteur de P irréductible das [X] P est divisible par X cos θ X + das C [X] et R, alors Q R[X] et aisi : R [X]

10 MPSI Exercice III- Il est clair que P() = ( + ) + ( + ) = doc est bie racie de P + O a P ' = X ( + )X + X = ( + )X ( X ( + )X + ) doc la multiplicité de das P' est la + même que das R = X ( + )X + Or, o a R ' = ( + )(X ) et R " = ( + )X doc R '() = et R "() Aisi, la multiplicité de das R, doc das P' est et fialemet : Si =, Q = La multiplicité de das P est 3 Si, deg Q = 4 et Q' = X X + ( + )X + (² )X ( ) + das Q' est la même que das L = X ( + )X + (² )X ( ) doc la multiplicité de Or, L ' = ( + )(X X + ), L" = ( + )(X ) et L" = ( + )( )X doc L '() = L"() = et L '''() Aisi, la multiplicité de das L, doc Q' est et fialemet : Si =, Q = et, la multiplicité de das Q est 3 Des résultats précédets, o déduit immédiatemet que : Si =, PQ = et, la multiplicité de das PQ est 6 D après ce qui précède, o peut aussi coclure que la multiplicité de das P + Q est au mois De plus, P + Q = X + X ( + )²X + (² + )X ² X doc la multiplicité de das P + Q est + + la même que das M = X + X ( + )²X + (² + )X ² Or, M ''' = ( + ) ( + )X + ( )X, doc M '''() et la multiplicité de das M doc P + Q est au mois 3 Aisi : La multiplicité de das P + Q est 3 Exercice III-3 Pour tout,, ω et ω = ω ω = ω Alors : Aisi : P = ( X )( ωx )( ω X ) = ( ω X ) = ( ω ) X = = ω = = ( ω ) ( X ) X ( ) ( X = ω ) ( X ω ) = = ω = = ( ) ω ω = ( ) = ( ) π ( X ) ( X ) e ( X ) ( X ω ) ( ) i = ω = = ( X ) ( X ) ( ) ( ) ( ) = P = X

11 MPSI Exercice III-4 Soit P u évetuel polyôme de degré 5 tel que P( X ) + soit divisible par divisible par 3 ( X ) Alors, comme la dérivée de P( X ) + et P( X ) est P ' : 3 ( X + ) P( X ) + est racie triple de P + est racie double de P ' 3 ( X ) P( X ) est racie triple de P est racie double de P ' Aisi, ( X + ) et ( X ) diviset P ', qui est de degré 4 (car deg P = 5 ), doc est u scalaire o ul Alors : 3 ( X + ) et P( X ) soit ( X ) P ' + ( X ) P ' P ' a( X ) ( X ) = + où a P ' = a( X + ) ( X ) = a( X 4) = a( X 8X + 6) P = a X X + 6X + b 5 3 Efi, et sot racies de P et P + respectivemet, soit P() = P( ) + =, ce qui doe : Fialemet : a 6 b = a + b = a = a ( ) ( ) + 6 ( ) + b + = a b = b = = + 6 = P X X X X X X Réciproquemet, o vérifie facilemet (! ) que ce polyôme est solutio et aisi : La seule solutio est = P X X X Exercice III-5 Remarquos que est pas racie de P O a : Doc, si a C est ue racie de P, o a a = et : Aisi, P et 3 X X X X P ' = + X = P! 3! ( )!! a a P '( a) = P( a)! =! P ' e s aulet jamais simultaémet, doc : 3 X X X P = + X a que des racies simples das C! 3!! Exercice III-6 Comme a, b et c sot les racies de 3 P = X + px + qx + r, o a a + b + c = p, ab + bc + ca = q et abc = r Posos α = a + b, β = b + c et γ = c + a Alors, a, b et c sot les racies de : = ( α + β + γ ) + ( αβ + βγ + γα) αβγ 3 Q X X X Nous allos doc exprimer α + β + γ, αβ + βγ + γα et αβγ e foctio de p, q et r uiquemet

12 MPSI O a : Doc : α + β + γ = a + b + b + c + c + a = ( a + b + c) = p αβ + βγ + γα = ( a + b)( b + c) + ( b + c)( c + a) + ( c + a)( a + b) = ab b ac bc bc ba c ca ca cb a ab = 3( ab + bc + ca) + a + b + c = ( ab bc ca) ( a b c) ( ab bc ca) = p + αβγ = ( a + b)( b + c)( c + a) q = abc a b ac a c b c ab bc abc = ab( a + b) + bc( b + c) + ac( a + c) + abc = ab( p c) + bc( p a) + ac( p b) + abc = p( ab + bc + ac) abc = r pq a + b, b + c et c + a sot les racies de 3 Q X px ( p q) X r pq = Exercice III Posos P = X 4 X + ( λ ) X + X P admet ue racie au mois double, doc il existe u scalaire a tel que P( a) = P '( a) =, soit : 4 + ( λ ) + = 4 + ( λ ) + = + λ + = + λ + = a a a a a a a a 3 3 4a a ( ) a a 6 a ( ) a Remarquos que P () =, doc a et le système ci-dessus équivaut alors à : ( a )( a ) a 4 a + ( λ ) a + a = a a a + = λ = a + 6a a 6 a + ( λ ) a + a = a 6 a + ( λ ) a + = O obtiet alors quatre solutios pour a, qui sot a = ou ou j ou j = 7 Pour a =, o a λ = et : P = X 4X + X + X = ( X ) X = ( X ) X X + Pour a =, o a λ = 3 et : ( ) ( ) ( ) ( )( ) 4 3 P X X X X X X X X X X = = = Pour a = j, o a λ = 3 j( j) et : ( ) ( ) ( ( ) ) 3/4 / 3/4 / ( ) ( 3 i π iπ X j X j e )( X j 3 e ) P = X X + j j X + X = X j X + j X j = a

13 MPSI 3 Pour Fialemet : a = j = j, o a λ = 3 j( j ) = 3 j( j) et : ( ) ( ) ( ( ) ) 3/4 / 3/4 / ( ) ( 3 i π iπ X j X j e )( X j 3 e ) P = X X + j j X + X = X j X + j X j = Les solutios sot : 3, et avec λ = ;, + 3 et 3 avec λ = ; 3/4 iπ/ 3/4 iπ/ j, j + 3 e et j 3 e avec λ = 3 j( j) ; 3/4 iπ/ 3/4 iπ/ j, j + 3 e et j 3 e avec λ = 3 j ( j ) Exercice III-8 a O a yz + xz + xy + + = doc le système équivaut à : x y z xyz x + y + z = yz + xz + xy = 4 xyz = 4 O retrouve les foctios symétriques des racies d u polyôme de degré 3 doc les solutios du système sot 3 les triplets de racies de P = X X 4X + 4 Or : 3 P = X X 4X + 4 = X (X ) 4(X ) = (X 4)(X ) = (X )(X + )(X ) Doc les racies de P sot, et et les solutios du système sot les six triplets : (,, ), (,, ), (,,), (,,,), (,,), (,, ) b E posat a = x + y + z, b = xy + yz + zx et c = xyz, x, y et z sot les racies de Alors : x + y + z = x + y + z xy + yz + zx ( ) ( ) = a b 3 r ar br c + + = ( + + )( + + ) ( ) x y z x y z x y z x y x z y x y z z x z y = a a b xy x + y yz y + z zx x + z ( ) ( ) ( ) ( ) = a a b xy a z yz a x zx a y ( ) ( ) ( ) ( ) = + a( a b) ab 3c x + y + z = 4 x + y + z = x + y + z = 4 a = 4 a b = 4 a a b ab c Les trois ombres x, y et z recherchés sot doc les racies de ( ) + 3 = 4 3 r r r a = 4 b = 6 c = = + =, et :

14 MPSI 4 O remarque que est solutio ( = =, doc : 3 r r r r r r r r i r i = ( )( + ) = ( )( )( + ) Doc, les racies de Aisi : 3 r r r = sot, i et + i Les solutios sot (, i,+ i), (, + i, i), ( i,,+ i), ( + i,, i), ( i, + i, ) et ( i, i, ) + Exercice III-9 Si =, Q = et Q( ω ) = O suppose das la suite que = Posos P X X X X X X = = ( ), doc : Alors : Soit, avec P ' + X P X X X X X X X X ( ) = ( )( ) = ( ) = X P + P = + X X P = X + X X P ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) + = Q et ( X ) P = X X : Alors, pour tout X Q = + X + X X + X + X = X + X ( ) ( ) ( ) ( ), ( doc ), o a : ω Q ω = ω + ω + + ( ) ( ) ( ) ( )( ) Or, les ω sot les racies ièmes de l uité doc ( ) ω = et : ω Q ω = ω + + = ω ( ) ( ) ( ) ( ) Or, pour,, o a ω, d où : Q( ω ) = ω ( + ) De plus, ω = doc Q( ω ) = = et aisi : Efi, les ( ) ( ) ( ) Q( ω ) = Q( ω) Q( ω ) = = = = = = ω ω ω = = ω sot les racies de X, doc les ω sot les racies de : ( X + ) = X X X = = =, Comme ω =, les ω pour sot les racies de = ( ) et doc = Alors, ( ω ) ( + ) Q( ω ) =, soit : = ( ) = Q( ω ) = ( ) ( + ) X ( ) ( ) =, dot le terme costat est