Knekningsberegning ved bruk av differensialligning

Transkript

1 MK 4530 Knekningsberegning e bruk a ifferensiaigning Kritisk ast for søyer s og rammer ksemper på søyeknekning Differensiaigning for en bjeke me aksiakraft men uten uten terrast: x + I I ( + M Qx) For > 0 (trykk) har enne øsningen: hor ( x) C sin kx + C k I cos kx + ( + M Qx) Vi ser på 3 tifeer:

2 MK 4530 Søye 0, M 0, Q 0 Likeekt a e horisontae kreftene gir Q 0 Disse betingesene gir ( x) C sin kx + C cos kx Ranbetingeser: (0) C 0 ( ) C sin k 0 Da er enten (x) 0 eer sin k 0 s. og k n, n,,3,... k Den aeste knekkasten får i for n : - kaes ofte for uerasten. I n I I kr Tihørene knekkform er sinushabøge: ( x) C x sin

3 MK 4530 Søye Ve innspenningen er 0, M, Q 0 er terrforskyningen i toppen. Vi har nå: ( x) C sin kx + C cos kx + ( ) Nå er et 3 konstanter så i må benytte 3 ranbetingeser: (0) C (0) C ( ) C + 0 C k 0 C 0 sin k + C cos k + Den siste gir ( cos k) s. 0 eer cos k 0 Denne betingesen er oppfyt for k + n, n,,3,... Den aeste knekkasten får i for n 0: I I kr k I 4 () Tihørene knekkform er sinuskartbøge: ( x) C x sin 4 3

4 MK 4530 Søye 3 Skjærkraften er ikke ik nu men Dessuten er 0 sik at Ranbetingeese er: M Q Q ( x) C sin kx + C cos kx + Q ( x) Ck cos kx Ck sin kx (0) C ( ) C + (0) C k Q 0 Q Ck sin k + C C Q + C 0 cos k C ( x) C kc (sin k k cos k) 0 Ikke-triie øsning kreer sin k k cos k 0 s. tan k k Dette er en transcenent igning som ikke kan øses anaytisk. 4

5 MK 4530 Løses e å finne skjæringspunktet grafisk (eer e å bruke numerisk iterasjon): k kr 0.9I I.045 I (0.699) 5

6 MK 4530 Oersikt oer e anigste tifeene for søyer: Her ises også knekkengen k engen meom to infeksjonspunkter (tisarer en ha sinusbøge) Knekkengen efineres som: hor k kr I Den kritiske asten kan uttrykkes som: kr k I k 6

7 MK 4530 raktisk kapasitetskontro a trykkstaer Forenkee reger i forskrifter Terrsnittsareaets momentarm (treghetsraius): I i eer I i hor terrsnittsareaet og I tersnittets karatiske areamoment Sankhet: λ k i Knekkengen uttrykkes ofte som k β hor β er en faktor ahengig a ranbetingesene. Kritisk spenning spenning som tisarer kritisk ast, forutsatt at aksiakraften er jent foret oer terrsnittet (sentrisk kraft): kr I i kr k k λ Dette gir uer-hyberbeen når kr er pottet mot λ: 7

8 MK 4530 Kuren representerer en kritiske spenningen for inee sentrisk trykk på en søye me ieet eastisk materiae. For et ieet eastisk-pastisk materiae kan spenningen nå fytegrensen F før staen knekker. Da er F en øre grense for kr. ik fra e ieaiserte forutsetningene (formfei o.) kan også reusere kr. 8

9 MK 4530 Søye me formfei (ikke i boken) Fritt oppagt søye me initie form Differentiaigning for perfekt søye: x Men nå må i erstatte + I I sik at ifferentiaigningen er enret ti x 0 ( ( + M Qx) x x) a sin M I me M I ( ) 0 x x I I ( ) + ( + M Qx) 0 Som for søye er 0, M 0, Q 0 Dette gir x + I a x sin Homogenøsningen er n partikuær øsning er hor C 3 + k Totaøsningen er erme x) Ranbetingeser: h a ( x) + ( x) C ( x) C sin kx + C 9 x) C p ( 3 s. sin kx + C og sin C 3 x cos kx a cos kx + C ( h p 3 sin + k x ( 0) C 0 ( ) C sin k 0 a

10 MK 4530 Vi begrenser interessen ti oppførseen mens 0 < < sik at Da er og sin k 0 C 0 ( x) p ( x) Den initiee formen er uner aksiakraften forstørret me faktoren x a sin Fra nå a skrier i og Normaspenningen i søyen består a to komponenter: Fra aksiakraften Bøyespenning fra momentet a My y y b I i i Her er y-koorinaten en for et punktet i terrsnittet hor spenningen beregnes (måt i forho ti areasenteret) Den største trykkspenningen gis e å kombinere a og b på et punktet hor båe og y er størst, s. hor a a ( / ) og y c hor c er y-koorinaten for et ytterste punktet i terrsnittet på en konkae sien a søyen. η ac Da er b max hor η i 0

11 MK 4530 Materiaet begynner å fyte når en kombinerte spenningen er ik fytespenningen: η F a + b max + Dette gir en karatisk igning: som har øsning [ + ( + η ) ] + 0 F 4 Vi tar kun minus-fortegn sien i er interessert i en minste roten. Denne igningen er kat for errys forme. arameteren η iser formfeiens ampitye i forho ti terrsnittet. Robertson fant ut at han fikk go oerenstemmese me måte aster e koaps a en e ståsøyer e å sette inn [ F + ( + η) ] [ F + ( + η) ] F η λ F i enne formeen. Dierse anre empiriske forho er bitt etabert i senere ti som passer ti enkete typer eer grupper a profier. kr F λ

12 MK 4530 Reusert sankhet (brukt f.eks. i NS 347 for ståkonstruksjoner): hor λ F beregnes a λ λ λ λ F F F F λf λ F Dette fører ti kr F λ Nå kan knekkuren tegnes uahengig a fytegrensen og - mouen. Knekkurer fra NS 347 Disse er reusert i forho ti en ieee kuren for å ta hensyn ti aik som formfei, egenspenninger, os. Disse er gitt for forskeige terrsnittsformer. Utgae omtat i boken Nåærene utgae (00)

13 MK 4530 NS 347 Ståkonstruksjoner. Beregning og imensjonering Behaner sammensatte knekningstifeer som kombinasjon a enkettifeer e bruk a interaksjonsformer a formen hor B i er en beregningsmessig påkjenning og C i er tisarene kapasitet nåt B i irker aene. Ve kombinert moment og aksiakraft forstørres momentpåkjenning beregnet etter ineær teori me en faktor hor kr beregnes etter angitte reger. i B C i i kr 3

14 MK 4530 NS 3473 rosjektering a betongkonstruksjoner Sanke trykkstaer kontroeres for astirkninger bergnet etter. orens teori og me ikkeineære materiaegenskaper for betong og armering. Oftest brukes forenkee beregningsmetoer er bjekene imensjoneres her for seg. Snittkreftene beregenes i første omgang etter. orens teori, og forstørring me faktor som oenfor gir imensjonerene astirkning. Tiegg T5.5 ti NS 3473 (nå erstattet a Tiegg.): Dimensjonerene moment settes ike momentkapasiteten M hor og M γ er aksiakraft og moment beregnet etter. orens teori. Da er M M e er et såkate tieggsmomentet: M γ M + M M uttrykkes e maksimat tiatt krumning og kr e en knekkenge I M Iκ kr M γ + M M γ kr og kr M e k e kr M Derme bir M e k k κ κ 0 4

15 MK 4530 Southwes metoe for estimering a eastisk kritisk ast fra en test på en søye (ikke i boken) x Søye me formfei: 0 ( x) a sin Forskyninger uner aksiakraft : ( x) Forskyning e mitpunktet måt fra initie tistan: a δ ( / ) 0 ( / ) a a a Dette gir δ ( ) a eer x a sin His δ/ pottes mot δ er resutatet an rett inje me stigning /. δ ( δ + a) I praksis kan ette brukes for en hiken som hest konstruksjon hor en initiee feiformen igner noe på knekkformen, så enge en måte forskyningen er representati for enne formen. Kuren er a en tinærming ti en rett inje me stigning / kr og tinærmingen bir bere som økes mot en kritiske asten kr. 3 δ/.5 (mm/mn) Inerse sope.5 MN Measurements Linear fit δ (mm)