HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning Emnekode(r): LGU51005 og 4MX15-10E1 A Emnenavn: Matematikk 1 (5-10), emne 1 Studiepoeng: 15 Eksamensdato: 12. desember 2014 Varighet/Timer: 6 Målform: Kontaktperson/faglærer: (navn og telefonnr på eksamensdagen) Oppgavesettet består av: (antall oppgaver og antall sider inkl. forside) Bokmål Øyvind Andersen Lundeby, Tlf.: oppgaver, 6 sider Vedlegg består av: (antall sider) Hjelpemidler: Ett A4-ark med egne notater med mulighet for å skrive på begge sider av arket, Kunnskapsløftet (LK06) og skrivesaker (herunder passer og linjal) Evnt. info: Oppgavene teller i utgangspunktet likt, men karakteren vil bygge på en helhetsvurdering. Alle oppgavene skal besvares og alle svar skal begrunnes. NB! Oppgaveteksten kan beholdes av studenter som sitter eksamenstiden ut. Resultatet blir gjort tilgjengelig fortløpende på studweb. når sensur er innlevert av sensor, senest første virkedag etter sensurfristen (15 virkedager etter eksamensdato). Lykke til!

2 Oppgave 1 a) Regn ut på tre ulike måter. Vis resonnementet ditt for hver av dem ved å bruke en regnefortelling/modell. b) Emma påstår at blir det samme som Hvordan kan du vise til Emma at hun tar feil uten at du regner ut begge stykkene og sammenlikner svarene? c) Hvordan kan du regne ut ved å ta utgangspunkt i 10 30? Begrunn alle steg i din utregning. a) Regn ut på tre ulike måter. Vis resonnementet ditt for hver av dem ved å bruke en regnefortelling/modell. Vi kan bruke distributiv lov:. Dette kan vi vise ved å bruke poser med klinkekuler. kan bety poser med 26 klinkekuler i hver. Hvis vi tar ut klinkekuler av hver pose og putter disse i fjorten små poser (med i hver), så sitter vi igjen med poser med 20 klinkekuler i hver og poser med klinkekuler i hver pose. Det totale antall klinkekuler har selvfølgelig ikke endret seg. Da kan vi finnet antallet kuler i de store posene og de små posene hver for seg og addere dette for å finne svaret på det opprinnelige multiplikasjonsstykket, se utregningen over. En tegning for å illustrere dette bør være med. regnes ut ved å ta, og så tidoble blir det 280 og trengs videre utregning: (eventuelt kan forskjellige strategier som dobling/ halvering, deling, gangning med ti kobles). (. I oppgaven skal like grupper-modellen bli brukt for å løse multiplikasjonsstykket, og ikke bare være en tegning av situasjonen. Vi kan bruke også at kan tenkes som antall ruter i rutenettet med rader og kolonner. Vi kan dele og og det blir: 2

3 Regning ut gir oss En annen strategi kan være å bruke det at er nær, og 50 er doblet av 25, 100 er firedoblet av 25, og 50 og 100 er et snilt tall å regne med. Først dele etter det vi bruke vi gjentatt addisjon : Her kan vi knytte regnefortelling: det var 14 elever som skal reise til museum vising som del av deres studie. De må betale for buss og først betalte de 25 kr. Da blir pengen fra de fire kr og fra andre fire kr, og igjen fra andre fire kr. Også fra de to siste eler blir 50kr. Ennå er pengen bare 350kr. Men buss sjåføren spurte for mer 14 kr. Da betalte de hver 1kr. Totalt blir risingen 364kr. Eventuelt, standard algoritmen kan være en løsning. Men det må bli forklaring knyttet med det. b) Emma påstår at blir det samme som. Hvordan kan du vise til Emma at hun tar feil uten at du regner ut begge stykkene og sammenlikner svarene? For å vise det uten å regne det ut, bør man ha en regnehistorie/tegning som viser tydelig at det ikke blir det samme. En regnehistorie som man kan ta utgangspunkt i her er, for eksempel, hvis man tenker seg 14 poser med 26 klinkekuler i hver pose (da blir det klinkekuler totalt). Hvis man nå ønsker å ordne klinkekulene i 10 poser med 30 klinkekuler i hver (noe som svarer til klinkekuler), så kan man starte med å pakke opp fra de fire poser og ta ut de 4 26 klinkekulene. Da er det 26 klinkekuler i hver av de 10 posene som er igjen, og i tillegg har vi 4 26= klinkekuler i hånda. Vi kan legge fire klinkekuler til i hver av de 10 posene, vi fyller inn slik at det blir 30 i hver pose. Når vi er ferdig med det har vi 10 poser med 30 klinkekuler i hver (totalt 10 30), men vi har også =64 klinkekuler i tillegg! Det betyr at ikke er det samme som (Vi har egentlig vist at er 64 mer enn 10 30). (en tegning som illustrerer dette bør være med) c) Hvordan kan du regne ut ved å ta utgangspunkt i? Begrunn alle steg i din utregning. Vi tar utgangspunkt i den distributive egenskapen og deler opp tallet 26 som = 14 (30-4) = Videre del vi opp 14= og regnestykket blir: = 14 (30-4) = = ( ) = = = 364. Ved tabellmodell: 3

4 Vi ser at er store en Som vi ser på tegningen er gull og oransje området sammen er store enn gull og grønt sammen. 4

5 Oppgave 2 Lag en regnefortelling der du bruker tallene ¾ og ½ i forbindelse med multiplikasjon. a) Løs så denne oppgaven på to forskjellige måter der du gjør rede for dine løsningsstrategier. b) Representer løsningsstrategiene dine med en tegning/figur eller annen illustrasjon. c) Forklar begrepene målingsdivisjon og delingsdivisjon. d) Ta gjerne utgangspunkt i tallene og fortellingene du har laget, men det skal nå dreie seg om divisjon. Benytt blant annet tallene ¾ og ½ til å forklare hva som menes med begrepene måling- og delingsdivisjon. e) En regnefortelling der disse brøkene inngår i forbindelse med multiplikasjon åpner også for å benytte tall i tillegg til ¾ og ½. Man kan tenke seg en fortelling som går ut på å finne en andel av en hel sjokoladeplate, f eks halvparten av en sjokoladeplate der en firedel allerede er spist. I en fortelling kan det også inngå å beregne arealet av en figur som har disse målene i meter. To ulike måter å løse en slik oppgave på kan godt ta utgangspunkt i den aktuelle regnefortellingen der tallforholdene som inngår blir representert gjennom en figur/illustrasjon eller annen modell. En strategi kan være dobling og halvering, at det kommer fram at ¾ ½ må være det samme som 3/8 1 ved f eks å dele opp arealet av et rektangel. f) Denne oppgaven kan godt inngå i a) i den grad man benytter illustrasjoner for å gjøre rede for løsningsstrategier. Relevante illustrasjoner kan være en arealmodell, hundrekart eller tallinje, men også mer konkrete representasjoner som f eks kart over en en hinderløype, melkekartonger osv. g) Dette kan forklares med ord på flere måter, men bør støttes av et eksempel og illustrasjon. Det må komme frem at det å finne «hvor mange grupper» eller «hvor mange det er i hver gruppe» ikke er det samme. h) Det samme som oppgave c), men med brøk. 5

6 Oppgave 3 Arne og Bjarne er i butikken og Arne skal benytte seg av romjulstilbud for pengene han fikk til jul. I butikken averteres det med 20% avslag på alle prisene. Følgende dialog finner sted: A: Jeg skal kjøpe meg ski og staver. Prislappen på skiene og stavene lyder på henholdsvis 2000,- kroner og 100,- kroner. Hvor mye må jeg da betale i kassen? B: Jeg pleier da å ta 10% av prisen på den ene og 10% på den andre, så legger jeg de sammen. Du må derfor betale 1 890,- kroner i kassen. A: Det kan jo ikke bli riktig Det var jo 20% avslag på prisene du har jo kun slått av 10%. B: Ja, men da kan man bare ta 10% av 1 890,- så får man rett beløp. Du må derfor betale 1701,- kroner i kassen a) Gi en tolkning av hvordan du mener Bjarne kan ha tenkt her. Hvordan vil du som lærer bruke denne tolkningen til å veilede Bjarne videre? A: Jeg tror du har regnet feil, tallet blir ikke rundt. Jeg pleier å regne sammen alle prisene så tar jeg avslaget på det tilslutt. 20% av 2100,- er 420,-. B: Ja da blir det 1680,- å betale i kassen. Jeg trodde at det ikke spilte noen rolle om man tok avslaget på hver av delene og så summerte opp eller om man summerte opp og så tok avslaget på summen. Liker uansett din regnemåte bedre, den er i allefall mer økonomisk! b) Gjør rede for hva du mener Bjarne tenker med sin siste ytring. a) Bjarne benytter seg av sammenhengen mellom og det å dele på 10. Regnemessig er dette enklere når man gjør det i hodet: og Dermed finner Bjarne ut at avslag på ski og staver blir: 6

7 Når Arne påpeker at dette kun er, korrigerer Bjarne beløpet ved å ta av det nye beløpet. Bjarne tenker multiplikativt der han burde tenkt additivt. Det Bjarne har gjort er: En måte man kunne veilede Bjarne på er å få Bjarne til å sammenlikne de to - ene. Dersom Bjarne vet at de skal være like store (nemlig 210,-), så burde han i alle fall se at han har tenkt feil. En annen måte kunne være å be Bjarne regne ut hva (eller ) avslag vil gi med hans regnemåte. b) Da Arne og Bjarne kommer frem til forskjellige svar tolker Bjarne det dithen at den distributive egenskapen ved multiplikasjon ikke gjelder for prosentregning. 7

8 Oppgave 4 Elevene i en klasse har lært om landet Kuwait i geografitimen, og nå ønsker matematikklæreren å bruke Kuwaits flagg til å snakke om brøk med barna. Læreren deler ut et diagram av flagget, og stiller følgende spørsmål: «Hvor stor brøkdel av flagget er sort?» Noen av elevene har følgende forslag til svar: Anna: Det er som er sort, fordi det er fire farger Per: Lise og jeg delte alt opp i trekanter, og da fant jeg at det er som er sort. Lise: Men jeg er ikke enig med Per, jeg tror det er. Ole: Det går jo ikke an å si det med en brøkdel, fordi bitene er forskjellige. Nils: Det er minus. Jon: 12 av 18 pluss seks, det blir Ida: a) Hvem har riktig svar? Hvordan tror du hvert av barna tenker? b) Hvordan vil du som lærer hjelpe denne gruppen av elever videre i forståelsen av brøk? 8

9 a) Gitt at vi tolker lærerens spørsmål som brøkdel av arealet, er det Lise og Ida som har rett svar. I denne oppgaven skal det gjøres en tolkning av hvert av barnas utsagn. Det kan være flere mulige tolkninger av utsagnene. Det som vektlegges i denne oppgaven er derfor at det gis en forklaring som er faglig begrunnet, og tydelig basert på elevens utsagn. Nedenfor er det kort oppsummert mulige tolkninger for hvert av barna: Anna: Denne eleven kan muligens ha tolket oppgaven annerledes enn de andre barna. Ut i fra Annas svar kan det være relevant å diskutere formuleringen «Hvor stor brøkdel av flagget er sort?». Er det urimelig av eleven å regne antall farger for å være enheten i brøken læreren etterspør? Her er det også godt mulig at Anna ikke forstår idéen om å finne andel av et areal, og dermed ikke ser at bitene må være like store. En annen tolkning av Annas svar er at hun ikke ser at arealene er forskjellige. Per: Per oppgir at han har delt arealet opp i trekanter. Det kan finnes flere måter å gjøre dette på. Ut i fra brøken han gir som svar, vil det være naturlig å anta at han enten har delt inn i 20 trekanter, muligens av forskjellig størrelse (ettersom svaret hans er feil). Eller han kan ha delt opp i 24 like trekanter, men ikke telt med de sorte i nevneren. Hvis vi tolker utsagnet til Per som at han har samarbeidet med Lise, kan det være naturlig å tenke at de har delt inn likt, men at Per har misforstått hva som skal være nevner i brøken. Lise: Lise har korrekt svar. En mulig måte å tolke fremgangsmåten er at hun (og Per) har delt inn ved hjelp av skrålinjene som allerede finnes i flagget. Et mulig oppsett kan være slik: Ole: Det er tydelig fra Oles utsagn at han ikke ser muligheten for å dele inn flagget i mindre biter, for så å finne brøkdelen. Nils: En mulig måte å tolke Nils utsagn på, er at han først har tenkt flagget inndelt i fire kolonner, der kun den ene inneholder sort farge: Deretter kan han ha resonnert at av denne kolonnen ikke er sort. Dette kan han ha gjort ved å se at den røde og grønne trekanten til sammen har samme størrelse som f.eks. det røde rektanglet i kolonne nr. 2, som tydelig ser ut til å utgjøre en tredel av denne kolonnen. Dermed kan Nils ha hatt en intensjon om å trekke av arealet i 9

10 kolonnen fra det totale arealet i kolonnen (som igjen er av det totale arealet). Nils kan dermed ha tenkt rett om arealene, men ser ikke nødvendigvis at regnestykket hans blir feil. Jon: Jon kan se ut til å ha brukt rutenettet, i tillegg til å ha tenkt flagget delt inn i fire kolonner. Hver kolonne har da 18 ruter (Jon kan ha funnet dette ved å telle på et ruteark, eller muligens ved 3 6). Jon ser ut til å utelate det sorte området fra nevneren. Han har resonnert seg frem til at det er 6 ruter i den venstre kolonnen som ikke er sorte. Dette kan han ha gjort på flere måter, f.eks. ved å se at de to trekantene kan settes sammen til et rektangel. Ida: Ida har korrekt svar. På grunn av tallene hun oppgir i brøken sin, kan det være naturlig å tolke at hun har brukt rutenettet. Hun kan enten ha telt ruter, eller brukt multiplikasjon. At det er 12 ruter som er sorte kan hun ha funnet på flere måter, f.eks. ved å først se at det sorte området er like stort som to rektangler (som i Nils oppgave), og så enten telle eller multiplisere for å finne areal. b) I denne oppgaven vektlegges det at det er tatt utgangspunkt i de problemene som kan tolkes ut i fra elevenes utsagn. Her burde det være en tydelig sammenheng med funnene i a). Det vil være relevant å vise til didaktiske grep som generelt er nyttig i matematikk og brøkregning (som f.eks. å bruke varierte eksempler, konkreter, klassediskusjoner). Det bør også være tydelig at forslagene tar tak i nettopp de misforståelsene som kan tolkes fra elevenes svar. Eksempler på oppgaver eller spørsmål vil være relevant å ta med. Evne til å se manglende begrepsforsåelse hos elevene, kunnskap om mulige didaktiske grep, samt kreativitet og egen refleksjon vektlegges. 10

11 Oppgave 5 a) Gitt to naturlige tall og, Forklar hva som menes med største felles divisor for og, og minste felles multiplum for og,? b) Finn primtallsfaktorene til de to tallene og. Finn også største felles divisor for tallene og,. Forkort følgende brøk mest mulig, og forklar hvordan du kom fram til svaret: c) Forklar hvordan minste felles multiplum for tall kan brukes i arbeid med addisjon og subtraksjon av brøk. Illustrer dette ved å beregne følgende sum: a) Gitt tall, da er en divisor for hvis det fins et helt tall slik at. Dette kan også skrives. En felles divisor for to tall og vil oppfylle. Den største felles divisor for to tall og, er det største tallet som går opp i både og. Det betyr at for alle felles divisorer for og så vil vi ha at oppfyller. Et multiplum av vil være alle tall på forma, der, Felles multiplum for to hele tall vil være alle tall som er multiplum av både. Minste felles multiplum er det minste positive tallet som er multiplum for både. La være et felles multiplum for både. Det betyr at. Videre har vi følgende sammenheng mellom største felles divisor og minste felles multiplum for to tall, b), Alternativ 1: Fra primtallsfaktorisering får vi Alternativ 2: Bruke Euklids metode for å finne sfd, 11

12 Dermed er Det betyr at tallet er det største tallet som går opp i både og. Dermed får vi og, der tallene og er relativt primiske, og vi får c) Skal regne ut Hvis vi kjenner så kan vi bestemme og slik at. Da vil Og vi får Videre vil. Eksempelet: Primtallsfaktorisering av og gir,. Dermed er Får videre for å bestemme og Dette gir 12

13 Oppgave 6 Du er matematikklærer for en sjetteklasse og skal forberede elevene på et møte med negative tall. Etter undervisningsperioden er målet at elevene skal kunne regne med negative hele tall (se utdrag fra læreplanen LK06). a) Hvilke utfordringer må du forberede deg på? Hvordan vil det påvirke planleggingen av din undervisning? b) Diskuter hvilke representasjoner du ønsker å benytte. Husk å begrunne valgene du tar. I beskrivelsen skal du også benytte Skemps begreper relasjonell og instrumentell forståelse. c) Når vi multipliserer to negative tall vil produktet være positivt. Vis mulige begrunnelser for det. a) Det kan være flere utfordringene knyttet til negative tall for elevene. Fra historien (se kapittel 4 Ypsiolon) vet vi at det tok flere hundre år for de fremste matematikerne å akseptere de negative tallene. De samme utfordringene kan en også forvente seg for elevene i dag. Etter å ha vært vant til naturlige tall og telling av observerbare enheter må elevene tre inn i en ny tenkemåte med en ny type tall. Mens vi kan knytte de naturlige til tellbare gjenstander og vise hva som skjer ved addisjon og subtraksjon, mangler vi denne muligheten for de negative tallene. Notasjonen, med samme tegn for operatoren subtraksjon og det negative fortegnet, kan også by på en utfordring. En konflikt kan også oppstå med resultatet av de aritmetiske operasjonene. For de naturlige tallene vil addisjon og multiplikasjon føre til større verdier, mens divisjon og subtraksjon fører til mindre verdier. Slik er det nødvendigvis ikke for de negative tallene. At denne overgangen er krevende må påvirke undervisningen. Både tid og valg av kritiske utfordringer må grundig vurderes. Rekkefølgen ved introduksjon av regneartene vil også være viktig b) Noen representasjoner som kan benyttes er: Tallinja Termometer Høyde over et nullnivå Kulerepresentasjon Gjeldsmetaforen For hver av disse kan fordeler og ulemper diskuteres (se kapittel 8 Ypsilon). Et hovedargument vil være hva elevene kjenner fra før. Skemps begreper instrumentellog relasjonell forståelse skal trekkes inn. For den relasjonelle forståelsen er det viktig at den knyttes til sammenhengen (relasjonen) mellom representasjonene. c) At multiplikasjon av to negative tall gir et positivt tall er utfordrende å forklare med alle metaforene. Grunnen til at det er en nødvendighet kan forklares Logisk: noe annet ville vært inkonsistent Ved aritmetisk progresjon Algebraisk: med utgangspunkt i definisjonen av et negativt tall 13

14 Kompetansemål etter 7. Årssteget Tal og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina finne samnemnar (bm.: fellesnevner) og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøkar utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga utforske og beskrive strukturar og forandringar i geometriske mønster og talmønster med figurar, ord og formlar stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal 14