MATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA studiepoeng

Transkript

1 Individuell skriftlig eksamen i MATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN Sensur faller innen BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs (se Timer: 4 Hjelpemidler: Kalkulator, ett A4-ark med egne notater, utdrag fra LK06 LÆREPLAN I MATEMATIKK (vedlegg) og utdelt artikkel (Gravemeijer & Doorman, 1999). Informasjon: Oppgavesettet er på 6 sider, inkludert vedlegg, og består av 2 oppgaver som begge skal besvares. Oppgavene vektes i utgangspunktet i følge prosentangivelse gitt i parentes etter oppgavenummeret, men ved endelig karaktersetting vil en helhetsvurdering av besvarelsen legges til grunn. Oppgave 1 (60 %) Data i denne oppgaven er hentet fra nettstedet til den amerikanske institusjonen U.S. Census Bureau, Tabell 1 nedenfor viser verdens befolkning i årene , angitt for hvert femte år. Den viser videre den årlige tilveksten av mennesker i de samme årene, samt den årlige prosentvise veksten. Merk at totalmengden er gitt i milliarder og tilveksten er gitt i millioner (1 milliard = 1000 millioner). Tabell 1 Årstall Totalt folketall (i milliarder) Årlig befolkningstilvekst (i millioner) Årlig prosentvis vekst ,558 37,291 1, ,782 53,181 1, ,043 40,971 1, ,350 70,230 2, ,712 77,603 2,090 1

2 a) Du skal, på grunnlag av dataene i Tabell 1, lage matematiske modeller som kan brukes til å estimere folketallet for årene etter Du skal lage to modeller: 1. En lineær funksjon, f (t) = at + b, der t = 0 er året En eksponentiell funksjon, g (t) = K (1+ p/100) t, der også t = 0 er året Gjør rede for hvordan du bruker dataene i Tabell 1 til å lage de to funksjonsuttrykkene. b) Bruk de to funksjonene til å lage estimat for folketallet i årene 2000, 2005, 2010, 2015, 2020 og Sett opp de estimerte folketallene i en tabell (en kolonne per funksjon). Sammenlign med de virkelige tallene for årene 2000, 2005 og 2010 som er gitt i Tabell 2 nedenfor. Tabell 2 Årstall Folketall (milliarder) , , ,864 Hvilken av de to modellene (funksjonene) synes du er best egnet til å forutsi folketallet framover i tid? Begrunn svaret. c) Gjør kort rede for syklusen som ligger til grunn for en modelleringsprosess der du eksemplifiserer trinnene i syklusen med det du har gjort i a) og b) ovenfor. U.S. Census Bureau har også laget seg en modell for å framskrive folketallet. På basis av den har de laget følgende framstilling (Figur 1) av hvordan de tror folketallet kommer til å utvikle seg fram mot Figur 1. Verdens befolkning

3 Grafen i Figur 1 viser altså det totale folketallet som funksjon av tiden. (Enheten billion på engelsk er det samme som milliard på norsk.) Grafen i Figur 2 viser tilveksten i folketallet (i millioner per år) som funksjon av tiden. Figur 2. Tilvekst i folketall d) Gjør rede for sammenhengen mellom grafene i Figur 1 og Figur 2. Her skal du bl.a. komme inn på begrepet endringsrate. Legg spesielt merke til at grafen i Figur 2 er tilnærmet horisontal i tidsrommet 2000 til Hvilken fasong vil da grafen i Figur 1 ha i det samme tidsrommet? US Census Bureau har også laget en modell for å forutsi den prosentvise endringen for hvert år fram til Resultatet av denne er vist i Figur 3. Figur 3. Prosentvis endring i folketall

4 e) Sammenlign grafen til den absolutte endringen (Figur 2) med grafen til den prosentvise endringen (Figur 3), og kommenter likheter og forskjeller. Legg spesielt merke til at den absolutte endringen er størst rundt 1990 mens den prosentvise er størst litt etter Forklar hvordan dette kan henge sammen. f) Gjør rede for hvordan dataene som er presentert i denne oppgaven (gjennom tabeller og grafer) kan danne grunnlaget for modelleringsaktiviteter på ungdomstrinnet som gir mulighet for både horisontal og vertikal matematisering. Oppgave 2 (40 %) Figur 4 illustrerer posisjonene til ei kule som triller nedover et skråplan (tiden t målt i sekunder; strekning målt i meter). Figur 4. Kule som triller nedover et skråplan a) Finn et matematisk uttrykk som representerer strekningen kula har trillet som funksjon av tiden som har gått etter at den ble sluppet. b) Ifølge Galilei (som sitert i Gravemeijer & Doorman, 1999) er forholdet mellom distansene som kula tilbakelegger i to like tidsintervaller 1:3 (denne formodningen gjelder kun når det første tidsintervallet starter ved tiden t = 0, og det andre tidsintervallet starter der det første slutter). Gi eksempler som viser at dette stemmer for Figur 4. c) Galilei påstår at forholdet mellom distansene som tilbakelegges i like tidsintervaller for ei kule som triller nedover et skråplan er bestemt av følgen av oddetall. Hvilken sammenheng er det mellom følgen av oddetall og det matematiske uttrykket du fant i del a? Bevis at den påståtte sammenhengen er riktig. d) Tenk deg at du skal ha undervisning på ungdomstrinnet der kunnskapsmålet for elevene er sammenhengen mellom strekning, tid og fart. Definer begrepet fart slik du vil bruke det i din undervisning. Gjør rede for viktige elementer i en undervisningssekvens som tar sikte på å la elevene lære begrepet momentan fart gjennom en RME-tilnærming (Realistic Mathematics Education). Forklar hvilke egenskaper det er ved undervisningen du planlegger som rettferdiggjør å kalle det for en RME-tilnærming. Vær konkret, og presenter (og begrunn) hvilke medierende redskaper og oppgaver/aktiviteter du vil la elevene jobbe med. Lykke til! 4

5 Vedlegg: Utdrag fra LK06 LÆREPLAN I MATEMATIKK Kompetansemål etter 10. årssteget Tal og algebra samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, og uttrykkje slike tal på varierte måtar rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar utvikle, bruke og gjere greie for metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane behandle og faktorisere enkle algebrauttrykk, og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren løyse likningar og ulikskapar av første grad og enkle likningssystem med to ukjende setje opp enkle budsjett og gjere berekningar omkring privatøkonomi bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design Geometri analysere, også digitalt, eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke dei i samband med konstruksjonar og berekningar utføre og grunngje geometriske konstruksjonar og avbildingar med passar og linjal og andre hjelpemiddel bruke formlikskap og Pytagoras setning i berekning av ukjende storleikar tolke og lage arbeidsteikningar og perspektivteikningar med fleire forsvinningspunkt ved å bruke ulike hjelpemiddel bruke koordinatar til å avbilde figurar og finne eigenskapar ved geometriske former utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear, og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur Måling gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum og tid, og bruke og endre målestokk velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling, og drøfte presisjon og måleusikkerheit gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum 5

6 Statistikk, sannsyn og kombinatorikk gjennomføre undersøkingar og bruke databasar til å søkje etter og analysere statistiske data og vise kjeldekritikk ordne og gruppere data, finne og drøfte median, typetal, gjennomsnitt og variasjonsbreidd, og presentere data med og utan digitale verktøy finne sannsyn gjennom eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spell beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal vise med døme og finne dei moglege løysingane på enkle kombinatoriske problem Funksjonar lage, på papiret og digitalt, funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekst identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og enkle kvadratiske funksjonar, og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane 6