MATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA studiepoeng

Transkript

1 Individuell skriftleg eksamen i MATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN Sensur fell innan NYNORSK Resultatet vert tilgjengeleg på studentweb første kvardag etter sensurfrist, dvs (sjå Timar: 4 Hjelpemiddel: Kalkulator, eitt A4-ark med eigne notatar, utdrag frå LK06 LÆREPLAN I MATEMATIKK (vedlegg) og utdelt artikkel (Gravemeijer & Doorman, 1999). Informasjon: Oppgåvesettet er på 6 sider, inkludert vedlegg, og inneheld 2 oppgåver som begge skal svarast på. Oppgåvene blir i utgangspunktet vekta slik prosenttalet i parentes etter oppgåvenummeret viser, men ved endeleg karaktersetting vil ei heilskapsvurdering av svaret bli lagt til grunn. Oppgåve 1 (60 %) Data i denne oppgåva er henta frå nettstaden til den amerikanske institusjonen U.S. Census Bureau, Tabell 1 nedanfor viser folketalet i verda i åra , oppgjeve for kvart femte år. Han viser vidare den årlege tilveksten av menneske i dei same åra, samt den årlege prosentvise veksten. Merk at totalmengden er gjeven i milliardar og tilveksten er gjeven i millionar (1 milliard = 1000 millionar). Tabell 1 Årstal Totalt folketal (i milliardar) Årleg tilvekst i folketal (i millionar) Årleg prosentvis vekst ,558 37,291 1, ,782 53,181 1, ,043 40,971 1, ,350 70,230 2, ,712 77,603 2,090 1

2 a) Du skal, på grunnlag av data i Tabell 1, lage matematiske modellar som kan brukast til å estimere folketalet for åra etter Du skal lage to modellar: 1. Ein lineær funksjon, f (t) = at + b, der t = 0 er året Ein eksponentiell funksjon, g (t) = K (1+ p/100) t, der også t = 0 er året Gjer greie for korleis du bruker data i Tabell 1 til å lage dei to funksjonsuttrykka. b) Bruk dei to funksjonane til å lage estimat for folketalet i åra 2000, 2005, 2010, 2015, 2020 og Set opp dei estimerte folketala i ein tabell (ein kolonne per funksjon). Samanlikn med dei verkelege tala for åra 2000, 2005 og 2010 som er gjevne i Tabell 2 nedanfor. Tabell 2 Årstal Folketal (milliardar) , , ,864 Kva for ein av dei to modellane (funksjonane) synest du er best eigna til å seie noko om folketalet framover i tid? Gje grunn for svaret. c) Gjer kort greie for syklusen som ligg til grunn for ein modelleringsprosess der du eksemplifiserer trinna i syklusen med det du har gjort i a) og b) ovanfor. U.S. Census Bureau har også laga seg ein modell for å framskrive folketalet. På basis av den har dei laga denne framstillinga (Figur 1) av korleis dei trur folketalet kjem til å utvikle seg fram mot Figur 1. Folketalet i verda

3 Grafen i Figur 1 viser altså det totale folketalet som funksjon av tida. (Eininga billion på engelsk er det same som milliard på norsk.) Grafen i Figur 2 viser tilveksten i folketalet (i millionar per år) som funksjon av tida. Figur 2. Tilvekst i folketal d) Gjer greie for samanhengen mellom grafane i Figur 1 og Figur 2. Her skal du m.a. kome inn på omgrepet endringsrate. Legg spesielt merke til at grafen i Figur 2 er tilnærma horisontal i tidsrommet 2000 til Kva for fasong vil da grafen i Figur 1 ha i det same tidsrommet? US Census Bureau har også laget en modell for å seie noko om den prosentvise endringa for kvart år fram til Resultatet av denne er vist i Figur 3. Figur 3. Prosentvis endring i folketal

4 e) Samanlikn grafen til den absolutte endringa (Figur 2) med grafen til den prosentvise endringa (Figur 3), og kommenter likskapar og skilnader. Legg spesielt merke til at den absolutte endringa er størst rundt 1990 medan den prosentvise er størst litt etter Forklar korleis dette kan henge saman. f) Gjer greie for korleis dei data som er presenterte i denne oppgåva (gjennom tabellar og grafar) kan danne grunnlaget for modelleringsaktivitetar på ungdomstrinnet som gjer det muleg å drive med både horisontal og vertikal matematisering. Oppgåve 2 (40 %) Figur 4 illustrerer posisjonane til ei kule som trillar nedover et skråplan (tida t målt i sekund; strekning målt i meter). Figur 4. Kule som trillar nedover et skråplan a) Finn eit matematisk uttrykk som representerer strekninga kula har trilla som funksjon av tida som har gått etter at ho vart slept. b) Ifølgje Galilei (som sitert i Gravemeijer & Doorman, 1999) er forholdet mellom distansane som kula tilbakelegg i to like tidsintervall 1:3 (denne hypotesen gjeld berre når det første tidsintervallet startar ved tida t = 0, og det andre tidsintervallet startar der det første sluttar). Gje døme som viser at dette stemmer for Figur 4. c) Galilei påstår at forholdet mellom distansane som blir tilbakelagde i like tidsintervall for ei kule som trillar nedover eit skråplan er bestemt av følgja av oddetal. Kva for samanheng er det mellom følgja av oddetal og det matematiske uttrykket du fann i del a? Bevis at den påståtte samanhengen er riktig. d) Tenk deg at du skal ha undervisning på ungdomstrinnet der kunnskapsmålet for elevane er samanhengen mellom strekning, tid og fart. Definer omgrepet fart slik du vil bruke det i di undervisning. Gjer greie for viktige element i ein undervisningssekvens som tek sikte på å la elevane lære omgrepet momentan fart gjennom ei RME-tilnærming (Realistic Mathematics Education). Forklar kva for eigenskapar det er ved undervisninga du planlegg som rettferdiggjer å kalle det for ei RME-tilnærming. Ver konkret, og presenter (og grunngje) kva for medierande reiskapar og oppgåver/aktiviteter du vil la elevane jobbe med. Lykke til! 4

5 Vedlegg: Utdrag frå LK06 LÆREPLAN I MATEMATIKK Kompetansemål etter 10. årssteget Tal og algebra samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, og uttrykkje slike tal på varierte måtar rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar utvikle, bruke og gjere greie for metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane behandle og faktorisere enkle algebrauttrykk, og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren løyse likningar og ulikskapar av første grad og enkle likningssystem med to ukjende setje opp enkle budsjett og gjere berekningar omkring privatøkonomi bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design Geometri analysere, også digitalt, eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke dei i samband med konstruksjonar og berekningar utføre og grunngje geometriske konstruksjonar og avbildingar med passar og linjal og andre hjelpemiddel bruke formlikskap og Pytagoras setning i berekning av ukjende storleikar tolke og lage arbeidsteikningar og perspektivteikningar med fleire forsvinningspunkt ved å bruke ulike hjelpemiddel bruke koordinatar til å avbilde figurar og finne eigenskapar ved geometriske former utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear, og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur Måling gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum og tid, og bruke og endre målestokk velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling, og drøfte presisjon og måleusikkerheit gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum 5

6 Statistikk, sannsyn og kombinatorikk gjennomføre undersøkingar og bruke databasar til å søkje etter og analysere statistiske data og vise kjeldekritikk ordne og gruppere data, finne og drøfte median, typetal, gjennomsnitt og variasjonsbreidd, og presentere data med og utan digitale verktøy finne sannsyn gjennom eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spell beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal vise med døme og finne dei moglege løysingane på enkle kombinatoriske problem Funksjonar lage, på papiret og digitalt, funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekst identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og enkle kvadratiske funksjonar, og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane 6