Matematisk modellering og IKT, LMM54004

Transkript

1 Individuell skriftlig eksamen i Matematisk modellering og IKT, LMM studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN BOKMÅL Sensurfrist: Resultatet blir gjort tilgjengelig fortløpende på studentweb senest første virkedag etter sensurfrist. (se Timer: 6 Hjelpemidler: Kalkulator, ett A4-ark med egne notater, utdrag fra LK06 LÆREPLAN I MATEMATIKK (vedlegg 1) og utdelt artikkel (Kaput, 1992). Informasjon: Oppgavesettet er på 10 sider, inkludert vedlegg, og består av 3 oppgaver som alle skal besvares. Oppgavene vektes i utgangspunktet i følge prosentangivelse gitt i parentes etter oppgavenummeret, men ved endelig karaktersetting vil en helhetsvurdering av besvarelsen legges til grunn. Oppgave 1 (15 %) I en bakteriekultur er det 1200 bakterier ved tiden t = 0. Vekstraten i tidspunktet t = 0 er lik 200 bakterier per time. a) Finn en modell for bakterietallet som funksjon av tiden i timer når du legger til grunn at bakterietallet vokser ubegrenset. Kommenter modellen du fant. b) Hvor stor er veksten i antall bakterier per time ett døgn etter starten? Hvor mange bakterier er det i bakteriekulturen i dette tidspunktet? c) Hva er forskjellen på en differanselikning og en differensiallikning? Eksemplifiser. Oppgave 2 (50 %) Elever på 10. trinn jobber med oppgaven i ramma nedenfor. Målet med oppgaven er å gi elevene erfaringer med endringsrate som nedgang i puls per sekund. Intensjonen er at de skal kunne observere og uttrykke at nedgangen i puls per sekund er størst rett etter en fysisk aktivitet (når differansen mellom arbeidspuls og hvilepuls er stor) og avtar slik at den er liten 1

2 eller lik null på slutten av målingene (når differansen mellom arbeidspuls og hvilepuls er liten eller lik null). Oppgave (Modellering av puls etter løping) DEL 1 Arbeid sammen i par. Begge måler sin egen hvilepuls (antall hjerteslag i løpet av ett minutt). Skriv ned dette tallet. Deretter løper en av dere rundt skolen. Når han/hun kommer tilbake til klasserommet, skal den andre umiddelbart måle pulsen hans/hennes (bruk klokke eller mobiltelefon), etter at det har gått: 0 sek, 15 sek, 30 sek, 60 sek, 90 sek, 150 sek (mål i 15 sek og multipliser med fire for å få antall slag per minutt). Fyll inn i tabellen nedenfor. Deretter gjør dere det samme for den andre i paret etter at han/hun har løpt rundt skolen. DEL 2 Jobb først hver for dere, og diskuter deretter løsningene med den du samarbeidet med i DEL 1. (a) Lag en tabell av måledataene i GeoGebras regneark. Plott punktene i grafikkfeltet ved å velge: LAG LISTE MED PUNKT. Punktene vil få navnene A, B, C, D, E, F. (b) Hvor stor er nedgangen i puls per sekund i løpet av de første 15 sekundene? Beregn nedgangen i puls per sekund også for resten av intervallene i tabellen. Lag en tabell av disse verdiene (kall den Tabell 2). (c) Bruk GeoGebra til å tegne en rett linje gjennom punktene A og B og en rett linje gjennom punktene D og E. Se i algebrafeltet på likningene du får for de to linjene. Sammenlikn med verdiene i Tabell 2. Hva er sammenhengen mellom linjene og nedgangen i pulsen din? (d) Ta en utskrift av grafikkfeltet der du har plottet målingene dine (la x-aksen gå fra 0 til 240 sekunder). Tegn en sammenhengende graf (på utskriften) som representerer pulsen din i de første fire minuttene etter løping. Beskriv og forklar ut fra denne grafen hvordan pulsen din utvikler seg i dette tidsrommet. Dina og Ellen er elever som jobber sammen. Nedenfor ser du resultatene fra deres arbeid, og dialogen som utspiller seg mellom dem. 2

3 DINA Hvilepuls: 68. Tid etter løping Puls (sekund) Figur 1: Dinas puls Tid (sekund) Nedgang i puls Figur 2: Dinas Tabell 2 Figur 3. Dinas graf 3

4 Figur 4: Dinas rette linjer gjennom punktene A og B (linje d) og gjennom D og E (linje j). Likninger for linjene er hentet fra algebrafeltet ELLEN Hvilepuls: 78. Tid etter løping Puls (sekund) Figur 5: Ellens puls Tidsrom (sekund) Nedgang i puls per sekund Figur 6: Ellens Tabell 2 4

5 Figur 7. Ellens graf Figur 8: Ellens rette linjer gjennom punktene A og B (linje d) og gjennom D og E (linje i). Likninger for linjene er hentet fra algebrafeltet 5

6 Dialog mellom Dina og Ellen: 1 1. Ellen: Det er noe rart med en av målingene mine Ser du punktet D med puls på 88? Det passer liksom ikke inn. Det går oppover. 2. Dina: Nei, pulsen din synker jo hele tiden. Den går ikke oppover. 3. Ellen: Ja, men det hadde vært mer naturlig om pulsen hadde sunket jevnt nedover... Jeg satt jo bare stille mens du målte. Din puls ser mer ut som den går jevnt nedover. Det er sikkert bare en målefeil hos meg. Hvordan ser din tabell ut? Det vi skulle regne ut, om pulsnedgangen? 4. Dina: Forskjellene hos meg er 30, 22, 12, 4 og 4 (peker på Tabell 2, gjengitt i Figur 2). Så vi ser at nedgangen i puls er veldig stor i starten og så blir den mindre og mindre og til slutt stabiliserer den seg på 4 i de to siste 5. Ellen: Det var litt rart, for det ser ikke ut som det går like fort ned på den siste (peker på områdene mellom punktene D, E og F i Dinas grafikkfelt, gjengitt i Figur 4). Du ser at F er ikke på linja heller 6. Dina: Ehm skulle den det? 7. Ellen: Ja, hvis nedgangen var lik så skulle den det. 8. Dina: (Kontrollerer de to siste differansene i sin Tabell 2). Men nedgangen er lik. Jeg får fire på begge de siste. 9. Ellen: Jeg har fått mye mindre tall enn deg i min Tabell 2 (gjengitt i Figur 6). Jeg har ikke bare skrevet ned forskjellene, men jeg har delt dem på antall sekunder. (Pause i 4 sek.). 10. Dina: Hvorfor det? 11. Ellen: Fordi det står i oppgave (b): "Hvor stor er nedgangen i puls per sekund...?" i de sekundene. Så da kan du ikke bare si at det er samme nedgang i de to siste (tidsintervallene) når det skal være per sekund 12. Dina: Hvorfor ikke det? Hva er poenget? 13. Ellen: Det nest siste tidsrommet er på 30 sekund, og det siste er på 1 minutt, så da blir nedgangen per sekund i det siste minuttet... halvparten? 14. Dina: Hva? Hvordan ser du det? 15. Ellen: Fordi nedgangen var den samme (fire), men du skal dele på et dobbelt så stort tall. Det er logisk da, at hvis pulsen har gått ned med la oss si ti slag, så er det viktig å vite hvor lang tid den nedgangen tok. Dette sier noe mer konkret om nedgangen. 16. Dina: OK (dividerer tallene i sin Tabell 2 med lengden på intervallene). Da får jeg disse tallene (Figur 9 på neste side). Du hadde rett, det ble cirka halvparten (siste verdi i forhold til nest siste verdi). Så da passer det bedre med linja j (Dinas grafikkfelt, Figur 4). 1 Transkripsjonskoder: Kursivert tekst (Tekst i parentes) pause på opptil 3 sek uttalt med trykk forklaring av ytring, kommentar eller redegjørelse for handling 6

7 Tid (sekund) Nedgang i puls per sek Figur 9: Dinas reviderte Tabell Ellen: Ja. 18. Dina: Hvor langt er vi kommet nå da? I oppgave (c) står det: "Se i algebrafeltet på likningene du får for de to linjene. Sammenlikn med verdiene i Tabell 2. Hva er sammenhengen mellom linjene og nedgangen i pulsen din? " (siterer fra oppgaven). Det kan se ut som det 2-tallet jeg fikk da jeg delte den første nedgangen på sekundene, passer med den første likninga (smiler). Her er likninga 2x+ y = 140. Så kanskje det er sånn at tallene i tabellen er lik tallene foran x i likninga? 19. Ellen: (Ser på grafikkfeltet til Dina) Er det sånn med den andre linja også da (om linja gjennom D og E)? Der har du likninga 2x+ 15y = 1260, mens i tabellen er tallet Tallet foran x er lik stigningstallet. (Pause 6 sek). Da skulle 2 ha vært stigningstallet for begge linjene, men dette kan ikke stemme, for den røde (linja) er mye brattere enn den blå, og det stemmer jo med at nedgangen (i puls per sekund) er stor i begynnelsen og avtar etter hvert... Vi må prøve å finne en sammenheng mellom linjene og pulsnedgangen. Tallet foran x-en i mine likninger (referer til likningene i Figur 8) stemmer ikke med tallene i min Tabell 2 (gjengitt i Figur 6). Det er noe som ikke stemmer med disse likningene. Rart det da, ettersom det er GeoGebra som har funnet dem Vi må spørre Siri (læreren) om dette. (Ellen rekker opp hånda). 20. Dina: La oss se på oppgave (d). 21. Ellen: Siri skulle komme til oss når hun blir ledig. Oppgave (d)? 22. Dina: Vi skal tegne grafen som går gjennom punktene og så fortsette... ned mot null. 23. Ellen: Men da (avbrytes) 24. Dina: Nei, vent! Det kan den ikke. Da dør vi jo (begge ler). 25. Ellen: Den stabiliseres på hvilepulsen. Så grafen fortsetter vannrett bortover når vi har nådd hvilepuls. 26. Dina: Ja. (Begge tar utskrift for å tegne grafen) a) Analyser og drøft episoden med Dina og Ellens løsninger, og dialogen mellom dem, med tanke på matematisk innhold og potensial. Identifiser viktige momenter i elevenes arbeid og viktige ytringer som utgangspunkt for din analyse. Drøftingen skal relateres til ulike nivåer (situasjonsnivå, referensielt nivå, generelt nivå, og formelt nivå) knyttet til 7

8 begrepet oppståtte modeller innenfor det teoretiske rammeverket RME (Realistic Mathematics Education). b) Hvordan ville du som lærer ha brukt denne episoden til å jobbe videre med begrepet endringsrate? Beskriv en oppfølgingsoppgave du ville ha gitt til Dina og Ellen som et ledd i å lære mer om dette begrepet. Redegjør for hvilke nivåer i RME du har som mål at elevene skal operere innenfor, ved at de arbeider med oppgaven. Beskriv konkret hva det innebærer å operere på de aktuelle/valgte nivåene med den aktuelle oppgaven. c) Sett opp en differensiallikning med startbetingelser som representerer pulsutviklingen til Dina. Hvilket prinsipp bruker du for å sette opp differensiallikningen? Løs likningen og tegn grafen til funksjonen du får som løsning. Kommenter. d) Bruk funksjonen du fant i forrige oppgave til å beregne tidspunktet der Dinas pulsnedgang per sekund vil være lik 1. Hvor høy puls har hun i dette tidspunktet? Oppgave 3 (35 %) Med støtte i Kaput (1992) og andre artikler fra pensumlitteraturen skal du gi en oversikt over viktige aspekter ved utviklingen av digitale verktøy for læring av matematikk. Momenter du må ha med er: - Hvordan skiller vi på forskjellige typer digitale verktøy? - Hvordan har disse verktøyene endret seg etter at artikkelen ble skrevet? - Hvordan påvirker verktøyene hvilken matematikk som skal læres? - Hvordan kan verktøyene påvirke aktiviteten som har til hensikt å føre til læring av matematikk? Ta utgangspunkt i funksjonslære og gjør rede for hvordan digitale verktøy har innvirkning på læring av akkurat dette temaet. - Begreper som bør være med er linked representations, microworlds, tutor/tutee, læringsbaner og TPACK. Lykke til! 8

9 Vedlegg 1: Utdrag fra LK06 LÆREPLAN I MATEMATIKK Kompetansemål etter 10. årssteget Tal og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, og uttrykkje slike tal på varierte måtar rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar utvikle, bruke og gjere greie for metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane behandle og faktorisere enkle algebrauttrykk, og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren løyse likningar og ulikskapar av første grad og enkle likningssystem med to ukjende setje opp enkle budsjett og gjere berekningar omkring privatøkonomi bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne analysere, også digitalt, eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke dei i samband med konstruksjonar og berekningar utføre og grunngje geometriske konstruksjonar og avbildingar med passar og linjal og andre hjelpemiddel bruke formlikskap og Pytagoras setning i berekning av ukjende storleikar tolke og lage arbeidsteikningar og perspektivteikningar med fleire forsvinningspunkt ved å bruke ulike hjelpemiddel bruke koordinatar til å avbilde figurar og finne eigenskapar ved geometriske former utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear, og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur Måling Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum og tid, og bruke og endre målestokk velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling, og drøfte presisjon og måleusikkerheit gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum 9

10 Statistikk, sannsyn og kombinatorikk Mål for opplæringa er at eleven skal kunne gjennomføre undersøkingar og bruke databasar til å søkje etter og analysere statistiske data og vise kjeldekritikk ordne og gruppere data, finne og drøfte median, typetal, gjennomsnitt og variasjonsbreidd, og presentere data med og utan digitale verktøy finne sannsyn gjennom eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spell beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal vise med døme og finne dei moglege løysingane på enkle kombinatoriske problem Funksjonar Mål for opplæringa er at eleven skal kunne lage, på papiret og digitalt, funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekst identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og enkle kvadratiske funksjonar, og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane 10