HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Fakultet for lærer- og tolkeutdanning

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Fakultet for lærer- og tolkeutdanning Emnekode(r): LGU52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10), emne 2 Studiepoeng: 15 Eksamensdato: 4. desember 2015 Varighet/Timer: 6 timer Målform: Nynorsk Kontaktperson/faglærer: Tore Forbregd, Oppgavesettet består av: 5 oppgaver, 5 sider Vedlegg består av: 4 sider Hjelpemidler: Kalkulator som ikke kan kommunisere trådløst samt valgfri utgave av LK06. Evnt. info: Alle oppgavene skal besvares og svarene begrunnes. Den endelige karakteren vil bygge på en helhetsvurdering av besvarelsen. NB! Oppgåveteksten kan beholdes av studenter som sitter eksamenstiden ut. Resultatet blir gjort tilgjengelig fortløpende på studweb når sensur er innlevert av sensor, senest første virkedag etter sensurfristen (21 dager etter eksamensdato). Lykke til! Side 1 av 9

2 Oppgåve 1 Ved tida t = 0 blir ei kanonkule skoten vertikalt opp frå toppen av eit 45 meter høgt tårn. Utgångshastigheita til kula ved utskytingstidspunktet er 40 m/s. I denne oppgåva går vi ut i frå at luftmotstanden er neglisjerbar, med andre ord er det berre tyngdekrafta som påverkar kulas bane. Tyngdekrafta gjer at kula har konstant akselerasjon: a (t) = g. Grunnen til at fortegnet er negativt er at vi i denne oppgåva er positiv retning oppover. For enkeltheits skuld går vi ut frå at g er lik 10 m/s2. (a) Finn eit uttrykk for kulas fart v som ein funksjon av tida t. (b) Vis at kulas høgde over bakken kan s uttrykkast som funksjonen (c) s (t) = 5t t + 45 i. Finn tida t når kula er på sitt høgste. ii. Finn tida t når kula treff bakken under tårnet. (Gå ut i frå at kula ikkje treff tårnet på vegen ned). (d) Skisser grafen til s med omsyn på t frå og med utskytningstidspunkta t = 0 til og med tidspunktet kula treff bakken. Side 2 av 9

3 Oppgåve 2 Eit kar blir fylt med vatn. La V (t) vere vannvolumet i karet ved tida t, der volumet blir målt i liter og tida i timar. Vi går ut i frå at ikkje noko vatn forlet karet. (a) Vis at tilstrøymingshastigheita av vatnet ved tidspunkta deriverte V (t) av funksjonen V (t). t er gitt ved den (b) Finn funksjonsuttrykket for volumet V (t) dersom tilstrøymingshastigheita av vatnet v (t) er gitt ved v (t) = 0.2t t + 1 og volumet i karet på tidspunkta t = 0 er 1 liter. (c) Rekn ut 6 v (t)dt. 0 (d) Under ser du grafen til v (t). Gi ei fysisk tolking av kva arealet mellom grafen og t -aksen i tidsintervallet [0,6] representerer. Side 3 av 9

4 Oppgåve 3 Ein god fotballspelar sendar mange pasninger til medspelarane i løpet av ein fotballkamp. Nokre ganger sender han feilpasninger. La X vere talet på feilpasninger i løpet av ein kamp. Vi kan oppfatte X som ein stokastisk variabel med sannsynfordeling: x P( X =x) (a) Bestem og skisser fordelingsfunksjonen F (X) til X. (b) Rekn ut E ( X ) og Var ( X ). Gå ut i frå at høgda til mannlege europeiske fotballspelarar er normalfordelt, med forventning 178 cm og standardavvik 10 cm. (c) Finn sannsynet for at ein tilfeldig vald spelar ikkje er høgare enn 180 cm. (d) Finn sannsynet for at ein tilfeldig vald spelar er mellom 176 cm og 180 cm høg. Oppgåve 4 I eit bestemt orienteringsløp er det 15 postar i mennenes eliteklasse. Ein reknar med at sannsynet for at ein tilfeldig løpar bommar på ein tilfeldig post er lik 0.3 (vi kan tenkje oss at bom blir definert som tidstap større enn 10 sekunder). Sannsynet for at ein løpar bommar på ein post er uavhengig av om han har bomma på føregåande post. (a) Kor sannsynleg er det at ein løpar bommar på dei tre første postane? (b) La den tilfeldige variabelen Y vere talet på bommar til en tilfeldig løpar. Forklar kvifor Y er binomisk fordelt. (c) Finn sannsynet for at ein løpar kjem gjennom løypa utan bom. Finn sannsynet for at ein løpar kjem gjennom løypa med to eller færre bom. (d) Rekn ut det forventa talet på bom og standardavviket for talet bom. Ein arrangør mistenker at sannsynet for at ein tilfeldig løpar bommar ved post nr 4 er lågaer enn 0.3. Han planlegg å registrere resultata (bom eller ikkje) frå 20 løperar ved denne posten, for å undersøkje om mistanken er grunna. (e) Sett opp ein hypotesetest med signifikansnivå 10% for å undersøkje om sannsynet for bom ved posten er lågare enn 0.3. Nytt tabellen i vedlegg 3 for dei aktuelle sannsyna. Side 4 av 9

5 Oppgåve 5 Kåre er bonde og skal bygge ein silo på garden sin. Kåre har rekna ut at han har nok til å bygge ein silo der det totale overflatearealet er lik 15π m2 (medrekna bunnen av siloen). La h og r vere høvesvis høgda og radien av sylinderbasen i siloen. (a) Finn volumet av siloen som ein funksjon av høgda og radien. (b) Vis at høgda kan uttrykkjast som h = 3(5 r 2) 2r (c) Kva må radien vere for at volumet av siloen blir størst mogleg? Side 5 av 9

6 Vedlegg 1: Fromelark - romlige figurer Kule Volum: Overflate: 4πr 3 3 4πr 2 Sylinder Volum: r π 2 h Overflate: 2 π(r + h ) Side 6 av 9

7 Vedlegg 2: Formelark - statistikk og sannsynlighet Side 7 av 9

8 Vedlegg 3: Kumulative binomiske sannsynligheter ( n = 20, p = 0.30) Side 8 av 9

9 Vedlegg 4: Standard normalfordeling Side 9 av 9