7.2 Ulike språkformer er vevd sammen. 7.3 Språk bygges opp gjennom bruk og sosiale vedtak

Transkript

1 oss, vi må konsentrere oss og lese (eller tolke). En del av verdien ved diagrammet i avisa er at det illustrerer teksten. Uten å lese teksten vet vi noe om utviklingen det skrives om. Et blikk gir oss et bilde, ikke bare av hvilke verdier som kobles sammen, men også av utviklingen. Går det framover? (Eller kanskje vi sier oppover?) Har «vi» utviklet «oss» like raskt hele tiden eller er det nå i det siste det er blitt skikkelig fart på «oss»? 7.2 Ulike språkformer er vevd sammen Vi kan iaktta oss selv og hverandre når vi diskuterer, forteller og beskriver. Noen understreker med håndbevegelser, med mimikk, kanskje med hele kroppen når utviklinger beskrives. Mange av gestene samsvarer med grafspråket. Samtidig kan det være interessant å legge merke til samsvaret mellom grafspråket og det muntlige språket, slik som f. eks: «det går nedover». Har det muntlige vært med på å avgjøre hvordan det grafiske språket er blitt, eller kan det også hende at grafspråket har påvirket det muntlige? Det er nære sammenhenger mellom gester, muntlig språk og tegninger 1. Språklige vedtak og tradisjoner blir laget under innflytelse av andre språkformer. Oppgave 7.1 Beskriv en utvikling. Bruk hendene som hjelp. Velg en annen utvikling som er ulik. Observer hverandres beskrivelser i lys av avsnittet over. Forsøk om du klarer å beskrive forandring, øking, minking, noe som øker hurtig, noe som avtar hurtig gjennom gester som samsvarer med versjon B (foregående side). 7.3 Språk bygges opp gjennom bruk og sosiale vedtak Mennesker utvikler språk når de bruker språk. Det brukes som et redskap til kommunikasjon, og som et analyseredskap til å skape struktur, oversikt, innsikt, til å se muligheter for videreutvikling. Det blir viktig at språket baserer seg på vedtak i språkmiljøet. «Dette skal du ikke nødvendigvis forstå, du skal gjøre det» (s. 90) På en måte er det altså riktig. Definering av akse er et vedtak som har lagt premiss i en språktradisjon. Vi har lært å lese vekst i grafene i massemedia og litteratur, vi har utviklet gester som er influert av 1 Mer om dette i Johnsen Høines (1998, kapittel 3) 92 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

2 grafspråket (eller kanskje det er omvendt). En kunne lagt et annet vedtak til grunn og utviklet et annet språk som kunne vært like lett å tolke, like lett å bruke, dersom vi kjente det og hadde gjort det til vårt eget. Leter elevene våre etter forklaringer eller forståelsesreferanser som ikke er aktuelle? Kjenner vi igjen problematikken også som studenter? Vi tar fra elevene muligheter dersom vi undervurderer deres evne til å utvikle metakunnskap 2. Det er en didaktisk utfordring å hjelpe elevene til innsikt i hva det vil si å lære språk, å bruke språk, å utvikle språk. En vesentlig del av matematikkundervisningen handler om å formidle språklige konvensjoner. De språklige konvensjonene er ikke tilfeldige. Språklig struktur er bærer av en innholdsmessig struktur, noen vil si at språklig struktur er en innholdsmessig struktur. Dersom vi skal klare denne utfordringen som lærere, er det viktig at vi har studert hvordan vi selv oppfatter, lærer og bruker matematikkspråket. Funksjonslærespråket gir oss en god anledning til å gjøre det. y eller f( x)? Ofte forstyrres vi når ting blir formulert annerledes enn vi er vant til. Studenter i samme gruppe kan være kjent med ulike formuleringer, og det kan være små forskjeller som skaper frustrasjoner. Et eksempel finner vi når studenter som pleier å bruke y = 2x + 10 syns at formen f( x) = 2x + 10 vanskeliggjør stoffet. Når vi i denne boka velger å bruke f( x) er det fordi vi oppfatter at denne betegnelsen uttrykker mer. «f-funksjon av 3 er 16», «f-funksjon av et tall er ti mer enn det dobbelte av tallet» eller «f-funksjon av x er to x pluss ti». En annen funksjon kaller vi f.eks. g og vi får g( x) = 0, 4x 3. Vi er vant til denne måten, for oss synes den mest «lettvint» og «den beste» 3. Vi syns den nyanserer mer. Funksjonen f (eller g) er regelen. «Når jeg bruker regelen på 3 får jeg 16». Noen studenter synes skrivemåten forkludrer alt. Hvor er nå y-aksen? Hva betyr dette? Utryggheten og usikkerheten kan ligge gjemt i slike små «bagateller». I skolematematikken har en lett kommet i skade for å bygge opp om en snever språkforståelse. En har vært opptatt av at elevene ikke skulle bli forvirret. De skulle bare se en måte å gjøre ting på, de skulle loses gjennom stoffet slik at det ble rett. I tråd med læreplan- 2 Kunnskap om kunnskapen. 3 Det er som regel slik at vi syns at den måten vi er vant til er den beste og den «lettvinteste». Mange har et slikt forhold til mye av matematikken. De har en måte å gjøre tingene på. Slik får de liten distanse til kunnskapene, dårlig oversikt og fleksibilitet. Lærerdyktighet forutsetter nettopp oversikt og fleksibilitet. Les om Diderots skuespillerparadoks i Mellin-Olsen: Kunnskapsformidlingen, Caspar forlag, s. 125 KAPITTEL 7 93

3 ene ser en nødvendigheten av at elevene får oversikt over hva de lærer. Ved at elevene bruker og diskuterer ulike framstillingsformer og løsningsmodeller, lærer om hvordan språket er utviklet og brukes, håper en å bygge opp et tryggere og mer fleksibelt og selvstendig forhold til kunnskapene. Oppgave 7.2 Refleksjon om språkbruken. Vi har brukt y og f( x) som eksempel og forsøkt å rette oppmerksomheten mot at bagateller for noen slett ikke er bagateller for alle. Lag ei liste over eksempler på språk fra funksjonslæren som studenter kan synes er «fremmede» og som derfor kan vanskeliggjøre stoffet. Har dere fått presentert notasjonsformer fra tavlebruk i studiet som var eller er uklare for dere? I litteraturen? Arbeid med tolkningene. Drøft hvordan en didaktisk kan håndtere dette i studiet. Følgende liste kan eventuelt endres og fylles ut. Den vil bli ulik for ulike studenter, alt etter bakgrunn 4. Variabel og parametre. Tradisjoner for å bruke ulike bokstaver: x, y, z, a, b, c p, q, r f, g, h D, V Eventuelt ulike måter å bruke tegn som betyr derivasjon, sum, integrasjon Hva lærer vi først, språket eller innholdet? Det kan synes som om matematikk ofte er blitt undervist etter regelen: «Vi må lære språket før vi kan bruke det. Det er som med engelsk, vi lærer først gloser» (engelsk-pedagoger vil nok nyansere dette utsagnet!) Lærebøker legger ofte vekt på førsteklassingenes tallskriving som «det første». De siste årene har en i sterkere grad fokusert på at elevene har språk for sine tallbegreper, de kan arbeide videre med begrepene i egne språkformer og samtidig lære tallskrivingen. Vi kan arbeide med antall som «fjorten» eller «åtti» uten at vi har kommet så langt i tallskrivingen slik vi også kan gjøre det med «uendelig». Vi arbeider med en videre referanseramme samtidig som, eller i forkant av at vi lærer språket 5. 4 For mange vil det lønne seg å ta denne oppgaven også senere i studiet. 5 Johnsen Høines (1998, kapittel 2) 94 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

4 Vi vil se at det samme gjelder funksjonslærens språk. På barnetrinnet lærer elever koordinatsystem. Lærebøkene har innføring og oppgaver om dette. Tusen millioner, 6A, side 131, Cappelen 6 Vi kan lett finne eksempler i bøkene som frister oss til en «teknisk» undervisning av dette språket. Vi lærer elevene hva som er 1. aksen og 2. aksen, vi lærer dem å plotte inn punkter, trekke grafer osv. De Tusen millioner, 6A, side 132, Cappelen 6 Vi presiserer at eksemplene fra lærebøkene er tatt ut av sin sammenheng. Vi bruker eksemplene for å henlede oppmerksomheten på at det ofte er sammenhengene de settes i som avgjør om oppgaver er «gode» eller «dårlige». KAPITTEL 7 95

5 lærer de enkleste reglene, de gjør det de blir bedt om og de får rette svar. Kanskje må de settes på sporet neste gang de vender tilbake til slike oppgaver, men etterhvert sitter det. Det dreier seg om noe lignende når en del bøker gjør nytte av «funksjonsmaskiner». Det er tydelig at elevene arbeider med funksjoner, det dreier seg om å finne verdier som kobles sammen ved regneregler, det handler om uavhengig og avhengig variable. Vi finner oppgaver der elevene arbeider med trening innenfor de fire regningsarter, der tabellene visualiseres ved blomster eller lykkehjul på denne måten. Matematikktakk 3A, side 8, Samlaget Tikktakk trening 3A, side12, Samlaget Jeg regner, 3.kl. Cappelen Figurene og funksjonsmaskinen som er vist i de siste eksemplene finner vi i mange variasjoner. Det kan være måter å skrive funksjonstabeller på. Visst kan vi si at en arbeider med funksjoner, men arbeider elevene egentlig med noe mer enn tabellene? Det avhenger av hvilke refleksjoner som ligger omkring aktiviteten. Det avhenger av kontekst. Dette gjelder også læring av koordinatsystem og grafer. 96 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

6 Studenten som har vært i praksis med små barn lytter og nikker bekreftende når hun hører denne argumentasjonen. «Jeg skulle danse med to barnegrupper da jeg var i praksis,» forteller hun. «Først tenkte jeg at jeg først skulle lære dem noen små sekvenser med trinn som dansen var satt sammen av, uten melodien. Når de hadde lært dem, kunne vi danse. Det blei forferdelig vanskelig. Så lærte jeg etterpå at hvis jeg tok barn med i dansen så gikk alt som en lek, med melodien og med alle de «kompliserte» delene. Vi trente på noen av delene etterpå. Jeg syns det er det samme vi snakker om når det gjelder de språklige og matematiske «teknikkene» og sammenhengene.» Som lærere må vi vite hva vi arbeider med. Vi har lett for å tro at elever som mestrer språklige teknikker arbeider med innholdet som tilsvarer assosiasjonene vi har til det samme språket. Det kan hende at de bare «får det til». Selvsagt skal vi gi rom for språklige ferdigheter, også språklig ferdighetstrening. Det er nødvendig å trene i å tegne koordinatsystem slik det er nødvendig å lære gloser. Det er bare en utilstrekkelig del av den store sammenhengen. Språklæringen får først sin verdi når den settes inn i språklige og innholdsmessige sammenhenger 7. Sammenhengene gir nødvendig bakgrunn for å være språkbrukere 8. Nyere didaktisk forskning vil nok avvise metodisk arbeid som bærer preg av: Først lærer vi språket, så kan vi begynne å bruke det. En vil heller si at språk læres som ferdigheter og også gjennom bruk. Det er nødvendig å ha et dialektisk forhold til dette. Lærebøkene kan ikke gjøre dette for oss, dialektikken blir en utfordring for pedagogene. Noen lærebøker inspirerer til refleksjon om språk og innhold, slik vi ser i følgende eksempel: Grafen viser hvordan bestanden av smågnagere, ryper og rovdyr forandrer seg i Norge. 7 Vi tenker både på matematikkfaglige og sosiale sammenhenger. 8 Med språkbrukere tenker vi her på at vi bruker språket både i kommunikasjon og som tenkeredskap. Vi skaper oss oversikt gjennom grafisk språk. Johnsen Høines (1998, kapittel 3) KAPITTEL 7 97

7 a) Skriv, med dine egne ord, om hvordan smågnagerbestanden (mus og lemen) forandrer seg gjennom de sju årene som er vist. b) Skriv omforandringene i rypebestanden. c) Forsøk å forklare hvorfor smågnagerne og rypene varierer i takt. d) Skriv om hvordan bestanden av rovdyr (rev, røyskatt, mår, kråke) forandrer seg. e) Hvordan ligger rovdyr-kurven i forhold til rype- og smågnagerkurvene? Har du en forklaring? Dette er matematikk for skole og samfunn, Universitetsforlaget Å lære språk er: Å lære språklige ferdigheter Å lære om språklige sammenhenger, språklige kontekster Å lære om sammenhengen mellom språk og innhold, de språklige og innholdsmesssige kontekstene. Språklæring (språkutvikling) forutsetter språkbruk Oppgave 7.3 Vurdering av ulike oppgavetyper Lærebokeksemplene vi har valgt, har vi ikke valgt fordi de er spesielt gode eller spesielt dårlige. Vi har valgt dem for å vise at det kan være sammenhengen eller rekkefølgen som gjør en oppgave god eller meningsfull. Velg ut ulike oppgaver i læreverk og drøft hvilke sammenhenger dere mener de bør settes i. Hva kan vi lese av grafer? Hva kan vi uttrykke gjennom grafer? Problemstillingen i denne overskriften går igjen i kapitlene i denne boka. Når vi lærer om proporsjonalitet, om grenseverdier, om derivasjon og integrasjon, arbeider vi med begreper som gir oss muligheter for rikere tolkninger av grafer. Arbeidet tydeliggjør dialektikken: Vi får faglig oversikt og innsikt gjennom språkinnsikten, vi får språklig innsikt gjennom det faglige arbeidet. Kunnskap om dette er viktig for oss som lærere. Vi skal ikke lære elevene våre denne avanserte matematikken. Den blir likevel undervisningsbakgrunn for oss fordi den gir innsikt som formidles i dagligtale og i grafspråk, i matematikkundervisningen og i andre sammenhenger. Den faglige innsikten gir oss kvaliteter som kommunikasjonspartnere. Vi tenker oss et diagram som viser målt nedbør per dag i Bergen i en måned. Diagrammet kan fortelle noe om: 98 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

8 Verdier som parvis hører sammen. Nedbør som samsvarer med dagen vi velger. Utviklingen eller forandringen. Har nedbørsmengden steget eller sunket, har det gått opp og ned? Måleverdien har forandret seg raskt eller langsomt. Har det vært jevn forandring? Gjennomsnitt Gjennomsnittsøkning Maks. og min. verdi Hvor mye nedbør som falt til sammen eller i ulike perioder. Her snudde utviklingen. (Finnes det noen grense, mon tro for hvor mye regn?) Dersom vi har et diagram fra Fredrikstad, eller et diagram fra samme sted og samme måned ett år tilbake, ville ulike sammenhenger være aktuelle å se etter. Punktene over viser en del av den innholdsmessige konteksten. 7.4 Eksempler på misoppfatninger/mistolkinger Det har etterhvert utviklet seg en forskningstradisjon som har kartlagt elevers forståelse av matematiske begreper og matematisk språk 9. Forskningen dokumenterer elevers problemer med å tolke og uttrykke seg gjennom grafer. Det dreier seg både om at elevene ikke leser informasjon som gis, men også om at de leser annen informasjon enn den som er ment. En avdekker misoppfatninger eller mistolkinger. Noen misoppfatninger synes å ha stor utbredelse. Kunnskap om dette gir bakgrunn for å utvikle undervisning der vi bygger opp mot de tokninger og oppfatninger som vi ønsker. 1. Elevene tolker grafen «billedmessig». Det synes ikke unaturlig at elever gir grafer en «billedmessig tolkning». Mange grafer kan tolkes slik, elevene har også ofte arbeidet med situasjoner der dette fungerer bra. MEGA 8B, side 83, NKS-forlaget, I Norge har Gard Brekke og Trygve Breiteig arbeidet mye med dette. (I samarbeid med fagmiljøet ved Shell Center, Nottingham.) KAPITTEL 7 99