Indreprodukt. Kapittel Et generelt indreproduktbegrep

Transkript

1 Kaittel 6 Indrerodukt Skalarroduktet av vektorer er et nyttig verktøy. Vi har sett at det kan brukes til å regne ut lengder av vektorer og å fastslå om vektorer står vinkelrett å hverandre. I tillegg har det en veldig enkel form og er lett å regne ut. Det er derfor nærliggende å sørre seg om det er mulig å generalisere skalarroduktet til andre og mer komliserte vektorrom enn R og R 3. I dette kaitlet skal vi se hvorden vi kan gjøre det. Måten vi skal gå fram å er å lukke ut de vesentlige egenskaene til skalarroduktet og introdusere et generelt begre, et indrerodukt, som har akkurat disse egenskaene. Når et slikt generelt begre er å lass kan vi røve å finne ut hvilke egenskaer som følger av det generelle osettet, uten at vi baserer oss å egenskaer som er ssifikke for skalarroduktet. 6. Et generelt indreroduktbegre Hvilke egenskaer ved skalarroduktet skal vi lukke ut, og ohøye til generelle betingelser? Det mest grunnleggende ved skalarroduktet er at inut er to vektorer av samme lengde, mens outut er et reelt tall. Dette lar vi være grunnlaget når vi generaliserer begreet; til et ar av elementer i et generelt vektorrom tilordner vi et reelt tall. Vi skriver det som hv,wir hvor v,w V, og V er et generelt vektorrom. Vektorrom er lineære rom der av+bw V når v,w V og a,b R. Dette er en egenska vi gjerne vil bruke, og å samme måte som at skalarroduktet er linært i hver variabel, skal også indreroduktet ha denne egenskaen. Siden skalarroduktet av en vektor med seg selv alltid er et ikke-negativt tall, og dette er en vesentlig side ved det at skalarroduktet gir oss lengder av vektorer, tar vi det med også. Den eneste vektoren som har lengde er -vektoren og det er også en viktig egenska. Rekkefølgen å faktorene i skalroduktet er uvesentlig, siden v w w v og det ønsker vi også å bruke. Dermed ender vi o med følgende generelle definisjon: Definisjon 6... La V være et reelt vektorrom. Et indrerodukt å V er en regel som til et hvert ar av elementer i V tilordner et reelt tall; hv,wir slik at følgende betingelser er ofylt: i) Indreroduktet er lineært i hver variabel, det vil si at hau + bv,wi ahu,wi + bhv,wi hu,av + bwi ahu,vi + bhu,wi ii) Indreroduktet er symmetrisk, det vil si at hu,vi hv,ui iii) Indreroduktet er ositivt definit, det vil si at hv,vi med likhet hvis og bare hvis v. Det vanlige skalarroduktet ofyller alle disse betingelsene og danner dermed et indrerodukt å R n. Før vi begynner å lete etter andre indrerodukt skal vi se å en del egenskaer som vi kjenner igjen fra skalaroduktet, men som vi nå kan vise gjelder å bakgrunn av den generelle definisjonen av et indrerodukt. Kravet om at indreroduktet skal være ositivt definit, bygger å at skalarroduktet av en vektor med seg selv 73

2 gir oss kvadratet av) lengden av vektoren. Vi begynner derfor med å generalisere begreet lengde, til det som kalles normen til en vektor: Definisjon 6... La h, i : V V! R være et indrerodukt å et generelt vektorrom V. Da kaller vi for normen til v V. v hv,vi Hvis v R 3,såer normen til v det samme som vanlig euklidsk lengde, gitt ved v + v + v3 3. I alle de neste roosisjonene lar vi V være et generelt vektorrom og h, i : V V! R et indrerodukt å V. Proosisjon For alle u, v V gjelder Cauchy- Schwartz ulikhet; hu,viale u v Bevis. Dersom v er resultatet olagt sant. Så vi antar v 6 og lar l hu,vi v R. Da har vi ale u lv u lhu,vi + l v u hu,vi hu,vi hu,vi + v v 4 v u hu,vi v hu,vi For skalarrodukt i R og R 3 har vi formelen som sier at hv,wi v w cos der er vinklen mellom vektorene v og w. Siden cos alltid ligger mellom - og, kan vi bruke Cauchy- Schwartz ulikhet til å definere et abstrakt vinkelbegre som asser sammen med det vanlige begreet i lanet eller rommet): Definisjon La u,v V være to elementer i et generelt vektorrom V. Da definerer vi vinkelen mellom u og v ved at cos hu,vi u v I analogi med skalarroduktet sier vi at to vektorer v,w V står normalt å hverandre eller er ortogonale dersom hv,wi. Det gir oss en Pythagoras setning for et hvert indrerodukt: Proosisjon Dersom to elementer v, w V i et vektorrom er ortogonale, så ofyller de Pythagoras setning; v + w v + w Bevis. Vi har v + w hv + w,v + wi v + hv,wi + w v + w og det følger at u v hu,vi I tillegg til u-)likhetene over har vi arallellogramloven. Den sier at kvadratsummen av sidekantene i et arallellogram er lik kvadratsummen av diagonalene. Proosisjon For alle v, w V gjelder trekantulikheten; v + w ale v + w Bevis. Vi har v + w hv + w,v + wi v + hv,wi + w ale v + v w + w v + w ) Proosisjon For alle v, w V gjelder arallellogram-loven; v + w + v w v + w 74

3 Bevis. Vi har v + w + v w v + hv,wi + w + v hv,wi + w v + w Et nært beslektet resultat til arallellogram-loven er den såkalte olariserings-identiteten; hv,wi 4 v + w v w 6. Eksemler å indrerodukt Det vanligste indreroduktet er selvfølgelig skalarroduktet å R n. Det er gitt ved v w v w + + v n w n for to vektorer v v,v,...,v n ) og w w,w,...,w n ). Med vår generelle definisjon av et indrerodukt kan vi imidlertid finne mange andre varianter. For å bevise den neste roosisjonen trenger vi et hjeleresultat. Lemma 6... La A være en symmetrisk -matrise med to forskjellige egenverdier. La v og v være egenvektorer assosiert med hver sin egenverdi. Da har vi v v Bevis. Siden v Av er en -matrise er den lik sin egen transonerte, og siden A A følger det at Det betyr at v Av v Av v A v v Av v Av v Av l v v l v v Men nå har vi v v v v og det følger at l l )v v Siden l 6 l følger resultatet. Proosisjon 6... La A være en symmetrisk - matrise med to ositive egenverdier. Da beskriver et indrerodukt å R. hx,yi A x Ay Siden vi bruker notasjonen h, i som en fellesbetegnelse for indrerodukt, hekter vi å en indeks for å markere ulike former for indrerodukter. I dette tilfellet hekter vi å en A siden matrisen A er en vesentlig del av definisjonen. Bevis. Linearitet og symmetri er nokså olagt ofylt, så det gjenstår å vise at indreroduktet er ositivt definit. Et hvert element i R kan skrives som en lineærkombinasjon av egenvektorer for A, x v + v. Det gir hx,xi A x Ax v Av + v Av + v Av + v Av l v v + l v v + l v v + l v v l v + l v siden egenverdiene er ositive. Det betyr også at roduktet er hvis og bare hvis v v. Eksemel 6... La A være -matrisen A Matrisen er symmetrisk med ositive egenverdier l og l 3. Det betyr at h, i A gir et indrerodukt å R. Vi kan se at matrisen er ositivt definit ved å betrakte utregningen v hv,vi v,v ) v v v + v v v +v v ) + v siden dette er en sum av kvadrater, og de er alltid ikkenegative. Produktet er også hvis og bare hvis vi har v v. Selv om vi vanligvis betrakter matriser som lineæravbildninger, kan vi også se å rommet av matriser som et vektorrom. Vi lar M n m R) betegne mengden av n m- matriser med reelle elementer. Summen av to matriser er en ny matrise, og vi kan multilisere matriser med et reelt tall. Det finnes en -matrise og multilikasjon med - gir oss additivt inverse matriser. Det betyr at denne mengden ofyller alle kravene til å være et vektorrom. 75

4 Vi skal definere et indrerodukt å dette vektorrommet. For to n m-matriser A og B definerer vi ha,bi n n tra B) Vi minner om at trasen til en kvadratisk matrise tra) er summen av diagonalelementene til A; tra)a + a + + a nn Merk at roduktet A B alltid vil være kvadratisk selv om A og B ikke er det. Proosisjon La A og B være to n m-matriser. Da definerer ha,bi n n tra B) et indrerodukt å vektorrommet av n n-matriser, kalt Frobenius-indreroduktet. Bevis. Linearitet følger greit siden både matriserodukt og trase er lineære oerasjoner. La A a ij ) og B b ij ). Da har vi og A B) kl a k b l + a k b l + + a kn b ln tra B)a b + a b + + a n b n ) + +a m b m + a m b m + + a mn b mn ) Produktet er åenbart symmetrisk. Setter vi A B inn i formelen, får vi tra A)a + a + + a n) + +a m + a m + + a mn) Det er klart at denne summen av kvadrater alltid er ositiv eller ), og at den er hvis og bare hvis alle leddene er. Men det er det samme som å si at A. Vi kan også definere en helt annen tye indrerodukt. La f x) og gx) være to integrerbare funksjoner definert å et intervall [a,b]. La Z b h f x),gx)i R f x)gx)dx a Proosisjon Produktet h, i R definerer et indrerodukt. Bevis. Det er klart at roduktet er lineært i hver variabel, og at det er symmetrisk. Vi har Z b h f x), f x)i R f x) dx a fordi integranden er og av samme grunn så er roduktet hvis og bare hvis f x), det vil si konstantfunksjonen lik. Eksemel 6... Vi lar V P, dvs. vektorrommet av olynomer av grad mindre enn eller lik. Et generelt element i V er å formen f x)ax + b og vi kan regne ut indreroduktet h f x), f x)i R over intervallet [,] av to vilkårlige førstegradsolynomer. h f x), f x)i R a x + b )a x + b )dx a a x +a b + a b )x + b b dx [ a a 3 x3 + a b + a b x + b b x] a a 3 + a b + a b + b b Vektorrommet P er -dimensjonalt og vi kan identifisere det med R gjennom korresondansen ax + b $ a,b) Denne sammenhengen kan vi trekke videre og betrakte indreroduktet å R gitt ved hvor A er matrisen hx,yi A x Ay A 3 Dette gir oss det samme indreroduktet som i eksemlet ovenfor. Vi kan overbevise oss om det ved å regne ut indreroduktet 3 ha,b ),a,b )i A a b ) a b 3 a a + a b + a b )+b b som er identisk likt det vi fant i eksemlet over. 76

5 Eksemel Vi holder oss til eksemlet gitt over, hvor V P og indreroduktet gitt ved integralet over intervallet [,]. Polynomet f x) har norm dx og indreroduktet av med et vilkårlig olynom gx) ax + b er gitt ved h,ax + bi R ax + bdx a + b Det betyr at hvis vi velger a og b slik at a+b,såvil dette indreroduktet være. Vi har altså at olynomene f x) og gx)ax a står normalt å hverandre. Vi kan også regne ut normen til gx); ax a ax 4a x a) dx 4a x + a dx 4 3 a a + a 3 a Dersom vi setter a 3 får vi 3x 3. Det betyr at {, 3x 3} danner en ortonormal basis for P med dette indreroduktet. 6.3 Dekomonering av vektorer ved indrerodukt Vi kan utnytte ortogonalitetsegenskaene til indreroduktet til å dekomonere vektorer relativt til en ortonormal basis. La x V være et element i et vektorrom med et indrerodukt h, i og la {v,v,...,v m } være en ortonormal basis for dette vektorrommet. Da kan vi skrive x som en lineærkombinasjon av basisvektorene; x a v + a v + + a m v m Siden basisen er ortonormal får vi og derfor hx,v j i a j x hx,v iv + hx,v iv + + hx,v m iv m Dette kalles en dekomonering av vektoren x og leddene hx,v j iv j kalles komonentene til x. Vi kan gjøre den samme konstruksjonen i tilfellet av at V er uendeligdimensjonalt. Da kan vi finne komonentene å samme måte, men i det tilfellet vil summen over bli en uendelig rekke og vi kan ikke lenger være sikre å at et element i vektorrommet kan skrives som en sum av sine komonenter. Vi har et konvergensroblem. Vi skal komme litt tilbake til dette etter hvert. Det er ikke sikkert at vi alltid har en ortonormal basis tilgjengelig, men vi kan fortsatt dekomonere en vektor. Definisjon Gitt to vektorer v og w. Vi definerer ortogonalrojeksjonen av v å w ved r w v) v w w w Eksemel Ortogonalrojeksjonen av v,,) å w,,) er gitt ved r w v),,),,),,),,) 3 Eksemel La M være vektorrommet av - matriser med indreroduktet gitt ved ha,bi tra B) Vi skal finne en ortonormal basis for dette vektorrommet. Vi tar utgangsunkt i identitetsmatrisen. Vi har hi,ii tri I)trI) For åfå en basisvektor med norm, må vi derfor dele I med. Det gir oss den første basisvektoren m Vi går videre og ser å A Denne står normalt å m fordi vi har hm,ai tr og den har norm ha,ai tr!! 77

6 Vi setter m A Da er vi ferdig med de diagonale matrisene, og vi tar for oss B Vi regner ut hm,bi hm,bi så ortogonaliteten er i orden, og! hb,bi tr tr Vi setter il slutt lar vi Vi regner ut og så vi setter m 3 B C hm,ci hm,ci hm 3,Ci! hc,ci tr tr m 4 C Dermed har vi en ortonormal basis gitt ved Vi regner ut tilsvarende for de andre og finner Dermed kan vi skrive hm,mi a d) hm 3,Mi b + c) hm 4,Mi b c) M a + d)m +a d)m 6.4 Fourier-rekker +b + c)m 3 +b c)m 4 ) Vi betrakter vektorrommet uendelig-dimensjonalt) utsent av funksjonene cosnwt) og sinnwt) for n,,,... Funksjonene er eriodiske og alle har eriode w. Vi definerer et indrerodukt å dette rommet ved Z h f t),gt)i R f t)gt)dt Vi har følgende utregninger: Z hcosnwt),i R cosnwt)dt if n 6 if n Z hsinnwt),i R sinnwt)dt 8n {m,m,m 3,m 4 } Hvis vi har gitt en vilkårlig matrise a b M c d så får vi hm,mi a tr c a + d) b d Z hcosmwt),cosnwt)i R cosmwt)cosnwt)dt if n 6 m if n m Z hsinmwt),sinnwt)i R sinmwt)sinnwt)dt if n 6 m if n m 78

7 Z hcosmwt),sinnwt)i R cosmwt)sinnwt)dt 8n Alle disse formelene kan bevises ved bruk av de generelle summeformelene for cosinus og sinus: cosx cosy cosx y)+cosx + y)) sinx siny cosx y) cosx + y)) sinx cosy sinx y)+sinx + y)) Dette gir at cosnwt) og sinnwt) for n,,..., sammen med danner en ortonormal basis for vektorrommet. La f t) være en eriodisk funksjon med eriode. Vi kan regne ut indreroduktet av denne funksjonen med basiselementene over, og kaller dem med en skaleringsfaktor for å gjøre det hele mer raktisk) Vi kan danne rekka F a a n hcosnwt), f t)i b n hsinnwt), f t)i + Â n a n cosnwt)+b n sinnwt)) De to følgene {a i } i og {b i} i kalles funksjonens Fourier-koeffisienter, og rekka kalles funksjonens Fourier-rekke. Vi skal se at Fourier-koeffisientene er entydig gitt av funksjonen. La F være som over. Da har vi hf, cosmwt)ir ha m cosmwt), cosmwt)ir a m a m Hvis vi tar utgangsunkt i funksjonen f t) får vi h f t), cosmwt)ir a m a m så får vi Fourier-rekka til f t) gitt ved F a + Â n a n cosnwt)+b n sinnwt)) Dersom funksjonen f er eriodisk, kontinuerlig og har kontinuerlig derivert, så vil denne rekka konvergere mot f t). Iså fall skriver vi f t) a + Â n a n cosnwt)+b n sinnwt)) Det vi har onådd med dette er å slitte o en eriodisk funksjon i enkle trigonometriske bestanddeler. Eksemel Vi skal finne Fourier-koeffisientene til sagtann-kurven gitt ved t når ale t ale f t) t når ale t ale Her er, og dermed w. En enkel symmetribetraktning gir at b n Z f t) sinnt)dt n,,... Vi beregner cosinus-koeffisientene: Z a n Z t cosnt)dt + t) cosnt)dt) 8 >< hvis n hvis n 6 og jevn >: hvis n er odde Dette gir 4 n f t) + 4 Â cosk )t) k k ) Eksemel Funksjonen f er gitt ved når k ) ale t ale k f t) når k ale t ale k + ) Vi skal finne Fourier-koeffisientene til denne funksjonen. Perioden er og derfor w. Det gir a og for n > ; a n Z Z Z Z sinnt n f t) cost)dt cosdt + Z f t) cosnt)dt cosnt dt + Z cosdt cosnt dt 79

8 Videre får vi for b n -koeffisientene: b n Z Z f t) sinnt)dt sinnt dt + cos nt n Dette gir Fourier-rekke Z )n n sinnt dt + n f t) + Â sinm + )t) m m + ) + sint)+ 3 sin3t)+ 5 sin5t)+... Hvis vi tar med ledd og setter inn forskjellige verdier for t, så ser vi at denne funksjonen faktisk gir en god tilnærming av den orinnelige funksjonen. Her er noen verdier f ),9977 f.5),9746 f 4),39 Vi kan utnytte informasjonen i eksemlet til å beregne summen av en sesiell rekke. Hvis vi setter t kjenner vi funksjonsverdien f ). På den annen side har vi at sinm + ) ) m jevn m odde Det betyr at vi har likheten eller Denne rekken ble for øvrig først odaget av James Gregory i 668, og kalles derfor for Gregory-rekken Ogaver med løsning Eksemel La M være vektorrommet av - matriser utstyrt med indreroduktet ha,bi tra B). La A, B a) Regn ut normen til A, B og C. b) Vis at A står normalt å B., C c) Verifiser at Pythagoras setning gjelder for trilet A,B,C. Løsning.. Metodevalg: Definisjonen av normen til en matrise A er A ha,ai, og to elementer i vektorrommet står normalt å hverandre dersom indreroduktet ha,bi. Pythagoras setning sier at dersom elementene A og B er ortogonale, så gjelder likheten A + B A + B Det betyr at vi må vise at ha,bi og at A + B C.. Regning: Vi har A tra A)tr 5 tr 6 B trb B)tr 3 tr C trc C)tr 9 tr Det betyr at A + B C 8

9 Videre har vi ha,bi tra B)tr 6 tr 4 så A og B er ortogonale. il slutt har vi at 3 A + B C Eksemel Et indreroduktet å P er gitt ved La h f x),gx)i f )g )+ f )g)+ f )g) f x) + x, gx) + x x a) Regn ut normen til f x) og gx). b) Vis at f x) og gx) er ortogonale olynomer med dette indreroduktet. c) La R være arallellogrammet utsent av f x) og gx). Verifiser arallellogram-loven Løsning. f x)+gx) + f x) gx) i dette tilfellet. f x) + gx). Metodevalg: Vi må regne ut f x), gx), f x)+gx), f x) gx) og h f x),gx)i og vise at alle formelene stemmer.. Regning: f x) f ) + f ) + f ) ) ) + ) + ) 5 gx) g ) + g) + g) ) ) +) + ) 6 f x)+gx) ) + + ) + + ) ) f x) gx) + ) + ) + ) ) og h f x),gx)i f )g )+ f )g)+ f )g) ) )+ ) + Vi observerer at siden f x) og gx) står normalt å hverandre er de to diagonalene like lange. Parallellogramloven uttrykker i dette tilfellet eller 6.6 Ogaver Ogave. Et indreroduktet å P er gitt ved h f x),gx)i f )g ) + f )g) + f )g). Regn ut h f x),gx)i for a) f x) + x + 3x,gx)4 7x b) f x) 5 + x + 3x,gx)3 + x 4x c) f x) + x,gx)x x Ogave. Regn ut hu,vi A for u,) og v, ) når a) A 3 b) A 3 c) A Ogave 3. Vi setter hu,vi B Au Av. Finn B når vi har a) A b) A 3 3 c) A 8

10 Hint: B A A) Ogave 4. La hu,vi, hv,wi 3 og hu,wi 5. La videre u, v og w 3. Regn ut a) hu + v,v + wi, b) hu w,3u + vi c) u + v Ogave 5. Bruk formelen ha,bi tra B) for to matriser A og B til å regne ut ha,bi når 3 3 a) A og B b) A og B c) A og B Ogave 6. La A. Finn to lineært uavhengige matriser B,C slik at indreroduktene hb,ai 3 hc,ai. Ogave 7. La u v 8 og hu,vi 9. Finn vinkelen mellom u og v. Ogave 8. Vi bruker indreroduktet ha,bi tra B) å vektorrommet av -matriser. Vis at A, B, C b) Finn en ortonormal basis for olynomer i P relativt til indreroduktet I a). Ogave. La V være et endelig-dimensjonalt vektorrom med indrerodukt h, i. La P : V! V være en lineæravbildning som ofyller PPv)) Pv) for alle v V. Anta videre at hu,pv)i for alle v V og alle u som er slik at Pu). Vis at v Pv) står normalt å Pv) for alle v V. Ogave 3. La u u,u ) og v v,v ) være to vektorer i R. Vis at det vektede euklidske indreroduktet hu,vi 3u v + u v tilfredsstiller kravene til et indrerodukt. Ogave 4. La u,v R n og A en invertibel n n- matrise. Vis at hu,vi Au Av definerer et indrerodukt. Ogave 5. La lineæravbildningen P : V! V ofylle hpv),vi for alle v V. Vis at P er multilikasjon med en matrise A med tra). ofyller Pythagoras setning; A + B C Ogave 9. Bruk Cauchy-Schwartz ulikhet til å vise at acos + bsin) ale a + b Ogave. La W V være et underrom av et endeligdimensjonalt vektorrom. Vis at W \W? ) Ogave. La P være vektorrommet av olynomer av grad mindre enn eller lik. a) Vis at h f x),gx)i f )g )+ f )g)+ f )g) danner et indrerodukt å P. 8