Løs følgende initialverdiproblem for π/2 <x<π/2:

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Ivar Amdal tlf Eivind Coward tlf Trond Digernes tlf Bjørn Dundas tlf Lisa Lorentzen tlf EKSAMEN I FAG SIF5003/5004 MATEMATIKK 1/1A Onsdag 10. desember 1997 Tid: Hjelpemidler: B2 Typegodkjent kalkulator, med tomt minne. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Oppgave 1 Løs følgende initialverdiproblem for π/2 <x<π/2: y cos x + y sin x =1, y(0)=1. Oppgave 2 I Postens informasjon for A-post innenlands finner vi at maksimumsmålene for sendinger i form av en rull er Lengde + dobbelt tverrmål = 104 cm, lengde høyst 90 cm. Med rull forstås en sylinder med sirkulært tverrsnitt, og tverrmålet er diameteren. Vi ønsker å sende en rull med størst mulig volum. Hva blir lengden og hva blir tverrmålet? Oppgave 3 a) Bruk trapesmetoden med n = 4 delintervaller til å finne en tilnærmet verdi for integralet π/3 e sin θ dθ. 0 b) La f(θ) =e sin θ være integranden i a). Vis at f (θ) < 1.5 når 0 θ π/3, og bruk dette til å vurdere feilen ved tilnærmingen i a). Hvor mange delintervaller ville du bruke i a) for å være sikker på at feilen ble mindre enn 10 4? Oppgave 4 La funksjonen F være definert for x 1ved x F (x) = t3 1 dt, 1 og la K være kurven y = F (x) for 1 x 2. Finn buelengden av K. Bestem også arealet av rotasjonsflata som fremkommer når K dreies om den rette linje x =1.

2 SIF5003/5004 Matematikk 1/1A Side 2 av 2 Oppgave 5 Frysepunktet T for saltvann er en funksjon av ionekonsentrasjonen x, og teoretiske betraktninger gir at T tilfredsstiller differensialligningen ( ) dt dx = at 2 1+bx hvor a og b er positive konstanter. Bruk verdiene a = K 1 M 1 (K=kelvin, M = molar = enhet for konsentrasjon) og b =0.018 M 1 når det spørres etter tallsvar i denne oppgaven. a) Finn ligningen for tangenten til grafen til T (som funksjon av x) gjennom punktet (0,T 0 ) ved hjelp av differensialligningen ( ). Sett T 0 = K, og bruk tangentligningen til å finne en tilnærmet verdi for T (x) i Barentshavet hvor x =1.2 M. b) Løs differensialligningen ( ) under initialbetingelsen T (0) = T 0 (for vilkårlig a, b og T 0 ). Sett igjen T 0 = K og sammenlign den verdien du nå finner for T (1.2) med den tilnærmete verdien du fant i a). Oppgave 6 Finn ligningen for tangenten til kurven (1) x 3 y + xy 5 =2 i punktet (1, 1). Ligningen (1) definerer implisitt en funksjon y = f(x) i nærheten av x =1 med f(1) = 1. Finn Taylorpolynomet av grad 2 for f(x) omx =1. Oppgave 7 Bestem grenseverdien og avgjør om den uendelige rekken er konvergent eller divergent. lim n(π 2 arctan n), n (π 2 arctan n) n=1 Oppgave 8 Bestem konvergensintervallet for potensrekken nx n, n=1 og finn et endelig uttrykk for summen i konvergensintervallet.

3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Ivar Amdal tlf EKSAMEN I FAG SIF5003/04 MATEMATIKK 1/1A Mandag 3. august 1998 Tid: Hjelpemidler: Typegodkjent kalkulator med tomt minne, Rottmann: Matematisk formelsamling. Oppgave 1 Bestem grenseverdiene lim x 0 e x3 1 x sin x og ( lim x ln 1+ 3 ). x x Oppgave 2 Avgjør om rekkene konvergerer eller divergerer: n=2 1 n(ln n) 2 og n=1 (n!) 2 (2n)!. Oppgave 3 a) La a og b være gitte konstanter, a>b>0. Undersøk om funksjonen f(x) = arctan a x arctan b x, 0 <x< har noen største og/eller noen minste verdi, og finn eventuelt disse/denne. b) Gitt punktene A(0, 4), B(0, 1) og C(x, 0) der x>0. Bestem x slik at vinkelen u = ACB blir størst mulig. Hva blir den maksimale verdien for u?

4 SIF5003/04 Matematikk 1/1A Side 2 av 2 Oppgave 4 La K være grafen til ligningen x 2 y 3 +(y +1)e x = x +2. a) Finn dy/dx i punktet (0, 1)? Finn ligningen for tangenten til K i punktet (0, 1) og bestem tangentens skjæringspunkt med x-aksen. b) Gjør rede for at K har nøyaktig ett skjæringspunkt med x-aksen. Bruk Newtons metode til å finne x-koordinaten til dette skjæringspunktet med 2 riktige desimaler. Oppgave 5 En vanntank fremkommer ved at kurven y = x 2,0 x 2, dreies om y-aksen. Både x og y måles i meter (m). a) Anta at tanken er fylt med vann til en høyde av h (m). Vis at da er volumet (m 3 )av vannet i tanken gitt ved: V = V (h) = πh2 2. b) Vi tenker oss nå at tanken er tom, og fylling av tanken med vann begynner. Vannet renner inn i tanken med konstant volum 1 (m 3 ) pr. tidsenhet (time). Hvor fort stiger vannhøyden i det øyeblikket vannhøyden i tanken er 1 (m)? c) Fyllingen av tanken stopper når vannhøyden er blitt 2 (m). Tanken skal nå tømmes for vann gjennom et lite hull i bunnen av tanken. Vi antar at vannet som renner ut av tanken pr. tidsenhet hele tiden er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden. Vis at vannhøyden h = h(t) tilfredsstiller differensialligningen dh h dt = k, der k er en positiv konstant. d) Når tømmingen har pågått i 3 timer er vannhøyden i tanken 1 (m). Løs differensialligningen i c), og finn et uttrykk for h(t). Hvor lang tid tar det før tanken er tom? Oppgave 6 a) Gjør rede for at hvis u < 1såer u 1 u10 dx = u 1+x u19 19 u28 u9n+1 + +( 1)n 28 9n b) Bruk resultatet i a) til å vise at verdien av integralet 1/ x dx 9 ligger mellom 0,4999 og 0,5000.

5 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Ivar Amdal tlf Trond Digernes tlf Bjørn Dundas tlf Lisa Lorentzen tlf EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Onsdag 9. desember 1998 Tid: Hjelpemidler: Typegodkjent kalkulator med tomt minne, Rottmann: Matematisk formelsamling. Oppgave 1 kan besvares uten begrunnelse. På de andre oppgavene må det være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 i) Hvilket av integralene (1) 2π(y +1)ds, (2) 2π(y 1) ds eller (3) 2π(x 1) ds ville du ta utgangspunkt i, hvis du skulle finne arealet av rotasjonsflata som dannes når en kurve y = f(x) i første kvadrant dreies om den rette linje y = 1? ii) Hvilket av uttrykkene (1) A x 4 + B x 2, (2) A x 2 + Bx + C x 2 +1 eller (3) A x + B x 2 + Cx + D x 2 +1 ville du ta utgangspunkt i, hvis du skulle finne delbrøkoppspaltingen for funksjonen f(x) = x +1 x 4 + x? 2 (Koeffisientene skal ikke beregnes.) Oppgave 2 La S betegne området i xy-planet begrenset av y-aksen og kurvene y =cosx og y =sinx for 0 x π/4. Bestem volumet av rotasjonslegemet vi får når S dreies om linjen x = π/4.

6 SIF5003 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 3 I et veikryss gjelder ved et visst tidspunkt: En bil er er 300 m øst for veikrysset og kjører med hastighet 70 km/h rett vestover. En buss er 400 m nord for veikrysset og kjører nordover med hastighet 60 km/h. Er avstanden (i luftlinje) mellom bilen og bussen voksende eller avtagende ved dette tidspunktet, og hvor fort endres den? Oppgave 4 Vis ved induksjon at for alle hele tall n 1er 1 1! + 2 2! + 3 3! + + n n! =(n +1)! 1. Oppgave 5 I en vekstmodell for svin vil vi anta at dyrets vekt P (i kg) er P 0 ved t = 0 og vokser mot en grense L. Det antas at vekstraten (i kg/dag) på ethvert tidspunkt er proporsjonal med det antall kilo som svinet fortsatt kan legge på seg. Kall proporsjonalitetskonstanten k. a) Still opp en differensialligning for vekten P som funksjon av tiden t og løs den. Skisser formen på løsningskurven. b) Anta L og k kjent. Anta videre at det koster deg a kr/dag å fø et svin, og at du mottar b kr/kg for slakteklare svin. Hva skal slaktevekten være dersom du ønsker å tjene mest mulig på et svin? Angi svaret uttrykt ved L, k, a og b. Oppgave 6 Vis at den uendelige rekken ( ) n=2 ( 1) n+1 ( n 1 n 2 ) er konvergent. Konvergerer rekken absolutt eller betinget? Partialsummen S 9 = 9 n=2 ( 1) n+1 ( n 1 n 2 er tilnærmet lik summen S av rekken ( ). Hva kan du, uten bruk av kalkulator, si om differansen S S 9? )

7 SIF5003 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 7 Funksjonen f er definert ved f(x) = x 0 arctan t t 6 +1 dt. a) Bestem f(0), f (0) og f (0), og finn Taylorpolynomet P 2 (x) avgrad2ia = 0 for f. b) Bruk Taylors formel med restledd og med n =2tilå finne en øvre og en nedre skranke for f(0.4) (dvs. finn tall U og L slik at L f(0.4) U) når det oppgis at 1 f (x) 0 for 0 x 0.4. Finn også en tilnærmet verdi for f(0.4) ved å bruke Simpsons metode med n =4 delintervaller påintegralet 0.4 arctan t t 6 +1 dt. 0 Oppgave 8 a) En 4 meter lang stige ligger an mot et 2 meter høyt loddrett plankegjerde (se figur). Anta at stigen starter fra loddrett stilling, og at foten av stigen glir horisontalt langs bakken helt til toppen av stigen akkurat berører toppen av plankegjerdet. Innfør et koordinatsystem med origo i plankegjerdets topp-punkt og positiv y- akse langs plankegjerdets forlengelse oppover. Vis at toppen av stigen beskriver en kurve som i polarkoordinater har ligning r =4 2 sin θ. y θ x Over hvilket intervall varierer polarvinkelen θ under denne bevegelsen? b) En 6 meter høy husvegg står 1 meter til venstre for plankegjerdet. Vil stigen treffe husveggen under en bevegelse som i a)? Se bort fra plankegjerdets tykkelse, og begrunn svaret ved regning.

8 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Lisa Lorentzen EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Mandag 2. august 1999 Tid: 09:00 14:00 Hjelpemidler: Typegodkjent lommekalkulator med tomt minne. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Alle svar skal begrunnes. Det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 a) Løs ulikhetene (i) ln( x) > 2 (ii) 1 (x 1) 2 < 1 4 b) Bestem grenseverdiene (i) Oppgave 2 a) Vis at ligningen sin x tan x ( lim (ii) lim e 2x 2x ) 1/x x 0 x 3 x 2x =cosx har nøyaktig én løsning, og finn denne med fem sikre sifre ved bruk av Newtons metode. b) Finn (tilnærmet) de punktene på kurven som ligger nærmest origo. y 2 +sinx =1

9 SIF5003 Matematikk Side 2 av 2 Oppgave 3 Langviseren (minuttviseren) på det berømte uret Big Ben i London måler ca 4 meter fra spissen til senteret i urskiven, og kortviseren (timeviseren) måler ca 2 meter. Hvor fort endres avstanden mellom spissene på disse viserne idet klokken akkurat passerer 02.00? Hint: Cosinus-setningen (Rottmann s. 40) kan være til hjelp. Oppgave 4 La K være kurven y =coshx, 0 x 2. Finn lengden av K og arealet av flaten vi får ved åroterek om x aksen. Oppgave 5 a) Avgjør om rekkene konvergerer betinget, konvergerer absolutt eller divergerer (i) ( 1) n+1 1 n + (2n)! (ii) n n!(2n) n n=1 b) Bestem konvergensintervallet for rekken ( 1 ) n (x +4) n 4 2n +1 Oppgave 6 La n=0 P 5 (x) =1+3x +5x 3 x 5 være Taylorpolynomet av grad 5 om a = 0 for en 6 ganger deriverbar funksjon f(x). Bestem f (0) og f (0). n=1 For hvilke x kan en garantere at når f (6) (x) 72 for alle x? f(x) P 5 (x) 10 7 Oppgave 7 Radioaktive stoffer nedbrytes med en hastighet som er proporsjonal med den til enhver tid gjenværende mengde av stoffet. Halveringstiden er den tiden det tar før en mengde av stoffet er halvert. En ulykke i en reaktor førte til at det radioaktive stoffet Polonium 210 som har halveringstid på 140 dager, trengte seg inn i styringsrommet for reaktoren. Målinger viste at da lekkasjen var tettet, var det 8 ganger så meget Polonium 210 i rommet som den maksimalt tillatte mengden M. Hvor mange dager tar det før mengden Polonium 210 er redusert til M?

10 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Vigdis Petersen Berner Larsen Bjørn Ian Dundas EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Onsdag 8. desember 1999 Tid: 09:00 14:00 Hjelpemidler: B2 - Typegodkjent kalkulator med tomt minne. - Rottmann: Matematisk Formelsamling. Sensuren faller i uke 4. Oppgave 1 skal besvares uten begrunnelse. På de andre oppgavene må det være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 For hver av rekkene n=1 ( 1) n n n n=1 ( 1) n 2 n ( 1) n n=1 n avgjør om den er i) absolutt konvergent ii) betinget konvergent iii) divergent. Svarene skal ikke begrunnes. Oppgave 2 Finn grensene i) lim x x(e 1 x 1) ii) lim x 0 1 cos 2x (arctan x) 2

11 SIF5003 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 3 a) La f(x) = 1+x 4. Finn største og minste verdi av på intervallet [0, 2]. f (x) = 2x2 (x 4 +3) (1 + x 4 ) 3 2 b) Bruk trapesmetoden med fire delintervaller til å finne en tilnærmet verdi for integralet ( ) x4 dx. Gjør et overslag over feilen ved å benytte resultatet fra a). Forklar hvorfor trapesmetoden gir en for stor verdi for integralet ( ), uansett antall delintervaller. Oppgave 4 For summen av en endelig geometrisk rekke gjelder formelen når x 1. Vis dette ved induksjon. 1+x + x 2 + x x n = +1 1 xn, n =0, 1, 2, 3,... 1 x Oppgave 5 En båt trekkes mot kaia ved hjelp av et tau. Den ene enden av tauet er festet i baugen av båten, den andre enden går gjennom en ring som er festet på kaikanten. Høydeforskjellen mellom ringen og baugen er 5 m. En person trekker i tauet med en hastighet av 24 m/min. Med hvor stor fart nærmer båten seg kaia i det øyeblikk taulengden mellom ringen og baugen er 13 m? Oppgave 6 Når strømmen går klokken den 1. januar år 2000, sitter Kjell Magne på sitt kontor som da holder temperaturen 19.0 C. Fra dette tidspunkt avtar temperaturen på kontoret i samsvar med Newtons avkjølingslov: Temperaturendringen pr. tidsenhet er proporsjonal med differansen mellom inne- og utetemperatur. Utetemperaturen denne rekordkalde natten er 36.9 C. Klokken er temperaturen på kontoret falt til 10.8 C. På Kjell Magnes bord står et glass med vann. Hva er klokken når vannet i glasset begynner å fryse?

12 SIF5003 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 7 Bestem konvergensradien R til potensrekken sin( 1 n ) xn. n=1 Undersøk også om rekken konvergerer for x = R og x = R. Oppgave 8 Sirkelen med radius 1 og sentrum i punktet (0, 2) har parameterfremstilling: x =sint, y =2+cost, 0 t 2π. Finn ved integrasjon overflatearealet av smultringensom dannes når sirkelen roteres om x- aksen. Oppgave 9 En vanntank fremkommer ved at kurven x = g(y) roteres om y-aksen. Vannvolumet V ved vannhøyde y er gitt ved V = y 0 π (g(u)) 2 du. Ved et bestemt tidspunkt lages et lite hull i bunnen av tanken. I følge Torricellis lov er volumendringen pr. tidsenhet gitt ved y x=g(y) dv dt = k y hvor y er vannhøyden og k er en positiv konstant. Bestem funksjonen g(y) når du får oppgitt at endringen pr. tidsenhet i vannhøyden y er konstant (dvs., er konstant), og vannvolumet dy dt V =1når vannhøyden y =1. y x

13 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Vigdis Petersen, EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 lørdag 5. august 2000 Tid: Tillatte hjelpemidler: - Typegodkjent kalkulator med tomt minne, - Rottmann: Matematisk formelsamling. Alle svar skal begrunnes. Det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Rene kalkulatorsvar godtas ikke. Oppgave 1 Avgjør om følgende grensene eksisterer. Dersom grensen eksisterer skal du også finne grensen. (i) lim(e x + e x ) 1/x, (ii) lim ( t + t 2 t) x 0 t Oppgave 2 Finn volum og overflateareal av legemet som fremkommer ved å dreie området begrenset av kurvene y = x og y = x 2 om y-aksen.

14 SIF5003 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 3 Vis ved induksjon at for alle hele positive tall n så er n 3 = ( n) 2 (om du vil kan du bruke at n = n(n + 1)/2). Oppgave 4 En sfærisk ballong fylles med en rate av 1000 kubikkcentimeter per sekund. Med hvilken rate vokser overflatearealet til ballongen når radius er 25 cm? Oppgave 5 Skisser i xy-planet kurven gitt ved x = sin t, y = sin 2t, t [0, 2π] Finn tangentlinjene i t = 0 og t = π/4, og beregn arealet av området begrenset av kurven. Oppgave 6 Tidlig en mandag morgen begynte det å sne med en konstant rate. Klokken begynte en sneplog å rydde en vei. Klokken hadde den kjørt 5 km. Først klokken hadde den kjørt 10 km. Anta at plogen rydder unna sne med en konstant rate (i f.eks. kubikkmeter per time). La t = 0 idet det begynner å sne, og la x(t) være distansen sneplogen har kjørt ved tid t. Forklar hvorfor for en konstant k. t x (t) = k Hva var klokken da det startet å sne? Oppgave 7 La f være en to ganger deriverbar funksjon med f (x) > 0 for x [1, 2], og slik at f(1) = 3 og f(2) = 5. a) Begrunn at funksjonen f har nøyaktig ett nullpunkt a (1, 2). b) Anta i tillegg at f (x) > 0 for x [1, 2]. Begrunn at Newtons metode med startverdi x 0 = 2 konvergerer mot nullpunktet a.

15 SIF5003 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 8 La π/4 I = sin(t 2 ) dt 0 a) Finn en tilnærming til I ved å bruke Simpsons metode, hvor intervallet [0, π/4] skal deles i fire like deler. b) Finn en tilnærming til I ved å bruke Taylor-utviklingen av orden 3 til f(x) = sin x om x = 0.

16 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Bjørn Ian Dundas Harald Hanche-Olsen Dag Olav Kjellemo Vigdis Petersen Hjelpemidler: B2 EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Onsdag 6. desember 2000 Tid: 09:00 14:00 Typegodkjent kalkulator med tomt minne. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Sensuren faller i uke 3. Oppgave 1 skal besvares uten begrunnelse. Alle andre svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Rene kalkulatorsvar godtas ikke. Oppgave 1 La R være området avgrenset av x aksen, kurven y = arctan x og linjen x = 3. Hvilket integral nedenfor gir volumet av omdreiningslegemet vi får når R roteres om y aksen? når R roteres om linjen x = 1? Svarene skal ikke begrunnes. (i) (iii) 3 0 π/3 0 π(arctan x) 2 dx π ( ( 3+1) 2 (1 + tan y) 2) dy (ii) (iv) π/ π( 3 tan y) 2 dy 2πx arctan xdx Oppgave 2 Et kirkevindu skal være innrammet i gull. Det er nok gull til å la omkretsen av vinduet (vinduskarmen) være 10 m lang. Vinduet skal ha form som et rektangel med en halvsirkel på toppen. Finn målene til rektanglet som maksimerer vinduets areal.

17 SIF5003 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 3 a) Bestem konvergensradien R for potensrekken n=1 x n+2 n(n +2)4 n og undersøk om rekken konvergerer for x = ±R. b) La g(x) betegne summen av rekken i a) for x <R. Vis at ( g (x) = x ln 1 x ). 4 Oppgave 4 I følge Taylors formel med restledd får vi x 1+x = x 2 8 (1 + z) 3/2 for en z mellom 0 og x. Bruk dette til åviseat t4 dt =1,1 R der <R< Oppgave 5 La f være en gitt funksjon. Figurene A), B) og C) nedenfor viser grafene (i) y = f(x) (ii) y = f (x) (iii) y = x 0 f(t) dt i en eller annen rekkefølge. y x 1 π 4 y π 4 1 x y x A) B) C) Hvilken figur viser hvilken graf? Finn 1 f(t) dt. 1

18 SIF5003 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 6 For mange arter av mus er tilveksten avhengig av årstiden. Bestanden vi studerer her, vokser til enhver tid med en rate som er proporsjonal med produktet av antall mus i bestanden og en årstidsavhengig faktor 1 cos(2πt) der t angir tidspunktet målt i år etter 1/ Finn antall mus i bestanden som funksjon av t når den har 10 individer den 1/ og 20 individer den 1/ Oppgave 007 En agent sniker seg med jevn hastighet 0,9m/s langs en rett hekk. Ti meter fra hekken er det montert et overvåkingskamera som kan dreies horisontalt. Kameraet følger agenten. Hvor raskt (i radianer per sekund) dreier kameraet når han er 30 m vekk fra det? Oppgave 8 Figuren viser grafen til to kurver. Den ene kurven har parameterfremstilling y x =sint, y = 1 sin(2t), 0 t 2π. 2 Beregn arealet av det området denne kurven omslutter iplanet. x Den andre kurven er gitt i polarkoordinater ved r 2 =cos(2θ). Beregn arealet av det området denne kurven omslutter i planet. Den ene kurven ligger utenfor den andre kurven. Hvilken av dem ligger ytterst? Husk at svaret skal begrunnes. Oppgave 9 Ligningen x 2 + ye y = 1 og ulikheten y> 1definerer implisitt en entydig funksjon y = f(x). Finn f (1), og bestem Taylorpolynomet av annen grad for f om x =1.

19 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Bjarte Rom Dag Olav Kjellemo EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Bokmål Tirsdag 31. juli 2001 Tid: 09:00 14:00 Hjelpemidler: B2 Typegodkjent kalkulator med tomt minne. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Sensuren faller 1. september. Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Rene kalkulatorsvar godtas ikke. Oppgave 1 En rakett skytes ut ved tid t =0. De f rste 120 sekundene har raketten en rettlinjet bevegelse med fart gitt ved v(t) =0,0004 t 3 0,03 t 2 +8t (0 t 120) målt i meter per sekund, der t er målt i sekunder. Finn den maksimale og minimale akselerasjonen til raketten i dette tidsrommet. Oppgave 2 La R være området begrenset av linjen y =2, y aksen og kurven x = t 3, y = t 2 +1, 0 t 1. La T være omdreiningslegemet vi får når R roteres om y aksen. Finn volumet av T med disse to metodene: (i) tverrsnittmetoden (skivemetoden), (ii) sylinderskallmetoden.

20 SIF5003 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 3 La funksjonen f være definert for x>0. Anta at f er to ganger deriverbar med kontinuerlig annenderivert, og at f (x) 5 for alle x>0. a) Bruk trapesmetoden med fire delintervaller til å beregne en tilnærmet verdi for integralet 3 1 f(x) dx når funksjonsverdiene i enkelte punkter er gitt ved: x 1 3 / / 2 3 f(x) 1 1 / 4 1 / 4 3 / 2 3 Finn en vre begrensning (skranke) for absoluttverdien av feilen. b) Anta i tillegg at f(x) 3 og f (x) 4 for x>0. Tenk deg at du skal beregne integralet 3 [ f(x) ] 2 dx 1 ved hjelp av trapesmetoden og med feil h yst 10 4.Hvor mange delintervaller må du da bruke? Oppgave 4 Sauen Dolly er syk, og veterinæren Trude skal ta temperaturen. Idet termometeret settes i sauen, viser det 15 C. Etter 10 sekunder viser det 25 C og etter 20 sekunder er det nådd 31 C. Da blir Dolly rabiat, og termometeret faller ut og går i stykker. Hvor h y temperatur hadde sauen? Du kan anta at endringsraten til termometerets temperatur er proporsjonal med temperaturdifferansen mellom sau og termometer (Newtons avkj lings/oppvarmingslov). Oppgave 5 For hver av rekkene (i) n=1 ne n2 (ii) n=1 ( ( 1) n n 1 n ) bestem om rekken divergerer, konvergerer absolutt eller konvergerer betinget. Oppgave 6 Det lekker fra kj kkentaket. Vi setter en sinkb tte under lekkasjen. Sideflaten i b tten er rotasjonsflaten du får ved å dreie linjestykket y =3(x 10), y [0, 30] om y aksen, og bunnen i b tten er plan. Her måles x og y i cm. Det lekker 1cm 3 /s. Hvor fort stiger vannet i b tten når vanndybden er 10 cm?

21 SIF5003 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 7 Bruk rekkeutviklingen til å beregne integralet 1 1 t = t n ( t < 1) n=0 1/2 med en feil mindre enn 10 4 i absoluttverdi x 4 dx Oppgave 8 Vi betrakter grafen til funksjonen Finn lengden av grafen. f(x) = x 0 (t3 +2) 2 1 dt for 0 x 2. Oppgave 9 La y = f(x) være en l sning av differensialligningen dy dx = xy 1 for x>1, slik at lim f(x) =1. Beregn grenseverdiene x 1 + (i) xf(x) 1 lim x 1 + x 1 (ii) f(x) 1 lim x 1 + (x 1) 3/2 Hint: Du skal ikke l se differensialligningen. Du kan bruke resulatet fra (i) i del (ii).

22 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Harald Hanche-Olsen Lisa Lorentzen Johan Aarnes Bokmål Hjelpemidler (kode C): Sensuren faller 16. januar. EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Onsdag 5. desember 2001 Tid: 09:00 14:00 Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 Beregn følgende grenser: lim x 0 + ln x ln sin x, ( lim x ). x x 1 Oppgave 2 Finn trapeset med størst areal som kan innskrives i en halvsirkel med radius 1. (Et trapes er en firkant med to parallelle sider.) Hint: Det kan være lurt å uttrykke arealet ved vinkelen antydet i figuren. Oppgave 3 Beregn buelengden av kurven y = f(x), der f er gitt ved f(x) = x 1 t 2 e 2t2 1 dt, 1 x 2.

23 SIF5003 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 4 a) Vis at den første av rekkene under er divergent. Er den andre rekken divergent, betinget konvergent, eller absolutt konvergent? n=2 1 n ln n, n=2 ( 1) n (n + n) ln n. b) Potensrekken n=0 2n +1 x 2n n! er gitt. Vis at rekken konvergerer for alle x, og finn rekkens sum når x =1. Oppgave 5 Personer med for lavt stoffskifte må tilføres en daglig dose av legemidlet thyroxin. Dette stoffet har en biologisk halveringstid på ca. 7 døgn, det vil si etter denne tiden er bare halvparten av en tilført stoffmengde tilbake i organismen. La M(t) være mengden av thyroxin (målt i mg) i kroppen ved tiden t (målt i døgn). Vi antar at M(t) ergittved der k er en positiv konstant. M(t) =M(0)e kt a) Bruk de gitte opplysningene til åviseatk 0,1. Regn med verdien k =0,1 irestenav oppgaven. Anta at en person tilføres én daglig dose thyroxin på 0,1 mg. Vis at på n-te dag er thyroxin-mengden i kroppen (umiddelbart etter dagens dose) gitt ved M n =0,1 1 e 0,1 n 1 e 0,1. (Hint: Det kan lønne seg å bruke induksjon.) b) Vis at medisinmengden M n i kroppen vil nærme seg et grensenivå M, og bestem dette. Hvor mange dager vil det ta fra behandlingen startet til medisinmengden i kroppen er større enn 95% av M?

24 SIF5003 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 6 Michaelis Menten-ligningen dy dt = y 1+y brukes i biokjemien til å beskrive virkningen av et enzym. a) Vis at for y>0 er den generelle løsningen på implisitt form gitt ved y +lny = C t der C er konstant. La heretter y(t) være en løsning av Michaelis Menten-ligningen som oppfyller initialbetingelsen y(0) = 1. Ved hvilket tidspunkt t er y =0,3? b) Svaret på spørsmålet foran får oss til å tro at y(2) 0,3. Finn en bedre tilnærming til y(2) ved én iterasjon med Newtons metode. Oppgave 7 ved ligningen Figuren viser konkoiden til Nikodemes, som er kurven gitt i polarkoordinater r =2 1 sin θ, 0 <θ<π. Beregn arealet av området innenfor løkken.

25 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag Per Hag Bokmål Hjelpemidler (kode C): Sensurdato: 2. september. EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Tirsdag 30. juli 2002 Tid: 9 14 Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 Avgjør om denne rekken konvergerer: n=0 1 n 3/ Oppgave 2 Bruk induksjon til å vise at ( )( ) ( ) n n for alle hele tall n 1. Oppgave 3 En nyttårsrakett blir sendt vertikalt opp. En tilskuer står 100 m unna og måler vinkelen α som vist på figuren. Hvor raskt stiger raketten idet vinkelen er 45 og øker med 5 per sekund? α

26 SIF5003 Matematikk Side 2 av 2 Oppgave 4 Et torg er avgrenset av kurven (superellipsen) ( x ) 4+ ( y ) 4= y Hvor stort areal kan et rektangel maksimalt ha når det skal ligge innenfor denne kurven og ha sider parallelle med koordinataksene? x Oppgave 5 a) Bruk trapesmetoden med fire delintervaller til å beregne integralet I = 1 0 cos(x 2 ) dx. Hvor mange delintervall ville du bruke om feilen skulle være garantert mindre enn 10 5 i absoluttverdi? (Husk at svaret skal begrunnes.) b) Finn Maclaurinrekken til cos(x 2 ). c) Bruk resultatet i b) til å beregne integralet i a) med feil garantert mindre enn 10 3 i absoluttverdi. Oppgave 6 La R være området i første kvadrant som ligger mellom linjene x = 1 og x = 4 og under kurven y = x 3. La videre T være legemet som fremkommer når R roteres om x-aksen. a) Finn volumet av rotasjonslegemet T. b) Finn arealet av den krumme delen av overflaten til T. Oppgave 7 Løs initialverdiproblemet xy + y 2 = 4, y(1) = 1.

27 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Johan Aarnes Bjarte Rom Harald Hanche-Olsen Runar Ile Lisa Lorentzen Bokmål Hjelpemidler (kode C): Sensurdato: 15. januar. EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Onsdag 4. desember 2002 Tid: 9 14 Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 a) Et vannkar dannes ved å rotere kurven y = 1 4 x3, x 0 om y-aksen. Finn volumet av karet opp til høyde h. b) Karet fylles med vann. Hvor fort stiger vannhøyden i karet idet høyden er 2 dm og vannet strømmer inn med 10 liter per sekund? (Vi antar x og y er målt i dm.)

28 SIF5003 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 2 En melkekartong der temperaturen i melken var 6 C, ble stående på kjøkkenbenken i 2 timer. Da var temperaturen steget til 13 C. Lufttemperaturen i kjøkkenet var 20 C. Vi regner med at Newtons avkjølings-/oppvarmingslov gjelder, det vil si at temperaturendringen per tidsenhet i melken er proporsjonal med differansen mellom lufttemperaturen og temperaturen i melken. a) Still opp en differensialligning for temperaturen T i melken som funksjon av tiden t, og vis at den har løsning av formen T (t) = A + Be αt der A er lufttemperaturen. Finn konstantene B og α. b) Da temperaturen i melken var 15 C, ble kartongen satt inn i kjøleskapet. Etter 1 time var temperaturen i melken sunket til 12 C. Hva var temperaturen i kjøleskapet? Oppgave 3 a) Bruk for eksempel rekken ln(1 + x) = x 1 2 x x3 1 4 x4 + (for x < 1) til å vise at 1/2 0 ln(1 + t 2 ) dt = n=1 ( 1) n+1 2 2n+1 n(2n + 1). b) Bruk formelen over til å finne verdien av integralet med feil mindre enn 10 3 i absoluttverdi. Begrunn feilestimatet uten å bruke den eksakte verdien av integralet. Løs deretter integralet (det kan lønne seg å starte med en delvis integrasjon). Oppgave 4 En sirkulær plate er laget av et materiale der massetettheten (masse per arealenhet) er ρ(r) = (r + 1) 2 i avstanden r fra sentrum. Finn massen til platen når radien er R. r R

29 SIF5003 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 5 a) Bestem buelengden av kurven hvor a er en positiv konstant. y = cosh ax, 1 x 1 a b) Gjør rede for at ligningen x tanh x = 1 har nøyaktig én positiv løsning x. Bruk Newtons metode med x 0 = 1 til å bestemme denne løsningen med fire desimaler. c) Kurven i a) representerer en jevntykk kabel som er opphengt i endepunktene og henger fritt mellom disse. θ Strekkraften i kabelen ved opphengspunktet i x = 1 er halve tyngden av kabelen dividert med sin θ, hvor θ er vinkelen i figuren. Hvilken verdi av a gir minst mulig kraft i opphenget? Hvor langt ned henger midtpunktet i forhold til endepunktene? (Som en omtrentlig kontroll på løsningen kan det opplyses at figuren er tegnet med den optimale verdien av a.)

30 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Anne Kværnø tlf Christian Skau tlf Hjelpemidler (kode C): Sensurdato: 1. september. EKSAMEN I FAG SIF5003 MATEMATIKK 1 Bokmål Fredag 1. august 2003 Tid: 9 14 Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning. Rottmann: Matematisk Formelsamling. Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 a) Finn maksimum for f(x) = x 100 x for 0 x 100. b) Lille Even skal lage en julekurv i glanspapir. Han klipper en sektor ut av en sirkelskive med radius 10 cm, og limer den sammen til en kjegle som vist på figuren. Hvor stort volum kan denne julekurven maksimalt ha? Hvilke mål har kurven med maksimalt volum? (Du vil kanskje legge merke til at den resulterende julekurven nok vil fungere dårlig i praksis, noe som bare viser at optimalt design ikke alltid er det beste.) (Sirkelsektoren og julekurven er ikke tegnet i samme skala.)

31 SIF5003 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 2 En logaritmisk spiral er kurven gitt i polarkoordinater ved r = e θ for < θ <. a) Finn arealet av området avgrenset av x-aksen og kurven r = e θ for 0 θ π. Finn buelengden av kurven r = e θ for π θ 0. b) La L k være buelengden til kurven r = e θ for (k + 1)π θ kπ. Finn summen til rekken L k. k=0 Oppgave 3 La y = f(t) være løsningen av differensialligningen dy dt = t2 e y2 med initialbetingelsen f(0) = 1. (Hint: Ikke forsøk å løse differensialligningen.) a) Bestem lim t 0 y 1 t 3. b) Finn et tredjegradspolynom P (t) slik at P (0) = f(0), P (0) = f (0), P (0) = f (0) og P (0) = f (0). Oppgave 4 La f(x) = sin x x 3. a) Vis at f(x) har akkurat ett nullpunkt for x > 0. b) Finn Taylorpolynomet P 3 (x) av orden 3 om x = 0 til f(x). Bruk P 3 (x) til å finne en tilnærming til det positive nullpunktet til f(x). Oppgave 5 Avgjør om rekkene konvergerer eller divergerer. (i) n=2 1 n ln n (ii) nπ n=1 (n 1)π sin x x dx

32 SIF5003 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 6 La f(x) = arctan x for x > 0. Finn en tilnærmet verdi for integralet I = 3 1 f(x) dx ved å bruke trapesmetoden med fire delintervaller. Hvor mange delintervaller er tilstrekkelig for at trapesmetoden gir et svar med feil mindre enn 10 3 i absoluttverdi? (Du kan uten bevis bruke at f (x) 1 for x 1.) 4

33 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Lisa Lorentzen Kristian Seip Ivar Amdal EKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 Bokmål Onsdag 10. desember 2003 Kl Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning Rottman: Matematisk formelsamling Sensurdato: 12. januar Alle svar skal begrunnes, og det må væremedså mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 Bestem grenseverdiene (i) e 2x 1 lim x 0 sin x og (ii) lim x 0 ( 1 ln(x +1) 1 ). x Oppgave 2 Løs initialverdiproblemet y = 2x(y 1), y(0)=2. Oppgave 3 Finn ligningen til tangenten i punktet (1, 1) til kurven x 2 y + xy 3 =2.

34 TMA4100 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 4 Bestem arealet til rotasjonsflaten som fremkommer når kurven dreies om linjen x = 1. y =coshx, 0 x ln 2, Oppgave 5 Funksjonen F er definert ved F (x) = x 2 0 e sin t dt. Finn Taylorpolynomet av grad 2 for F om punktet x =0. Oppgave 6 a) Finn konvergensradien til potensrekken n=1 x n 2 n n og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet. b) La S betegne summen av rekken i punkt a) når x = 1/2. Finn en tilnærmet verdi L for S slik at S L < Begrunn at den ønskede nøyaktigheten er oppnådd. Oppgave 7 a) Begrunn at ligningen ( ) e x x 2=0 har nøyaktig to løsninger. b) Forklar hvorfor x 0 = 0 er uegnet som startverdi dersom ( ) skal løses ved hjelp av Newtons metode. Bruk så Newtons metode til å finne den største av de to løsningene av ( ) med to desimaler. Oppgave 8 Et legeme har grunnflate i xy-planet. Grunnflatens omkrets er sirkelen x 2 + y 2 = 1, og alle tverrsnitt gjennom legemet vinkelrett på x-aksen er likesidede trekanter. Finn volumet av legemet.

35 TMA4100 Matematikk Side 3 av 3 Oppgave 9 En innsjø har et volum på m 3. Anta konsentrasjonen av et forurensende stoff er 2.5kg/m 3 ved tidspunktet t = 0. En elv tilfører innsjøen vann som inneholder 0.5 kg/m 3 av det forurensende stoffet. Vannet fra elven strømmer med konstant hastighet m 3 pr. dag inn i innsjøen. En annen elv fjerner hver dag m 3 vann fra innsjøen. Vi antar at vannet i innsjøen til enhver tid er perfekt blandet. Når vil konsentrasjonen av det forurensende stoffet i innsjøen være redusert til 1 kg/m 3? Oppgave 10 Med utgangspunkt i et rektangel med sidekanter x og y lages et område som antydet i nedenstående figur. y y/2 y/4... x/2 x/4 x Det vil si at en uendelig sekvens av rektangler hektes på hverandre, slik at vi ved hver påhekting halverer sidekantene i foregående rektangel. Omkretsen av området skal være 6. Hva må x og y være for at området skal ha maksimalt areal?

36 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 3 Faglig kontakt under eksamen: Kari Hag tlf EKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 Mandag 2. august 2004 Kl Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning Rottman: Matematisk formelsamling Sensurdato: 1. september Alle svar skal begrunnes, og det må væremedså mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 Bestem grenseverdiene (i) cos x cos 2x lim og (ii) lim x ( e 1/x 1 ). x 0 x 2 x Oppgave 2 Løs initialverdiproblemet. a) y = y2 x 2 +1, y(0) = 1 b) y 2y 8y =0, y(0)=3, y (0)=0 Oppgave 3 Finn konvergensradien til potensrekken n=1 x n n og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet.

37 TMA4100 Matematikk Side 2 av 3 Oppgave 4 a) En kurve K som går gjennom origo har ligning ax + by =ln(1+xy) der a og b er gitte positive konstanter. Finn dy/dx ved implisitt derivasjon og bestem ligningen for tangenten til K i origo. b) Sett a=1 og b =1.Daer dy dx = 1+xy y x xy 1. Vis at hvis dy/dx = 0 i et punkt (x, y) på K (når a = b =1),såer ( ) x + 1 +ln(1 x) =0. 1 x Gjør rede for at ligningen ( ) har nøyaktig en løsning. c) Bruk Newtons metode med startverdi x 0 = 1 tilå finne løsningen av ( ) medto desimaler. Oppgave 5 En mann står i A på kanten av et sirkulært svømmebasseng med radius 20 m og sentrum i O (se figuren). Han ønsker å komme seg til det diametralt motsatte punktet B på kortest mulig tid. Han kan løpe langs kanten fra A til C og deretter svømme til B. Han kan også løpe hele veien fra A til B, eller svømme direkte fra A til B. La θ [0,π] være vinkelen mellom OA og OC. Hvis mannen løper med en fart av 6 m/s og svømmer med en fart av 3 m/s, for hvilken vinkel θ blir tiden han bruker fra A til B minst mulig? Vink: Du kan bruke at avstanden fra C til B er 40 cos (θ/2). B O θ C A Oppgave 6 En stav med lengde 2 m ligger langs x-aksen fra x =1tilx =3.Stavenhar variabel massetetthet δ(x) målt i kg/m. Finn stavens masse når massetettheten er gitt ved δ(x) = 2 x(4 x).

38 TMA4100 Matematikk Side 3 av 3 y 2 Oppgave 7 Området R påfigurentilhøyreerbe- grenset av x-aksen, y-aksen, linjen y = π/2 ogkurven y =arcsin(x 1). Finn volumet av rotasjonslegemet vi får når R dreies om y-aksen. R x Oppgave 8 a) Finn Maclaurinrekken (Taylorrekken om x = 0) for funksjonen f(x) = x 0 e t2 /2 dt ved å ta utgangspunkt i Maclaurinrekken til e x. For hvilke x konvergerer rekken for f(x)? b) Når x =1/2 blir rekkeutviklingen i a) gitt ved f(1/2) = ! ! ! ! 216 Bruk denne rekken til å finne en tilnærmet verdi I for f(1/2). Ta med så mange ledd av rekken at f(1/2) I < og begrunn at den ønskede nøyaktigheten er oppnådd.

39 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Marius Irgens tlf Dag Olav Kjellemo tlf Kristian Seip tlf EKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 Bokmål Mandag 6. desember 2004 Kl Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning Rottman: Matematisk formelsamling Sensurdato: 6. januar 2005 Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 a) b) Løs initialverdiproblemet. y = y, y(0) = x2 2y + 5y 3y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0. Oppgave 2 La R betegne området i xy-planet begrenset av y = x 2 og y = x. a) Finn arealet av området R. b) Bestem tyngdepunktet (sentroiden) til R.

40 TMA4100 Matematikk Side 2 av 2 Oppgave 3 Ligningen x 5 y + 2xy 3 = 3 definerer implisitt en funksjon y = f(x) for x > 0 med f(1) = 1. Finn Taylor-polynomet til f av grad 2 om x = 1. Oppgave 4 Finn konvergensradien til potensrekken n=1 ( 1) n x n ln(n + 1), og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet. Oppgave 5 a) Bruk trapesmetoden med fire delintervaller til å finne en tilnærmet verdi for integralet 1 0 e x3 /3 dx. b) La f(x) = e x3 /3 være integranden i punkt a). Vis at f (x) 3e 1/3 når 0 x 1, og bruk dette til å vurdere feilen ved tilnærmingen i punkt a). Hvor mange delintervaller ville du bruke for å være sikker på at feilen ble mindre enn 10 4? Oppgave 6 a) Vis ved induksjon at for n = 1, 2, 3,... gjelder 2n i=n+1 b) Bruk resultatet i punkt a) til å vise at 1 2n i = m=1 ( 1) m+1 m. ( 1) m+1 m=1 m = ln 2. (Hint: Husk ideen bak integraltesten.)

41 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Ivar Amdal tlf EKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 Tirsdag 16. august 2005 Kl Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning Rottman: Matematisk formelsamling Sensurdato: 6. september Alle svar skal begrunnes, og det må væremedså mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 Bestem grenseverdien x sin x lim. x 0 x 3 Oppgave 2 a) Løs initialverdiproblemet der k er en gitt konstant. dy dx = ( x 2 k ) y 2, y(0) = 1 b) For k = 1 kan løsningen i a) skrives y = 3 x 3 +3x 3. Det størst mulige definisjonsområdet for denne løsningen er et åpent intervall (,a) der a>0. Bruk Newtons metode til å bestemme a med to desimaler.

42 TMA4100 Matematikk Side 2 av 2 Oppgave 3 Gitt funksjonen 1 f(x) = x 2 +2x +4. La R betegne området i xy-planet begrenset av y-aksen, den rette linje x =2ogkurvene y = f(x) ogy = f(x), se figuren til høyre. a) Finn arealet A av området R. b) Finn volumet V av rotasjonslegemet som dannes når R dreies om aksen x = 1. Bestem tyngdepunktet (x, y) til R? x= y y=f(x) y= f(x) x Oppgave 4 a) En kurve K i xy-planet har ligning ( ) 2e 2x e y = x 2 y. Vis at punktet (0, ln 2) ligger på K, og finn ligningen for tangenten til K i dette punktet. b) Finn Taylorpolynomet av grad 2, P 2 (x), om x = 0 for funksjonen y = f(x) somer definert implisitt ved ligningen ( ). Oppgave 5 a) Bestem konvergensradien for potensrekken x n, 4n +1 og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet. n=0 b) La S betegnesummenavrekkenia) når x = 1/4. Finn en tilnærmet verdi L for S slik at S L Oppgave 6 Gitt punktene A(a, 0), B(1, 1) og C(0, 1) der a > 0. La P være skjæringspunktet mellom linjestykket fra origo O til B og linjestykket fra A til C, sefigurentilhøyre. C(0,1) y P B(1,1) Bestem a slik at summen S av arealene av trekantene OAP og BCP blir minst mulig. O A(a,0) x

43 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Johan Aarnes tlf Kristian Seip tlf Ivar Amdal tlf EKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 Bokmål Onsdag 7. desember 2005 Kl Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning Rottman: Matematisk formelsamling Sensurdato: 9. januar Alle svar skal begrunnes, og det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 En funksjon er definert for x R ved 0 hvis x = 0 f(x) = cosh x 1 hvis x 0. x cosh x 1 Bestem lim, og avgjør om f er kontinuerlig i x = 0. x 0 x Oppgave 2 a) Vis at ligningen cosh x 1 x = 0 har nøyaktig én løsning x i intervallet (1, 2). b) Benytt Newtons metode til å beregne x med to desimaler.

44 TMA4100 Matematikk Side 2 av 2 Oppgave 3 Et kvadrat er plassert med en diagonal langs x-aksen og to hjørner i punktene (1, 0) og (3, 0). Finn volumet av legemet som fremkommer når kvadratet roteres om y-aksen. Oppgave 4 Løs initialverdiproblemet dy dx + y tan x = sin2 x cos x, y(0) = 1, π 2 < x < π 2. Oppgave 5 Et vassdrag skal behandles med giften Rotenon fordi en ønsker å bekjempe lakseparasitten Gyrodactylus Salaris. Elven som skal behandles, renner ut fra et lite tjern. Giften tilføres tjernet med en konstant rate på k kg pr. time i tre døgn. Vi antar at like mye vann flyter inn i tjernet som ut, og at tjernet har et konstant vannvolum på = 10 5 liter. Vi antar at vi har fullstendig blanding av gift i vannet til enhver tid, og at elven har konstant vannføring på 1000 liter pr. time. a) Still opp en differensialligning for mengden x(t) av Rotenon i tjernet ved tiden t målt i timer (t [0, 72]) fra behandlingen startet, og vis at løsningen er gitt ved x(t) = 100k ( 1 e t/100). b) For at behandlingen skal være virkningsfull må konsentrasjonen av gift i elven overstige 15 gram pr. liter. Hvor stor må tilførselsraten k være for at dette kan oppnås i løpet av tre døgn? Oppgave 6 Beregn 0 dx (x + 1)(x + 2)(x + 3). Oppgave 7 a) Finn Taylorrekken om x = 0 (Maclaurinrekken) for funksjonen f(x) = cos x 1 x 2. For hvilke x konvergerer rekken? Det oppgis at b) Beregn integralet cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 x2k + + ( 1)k 6! (2k)! cos x 1 med en feil som i absoluttverdi er mindre enn x 2 dx

45 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Faglig kontakt under eksamen: Ivar Amdal tlf EKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 Fredag 18. august 2006 Kl Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP30S), med tilhørende bruksanvisning Rottman: Matematisk formelsamling Sensurdato: 11. september Alle svar skal begrunnes, og det må væremedså mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen. Oppgave 1 Bestem grenseverdien lim x π/2 1 sin x 1+cos2x. Oppgave 2 a) Finn summen av rekken n=0 2 n +5 3 n. b) Finn konvergensradien for potensrekken n=1 x n arctan n og avgjør om rekken konvergerer i endepunktene av konvergensintervallet.

46 TMA4100 Matematikk 1, Side 2 av 2 Oppgave 3 Løs initialverdiproblemet ( x 2 +1 ) dy = x(2y 3), dx y(0)=1. Oppgave 4 Et rektangel R (se figuren) der sidene er parallelle med koordinataksene, har øverste venstre hjørne i punktet (t, t )påkurveny = x og nederste høyre hjørne i punktet (9, 0) på x-aksen. a) Finn arealet av R uttrykt ved t. Bestem den største verdien som arealet oppnår når t varierer fra 0 til 9. b) For hvilken verdi av t blir arealet av R like stort som arealet av et kvadrat med side t?bruknewtons metode til å løse ligningen du får, og angi svaret med to desimaler. y (t, t) t y= x R 9 x Oppgave 5 ( ) Gitt initialverdiproblemet dy dx = x + y2, y(0)=1. a) Bruk Eulers metode med skrittlengde h =0.1 tilå finne en tilnærmet verdi for y(0.3). b) La P 2 (x) betegne Taylorpolynomet av grad 2 om x = 0 for løsningen y(x) av initialverdiproblemet ( ). Beregn P 2 (0.3). Hint: Deriver ( ) implisitt for å finne y. Oppgave 6 La R betegne området i xy-planet begrenset av x-aksen og kurven y =3x x 2. Finn volumet av rotasjonslegemet som fremkommer når R dreies om linjen x = 1. Oppgave 7 La f(x) være en ikkenegativ funksjon som er deriverbar med kontinuerlig derivert for x 1. Buelengden til kurven y = f(x) frax =1tilx = u er gitt ved en funksjon H(u). Bestem funksjonen f dersom H(u) = u3 3 + u 4 3 og f(1) = 0.

47 Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 2 Fagleg kontakt under eksamen: Magnus Landstad ( ) KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4100 MATEMATIKK 1 Nynorsk Laurdag 16. august 2008 Kl Hjelpemiddel (kode C): Kalkulator HP30S Rottmann: Matematisk formelsamling Oppgåvesettet har 2 sider. Sensurdato: 6. september 2008 Alle svar skal grunngis, og det skal være med så mykje mellomrekning at framgangsmåten går tydeleg fram av svaret ditt. Oppgåve 1 La f(x) = x3 3x 2 4. x 3 4 a) Finn f og angi dei lokale ekstremalpunkta til funksjonen. b) Finn horisontale og vertikale asymptotar, skisser grafen og forklar kvifor f har nøyaktig eitt nullpunkt. Oppgåve 2 Rekn ut det ubestemte integralet x x 2 3x + 2 dx.

48 Side 2 av 2 Oppgåve 3 Finn konvergensradien til rekkja n=2 ( 1) n x 2n 2n + 1 og avgjer om rekkja konvergerer i eventuelle endepunkt for konvergensintervallet. Oppgåve 4 To av hjørna til eit rektangel ligg på x-aksen, og dei to andre ligg på parabelen y = 6 x 2, y 0. Kva er det største arealet eit slikt rektangel kan ha? Oppgåve 5 Krimskrams AS skal starte produksjon av dekorative pyramidar i massivt metall. Grunnflata i kvar pyramide skal vere kvadratisk med sidelengd x cm, og høgda skal også vere x cm. Metallet kostar 0,12 kr/cm 3. Undersida dekkjast med filt til 0,17 kr/cm 2. Syn at materialkostnadene gitt i kr pr pyramide er K = 0,04x 3 + 0,17x 2. For å levere til konkurransedyktig pris må materialkostnadene ikkje vere meir enn 50 kr pr pyramide. Bruk Newtons metode til å gi eit overslag for kor stor sidelengda x da maksimalt kan vere. Oppgåve 6 Finn løysinga av initialverdiproblemet dy 1 x 2 + y = x, y(0) = 1. dx Oppgåve 7 Bruk ε-δ-definisjonen av grenseverdi til å syne at lim x x = 1.