JORDTRYKK KAPITTEL 1. EEU-KURS NTNU 1999: Grunnlag i geoteknikk 1

Transkript

1 KPITTEL JORDTRYKK Det trykket som oppstår i kontaktflaten mellom et nært vertikalt konstruksjonselement (for eksempel en kjellervegg) og jord som ligger inn mot veggen, kalles jordtrykk. Jordtrykket virker som en belastning på konstruksjonselementet som må dimensjoneres til å tåle belastningen. Motsatt virker trykket også til å holde nødvendig likevekt av jordlegemet på baksiden av veggen. Det er altså samspillet mellom konstruksjonselementet og bakenforliggende jord som bestemmer størrelsen av trykket. Dersom mediet på baksiden av veggen hadde vært en væske uten skjærstivhet og - styrke, ville trykket i en dybde z vært det hydrostatiske trykket p=γz der γ er tyngdetettheten av væsken. Jord har imidlertid skjærstivhet og -styrke, dermed vil kontaktrykket i dybde z avvike fra det hydrostatiske, avhengig av retning og størrelse på de skjærspenninger som settes opp. Bedømmelsen av jordtrykket vil da i virkeligheten innebære en vurdering av hvilket avvik vi vil få i forhold til det hydrostatiske trykket. Grovt sagt vil jordtrykket være mindre enn det hydrostatiske trykket dersom konstruksjonselementet unnviker fra jorden (aktivt jordtrykk), men jordtrykket kan bli større enn hydrostatisk trykk dersom konstruksjonselementet presses inn mot bakenforliggende jord (passivt jordtrykk). Størrelsen av jordtrykket vil også i stor grad avhenge av om kontaktrykket mellom jorden og konstruksjonselementet i tillegg til normaltrykk også består av skjærspenninger (mobilisert ruhet). Dette kapitlet tar sikte på å gi nødvendige formler og diagram til å kunne utføre enkle jordtrykkberegninger. I tillegg er hensikten å gi eksempler på hvordan man kan bedømme de parametrene som inngår, og kanskje noen gode råd... Den teoretiske bakgrunnen blir i mindre grad berørt. Den som eventuelt blir interessert i denne delen av problemet henvises til kompendium i fag Geoteknikk, som kan fåes ved henvendelse til instituttet. EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

2 Problemformulering Problemformulering Jordtrykket i en gitt situasjon vil avhenge av () geologisk historie, () selve installasjonen av konstruksjonselementet og (3) eventuell oppstøtting og deformering av konstruksjonselementet og tilslutt (4) utgraving og oppfylling. Dette er egentlig mange faktorer som ikke kommer formelt med i regnestykket, men som må tas hensyn til i valg av parametre. Som et enkelt grunntilfelle antar vi her at vi skal fylle sand mot en ferdig støpt grunnmur, se figur. σ' z m σ' 3 FIGUR. Tilbakefylling mot kjellermur Det viste jordelementet vil etterhvert presses sammen i vertikalretning (det får altså vertikale tøyninger), men vil ikke kunne få noen deformasjon eller tøyning horisontalt, se figur. Deformasjonen skjer i hviletrykktilstand eller i ødotilstand (henspeiler på tilstanden i et ødometer). σ' σ' 3 Fastholdt, ingen tøyning FIGUR. Betingelser for ødo-delen av et treaksialforsøk I et treaksialapparat, figur 3, kan vi simulere denne spenningsoppbyggingen ved å regulere horisontalspenning og vertikalspenning på en slik måte at prøvens areal ikke endres. EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

3 JORDTRYKK Stempelkraft σ h u h=ε h σ 3 σ s Jordprøve Vannfylt celle Poretrykkmåler u Byrette V vstengningsventil FIGUR 3. Treaksialapparat, prinsippskisse Dette treaksialforsøket gir oss dermed informasjon om hvilke horisontalspenninger som vil oppstå i prøven når vertikalspenningen har nådd et gitt nivå, se figur 4. Figur 3 og figur 4 trenger litt ekstra forklaring. Prosedyren for kjøringen av et ødotreaksialforsøk er:. Sandprøven omsluttes av gummihud, mettes med vann og gis et omslutningstrykk (her 0kPa). Porevannet forbindes via en stiv slange med en byrette der endringer i prøvens volum kan avleses som endring i byrettens volum.. Prøven presses sammen vertikalt ved at et stempel beveges ned mot prøven med konstant hastighet. Celletrykket justeres hele tiden slik at utpresset porevann V tilsvarer teoretisk volumendring for konstant areal 0 og den endringen h som til en hver tid er oppnådd i høyden, lign. (): V = 0 h Dette gir den første rette linjen, ødolinjen, i diagrammet fram til et passende spenningsnivå er nådd (her er dette oppnådd for σ 3 =3 kpa). 3. Den siste delen av forsøket er kjørt ved å stenge drenasjen slik at prøvens volum er konstant fra nå av. Videre blir celletrykket holdt konstant. Prøven trykkes fremdeles sammen med konstant hastighet, Spenningstien legger seg nå inn mot en ny styringslinje, bruddlinjen. styringslinjene kan uttrykkes slik, lign. () og lign. (3): () -- ( σ σ 3 ) = S 0 [ σ 3 ' + a] for ødotilstand -- ( σ σ 3 ) = S f ( σ' 3 + a) for bruddtilstand () (3) 3 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

4 Problemformulering Ødo-treaksialforsøk e= 0 % ( - 3 )/ (kpa) ,5 0, , 50, σ' 3 (kpa) FIGUR 4. Resultater fra et ødotreksialforsøk For en aktiv jordtrykktilstand er horisontalspenningen σ h gitt i forhold til effektiv overlagring σ v ut fra lign. (4): σ h ' + a ( σ' v + a) σ 3 ' + a = = = K ( σ' + a ) + S (4) Jordtrykkoeffisienten K angir altså forholdet mellom horisontaltrykket og vertikaltrykket (korrigert for attraksjonen a). K = angir isotropt trykk slik det vil oppstå i en væske. Den laveste verdien jordtrykkoeffisienten kan ha mot glatt vegg (r=0) oppnås når full skjærstyrke av jorda er mobilisert, det vil si, lign. (5): K, min = K, f = S f (5) Full skjærmobilisering vil kreve at veggen slippes innover i kjelleren, den må hele tiden sige frem med en viss (men ofte lav) hastighet. Full skjærmobilisering kan derfor sjelden utnyttes i permanente konstruksjoner, spesielt ikke for en kjellervegg. En vertikal sammenpressing av jorda uten lateraltøyning vil mobilisere bare en del av skjærstyrken. Dette gir en høyere jordtrykkoeffisient, lign. (6): K = K 0 = S 0 (6) Hviletrykkoeffisienten K 0 er altså en materialegenskap som kan måles, i hvert fall for jordarter og problemstillinger hvis egenskaper kan gjenskapes noenlunde riktig i laboratoriet. Dessverre eksisterer det en noe slapp terminologi omkring hviletrykk. Begrepet brukes ofte også om tilstanden in situ, altså om det horisontaltrykket som står i et EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 4

5 JORDTRYKK sediment som resultat av tidligere belastninger og avlastninger, for eksempel på grunn av ismasser og jordmasser som siden har forsvunnet. Det ville være meget mer presist om man kalte spenningsforholdet in situ for K i og reserverte betegnelsen K 0 for selve materialoppførselen som vist i lign. () og lign. (6). Innenfor et slikt system vil K 0 ha en noenlunde definert verdi omkring 0.5, mens K i vil kunne innta verdier fra 0.3 til over. Tilbake til kjellerveggproblemet. Dersom vi nå legger ut sanden i horisontale lag uten komprimering, er det rimelig å anta at ødodelen av forsøket vist i figur 4 gir en god simulering av det som skjer i fyllmassen. Vertikalspenningene økes gradvis for hvert lag som legges ut og horisontaltøyningen er null. Etter ferdig tilfylling er horisontalspenningen gitt av lign. (4). I figur 4 ses at S 0 = og dermed er K 0 =/3 for sanden. La oss nå anta at vi fjerner skillevegger i kjelleren slik at kjellerveggen blir for svak og gir etter. Jordtrykket bak veggen avtar etter som veggen siger inn i kjelleren, men når til slutt en stabil, lav verdi når jordas styrke er fullt utnyttet i sonen bak veggen. Lavere enn dette kan ikke jordtrykket bli, men husk at et så lavt jordtrykk betinger vedvarende deformasjoner. I figur 4 finner vi at S f =.7 og dermed er K f =/(+.7)=0.3. Jordtrykk mot kjellerveggen 0 σ h (kpa) Dybde (m) Passiv Hydrostatisk Hviletrykk ktivt trykk FIGUR 5. Beregnede jordtrykk mot kjellerveggen La oss så anta ta vi prøver å utbedre skaden som er forvoldt ved at veggen har seget inn i kjelleren. Ved hjelp av jekker prøver vi nå å presse veggen tilbake til sin opprinnelige stilling. Skjærspenningene i jorda skifter nå retning, jorda holder i mot, og vi får en passiv jordtrykktilstand. For å kunne presse veggen tilbake må vi skape brudd i jorda, altså mobilisere full skjærstyrke S f =.7. Jordtrykket vil nå kunne bli større enn vertikaltrykket, vi får passiv jordtrykktilstand, lign. (7): σ' h + a σ' + a σ' v + a σ' a K + = = = S f P (7) Med S=.7 (i figur 4) blir K Pf =+.7= EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

6 Teoretisk bakgrunn, af-analyse Konklusjon: I dette tankeeksperimentet har altså jordtrykkoeffisienten K variert mellom 0.3 og 4.4. Et ideelt væsketrykk ville gitt K=.0. Tankeeksperimentet viser at ved beregning av jordtrykk må man vurdere mange aspekter, trykket er ikke gitt av styrken (a, tanφ) eller stivheten (M) alene! Dersom jordtrykkene bestemmes med attraksjon a=0 og tyngdetetthet γ=8 kn/m 3, blir resultatene som vist i figur 5 for de jordtrykktilfellene vi har diskutert. Teoretisk bakgrunn, aφ-analyse Jordtrykkoeffisientene kan beregnes ut fra teoretiske spenningsfelt der alle elementer har mobilisert samme skjærmobilisering f=tanρ/tanφ. Den matematiske behandlingen av slike plastifiserte spenningsfelt er ganske enkel, men den vil ikke utledes her. For den som er interessert i nærmere studier, henvises til kompendiet som er utarbeidet for faget 335 Geoteknikk. Dette kan fås kjøpt ved instituttet. Resultatet skal imidlertid vises her. Generell jordtrykkformel og inngangsparametre q σ γ z u/γ w τ FIGUR 6. Prinsippskisse for inngangsparametre for jordtrykk Figur 6 viser prinsippet for en jordtrykkberegning. Jordtrykket i dybde z under terreng mot en vertikal vegg er generelt gitt som den effektive normalspenningskomponenten σ, lign. (8), og skjærspenningskomponenten τ, lign. (9): σ P + a = K P ( γz+ q u+ a) ' (8) τ P = r tanρ σ' P + a (9) Dette er egentlig to formelsett skrevet i ett. Indeks P gjelder for passivt og indeks gjelder for aktivt jordtrykk. Jordtrykkoeffisienten K er en funksjon av jordtrykktilstand (aktiv-passiv), mobilisert skjærnivå (tanρ), samt av forholdet mellom normal- og skjærspenning overført i kontaktflaten mellom vegg og jord (r). Formler og diagram blir gitt i de neste avsnitt. I beregningen av selve jordtrykket inngår dessuten jordens tyngdetetthet (γ) og attraksjon (a), terrenglasten (q) og poretrykket (u) i den aktuelle dybden (z). Merk at de totale trykk mot veggen inkluderer eventuelle poretrykk, lign. (0): EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 6

7 JORDTRYKK σ = σ' + u (0) Passivt trykk Positiv ruhet Dersom skjærspenningen τ P overfører vekt fra veggen til jorden som vist på figur 7, defineres dette som positiv ruhet. For en slik grensbetingelse langs veggen kan spenningstilstanden i spenningsfeltene uttrykkes matematisk (integrerte differensialligninger). Generell formel for jordtrykkoeffisienten K P (passivt jordtrykk) gyldig for positiv ruhet er gitt av lign. () til lign. (3): ( + f ω )N + K P = f e ωtanρ + ω N + () f ω = tanω tanα = + -- r ( r ) () N + = tan α+ = ( ( + tan ρ) + tanρ) (3) Hovedparametrene her er () tanρ som angir hvilket skjærnivå jorden er mobilisert til og () r som angir forholdet mellom skjær- og normalkomponent av jordtrykket. Merk at r dermed angir orienteringen av hovedspenningene i grenseflaten mot veggen, vinkelen ω. Dreievinkelen ω (og faktoren f ω ) er avledet av r og tanρ. Dreievinkelen ω har imidlertid sin klare geometriske betydning som vist i figur 7. Den som er interessert i å se nærmere på sammenhengene henvises til kompendiet for fag Geoteknikk. q σ' P τ' P FIGUR 7. Skjærsonegeometri ved passivt jordtrykk og positiv ruhet Figur 7 viser skjærsonegeometrien for passivt jordtrykk og posititv ruhet (plastifiserte soner, konstant skjærmobilisering f). Merk også den retningen skjærspenningen τ P har langs veggen for positiv ruhet. Når skjærspenningene virker slik, fører de til at spenningsnivået inne ved veggen økes i forhold til et tilfelle uten disse skjærspenningene (r=0). Dette fører til at også horisontaltrykkene σ P øker når r øker. 7 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

8 Teoretisk bakgrunn, af-analyse Negativ ruhet Dersom kontaktflaten veggen påføres krefter som gjør at det oppstår skjærspenninger τ P som overfører vekt fra jorden til veggen, se figur 8, defineres dette som negativ ruhet. Det finnes ikke matematiske løsninger som kan uttrykke spenningsfeltene for dette tilfellet (differensialligningene lar seg ikke integrere). Som en tilnærmelse bruker vi en betraktning av total likevekt av hele jordkilen over en plan kritisk skjærflate. Dette vil si at vi tar likevekt ved å anta en vilkårlig beliggenhet av en skjærflate. Den flaten som gir minste motstand (laveste K P ) kalles kritisk og den tilhørende verdien av K P velges som løsning. Løsningen er teoretisk korrekt for r=0 og vurderes å være meget bra også for r<0. Den er håpløs for r=+ i det den fører til at verdien av K P går mot uendelig når r går mot +. τ p σ p Passiv r<0 FIGUR 8. ntagelse for vurdering av negativ ruhet ved passivt jordtrykk Jordtrykkoeffisienten for passiv tilstand og negativ ruhet er etter antagelsen ovenfor gitt av lign. (4): (husk å sette inn r med negativt fortegn!) K P = tan ρ tanρ + r (4) ktivt trykk Positiv ruhet Dersom skjærspenningen τ overfører vekt fra jorden til veggen som vist på figur 9, defineres dette som positiv ruhet. For en slik grensebetingelse langs veggen kan spenningstilstanden i spenningsfeltene uttrykkes matematisk (integrerte differensialligninger). Generell formel for jordtrykkoeffisienten K (aktivt jordtrykk) gyldig for positiv ruhet er gitt av lign. (5) til lign. (7): ( + f ω )N - K = f e + ω N - ( )ωtanρ (5) f ω = tanω tanα = - -- r ( r ) (6) N - = tan α- = ( ( + tan ρ) tanρ) (7) EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 8

9 JORDTRYKK Formlene er helt parallelle med de som ble utviklet for passivt tilfelle, lign. () til lign. (4), det eneste som egentlig har skjedd er et fortegnskift i tanρ. Dette er bakgrunnen for bruken av indeks + for passiv (positiv tanρ i formlene) og - for aktiv (negativ tanρ i de samme formlene). Figur 9 viser skjærsonegeometrien for aktivt jordtrykk og posititv ruhet (plastifiserte soner, konstant skjærmobilisering f). Merk retningen skjærspenningen τ har langs veggen for positiv ruhet. Når skjærspenningene virker slik, fører de til at spenningsnivået inne ved veggen avtar i forhold til et tilfelle uten disse skjærspenningene (r=0). Dette fører til at også horisontaltrykkene σ avtar når r øker. Positiv ruhet r fører til motsatt retning på skjærspenningene langs veggen i aktiv versus passiv tilstand. Dette er forsåvidt logisk, skjærspenningene endrer jo retning langs skjærflaten også. Figur 9 viser de spenningsfeltene som er plastifisert, dvs soner med antatt konstant skjærmobilisering f. Det kan ofte være nyttig å kunne vurdere denne geometrien for å kunne vurdere hvilke jordparametre man skal anslå ved beregningen av trykket. Merk at utstrekningen av sonene varierer med ruheten r og mobilisert skjærnivå tanρ. q q σ τ Negativ ruhet FIGUR 9. Skjærsonegeometri ved aktivt jordtrykk og positiv ruhet Som ved passivt trykk vil det også ved aktivt trykk være aktuelt å kunne snu skjærspenningene langs veggen. Igjen fører dette til umulige spenningsfeltligninger og man må ty til likevektbetraktning av hele kilen. Kritisk skjærflate gir, lign. (8): (husk å sette inn r med negativt fortegn!) K = tan ρ + tanρ + r (8) Igjen ser vi at det bare er spørsmål om et fortegnskift for tanρ i forhold til passiv tilstand. 9 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

10 Teoretisk bakgrunn, af-analyse Oppsummering av den teoretiske bakgrunnen For positiv ruhet kan aktivt og passivt trykk regnes med jordtrykkoeffisienten gitt av lign. (9): K P ( + f ω)n ± = f e ω ( ±tanρ) + ω N ± f ω = -- r ( r ) = tanω tanα N ± = + ( tanρ) ± tanρ ± (9) For negativ ruhet kan aktivt og passivt jordtrykk regnes med jordtrykkoeffisienter gitt av lign. (0): K P = ( + tan ρ) + tanρ ( + r) (0) Disse to (fire) formlene gir de jordtrykkoeffisientverdiene som er gitt i figur 0. Merk definisjonene for positiv ruhet for passiv og aktiv tilstand! JORDTRYKKOEFFISIENTER (KTIV-PSSIV) 0 K P 0 +r r < 0 r = 0 r > 0 q PSSIV p' P +a=k P (p' v +a) τ P =r tanρ (p P '+a) p' v =γz+q-u 5 r = tanρ - -0,8-0,6-0,4-0, ,8 0, , , 0,4 0,6 0, r = r r < 0 r = 0 r > 0 q KTIV 0, K 0, tanρ FIGUR 0. Jordtrykkoeffisienter for aφ-analyse EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 0

11 JORDTRYKK Beregningsgang, aφ-analyse Oppskrift Den praktiske beregningsgangen ved jordtrykkberegninger blir som følger:. Tegn et jordprofil med angivelse av jordartsparametre, terrenglast og poretrykkantagelse (grunnvannstand).. Beregn total vertikal overlagring, p v =γz-u+q+a i karakteristiske dybder. Beregn så effektiv overlagring p v =p v -u i samme dybder. 3. Vurdér om spenningstilstanden er aktiv eller passiv, anslå skjærmobiliseringsgraden f=tanρ/tanφ, anslå hvordan eventuelle skjærkrefter vil stå og anslå etter dette ruheten, tallverdi og fortegn. 4. Bestem jordtrykkoeffisientene du vil bruke (de kan være forskjellige for forskjellige jordlag) ut fra formlene lign. (9) og lign. (0), eller diagram figur Beregn jordtrykket (horisontalkomponenten mot vertikal vegg) p h +a=k(p v +a), og beregn det totale trykket p h =p h +u som virker på veggen. Eksempel Senkasse på Trondheim havn (Pir ) Kaien er utført som støpte betongkasser, figur. Kassene ble fløtet ut til bestemmelsestedet, senket og fylt med pukk og grus. Kassene dannet kaifronten. Bak kassene ble det spylt inn sand opp til toppen av kassene, sandens parametre er gitt i tabell. Vi skal gjøre overslag over hvilke jordtrykk disse massene vil utøve mot kassene. Beregningene er ført i figur 3. FIGUR. +3 B/L =0 - HGV Midl. tyngd. LLV -4 P' densitet 0 kn/m 3 T -8-9 B C D B = 8 m FIGUR. Senkasse på Trondheim havn, idealisert TBELL. Jordartsparametre for sanden γ (kn/m3) a (kpa) tanφ f 0 r EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

12 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk p u V e rtik al ove rlagring p, p' og u (k Pa) Horisontalspenninger (kpa) pf p0 u Beregninger: r=+0.5, tanφ=0.7 (lavest mulig trykk) tanρ 0 = =0.49 (sannsynlig trykk) TBELL. Beregning av spenninger kt u p v p 0 p f m kpa kpa kpa kpa K = Totaltrykkresultant: P 0 =706kN/m; på kote Tegn et jordprofil med angivelse av jordartsparametre, terrenglast og poretrykkantagelse (grunnvannstand).. Beregn total vertikal overlagring, p v =γz-u+q+a i karakteristiske dybder. Beregn så effektiv overlagring p v =p v -u i samme dybder. FIGUR 3. Beregning av aktivt trykk for senkassen 3. Vurdér om spenningstilstanden er aktiv eller passiv, anslå skjærmobiliseringsgraden f=tanρ/tanφ, anslå hvordan eventuelle skjærkrefter vil stå og anslå etter dette ruheten, tallverdi og fortegn. 4. Bestem jordtrykkoeffisientene du vil bruke (de kan være forskjellige for forskjellige jordlag) ut fra formlene lign. (9) og lign. (0), eller diagram figur Beregn jordtrykket (horisontalkomponenten mot vertikal vegg).

13 JORDTRYKK TBELL 3. Beregning av aktive effektive jordtrykkresultanter Kote p 0 Resultantbidrag (kn/m) rm (m) rm (m) Moment (knm/m) kpa ^ v ^ v Σ 76 0 (P =386) 69 Res. arm 545/(386)= Res. kt. = Beregningene av resulterende kraft og beliggenhet i figur 3 gjelder for det totale hviletrykket p 0. Dette inkluderer poretrykket som varierer hydrostatisk fra kote - for dimensjonerende tilfelle (laveste lavvann). Resultanten er enkelt beregnet som arealet under kurven for p 0. Ved å dele opp dette arealet i trekanter er resultantens plassering kjent for hvert flateelement og man kan summere opp de enkelte momentbidragene for å finne den samlede resultantens plassering. Poretrykket u virker likt på begge sider av kassen og kanseleres i dette tilfellet. Det er derfor mest naturlig å beregne resultantene av effektivspenningene p 0. Dette er vist i tabell 3. Tegnene ^ og v betegner hvilken vei de aktuelle trekantede arealdelene vender. Ettersom vi har antatt en ruhet på r=0.5 i kontaktflaten mellom kasse og bakenforliggende jord gir regnemodellen også en vertikal resultant T =P r tanρ= =95kN/m. Denne skjærkraften virker nedover på kassen (øker kassens vekt). På høyre side av kassen, figur, virker et passivt mottrykk. Dette trykket støtter kassen mot å bli skjøvet til høyre av det langt større aktive trykket vi beregnet ovenfor. Beregningene er ført i tabell 4. TBELL 4. Beregning av passive effektive jordtrykkresultanter kote (m) p v (kpa) p P (kpa) Resultant (kn/m) rm (m) Moment (knm/m) ^ v ^ v K P = 3.46 Σ Dette mottrykket virker stabiliserende. Dersom vi er sikker på at det ikke vil kunne skje noen mudring eller erosjon i fremtiden, kan vi kanskje regne med denne stabi- 3 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

14 Beregningsgang, af-analyse liserende virkningen. Det passive trykket vil i såfall gi en vertikal skjærkraft T P i høyre vertikalsnitt: T P =r tanρ P P = =8.6kN/m. Kassen påvirkes da av kreftene som er gitt i tabell 5. Under kapitlet Bæreevne skal vi komme nærmere inn på hvordan disse resultantene overføres til jorden sammen med vekten av selve kassen. TBELL 5. Resulterende krefter på kassen fra jordtrykkene Side T (kn/m) P h (kn/m) M (knm/m) ktiv Passiv Sum: Eksempel. Spuntvegg med avstiver 3m q=6kpa S Umettet sand: n=40%, S r =90% a=0 tanφ= Mettet sand: n=40%, S r =00% a=0 tanφ=0.8 GV -6-9 FIGUR 4. Enkeltforankret spuntvegg i sand Figur 4 viser en 6m dyp og 6m bred utgravning i sand. Sidene i utgravningen er støttet med 9m lang spunt. Spuntveggene er avstivet med horisontale stivere som ligger.5m under terrengnivå. Grunnvannstanden i sanden ligger 6m under terreng og samsvarer med utgravningsdybden. Problemet har to sider, () å sørge for at fotdybden (spuntdelen under utgravningsnivået) er stor nok til å hindre veggen i å sparke inn og () å dimensjonere selve konstruksjonen (spunt og stiver) for de påkjenningene den påføres fra jorden. Begge problemstillinger krever jordtrykkberegninger. Disse utfører vi igjen etter oppskriften, Oppskrift på side.. Tegn et jordprofil med angivelse av jordartsparametre, terrenglast og poretrykkantagelse (grunnvannstand). EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 4

15 JORDTRYKK. Beregn total vertikal overlagring, p v =γz-u+q+a i karakteristiske dybder. Beregn så effektiv overlagring p v =p v -u i samme dybder. 3. Vurdér om spenningstilstanden er aktiv eller passiv, anslå skjærmobiliseringsgraden f=tanρ/tanφ, anslå hvordan eventuelle skjærkrefter vil stå og anslå etter dette ruheten, tallverdi og fortegn. 4. Bestem jordtrykkoeffisientene du vil bruke (de kan være forskjellige for forskjellige jordlag) ut fra formlene lign. (9) og lign. (0), eller diagram figur Beregn jordtrykket (horisontalkomponenten mot vertikal vegg) p h +a=k(p v +a), og beregn det totale trykket p h =p h +u som virker på veggen. Beregningen er utført i figur 6. Noen kommentarer følger her: Spunten rammes før utgravningen tar til, på dette tidspunktet er jordtrykkene like på begge sider av spunten, og de reflekterer sandens geologiske forhistorie. Dersom sanden er normalkonsolidert er det rimelig å anta at jordtrykkene er i nærheten av det hviletrykket vi kan bestemme i et ødotreaksialforsøk som vist i figur 4. Ettersom trykkene virker på begge sider blir det ingen moment eller skjærkrefter i spunten i denne situasjonen. Ut fra disse forutsetningene er det aktivt jordtrykk med en skjærmobilisering på f 0 på begge sider av spuntveggen i denne situasjonen. Man starter utgravningen og trykket på utgravningsiden avtar, det vil si at skjærmobiliseringen f øker. Spuntveggen utsettes nå for skjærkrefter og bøyemoment. Før disse blir for store må stiverne installeres. Når de er installert kan utgravningen forsettes til endelig nivå. Spuntveggen gir nå mest etter i den nedre delen og roterer svakt innover mot utgravningen. Etterhvert som overlagringen minker og horisontaltrykket øker foran spuntfoten slår trykket over til å bli passivt med stadig økende mobiliseringsgrad f. Hvor høyt opp mot brudd (f=) man vil gå er avhengig av tolererbare deformasjoner og ønsket sikkerhetsmargin i forhold til anslåtte jordparametre. Over stiverne vil imidlertid spunten rotere inn mot den bakenforliggende veggen, her vil mobiliseringsgraden f avta og dermed trykket øke. Dersom det blir tillatt store deformasjoner og stiverne plasseres lavt på spunten, kan derfor også trykket på øvre del av spunten slå over til passivt trykk som vil hjelpe til å hindre spuntfoten i å sparke inn i utgravningen. Dette blir utnyttet i dansk praksis, men det har ikke vært vanlig i Norge. Skal effekten utnyttes må man tillate store nok deformasjoner og man må sørge for å dimensjonere stiverne så de tåler den økte belastningen. P FIGUR 5. Vurdering av jordtrykktilstand Etter norsk praksis vil man kunne resonnere noenlunde slik, se figur Figur 5: Bak spunten vil det danne seg aktivt jordtrykk ettersom man kan la spuntkonstruksjonen gi noe etter, (). Her vil trykkene altså være lavere enn et ekvivalent hydrostatisk trykk. Foran spuntfoten (under utgravningens bunn) vil det danne seg passivt jordtrykk ettersom jorden her tjener som opplager for nedre del av spunten (P). Disse trykkene vil være større enn ekvivalent hydrostatisk trykk. 5 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

16 6 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk Horisontalrykk (kpa) Q(kN/m ) og M(kNm/m) Dybde (m) Q (kn/m) M (knm/m) Stagnivå Trykk aktiv side Trykk passiv side Dybde pv u p pv u pp (m) kpa kpa kpa (kpa) (kpa) (kpa) K KP a (kpa) 0 a (kpa) Dybde Q M (m ) (kn/m ) (knm /m ) E E-05 Momentlikevekt er oppnådd for tanρ= Dette finnes ved prøveberegninger der man antar forskjellige verdier for tanρ og beregner ubalansert moment om stiveropplagringen i dybde.5m. Plotter man dette mot mobilisert styrke, kan 0-punktet med tilhørende tanρ lett avleses. FIGUR 6. Beregnede jordtrykk og kraftvirkninger Når trykkene er funnet, finnes momenter og skjærkrefter med jordtrykkene som belastning. Maksimalmomentet finnes der skjærkraften er lik null. Dette er helt i tråd med vanlig grunnleggende mekanikk, bjelkestatikk. Disse utregningene kan være arbeidsomme, bruk tabelloppsett! Eksempler på slike tabeller er vist på neste side.

17 JORDTRYKK TBELL 6. Beregning av jordtrykkomponenter, aktiv side. Trykk aktiv side Dybde p v u p' p ' p t K 0.78 a 0 TBELL 7. Beregning av kraftvirkninger, aktiv side Momenter med referanse til topp P(v) arm P(^) arm Μ Τ TBELL 8. Beregning av jordtrykkomponenter, passiv side. Trykk passiv side Dybde p v u p' p P ' p P t p K P a 0 TBELL 9. Beregning av kraftvirkninger, passiv side. P(v) arm P(^) arm Μ Τ EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

18 Teoretisk bakgrunn, su-analyse Teoretisk bakgrunn, su-analyse I noen tilfelle har vi behov for å beregne jordkapasiteten ved meget kortvarige belastninger (i forhold til dreneringsevnen for det aktuelle jordvolumet). Dersom lastendringen er brå og kortvarig kan vi (etter grundig vurdering) kunne forutsette at ikke noe av porevannet i en mettet jordprøve kan slippe ut av prøven. Dette betyr at prøvens volum ikke endres ettersom vannfasen kan forutsettes å være uendelig volumstiv i forhold til kornskjelettets volumstivhet. Fortsetter man dette resonnementet kommer man fort til at midlere effektivspenninger heller ikke kan endres ettersom fjærene ikke endrer lengde, se figur 7. Formelmessig uttrykkes dette som vist i lign. (): σ' = q u= 0 u = q () Ligningen gjelder for det forenklede endimensjonale tilfellet vist i figuren. Boksen har stive vegger og et tettsluttende lokk som kan gli friksjonsfritt opp og ned. Lokket hviler på fjærer, kreftene i fjærene symboliserer de kreftene som bæres av selve kornskjelettet. Boksen er fylt av inkompressibelt vann. Vannet slipper ikke ut av boksen. Udrenert lastendring q (kpa) Udrenert poretrykkendring u (kpa) Uendret lengde gir uendret effektivspenning! Konstant volum FIGUR 7. Udrenert lastendring gir ingen effektivspenningsendring. Under disse forutsetningene ser vi at effektivspenningene ikke endrer seg ved påeller avlastning. Effektivspenningstilstanden ved brudd er derfor ikke påvirket av belastningsendringene som førte til brudd, effektivspenningsnivået ved brudd speiler effektivspenningsnivået in situ før lastendring..5 Effektivspenninger a-φ Totalspenninger Før Etter Poretrykk s u FIGUR 8. Totalspenningsirkelen flytter seg med økende totalspenning EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 8

19 JORDTRYKK Vi når dermed Coulomb-kriteriet på samme sted uansett, og det kan være praktisk å lese av den største skjærspenningen, udrenert skjærfasthet s u, direkte i kpa. Formelen for jordtrykk blir nå additiv, lign. (), sammenlign med den proporsjonale loven i lign. (8). σ P = q ± ( κ τ c ) τ c = s u --- F = f s u () Rent praktisk betyr dette at man parallellforskyver linjen som beskriver det ekvivalente hydrostatiske trykket, figur. Faktoren κ varierer med ruhetsforholdet r, figur 9. Faktoren κ Ruhetsforholdet r FIGUR 9. Jordtrykkfaktoren κ Formlene for κ er gitt i lign. (3) og lign. (4). κ = + r (for r 0 ) κ = + asin( r) + r (for r 0 ) κ = r (for r>0, tilnærming, stiplet) (3) (4) (5) Ved su-analyse er den vertikale skjærspenningen τ v gitt av : τ v = = r τ P τ c (6) Fortegnet på r gir retningen på τ v, etter samme regler som for aφ-analysen, Teoretisk bakgrunn, af-analyse på side 6. 9 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

20 Beregningsgang, su-analyse PSSIV KTIV τ r>0 τ v v τ r>0 c τ c τ v τ c r<0 τ v τ c r<0 FIGUR 0. Påminnelse om fortegnsdefinisjon av ruhet Beregningsgang, s u -analyse Oppskrift Den praktiske beregningsgangen ved jordtrykkberegning etter s u -analyse blir som følger:. Tegn opp et jordprofil, før på de dataene som er relevante for beregningen. Beregn vertikal overlagring, p v =γz+q 3. Bestem/vurder mobilisert skjærstyrke τ c =f s u 4. Bestem/vurder mobilert ruhetsforhold r=τ v /τ c 5. Bestem jordtrykkfaktoren κ av diagram i figur Beregn totalt jordtrykk (horisontalkomponenten mot vertikal vegg) p h =γ z+q±κ τ c 7. Beregn skjærspenning langs veggen τ v =r τ c Eksempel 3 s u -analyse, aktivt og passivt trykk Figur viser et enkelt eksempel på jordtrykkberegning ved s u -analyse. Et leirterreng belastes med en terrenglast q=0kpa. Denne tenkes å representere trafikklast fra tungt anleggsmaskineri. Med dagens suboptimalisering av delentrepriser bør man ta høyde for at det kan komme inn en utenkelig tung pelerigg eller lignende på et kritisk tidspunkt. Leiren har en grunnvannstand m under terreng, men merk at denne ikke har noen betydning ved beregningen av de totale jordtrykkene i en s u -analyse. Den er inntegnet for å illustrere denne effekten. Leiren er gitt en skjærfasthet på s u =0kPa. ktivt og passivt trykk er beregnet for et deformasjonsnivå som tilsvarer en mobiliseringsgrad på f=0.5, dvs τ c =0.5 0=0kPa. Jordtrykkberegningene er utført for r=0 og dermed κ=. Merk at jordtrykkene nå øker like mye med dybden, enten man regner aktivt eller passivt trykk. Dette kommer av at jordtrykkformelen er av additiv natur, se lign. EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 0

21 JORDTRYKK (). Ved å sammenligne med lign. (5) springer forskjellen i øynene, for aφ-analyse er trykkøkningen med dybden mye sterkere for passivt enn for aktivt trykk, dette kommer av at jordtrykkformelen for aφ-analyse er av proporsjonal natur, se lign. (8). Vær spesielt oppmerksom på vanskeligheten som oppstår ved å blande additive og proporsjonale betraktninger. Ofte beskrives en initialspenning ved en proporsjonal betraktning, p h =K 0 p v. Dersom denne tilstanden siden vurderes ut fra en s u -analyse vil man få brudd når man kommer under et visst dyp der radien i intitialspenningsirkelen overskrider den konstante skjærstyrken. Vanskeligheten kan overvinnes ved å være konsekvent i å beskrive initialtilstanden ved hjelp av en gitt mobiliseringsgrad f i. Her er da f i gitt av henholdsvis f i =τ i /s u eller f i =tanρ i /tanφ. Eksempel 4. Rykklaster på forankringsvegg Vi vil her beregne udrenert kapasitet av en vertikal vegg som kan brukes til å forankre f.eks. et reklameskilt. Problemet er å bestemme størrelse S på tillatt last, samt retning α ved fullt utnyttet materialteknisk ruhet, r m =, se figur. S=? m GV D=3m α=? γ=0kn/m 3 s u =30kPa FIGUR. Forankringsvegg for bardunlast Vi antar f=0.7, dvs τ c =0.7 30=kPa. På høyre side oppstår passivt trykk, negativ ruhet, dvs κ=0. På venstre side oppstår aktivt trykk, positiv ruhet, dvs κ=.57. Horisontalt resulterende jordtrykk blir: p r = p P p = γz + 0 γz = 38.6kPa (alt som sug på baksiden!) Vertikal skjærspenning blir tv= 5=5kPa på begge sider, rettet nedover på veggen. Kraftkomponentene av S blir: Sh=D p r =3 38.6=6kN/m og S v = D τ v = 3 5=90kN/m. Dette gir S=47kN/m og tanα=90/6=0.78, dvs α=38 grader. Merk at romvektsleddet forsvant (additiv natur for jordtrykket), likeledes at grunnvannstanden ikke hadde noen betydning. Merk videre at dette kun gjelder for en maksimal rykklast. Langvarige laster er langt ugunstigere for forankringen og kapasiteten for slike laster er derfor langt mindre. Dersom rykklastene repeteres vil jordstyrken brytes noe ned. Kapasiteten vil derfor også i det tilfellet være lavere enn den kapasiteten vi beregnet. Vertikalkomponenten har sin høyeste verdi ved denne vinkelen, dersom α=0 er imidlertid horisontalkomponenten betydelig større (kan bli opptil dobbelt så stor med r=+ på begge sider). EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

22 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk GV γ =0kN/m 3 s u =0kPa F=, f=0.5 q=0kpa Dybde (m) Horisontaltrykk (kpa) pp pv p Dybde pv p pp (m) (kpa) (kpa) (kpa) κ τ c 0 kpa. Tegn opp et jordprofil, før på de dataene som er relevante for beregningen. Beregn vertikal overlagring, p v =γz+q FIGUR. Beregning av aktivt, passivt og hydrostatisk trykk ved s u -analyse, enkelt eksempel 3. Bestem/vurder mobilisert skjærstyrke τ c =f s u 4. Bestem/vurder mobilert ruhetsforhold r=τ v /τ c 5. Bestem jordtrykkfaktoren κ av diagram i figur 9.

23 JORDTRYKK Tilbakefylte masser Ofte brukes utlagte masser bakenfor vegger og støttekonstruksjoner. Trykkene vil da avhenge av hvordan massene plasseres. I prinsippet kan man () fylle massene løst inntil veggen uten noen form for komprimering, () man kan blande jord og vann til en flytende masse og lede den ut på området gjennom rør eller (3) man kan legge massene ut lagvis og komprimere hvert lag under utleggingen. Løs tilbakefylling Dette ligner mye på en ren sedimentasjonsprosess og trykkene vil ligne på de man får simulert ved å kjøre ødotreaks-stien i figur 4. Vi kan derfor forvente aktive jordtrykk med en mobiliseringsgrad f=f 0 =0.5 til 0.7. Det vil være naturlig å regne med r=0 eller tilmed r>0 (jorda synker sammen og sklir nedover veggen). Dette gir lave jordtrykkoeffisienter, typisk i 0.3 til 0.4-skalaen for en vanlig sand/grus. Dersom man fyller i nedoverbakke mot veggen kan man få enda lavere jordtrykk i starten, men de vil gjerne vokse med tiden. Komprimering Ofte ønsker man å minimalisere ettersetninger i tilbakefylte masser. Det er viktig bak brulandkar, men også inn mot grunnmurer kan det være ulemper om terrenget synker så mye at man får fall inn mot huset etterhvert. Spenningsti ved komprimering 300 ktiv hviletrykk 50 5 Vertikalspenning (kpa) Passivt hviletrykk Horisontalspenning (kpa) FIGUR 3. Illustrasjon av en komprimeringsyklus i sand For å illustrere en komprimeringsyklus kan vi ta utgangspunkt i et treaksialforsøk med følgende faser, figur 3, nummereringen av punktene på figuren svarer til nummereringen av punktene nedenfor: 3 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

24 Tilbakefylte masser. Utfylling av massen, ødotilstand, dvs. σ h = σ 3 =K 0 σ v =K 0 γz.. Komprimering av massen, overfart med valsetrykket q k. Dette gir horisontaltrykket σ h = σ 3 =K 0 σ v =K 0 (γz+q k ). 3. Valsetrykket fjernes, vertikaltrykket går tilbake til σ v +a=γz+a. Horisontaltrykket kan være større, helt opp mot passiv brudd men mer sannsynlig opp mot passivt hviletrykk σ h +a=k P0 (γz+a) i de øverste lagene der γz er tilnærmet lik 0. K P0 regnes da som passiv jordtrykkoeffisient med f=f 0. Koeffisienten blir ofte i størrelsesorden.5 for vanlig sand og grus. Etter noen overfarter er det naturlig å regne en attraksjon tildels betydelig større enn Nye lag legges ut over dette laget vi har sett på, men horisontaltrykket i vårt lag øker ikke før tykkelsen H av de overliggende massene blir så stor at horisontaltrykket gitt av σ h +a=k 0 (γh+a) blir større enn det trykket (f.eks. 0kPa) massen i vårt lag allerede er forspent med. Vi forutsetter da at valsetrykket virker over en så smal bredde at tilleggspenningen ikke når ned i vårt lag ved senere overfarter. 5. Etter utlegging og komprimering står vi da igjen med et trykk som styres av aktivt hviletrykk i den nedre delen, men der komprimeringstrykkene står igjen i øvre del, se figur 4. Merk at omslaget mellom de to trykk-typene skjer i dybde ca 3m i det valgte eksemplet. Valgt: tanρ 0 =0.5, a=0kpa og γ=0kpa. Valsetrykket er forutsatt større enn q k =50kPa. Merk at en vanlig jordtrykkberegning grovt undervurderer trykkene i de øvre 3m i dette tilfellet. Dybde (m) Jordtrykk ved komprimering Jordtrykk (kpa) FIGUR 4. Jordtrykk ved komprimering, eksempel sand EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 4

25 JORDTRYKK Dreneringsforhold I de fleste tilfeller er det langtidssituasjonen som er mest interessant ved bedømmelse av jordtrykk bak en konstruksjon. Da gjelder aφ-analysen. Det totale trykket består da av en effektivspenningsdel p h og et poretrykk u. I en aktiv jordtrykksituasjon vil poretrykket kunne være betydelig, gjerne mer enn halvparten av totaltrykket. Det er derfor viktig med god og varig drenering. Dette betyr at den må være frostfri og at den ikke må tilstoppes av jordpartikler eller fremmedlegemer. Det legges gjerne et drenerende lag inn mot kjellermuren, se figur 5. Her kan man lett tro at dreneringen gir oss u=0 og dermed meget lave jordtrykk ut fra formelen, men merk at det poretrykket som inngår i formelen angår skjærspenningene langs skjærflaten. Her indikerer skissen at det til tross for en tørr kjellermur vil kunne stå betydelige poretrykk som igjen gir betydelige bidrag i det totale jordtrykket. u>>0 GV Kjeller u=0 Skjærflate Drensrør FIGUR 5. Drenering inntil kjellermur Skal dreneringen føre til nedsatte jordtrykk, må den legges inn i bakken under og gjerne gjennom de aktuelle skjærflatene. 5 EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk

26 Bedømming av ruhetsforhold Bedømming av ruhetsforhold Jordtrykket bak en støttevegg er dramatisk avhengig av om det samtidig påføres vertikale skjærkrefter i kontaktflaten mellom veggen og jorda. Formelt styres dette gjennom ruhetsforholdet r. Viktigheten av å kunne bedømme særlig fortegnet for r ser man av diagrammet for jordtrykkoeffisienter, figur 0. Setter vi tanρ=0.7 ser vi at K P kan variere mellom 0.67 (for r=-) og 8 (for r=+) altså med en faktor på over 0. Bedømmelsen av ruhetsforholdene kan gjøres ut fra hvordan relative bevegelser vil utvikle seg og ut fra rene statiske likevekter, se figur 6. BELSTET SPUNTVEGG (EGENVEKT?) STGFORNKRET SPUNTVEGG r < 0 P r > 0 r < 0 r < 0 P r > 0 UVSTIVET SPUNT OPPSTØTTET SPUNTVEGG r > 0 r < 0 P P r > 0 r < 0 r > 0 P r < 0 FIGUR 6. Eksempler til vurdering av ruhetsforholdet r. EEU-KURS NTNU 999: Grunnlag i geoteknikk 6