Oversikt, kursdag 2. Matematisk morfologi II. Morfologiske operatorer, erosjon og dilasjon. Morfologiske operatorer, erosjon og dilasjon

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oversikt, kursdag 2. Matematisk morfologi II. Morfologiske operatorer, erosjon og dilasjon. Morfologiske operatorer, erosjon og dilasjon"

Transkript

1 Matematisk morfologi II Lars Aurdal Norsk regnesentral 4. desember 2003 Elementære operasjoner: Erosjon. Dilasjon. Oversikt, kursdag 2 Sammensatte operasjoner: Åpning. Lukning. Flosshatt-transformasjoner. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 1 Grovt kan man si at morfologiske operatorer er designet for å trekke ut bestemte strukturer fra bilder representert ved sine subgrafer. Dette gjøres ved å analysere bildene med det som kalles et strukturelement. Strukturelementet er selv et sett, formen på dette er valgt med et eller annet bestemt formål for øye. De grunnleggende morfologiske operatorene er erosjon og. Erosjon og er duale operatorer. Alle andre morfologiske operasjoner kan uttrykkes ved disse to grunnleggende operatorene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 2 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 3

2 Morfologiske operatorer, et lite sidesprang Morfologiske operatorer, et lite sidesprang Phil Brodatz er fotograf. En av hans interesser er teksturer. I boka Textures: A photographic album for artists and designers, har han samlet et stort utvalg bilder av teksturer. Har blitt en svært viktig ressurs innen bildebehandling, det er veldig vanlig å benytte Brodatz-teksturer i artikler om teksturanalyse. Typisk applikasjon: Sett sammen ulike Brodatz-teksturer, undersøk så om algoritmen din kan separere disse. Figur 1: Komposisjon av to Brodatz-teksturer. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 4 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 5 Morfologiske operatorer, et lite sidesprang Et strukturelement er (som sagt) et lite sett som brukes til å undersøke bildet som skal analyseres. Figur 2: Komposisjon av to Brodatz-teksturer og resultatet av en spesialtilpasset erosjon av dette bildet. Husk: subgrafen til et n-dimensjonalt bilde er et n + 1-dimensjonalt sett. For å analysere et n-dimensjonalt bilde kan vi derfor benytte et n + 1-dimensjonalt strukturelement. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 6 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 7

3 I praksis benyttes oftest n-dimensjonale strukturelementer for å analysere n-dimensjonale bilder. Et strukturelement har et origo eller senter, dette gjør det mulig å plassere strukturelementet i en bestemt posisjon eller piksel. Slike strukturelementer kalles ofte flate strukturelementer. Figur 3: To mulige strukturelementer og deres origo. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 8 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 9 Et interessant spørsmål man kan stille når man analyserer et bilde med et strukturelement er: Passer strukturelementet i bildet? X B ε B (X) B Mer presist: Erosjonen av et sett X med strukturelement B betegnes ε B (X) og er definert som posisjonen til alle piksler x slik at B er inkludert i X når origo i B plasseres i x: ε B (X)={x B x X} X Figur 4: Et sett, et strukturelement og resultat av erosjon av settet med strukturelementet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 10 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 11

4 Husk: Definisjonsligningen for erosjon: ε B (X)={x B x X} Denne kan omskrives ved hjelp av interseksjoner av translaterte sett: ε B (X)= b BX b Definisjonen basert på interseksjoner av translaterte sett er: ε B (X)= b BX b Denne kan lett utvides til å gjelde for binære bilder og gråtonebilder: ε B ( f )= f b b B Den eroderte verdien i piksel x er altså minimum av bildet i vinduet definert av strukturelementet B når origo er i x. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 12 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 13 Definisjonen som gir oss algoritmen for å beregne en erosjon er: [ε B (X)](x)=min f (x + b) b B Figur 5: f, f 1, f +1 og ε B ( f ). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 14 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 15

5 Øving 1: Erosjon Øving 1: Erosjon Generelt om øvingene: På CD-en i underkatalogen ovinger finner dere et antall filer med navn av typen ovingn.m. Ved å skrve ovingn ved matlab kommandoprompten laster dere inn alt som trengs av grunnlagsinformasjon for å kunne gjøre øvingen. Typisk lastes et eller flere bilder etc. Eksempel på øvingsfil: % Dette laster og forbereder bildene for øving 1. i=imread(../cfiber.tif ); figure imshow(i) ig=rgb2gray(i); figure imshow(ig) igt=(ig>150) (ig<90); figure imshow(igt) % For å erodere igt kan du benytte en kommando av typen: % %>>igte=bwmorph(igt, erode ); % % Sjekk også kommandoen imerode() Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 16 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 17 Øving 1: Erosjon Øving 1: Erosjon I øving 1 tar vi for oss erosjon. Bildene vi skal bruke for å studere dette er vist under: Forsøk å erodere det tersklede bildet med ulike strukturlementer. Forsøk å erodere gråtonebildet med ulike strukturlementer. Vis med et eksempel at erosjon er invariant under translasjon (ikke nødvendig å bruke bildene over). Hva er en antiekstensiv transformasjon? Er erosjon en antiekstensiv operasjon. Figur 6: Bilder til bruk i øving 1. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 18 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 19

6 Det neste spørsmålet man kan stille når man analyserer et bilde med et strukturelement er: Treffer strukturelementet bildet? X B δ B (X) B Mer presist: Dilasjonen av et sett X med strukturelement B betegnes δ B (X) og er definert som posisjonen til alle piksler x slik at B overlapper med X i minst ett piksel når origo i B plasseres i x: δ B (X)={x B x X /0} X Figur 7: Et sett, et strukturelement og resultat av av settet med strukturelementet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 20 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 21 Husk: Definisjonsligningen for : δ B (X)={x B x X /0} Denne kan omskrives ved hjelp av unioner av translaterte sett: δ B (X)= b BX b Definisjonen basert på unioner av translaterte sett er: δ B (X)= b BX b Denne kan lett utvides til å gjelde for binære bilder og gråtonebilder: δ B ( f )= f b b B Den dilaterte verdien i piksel x er altså maksimum av bildet i vinduet definert av strukturelementet B når origo er i x. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 22 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 23

7 Definisjonen som gir oss algoritmen for å beregne en er: [δ B (X)](x)=max b B f (x + b) Figur 8: f, f 1, f +1 og δ B ( f ). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 24 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 25 Øving 2: Dilasjon Øving 2: Dilasjon I øving 2 tar vi for oss. Bildene vi skal bruke for å studere dette er vist under: Forsøk å dilatere det tersklede bildet med ulike strukturlementer. Forsøk å dilatere gråtonebildet med ulike strukturlementer. Vis med et eksempel at er invariant under translasjon (ikke nødvendig å bruke bildene over). Hva er en ekstensiv transformasjon? Er en ekstensiv operasjon. Figur 9: Bilder til bruk i øving 2. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 26 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 27

8 Øving 2: Dilasjon Morfologiske operatorer, nok et sidesprang Hva vil det si at to operatorer er duale? Vis med et eksempel at erosjon og er duale operatorer. Automatisk tolkning av fingeravtrykk er big business. Et viktig element å ta hensyn til under sammenligning av fingeravtrykk er forgreninger. Hvordan finne disse automatisk? Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 28 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 29 Morfologiske operatorer, nok et sidesprang Morfologiske operatorer, nok et sidesprang Figur 10: Fingeravtrykk og strukturelementet som brukes for å lete etter forgreninger. Figur 11: Tersklet fingeravtrykk og erodert fingeravtrykk. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 30 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 31

9 Morfologiske operatorer, nok et sidesprang Dilasjon og erosjon er duale operatorer: ε B = C δ B C Figur 12: Fingeravtrykk og fingeravtrykk med overlagret resultat av erosjon. Med andre ord: Enhver erosjon av et bilde gir samme resultat som å komplementere resultatet av en av det komplementerte bildet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 32 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 33 Erosjon og prosesserer altså ikke objekter og deres bakgrunn likt: Erosjon minsker størrelsen på objektene og øker størrelsen på bakgrunnen. Dilasjon øker størrelsen på objektene og minsker størrelsen på bakgrunnen. Erosjon og er ikke selv-duale operatorer. Det finne heller ingen invers transformasjon for disse operatorene, de bevarer ikke homotopien til input-bildet. Erosjon og er invariante under translasjon. De bevarer også ordningsrelasjonen mellom bilder: { ε( f ) ε(g), f g δ( f ) δ(g) Av dette følger det også at disse to operasjonene er invariante under terskeldekomposisjon. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 34 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 35

10 Øving 3: Dilasjon, invarians under terskeldekomposisjon Øving 3: Dilasjon I øving 3 tar vi for oss og det faktum at er invariant under terskeldekomposisjon. Vis med et eksempel at er invariant under terskeldekomposisjon. Bildet vi skal bruke for å studere dette er vist under: Figur 13: Bilde til bruk i øving 3. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 36 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 37 Dilasjon distribuerer den punktvise max-operatoren. Erosjon distribuerer den punktvise min-operatoren. Komposisjon: δ B2 δ B1 = δ (δ B ˇ B 1 ) 2 ε B2 ε B1 = ε (δ B ˇ B 1 ) 2 δ( i f i ) = i δ( f i ) ε( i f i ) = i ε( f i ) I praksis er dette svært viktig: For eksempel betyr det at det å dilatere med et 5 5 strukturelement kan gjøres som to pass av en med et 3 3 strukturelement. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 38 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 39

11 Øving 4: Komposisjon Dette kan gjøres ennå bedre: I øving 4 tar vi for oss komposisjon. Bildet vi skal bruke for å studere dette er vist under: B1 B2 δb2(b1) Figur 14: To elementære strukturelementer og resultatet av å dilatere det ene med det andre. Figur 15: Bilde til bruk i øving 4. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 40 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 41 Øving 4: Dilasjon Øving 5 Illustrer komposisjon av strukturelementer ved hjelp av et eksempel. I bildet under ser du et bilde av karbonfiber-epoxy blanding. Legg merke til at fibrene stort sett er orientert i en retning. Men ikke alle fibrene er orientert slik. Figur 16: Karbonfiber-epoxy blanding. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 42 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 43

12 Øving 5 Hvordan kan man måle den relative andelen av fibre orientert i forskjellige retninger i rommet? Det vil si, hvordan kan man lage et plot noe i retning av følgende: Figur 17: Relativ fordeling av karbonfibre i 12 ulike retninger i rommet. Ordningsrelasjoner: Erosjonen av et bilde med et strukturelement er mindre enn eller likt en av samme bilde med samme strukturelement. Men erosjon er ikke en anti-ekstensiv transformasjon og er ikke en ekstensiv transformasjon. Dette er lett å se ved å bruke strukturelementer som ikke inneholder sitt origo. Merk at dersom strukturelementet B inneholder sitt origo gjelder: ε B I δ B B inneholder sitt origo Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 44 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 45 Lokal kunnskap: Figur 18: Et binært bilde f, et strukturelement B som ikke inneholder sitt origo og resultatet av en erosjon av f med B. Når strukturelementet passer i definisjonsdomenet til bildet opptrer ingen kanteffekter. Det subsettet av definisjonsdomenet der kantene ikke har noen innflytelse på resultatet er definisjonsdomenet erodert med strukturelementet vi betrakter: ε B ( f D f ) ε B (D f ) = ε B ( f ) ε B (D f ) δ B ( f D f ) δ B (D f ) = δ B ( f ) ε B (D f ) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 46 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 47

13 Dimensjonalitet: Dimensjonalitet for erosjon og avhenger av om vi bruker flate eller ikke flate strukturelementer. For en ukjent skalering av intensitetsaksen er og erosjon med flate strukturelementer dimensjonale operasjoner. For en ukjent skalering av bildeplanet er hverken erosjon eller med flate eller ikke flate strukturelementer dimensjonale operasjoner. n erosjoner av et sett X med et strukturelement som vist i figuren under er det samme som terskling av den tilsvarende avstandsfunksjonen beregnet på X for alle verdier større enn n: ε n = {x X D 4 (x) > n} = T [n+1,tmax ][D 4 (X)] ε n = {x X D 8 (x) > n} = T [n+1,tmax ][D 8 (X)] Figur 19: Strukturelementene betegnet og i ligningene over. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 48 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 49 Erosjon og,- nok et sidesprang En gradient i et bilde er en region i bildet der gråtoneverdiene endrer seg (relativt raskt). I bilder av naturlige scener skjer slike endringer ofte langs grensene av strukturer i scenen. Figur 20: Et sett X, dettes D 4 avstandstransformasjon og resultatet av en terskling av avstandskartet ved nivå lik 21. Avstand er her beregnet innover i gruppen av hvite piksler fra nærmeste svarte piksel. I bildebehandling har det derfor lenge vært antatt at informasjon om disse gradientene og deres posisjon i bildet var viktige for tolkningen av bildet. Det finnes også indisier på at gradientinformasjon er en sentral komponent i det menneskelige synssystemet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 50 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 51

14 Erosjon og,- nok et sidesprang Erosjon og,- nok et sidesprang Gradientoperatorer og ulike algoritmer for å detektere kanter i bilder har vært gjenstand for ufattelig mye forskning. Den klassiske operatoren for å finne gradienter i bilder er de såkalte Sobel-operatorene. Sobel-operatorene er fire masker som bildet konvolveres med, resultatet er et nytt bildet der kantene er forsterket. S1 = , S2 = Figur 21: Opprinnelig bilde, resultat av anvendelse av Sobel-operatorene S 1 og S 2 samt addisjon av disse resultatene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 52 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 53 Erosjon og,- nok et sidesprang Erosjon og,- nok et sidesprang Morfologiske gradientoperatorer er et alternativ til de klassiske operatorene for beregning av gradienter. Morfologiske gradientoperatorer er morfologiske operatorer som forsterker variasjoner i pikselintensitet i et nabolag definert av strukturelementet. Husk: Erosjon og returnerer, for en bestemt piksel, henholdsvis min og max av bildet f i et nabolag definert av strukturelementet rundt det aktuelle pikslet. På grunn av dette er det derfor naturlig å definere de morfologiske gradientoperatorene på bakgrunn av kombinasjoner av erosjonog soperatorene. Tre ulike kombinasjoner benyttes ofte: Differansen mellom en og erosjonen av bildet f. Differansen mellom en av bildet f og f selv. Differansen mellom f og erosjonen av bildet f. Man benytter bare symmetriske strukturelementer som inneholder sitt origo (dermed blir differansene ikke-negative). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 54 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 55

15 Erosjon og,- nok et sidesprang Erosjon og,- nok et sidesprang Den grunnleggende morfologiske gradienten kalles Beuchergradienten. Den er definert som differansen av en og erosjonen av bildet f med strukturelementet B. Den betegnes ρ: ρ B = δ B ε B Figur 22: Opprinnelig bilde og Beucher-gradienten for dette bildet. Merk at Beucher-gradienten er invariant overfor komplementering: φ = ρc. Det er derfor en selvkomplementær operator. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 56 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 57 Morfologiske operatorer, åpning og lukning Morfologiske operatorer, åpning og lukning Disse operatorene er enkle sammensetninger av erosjon og. Motivasjonen er som følger: Erosjon av et bilde vil fjerne alle strukturer som ikke kan inneholde strukturelementet. Men også alle andre strukturer vil bli krympet av erosjonen. Dersom vi gjør en en erosjon og så en av et bilde med samme strukturelement vil de strukturene som overlever erosjonen bli gjenskapt av en. Åpningen γ av et bilde f med strukturelement B betegnes γ B ( f ). Åpningen γ B ( f ) er definert som erosjonen av f med strukturelementet B etterfulgt av en av f med det transponerte strukturelementet ˇB: γ B ( f )=δ ˇB [ε B( f )] Dette er en morfologisk åpning. Den omvendte prosessen, først, etterfulgt av erosjon med samme strukturelement kalles en morfologisk lukning. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 58 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 59

16 Morfologiske operatorer, åpning og lukning Morfologiske operatorer, åpning og lukning Åpningen av et sett X med et strukturelement B kan uttrykkes som unionen av alle strukturelementer som passer i settet: X B γ B (X) B γ B (X)= {B B X} X Figur 23: Et sett, et strukturelement og resultatet av åpning av settet med strukturelementet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 60 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 61 Morfologiske operatorer, åpning og lukning Morfologiske operatorer, åpning og lukning Lukningen av et bilde f med strukturelementet B betegnes φ B ( f ). Lukningen φ B ( f ) er definert som en av f med strukturelementet B etterfulgt av erosjonen av f med det transponerte strukturelementet ˇB: φ B ( f )=ε ˇB [δ B( f )] Figur 24: Tersklet bilde av bergart og resultatet av en erosjon og en av erosjonen (åpningen). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 62 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 63

17 Morfologiske operatorer, åpning og lukning Morfologiske operatorer, åpning og lukning Lukningen av et sett X med et strukturelement B kan uttrykkes som komplementet av unionen av alle strukturelementer som passer i komplementet av settet (settets bakgrunn): X B φ B (X) B φ B (X)=[ {B B X C }] C X Figur 25: Et sett, et strukturelement og resultatet av lukning av settet med strukturelementet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 64 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 65 Morfologiske operatorer, åpning og lukning Morfologiske operatorer, åpning og lukning Dualitet: En åpning fjerner forgrunnspiksler som ikke kan dekkes av translaterte versjoner av strukturelementet som passer i forgrunnen. En lukning har motsatt effekt: Den legger til de bakgrunnspikslene som ikke kan dekkes av translaterte versjoner av strukturelementet som passer i bakgrunnen. Åpningen av et bilde er ekvivalent med komplementet av lukningen av komplementet av bildet: γ B = C φ B C Ordningsrelasjoner: Åpning er en antiekstensiv transformasjon (piksler fjernes). Lukning er en ekstensiv transformasjon (piksler legges til). Derfor gjelder følgende relasjon: γ I φ Av dette følger at dersom vi beregner den aritmetiske differansen mellom inputbildet og dets åpning finner vi de pikslene som ble endret av åpningen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 66 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 67

18 Morfologiske operatorer, åpning og lukning Morfologiske operatorer, åpning og lukning Økning: Både åpning og lukning er økende transformasjoner: { γ( f ) γ(g) f g φ( f ) φ(g) Åpning og lukning bevarer derfor ordningen mellom bilder Idempotens: Gjentatte anvendelser av åpning og lukning gir ingen endringer i resultatet. Begge transformasjonene er idempotente: γγ = γ φφ = φ Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 68 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 69 Morfologiske operatorer, flosshatt (top-hat) transformasjoner Morfologiske operatorer, flosshatt (top-hat) transformasjoner Flosshattransformasjonen under åpning 1 er definert som differansen mellom bildet f og dets åpning: det vil si at WTH = I γ. WTH( f )= f γ( f ) Flosshatttransformasjonen under lukning 2 er definert som differansen mellom bildet f s lukning og bildet selv: det vil si at BT H = φ I. BT H( f )=φ( f ) f 1 også kalt hvit flosshattransformasjonen 2 også kalt svart flosshattransformasjonen Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 70 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 71

19 Morfologiske operatorer, flosshatt (top-hat) transformasjoner Morfologiske operatorer, flosshatt (top-hat) transformasjoner Figur 26: 1D signal f og dets åpning γ (med B) samt resultatet av en flosshattransformasjon under åpning av f. Figur 27: 1D signal f og dets lukning φ (med B) samt resultatet av en flosshattransformasjon under lukning av f. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 72 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 73 Morfologiske operatorer, flosshatt (top-hat) transformasjoner Øving 6 Summen av den hvite og svarte flosshatten er en operator som trekker ut alle strukturer i bildet som ikke kan inneholde strukturelementet uansett hva som er deres relative kontrast til omkringliggende strukturer. Den hvite flosshatt-transformasjonen er svært viktig i forbindelse med bilder der belysningen har vært ujevn. Denne operatoren kalles den selvkomplementære flosshatten. Den betegnes ρ og kan beregnes som differansen mellom lukningen og åpningen av bildet: ρ = WTH+ BT H = φ γ Figur 28: Ujevnt belyst scene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 74 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 75

20 Øving 6 Hvordan kan man trekke ut teksten i bildet til tross for den ujevne belysningen i bildet i forrige slide? Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 76

Matematisk morfologi II

Matematisk morfologi II Matematisk morfologi II Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 2 Elementære operasjoner: Erosjon. Dilasjon. Sammensatte operasjoner:

Detaljer

Oversikt, matematisk morfologi. Matematisk morfologi. Oversikt, matematisk morfologi. Oversikt, matematisk morfologi. Praktisk informasjon

Oversikt, matematisk morfologi. Matematisk morfologi. Oversikt, matematisk morfologi. Oversikt, matematisk morfologi. Praktisk informasjon Matematisk morfologi Lars urdal Norsk regnesentral aurdal@nr.no 9. august 2005 Litt praktisk informasjon.. Historie. Matematisk grunnlag. Fundamentale operatorer: Dilasjon. Erosjon. 1 Sammensatte operatorer:

Detaljer

Matematisk morfologi NTNU

Matematisk morfologi NTNU Matematisk morfologi Lars Aurdal Norsk regnesentral aurdal@nr.no 19. april 2004 Oversikt, matematisk morfologi Litt praktisk informasjon. Motivasjon. Historie. Matematisk grunnlag. Fundamentale operatorer:

Detaljer

Oversikt, kursdag 4. Matematisk morfologi IV. Geodesi-transformasjoner: Dilasjon. Geodesi-transformasjoner

Oversikt, kursdag 4. Matematisk morfologi IV. Geodesi-transformasjoner: Dilasjon. Geodesi-transformasjoner Matematisk morfologi IV Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no. desember Geodesi-transformasjoner: Oversikt, kursdag Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon.. Åpning/lukning

Detaljer

Oversikt, kursdag 3. Matematisk morfologi III. Hit-or-miss transformen og skjeletter. Hit-or-miss transformen og skjeletter

Oversikt, kursdag 3. Matematisk morfologi III. Hit-or-miss transformen og skjeletter. Hit-or-miss transformen og skjeletter Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter. Oversikt, kursdag 3 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

Detaljer

Matematisk morfologi IV

Matematisk morfologi IV Matematisk morfologi IV Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no. desember 3 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag Geodesi-transformasjoner: Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon.

Detaljer

Motivasjon. Litt sett-teori. Eksempel. INF Kap. 11 i Efford Morfologiske operasjoner. Basis-begreper

Motivasjon. Litt sett-teori. Eksempel. INF Kap. 11 i Efford Morfologiske operasjoner. Basis-begreper Basis-begreper INF 2310 08.05.2006 Kap. 11 i Efford Morfologiske operasjoner Fundamentale operasjoner på binære bilder Sammensatte operasjoner Morfologisk filtrering Morfologiske operasjoner på gråtonebilder

Detaljer

Motivasjon. Litt sett-teori. Eksempel. INF Mesteparten av kap i DIP Morfologiske operasjoner på binære bilder.

Motivasjon. Litt sett-teori. Eksempel. INF Mesteparten av kap i DIP Morfologiske operasjoner på binære bilder. 1 Motivasjon INF 2310 Mesteparten av kap 9.1-9.5 i DIP Morfologiske operasjoner på binære bilder Basis-begreper Fundamentale operasjoner på binære bilder Sammensatte operasjoner Eksempler på anvendelser

Detaljer

Matematisk morfologi I

Matematisk morfologi I Matematisk morfologi I Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 1 Praktisk informasjon om kurset Forelesninger. Øvinger. Pensum.

Detaljer

Oversikt, kursdag 1. Matematisk morfologi I. Praktisk informasjon om kurset. Praktisk informasjon om kurset

Oversikt, kursdag 1. Matematisk morfologi I. Praktisk informasjon om kurset. Praktisk informasjon om kurset Matematisk morfologi I Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 1. mars 2005 Praktisk informasjon om kurset Forelesninger. Øvinger. Pensum. Eksamen. Oversikt, kursdag 1 Tema for forelesningene.

Detaljer

Matematisk morfologi III

Matematisk morfologi III Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 3 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter.

Detaljer

Motivasjon. INF 2310 Morfologi. Eksempel. Gjenkjenning av objekter intro (mer i INF 4300) Problem: gjenkjenn alle tall i bildet automatisk.

Motivasjon. INF 2310 Morfologi. Eksempel. Gjenkjenning av objekter intro (mer i INF 4300) Problem: gjenkjenn alle tall i bildet automatisk. INF 230 Morfologi Morfologiske operasjoner på binære bilder:. Basis-begreper 2. Fundamentale operasjoner på binære bilder 3. ammensatte operasjoner 4. Eksempler på anvendelser flettet inn GW, Kapittel

Detaljer

Morfologiske operasjoner på binære bilder

Morfologiske operasjoner på binære bilder Digital bildebehandling Forelesning 13 Morfologiske operasjoner på binære bilder Andreas Kleppe Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer Sammensatte operatorer Eksempler på anvendelser

Detaljer

Introduksjon. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter. Morfologiske operasjoner på binære bilder. INF2310 Digital bildebehandling

Introduksjon. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter. Morfologiske operasjoner på binære bilder. INF2310 Digital bildebehandling Digital bildebehandling Forelesning 3 Morfologiske operasjoner på binære bilder Andreas Kleppe Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer Sammensatte operatorer Eksempler på anvendelser

Detaljer

Oversikt, kursdag 5. Matematisk morfologi V. Hva er segmentering. Hva er segmentering. Lars Aurdal Norsk regnesentral

Oversikt, kursdag 5. Matematisk morfologi V. Hva er segmentering. Hva er segmentering. Lars Aurdal Norsk regnesentral Matematisk morfologi V Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Segmentering: Watershedtransformen. Oversikt, kursdag 5 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

Detaljer

Matematisk morfologi V

Matematisk morfologi V Matematisk morfologi V Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 5 Segmentering: Watershedtransformen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

Detaljer

Matematisk Morfologi Lars Aurdal

Matematisk Morfologi Lars Aurdal Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning Algoritmer.

Detaljer

Introduksjon. Morfologiske operasjoner på binære bilder. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter INF

Introduksjon. Morfologiske operasjoner på binære bilder. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter INF INF230 5.05.202 Morfologiske operasjoner på binære bilder Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer Sammensatte operatorer Eksempler på anvendelser er flettet inn DIP: 9.-9.4, 9.5.,

Detaljer

Motivasjon INF Eksempel. Gjenkjenning av objekter intro (mer i INF 4300) OCR-gjennkjenning: Problem: gjenkjenn alle tall i bildet automatisk.

Motivasjon INF Eksempel. Gjenkjenning av objekter intro (mer i INF 4300) OCR-gjennkjenning: Problem: gjenkjenn alle tall i bildet automatisk. INF 230 Morologi Morologiske operasjoner på binære bilder:. Basis-begreper 2. Fundamentale operasjoner på binære bilder 3. Sammensatte operasjoner 4. Eksempler på anvendelser lettet inn GW, Kapittel 9.-9.4

Detaljer

Morfologiske operasjoner. Motivasjon

Morfologiske operasjoner. Motivasjon INF 230 Digital bildebehandling orelesning nr 2-9.04.2005 Morologiske operasjoner Litteratur : Eord, Kap. Temaer : Neste gang : Basis-begreper Fundamentale operasjoner på binære bilder ammensatte operasjoner

Detaljer

Introduksjon. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter. Morfologiske operasjoner på binære bilder. INF2310 Digital bildebehandling

Introduksjon. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter. Morfologiske operasjoner på binære bilder. INF2310 Digital bildebehandling Introduksjon Digital bildebehandling Forelesning 3 Morologiske operasjoner på binære bilder Fritz Albregtsen Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer ammensatte operatorer Eksempler

Detaljer

Introduksjon. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter. Morfologiske operasjoner på binære bilder. INF2310 Digital bildebehandling

Introduksjon. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter. Morfologiske operasjoner på binære bilder. INF2310 Digital bildebehandling Introduksjon Digital bildebehandling Forelesning 4 Morologiske operasjoner på binære bilder Andreas Kleppe Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer ammensatte operatorer Eksempler

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 5. juni 007 Tid for eksamen : 09:00 1:00 Oppgavesettet er på : 5 sider

Detaljer

Morfologi i Binære Bilder

Morfologi i Binære Bilder Morfologi i Binære Bilder Lars Vidar Magnusson March 20, 2017 Delkapittel 9.1 Preliminaries Delkapittel 9.2 Dilation and Erosion Bakgrunn Morfologiske operasjoner på binære bilder beskrives med mengdeteori.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag: Onsdag 1. juni 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Løsningsforslaget

Detaljer

Morfologi i Binære Bilder II

Morfologi i Binære Bilder II Morfologi i Binære Bilder II Lars Vidar Magnusson March 28, 2017 Delkapittel 9.3 Opening and Closing Delkapittel 9.4 The Hit-or-Miss Transformation Opening (Åpning) Opening er en morfologisk operasjon

Detaljer

Morfologi i Gråskala-Bilder II

Morfologi i Gråskala-Bilder II Morfologi i Gråskala-Bilder II Lars Vidar Magnusson April 4, 2017 Delkapittel 9.6 Gray-Scale Morphology Top-Hat (Topphatt) Transformasjon Et eksempel på bruk av top-hat transformasjonen Top-Hat (Topphatt)

Detaljer

Histogrammetoder. Lars Aurdal Norsk regnesentral. Histogrammetoder p.1/91

Histogrammetoder. Lars Aurdal Norsk regnesentral. Histogrammetoder p.1/91 Histogrammetoder Lars Aurdal Norsk regnesentral aurdal@nr.no Histogrammetoder p.1/91 Oversikt 1 Litt praktisk informasjon. Grånivåtransformasjoner. Grunnleggende transformasjoner. Negativer. Log-transformasjoner.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Dette er et løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Dette er et løsningsforslag Bokmål UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF231 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 3. juni 29 Tid for eksamen : 14:3 17:3 Løsningsforslaget er på :

Detaljer

Prøve- EKSAMEN med løsningsforslag

Prøve- EKSAMEN med løsningsforslag Prøve- EKSAMEN med løsningsforslag Emnekode: ITD33514 Dato: Vår 2015 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne. Emne: Bildebehandling og mønstergjenkjenning Eksamenstid: 4 timers eksamen Faglærer: Jan Høiberg

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF210 Digital bildebehandling Eksamensdag: Onsdag 28. mai 2014 Tid for eksamen: 09:00 1:00 Løsningsforslaget

Detaljer

EKSAMEN. Bildebehandling og mønstergjenkjenning

EKSAMEN. Bildebehandling og mønstergjenkjenning EKSAMEN Emnekode: ITD33514 Dato: 18. mai 2015 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne. Emne: Bildebehandling og mønstergjenkjenning Eksamenstid: 4 timers eksamen Faglærer: Jan Høiberg Eksamensoppgaven: Oppgavesettet

Detaljer

Kantsegmentering NTNU

Kantsegmentering NTNU Kantsegmentering Lars Aurdal Norsk regnesentral aurdal@nr.no 19. april 24 Oversikt, kantsegmentering Litt praktisk informasjon. Motivasjon. Hva er en kant i et bilde? Hva er segmentering? Hva er kantsegmentering?

Detaljer

Grunnleggende Matematiske Operasjoner

Grunnleggende Matematiske Operasjoner Grunnleggende Matematiske Operasjoner Lars Vidar Magnusson January 16, 2017 Delkapittel 2.6 Array vs Matrise Operasjoner Det er vanlig med både array- og matrise-operasjoner på bilder. Array-multiplikasjon

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag: Onsdag 28. mai 2014 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på: 6 sider Vedlegg:

Detaljer

Morfologi i Gråskala-Bilder

Morfologi i Gråskala-Bilder Morfologi i Gråskala-Bilder Lars Vidar Magnusson April 3, 2017 Delkapittel 9.6 Gray-Scale Morphology Generelt Gråskala morfologiske operasjoner har mye til felles med binære morfologiske operasjoner. Vi

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 4. juni 2013 Tid for eksamen : 09:00 13:00 Oppgavesettet er på : 7 sider

Detaljer

Oppgaver MAT2500 høst 2011

Oppgaver MAT2500 høst 2011 Oppgaver MAT2500 høst 2011 31. oktober 2011 Oppgaver avsnitt 1 Oppgave 1. Bruk cosinussetningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Oppgave 2. Vis at d(x, y) = 0 hvis og bare hvis

Detaljer

INF 2310 Digital bildebehandling

INF 2310 Digital bildebehandling INF 3 Digital bildebehandling Oppsummering FA, mai 6: Avbildning Sampling og kvantisering Geometriske operasjoner F F F3 Filtrering i bildedomenet F6, F7 Segmentering ved terskling Morfologiske operasjoner

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF 160 Digital bildebehandling Eksamensdag: Mandag 13. mai - mandag 27. mai 2002 Tid for eksamen: 13. mai 2002 kl 09:00 27. mai

Detaljer

Heuristiske søkemetoder III

Heuristiske søkemetoder III Heuristiske søkemetoder III Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 14. september 2003 Plan Eksempel: Bildebehandling, segmentering: Hva er segmentering? Klassisk metode, terskling.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet INF 160 Digital bildebehandling Eksamensdag: Mandag 12. mai - mandag 26. mai 2003 Tid for eksamen: 12. mai 2003 kl 09:00 26. mai

Detaljer

Optisk lesing av en lottokupong

Optisk lesing av en lottokupong Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33506 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 4 Optisk lesing av en lottokupong Halden 22.10.2012 17.10.12 Mindre revisjon Log

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 25. mars 2014 Tid for eksamen : 15:00 19:00 Oppgavesettett er på : 6 sider

Detaljer

Optisk lesing av en lottokupong

Optisk lesing av en lottokupong Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33506 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 4 Optisk lesing av en lottokupong Halden 20.10.2011 17.10.11 Mindre revisjon Log

Detaljer

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER

KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER KORT INTRODUKSJON TIL TENSORER Tensorer har vi allerede møtt i form av skalarer (tall) og vektorer. En skalar kan betraktes som en tensor av rang null (en komponent), mens en vektor er en tensor av rang

Detaljer

SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER

SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER SIGNERT DOMINASJON OG RETTEDE MATROIDESYSTEMER Matematisk institutt Binære monotone systemer Grunnelementer i modell: X i = I(ite komponent virker), i = 1, 2, 3 φ(x) = I(Systemet virker) = X 1 X 2 + X

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

Deteksjon av ringformede fotgrøfter i høyoppløselige satellittbilder av jordbruksområder

Deteksjon av ringformede fotgrøfter i høyoppløselige satellittbilder av jordbruksområder Deteksjon av ringformede fotgrøfter i høyoppløselige satellittbilder av jordbruksområder Øivind Due Trier (NR), Anke Loska (Riksantikvaren), Siri Øyen Larsen (NR) og Rune Solberg (NR) Samarbeidspartnere:

Detaljer

Eksamen i IN 106, Mandag 29. mai 2000 Side 2 Vi skal i dette oppgavesettet arbeide med et bilde som i hovedsak består av tekst. Det binære originalbil

Eksamen i IN 106, Mandag 29. mai 2000 Side 2 Vi skal i dette oppgavesettet arbeide med et bilde som i hovedsak består av tekst. Det binære originalbil UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 106 Introduksjon til signal- og bildebehandling Eksamensdag: Mandag 29. mai 2000 Tid for eksamen: 29. mai 2000 kl 09:0031.

Detaljer

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling

Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Forelesningsnotater SIF839/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: Geometric Objects and ransformations i: Edward Angel: Interactive Computer Graphics Vårsemesteret 22 orbjørn

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på

Detaljer

TDT4195 Bildeteknikk

TDT4195 Bildeteknikk TDT495 Bildeteknikk Grafikk Vår 29 Forelesning 5 Jo Skjermo Jo.skjermo@idi.ntnu.no Department of Computer And Information Science Jo Skjermo, TDT423 Visualisering 2 TDT495 Forrige gang Attributter til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF30-Digital bildebehandling Eksamensdag: Tirsdag 5. mars 06 Tid for eksamen: 09:00-3:00 Løsningsforslaget er på: 4 sider Vedlegg:

Detaljer

Intensitetstransformasjoner og Spatial Filtrering

Intensitetstransformasjoner og Spatial Filtrering Intensitetstransformasjoner og Spatial Filtrering Lars Vidar Magnusson January 23, 2017 Delkapittel 3.1 Background Delkapittel 3.2 Some Basic Intensity Tranformation Functions Spatial Domain Som vi allerede

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF30 Digital bildebehandling Eksamensdag: Mandag 6. juni 06 Tid for eksamen: 4:30 8:30 Løsningsforslaget er

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner

Forelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

Filter-egenskaper INF Fritz Albregtsen

Filter-egenskaper INF Fritz Albregtsen Filter-egenskaper INF 60-04.03.2002 Fritz Albregtsen Tema: Naboskaps-operasjoner Del 2: - Lineær filtrering - Gradient-detektorer - Laplace-operatorer Linearitet H [af (x, y) + bf 2 (x, y)] ah [f (x, y)]

Detaljer

INF Stikkord over pensum til midtveis 2017 Kristine Baluka Hein

INF Stikkord over pensum til midtveis 2017 Kristine Baluka Hein INF2310 - Stikkord over pensum til midtveis 2017 Kristine Baluka Hein 1 Forhold mellom størrelse i bildeplan y og "virkelighet"y y y = s s og 1 s + 1 s = 1 f Rayleigh kriteriet sin θ = 1.22 λ D y s = 1.22

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt

Detaljer

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014

Oppgaver MAT2500. Fredrik Meyer. 29. august 2014 Oppgaver MAT500 Fredrik Meyer 9. august 04 Oppgave. Bruk cosinus-setningen til å se at definisjonen av vinkel i planet blir riktig. Løsning. Dette er en litt rar oppgave. Husk at cosinus-setningen sier

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

INF februar 2017 Ukens temaer (Hovedsakelig fra kap. 3.1 og 3.2 i DIP) (Histogrammer omtales i kap. 3.3)

INF februar 2017 Ukens temaer (Hovedsakelig fra kap. 3.1 og 3.2 i DIP) (Histogrammer omtales i kap. 3.3) 8. februar 2017 Ukens temaer (Hovedsakelig fra kap. 3.1 og 3.2 i DIP) (Histogrammer omtales i kap. 3.3) Histogrammer Lineære gråtonetransformer Standardisering av bilder med lineær transform Ikke-lineære,

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

MAT Grublegruppen Notat 11

MAT Grublegruppen Notat 11 MAT1100 - Grublegruppen Notat 11 Jørgen O. Lye Matrisegrupper Den store gruppen vi skal se på er GL(n, K) = {inverterbare n n matriser med koesienter i K} Forkortelsen står for den generelle lineære gruppen

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Midtveiseksamen Løsningsforslag

Midtveiseksamen Løsningsforslag INSTITUTT FOR INFORMATIKK, UNIVERSITETET I OSLO Midtveiseksamen Løsningsforslag INF2310 - Digital Bildebehandling Eksamen i: INF2310 - Digital Bildebehandling Eksamensdag: Tirsdag 21. mars 2017 Tidspunkt

Detaljer

Sensitivitet og kondisjonering

Sensitivitet og kondisjonering Sensitivitet og kondisjonering Gitt en lineær likningssystem Ax = b vi skal studere effekten av perturbasjoner av input data: 1/19 på output data: Man kan A, b x perturbere bare b perturbere b og A samtidig.

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 11: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 23. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-23 14:33) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Innføring i bildebehandling

Innføring i bildebehandling Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33506 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 1 Innføring i bildebehandling Halden 24.08.2010 23.08.10 Revidert Log GKS 20.08.09

Detaljer

Innføring i bildebehandling

Innføring i bildebehandling Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33506 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 1 Innføring i bildebehandling Halden 27.08.2013 20.08.13 Revidert Log GKS 22.08.12

Detaljer

MAT1030 Forelesning 10

MAT1030 Forelesning 10 MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement

Detaljer

Tall. Posisjons-tallsystemer. Representasjon av heltall. Tall positive, negative heltall, flytende tall. Tekst ASCII, UNICODE XML, CSS

Tall. Posisjons-tallsystemer. Representasjon av heltall. Tall positive, negative heltall, flytende tall. Tekst ASCII, UNICODE XML, CSS Tall jfr. Cyganski & Orr 3..3, 3..5 se også http://courses.cs.vt.edu/~csonline/numbersystems/lessons/index.html Tekst ASCII, UNICODE XML, CSS Konverteringsrutiner Tall positive, negative heltall, flytende

Detaljer

Forord. Stavanger, Juni 2011. Roald Klingsheim

Forord. Stavanger, Juni 2011. Roald Klingsheim 1 . 15. juni 2011 Sammendrag Denne rapporten tar for seg deteksjon av lesjoner i MR-bilder av hjernen til demenspasienter ved bruk av watershedsegmentering. Rapporten vil først gi en kort innføring om

Detaljer

Optisk lesing av en lottokupong

Optisk lesing av en lottokupong Høgskolen i Østfold Avdeling for informasjonsteknologi Fag IAD33505 Bildebehandling og mønstergjenkjenning Laboppgave nr 4 Optisk lesing av en lottokupong Sarpsborg 03.02.2005 01.02.05 Ny oppgave Log LMN

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret

Detaljer

TMA Matlab Oppgavesett 2

TMA Matlab Oppgavesett 2 TMA4123 - Matlab Oppgavesett 2 18.02.2013 1 Fast Fourier Transform En matematisk observasjon er at data er tall, og ofte opptrer med en implisitt rekkefølge, enten i rom eller tid. Da er det naturlig å

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Repetisjon: Binære. Dagens plan: Rød-svarte trær. Oppgave (N + 1)!

Repetisjon: Binære. Dagens plan: Rød-svarte trær. Oppgave (N + 1)! Repetisjon: Binære søketrær Dagens plan: Rød-svarte trær (kap. 12.2) B-trær (kap. 4.7) bstrakte datatyper (kap. 3.1) takker (kap. 3.3) For enhver node i et binært søketre gjelder: lle verdiene i venstre

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 2. juni 2010 Tid for eksamen : 09:00 12:00 Oppgavesettet er på : XXX sider

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF Hovedsakelig fra kap. 6.3 til 6.6

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF Hovedsakelig fra kap. 6.3 til 6.6 Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF 230 Hovedsakelig fra kap. 6.3 til 6.6 Histogrammer Histogramtransformasjoner Histogramutjevning Histogramtilpasning Histogrammer i flere dimensjoner Matematisk

Detaljer

Løsning av øvingsoppgaver, INF2310, 2005, kompresjon og koding

Løsning av øvingsoppgaver, INF2310, 2005, kompresjon og koding Løsning av øvingsoppgaver, INF230, 2005,. Vi har gitt følgende bilde: kompresjon og koding 0 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 0 2 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 4 4 2 2 3 2 2 3 4 4 2 2 2 3 3 3 4 3 4 a. Finn Huffman-kodingen av

Detaljer

Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007

Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen januar 2007 Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen - 29. januar 2007 1 Induktive definisjoner Induktive definisjoner Definisjon 1.1 (Induktiv definisjon). Å

Detaljer

Dagens temaer. Dagens temaer hentes fra kapittel 3 i læreboken. Oppbygging av flip-flop er og latcher. Kort om 2-komplements form

Dagens temaer. Dagens temaer hentes fra kapittel 3 i læreboken. Oppbygging av flip-flop er og latcher. Kort om 2-komplements form Dagens temaer Dagens temaer hentes fra kapittel 3 i læreboken Oppbygging av flip-flop er og latcher Kort om 2-komplements form Binær addisjon/subtraksjon Aritmetisk-logisk enhet (ALU) Demo av Digital Works

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel

Dagens plan. INF3170 Logikk. Induktive definisjoner. Eksempel. Definisjon (Induktiv definisjon) Eksempel INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 2: Induktive definisjoner, utsagnslogikk og sekventkalkyle Christian Mahesh Hansen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 1 Induktive definisjoner 2 29.

Detaljer

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG. Dato: 11. desember 2008 Varighet: 0900-1300. Antall sider inkl.

Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG. Dato: 11. desember 2008 Varighet: 0900-1300. Antall sider inkl. Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag LØSNINGSFORSLAG Emnekode: Emnenavn: DAT2 Grafisk Databehandling Dato:. desember 28 Varighet: 9 - Antall sider inkl. forside 7 OPPGAVE. (2%) a) b)

Detaljer

INF2220: Forelesning 2

INF2220: Forelesning 2 INF2220: Forelesning 2 Mer om analyse av algoritmer Analyse av binære søketrær Balanserte søketrær Rød-svarte trær (kapittel12.2) B-trær (kapittel 4.7) ANALYSE AV ALGORITMER 2 Analyse av tidsforbruk Hvor

Detaljer

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet NTNU Side 1 av 9 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i SIF4072 KLASSISK FELTTEORI Onsdag 28. mai 2003

Detaljer

INF Kap og i DIP

INF Kap og i DIP INF 30 7.0.009 Kap..4.4 og.6.5 i DIP Anne Solberg Geometriske operasjoner Affine transformer Interpolasjon Samregistrering av bilder Geometriske operasjoner Endrer på pikslenes posisjoner o steg:. Finn

Detaljer

Introduksjon til kjeglesnitt. Forfatter: Eduard Ortega

Introduksjon til kjeglesnitt. Forfatter: Eduard Ortega Introduksjon til kjeglesnitt Forfatter: Eduard Ortega 1 Introduksjon Et kjeglesnitt er en todimensjonal figur som beskrives ved skjæringen mellom et plan og en rett, sirkulær kjegle. Alle kjeglesnitt kan

Detaljer