Grunnleggende Matematiske Operasjoner

Transkript

1 Grunnleggende Matematiske Operasjoner Lars Vidar Magnusson January 16, 2017 Delkapittel 2.6

2 Array vs Matrise Operasjoner Det er vanlig med både array- og matrise-operasjoner på bilder. Array-multiplikasjon (array product) utføres på følgende måte. [ ] [ ] [ ] a11 a 12 b11 b 12 a11 b = 11 a 12 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 21 a 22 b 22 Matrise-multiplikasjon utføres på følgende måte. [ ] [ ] [ ] a11 a 12 b11 b 12 a11 b = 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22

3 Lineære vs Ikke-lineære Operasjoner Et annet viktig aspekt er hvorvidt en operasjon er lineær eller ikke. En funksjon H gitt et input-bilde f (x, y) produserer et output-bilde g(x, y). H[f (x, y)] = g(x, y) Vi sier at H er lineær hvis H[a i f i (x, y) + a j f j (x, y)] = a i H[f i (x, y)] + a j H[f j (x, y)] Om en funksjon er lineær eller ikke innvirker på hvordan de kan kombineres med andre operasjoner.

4 Aritmetiske Operasjoner Aritmetiske operasjoner er array-operasjoner. f (x, y) + g(x, y) f (x, y) g(x, y) f (x, y) g(x, y) f (x, y)/g(x, y) Alle disse utføres på følgende vis (bare operatoren endres). [ ] [ ] [ ] a11 a 12 b11 b + 12 a11 + b = 11 a 12 + b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22 Disse operasjonene er svært anvendelige.

5 Eksempel - Fjerning av Støy Det er vanlig at bilder inneholder støy. g(x, y) = f (x, y) + η(x, y) Det kan vises at hvis η(x, y) har gjennomsnittsverdi 0 og er ikke-korrelert, så kan vi finne en tilnærming til det orginal bildet (Problem 2.20). Vi har K forskjellige g i (x, y) av det samme motivet (de må være registered/aligned). g(x, y) = 1 K K g i (x, y) i=1 E{g(x, y)} = f (x, y)

6 Eksempel - Fjerning av Støy Orginalbildet med støy. Lars Vidar Magnusson Bildebehandling og Mønstergjenkjenning 2017

7 Eksempel - Fjerning av Støy Gjennomsnittet av 10 bilder med støy. Lars Vidar Magnusson Bildebehandling og Mønstergjenkjenning 2017

8 Eksempel - Fjerning av Støy Gjennomsnittet av 100 bilder med støy. Lars Vidar Magnusson Bildebehandling og Mønstergjenkjenning 2017

9 Eksempel - Fjerning av Støy Gjennomsnittet av 1000 bilder med støy.

10 Eksempel - Differansen Mellom Bilder Differansen mellom bilder er også svært nyttig operasjon, spesielt når man vil analysere bilder i en tidsserie. Boka gir et interessant eksempel med angiography, men vi må nøye oss med et litt mer trivielt eksempel.

11 Eksempel - Differansen Mellom Bilder Vi starter med følgende utgangspunkt.

12 Eksempel - Differansen Mellom Bilder Etter en uant kosmisk hendelse så får vi følgende..

13 Eksempel - Differansen Mellom Bilder Differansen mellom de to bildene avslører sannheten.

14 Eksempel - Maskemultiplikasjon Multiplikasjon er også en hyppig brukt operator i flere typer bildebehandling. Vi skal se på et enkelt maskemultiplikasjon eksempel.

15 Eksempel - Maskemultiplikasjon Vi begynner denne gangen med Gud s Øye.

16 Eksempel - Maskemultiplikasjon Med maskemultiplikasjon så trenger vi også en maske.

17 Eksempel - Maskemultiplikasjon Maskemultiplikasjonen gir da dette resultatet.

18 Bilder som Mengder Vi kan bruke mengdeteori når vi jobber med bilder, hvor hvert element a er et koordinat-par (x a, y a ). En mengde angis med {}, og vi bruker følgende notasjon og operasjoner. U angir den globale mengden av elementer angir et tomt sett a A - elementet a er i mengden A a / A - elementet a er ikke i mengden A A B - A er et subset av B A B - Alle elementer i enten A eller B A B - Alle elementer i både A og B A C = {w w / A} A B = {w w A, w / B} = A B C...

19 Gråskalabilder som Mengder Den intuitive måten er å se mengder som boolske masker, men boka gir også en definisjon for gråskalabilder. Hvert element angis med (x, y, z) hvor x og y er koordinatene, mens z er intensiteten. A B = {max z(a, b) a A, b B} A B = {min z(a, b) a A, b B} A C = {(x, y, K z) (x, y, z) A} - Komplementet er nå intensitetene i A trekt i fra en konstant K

20 Logiske Operasjoner Logiske operasjoner på bilder utføres på boolske bilder i.e. svart-hvit. Intuitivt likt som mengder. Vi har følgende operasjoner. A OR B A B A AND B A B A XOR B (A B) (A B) NOT A A C

21 Spatial (Romlige) Operasjoner Når vi jobber med bilder på pikselnivå så jobber vi med spatial (romlige) operasjoner. Single-pixel operasjoner bruker bare en pixel (x, y, z). s = T (z) Neighborhood operasjoner bruker et naboskap av piksler S xy. Naboskapet er m n og er sentrert i (x, y) Et eksempel kan gis med titte på en operasjon som finner gjennomsnittet i et m n naboskap. g(x, y) = 1 mn (r,c) S xy f (x, y)

22 Geometriske Spatial Tranformasjoner Man kan transformere et bilde geometrisk i det spatial plan med såkalte affine transformations. [ ] [ ] [ ] t 11 t 12 0 x y 1 = v w 1 T = v w 1 t 21 t 22 0 t 31 t 32 1

23 Geometriske Spatial Tranformasjoner Identity Scaling Rotation Translation Shear c x c y cos θ sin θ 0 sin θ cos θ t x t y 1 1 s