Kantsegmentering NTNU

Transkript

1 Kantsegmentering Lars Aurdal Norsk regnesentral 19. april 24

2 Oversikt, kantsegmentering Litt praktisk informasjon. Motivasjon. Hva er en kant i et bilde? Hva er segmentering? Hva er kantsegmentering? Matematisk grunnlag. 1

3 Oversikt, kantsegmentering Hvordan detekteres piksler på kanter? Punkter. Linjer. Kanter. 2

4 Oversikt, kantsegmentering Kantlenking. Lokale metoder Hough-transformasjonen. Aktive konturer. Matlab-demo. 3

6 Praktisk informasjon Alle transparentene blir gjort tilgjengelige på kursets web-sider. På kursets web-sider finnes også forslag til øvinger og hvordan disse kan gjøre i Matlab. Pensum er i sin helhet dekket av kursboka. Endelig pensum oppgis senere. Referansene som oppgis er ikke pensum, bare ment som nyttige pekere for studentene. 5

8 Motivasjon Hvorfor er det viktig å studere kanter i bilder? I en scene vil ofte separate enheter være adskilt av kanter. Det finnes neuropsykologiske undersøkelser som antyder at kanter er en veldig sentral del av hvordan øynene og hjernen tolker visuell informasjon. Interessant i seg selv. 7

9 Motivasjon Figur 1: Stirr på den mørke flekken i noen sekunder... 8

11 Hva er en kant i et bilde Vi skal ta for oss tre typer kanter, punkter, linjer og kanter. Figuren til høyre viser idealiserte versjoner av slike. 1

12 Hva er en kant i et bilde I praksis er selvfølgelig disse idealiserte tilfellene lite interessante. Bildet til høyre viser hvordan et punkt kan se ut i praksis. Merk at det kan ha en viss utstrekning og at det ikke nødvendigvis er klart adskilt fra sine naboer. 11

13 Hva er en kant i et bilde Idealiserte linjer er heller ikke så praktisk relevante. Bildet til høyre viser hvordan en linje kan se ut i praksis. Nok en gang ser vi at de kan ha en viss bredde og at de ikke alltid er klart adskilt fra sine naboer. 12

14 Hva er en kant i et bilde Idealiserte kanter er også irrelevante i de fleste sammenhenger. Bildet til høyre viser hvordan en kant kan se ut i praksis. Nok en gang ser vi at de kan ha en viss bredde. 13

15 Hva er en kant i et bilde Det er mange grunner til at de idealiserte versjonene ikke forekommer i virkelige bilder: Naurlige objekter kan ha diffuse grenser. Sensorsystemene (normalt optiske) er aldri perfekte. Uformelt kan man si at dette resulterer i uskarphet og mulig støy. Kvantiseringsprosessen innfører også lignende defekter. 14

17 Hva er segmentering Segmentering: En prosess som tar utgangspunkt i et bilde (som kan være multispektralt) og som har som mål å generere et nytt bilde der hvert piksel i det opprinnelige bildet er tilordnet en etikett som indikerer dens tilhørighet til en gruppe piksler som deler en eller annen egenskap. Tilhørigheten kan avgjøres ut fra mange kriterier: Pikslene i en gruppe kan ha tilnærmet samme spektralegenskaper. Pikslene i en gruppe kan ha spektralegenskaper som tilfredsstiller et eller annet høyere-ordens statistisk kriterium (tekstur). Pikslene kan utgjøre en gruppe med en bestemt form. 16

18 Hva er segmentering Segmentering er ikke ikke det samme som klassifisering. Segmentering har som mål å gi hver piksel en etikett som sier noe om denne pikselens tilhørighet til en eller annen gruppe av piksler (gruppe 1, gruppe 2, etc.). Klassifisering har som mål å gi hver slik gruppe en fornuftig fysisk tolkning. Klassifiseringsprosessen avhenger ofte av segmenteringsprosessen som et preprosesseringstrinn. 17

19 Hva er segmentering En veldig enkel (den enkleste?) formen for segmentering er terskling: Figur 2: Gråtonebilde og båndtersklet versjon. Segmenteringen er basert på enkeltpikslers gråtoneverdi. 18

20 Hva er segmentering Det finnes et hav av ulike segmenteringsmetoder fra de aller enkleste til uhyre komplekse. Segmentering er et av de store gjenværende hindrene for å lykkes med å etablere maskinsyn. 19

22 Hva er kantsegmentering Kantegmentering: En prosess som tar utgangspunkt i et bilde og som har som mål å generere et nytt bilde der hvert piksel i det opprinnelige bildet er tilordnet en etikett som indikerer dens tilhørighet til en gruppe piksler som ligger på kanter i det opprinnelige bildet I sin grunnleggende form returnerer kantsegmentering et bilde der alle piksler som ligger på en eller annen kant er gitt etiketten kant. Kan innføre tilleggskrav om at kanten skal ha en bestemt form etc. (Hough-transformen kan finne kantpiksler som ligger langs rette linjer f. eks.) 21

23 Hva er kantsegmentering Figur 3: Russiske bakke-til-luft missiler nær Havana, Cuba. Bildet er tatt av et amerikansk U2 spionfly den 29. august

24 Hva er kantsegmentering Kan vi finne veiene i dette bildet? Et strategi er å finne alle punktene som ligger på kanter (kantsegmentering)......og så finne de av disse punktene som danner veistrukturer (kantlenking). 23

26 Matematisk grunnlag, gradient Gradienten til en funksjon f (x), benevnt f(x) er en vektoriell størrelse gitt ved: f(x, y)= [ Gx G y ] = [ f x f y ] Gradienten er et mål for hvor fort f (x, y) endrer verdi som funksjon av en endring i (x,y). 25

27 Matematisk grunnlag, gradient f(x,y) peker i retning av største gradient, det vil si i den retning der f (x,y) endrer seg mest. Lengden av denne vektoren, betegnet f (x,y) angir størrelsen på gradienten. f = f = G 2 x + G 2 y 26

28 Matematisk grunnlag, gradient Retningen på vektoren f(x, y) er også en viktig størrelse. Dersom α(x,y) er retningen til f i (x,y) vet vi at: α(x,y)=tan 1 ( G y G x ) 27

29 Matematisk grunnlag, gradient Husk α(x,y)=tan 1 ( G y G x ) α(x,y) er vinkelen målt med hensyn til x-aksen. Husk at retningen til en kant i (x,y) vil være perpendikulær på retningen til gradientvektoren i dette punktet. 28

30 Matematisk grunnlag, gradient f (x,y)=exp[ x 2 y 2 ]

31 Matematisk grunnlag, gradient Ofte (om enn ikke helt korrekt), betegnes f (x,y) gradienten til f (x,y). f = f = G 2 x + G 2 y Merk at beregningen av gradienten til f er basert på beregning av partielle deriverte av f. Hvordan beregnes disse? Ser straks på dette. 3

32 Matematisk grunnlag, Laplace-operatoren Laplace-operatoren anvendt på en funksjon f (x), benevnt 2 f (x) er en skalar gitt ved: 2 f (x,y)= 2 f x + 2 f 2 y 2 Laplace-operatoren returnerer den andrederiverte av funksjonen f. Også beregningen av Laplace-operatoren til f er basert på beregning av partielle deriverte av f. Hvordan beregnes disse? 31

33 Matematisk grunnlag, deriverte Den deriverte av en funksjon f (x), benevnt f (x) er gitt ved: f (x)=lim h f (x + h) f (x) h Den deriverte er et mål for hvor fort f (x) endrer verdi som funksjon av en endring i x. 32

34 Matematisk grunnlag, deriverte 12 Vi vet at dersom f (x) =x 3 så er f (x) =3x 2. Denne grafen er laget på bakgrunn av analytiske uttrykk for funksjonene og deres deriverte. Men hva om vi ikke kjenner disse, det vil si at vi bare har punktprøver av f (x)? Hvordan beregnes da de deriverte?

35 Matematisk grunnlag, deriverte Vi betrakter en liste av punktprøver av f (x), la oss betegne disse punkprøvene f (n) med n =..., 2, 1,,1,2,... Definisjonsligningen for den deriverte gir oss nå delvis svaret på hvordan vi definerer den deriverte av f (n): f (x)=lim h f (x + h) f (x) h Siden f allerede er punktprøvet er h bestemt, den er avstanden mellom to punktprøver. Normaliserer vi denne avstanden til 1 får vi følgende formel for den deriverte av et punktprøvet signal: f (n)= f (n + 1) f (n) 34

36 Matematisk grunnlag, deriverte Spørsmålet nå er selvfølgelig hvor stor feil dette innfører i beregningen av den deriverte. For å analysere dette kan vi benytte Taylor rekkeutviklingen av f (x) rundt punktet x + h: f (x + h)= f (x)+hf (x)+ 1 2 h2 f (x)+ 1 6 h3 f (x)+... Omorganiserer vi dette uttrykket litt finner vi: f (x + h) f (x) h = f (x)+o(h) 35

37 Matematisk grunnlag, deriverte Husk fra forrige slide: f (x + h) f (x) h = f (x)+o(h) Vi ser at feilen vi gjør er sammensatt, for det første gjør vi en trunkeringsfeil (leddet O(h)), dessuten gjør vi en avrundingsfeil (representasjonen av h) Det er mulig å avlede konkrete utrykk for hvordan h bør velges. I praksis har vi ikke noe valg når det gjelder h, den er bestemt av kvantiseringen. 36

38 Matematisk grunnlag, deriverte Vi har altså ingen inflytelse over h, men kan vi allikevel gjøre det bedre enn dette? Husk at: f (x + h)= f (x)+hf (x)+ 1 2 h2 f (x)+o(h 3 ) Tilsvarende kan vi vise at: f (x h)= f (x) hf (x)+ 1 2 h2 f (x)+o(h 3 ) Differansen av disse ligningene gir oss: f (x + h) f (x h)=2hf (x)+o(h 3 ) 37

39 Matematisk grunnlag, deriverte Husk fra forrige slide at: f (x + h) f (x h)=2hf (x)+o(h 3 ) Dermed ser vi at: f (x)= f (x + h) f (x h) 2h + O(h 2 ) Sammenlign dette med forrige uttrykk: f (x)= f (x + h) f (x) h + O(h) 38

40 Matematisk grunnlag, deriverte Husk at: f (x)= f (x + h) f (x h) 2h + O(h 2 ) Helt tilsvarende kan vi vise at f (x) er gitt ved f (x)= f (x + h)+ f (x h) 2 f (x) h 2 + O(h) 39

41 Matematisk grunnlag, deriverte Med den symmetriske beregningen av den deriverte gjør vi derfor en mindre trunkeringsingsfeil. Avrundingsfeilen er omtrent den samme. Numeriske deriverte er godt beskrevet for eksempel i: W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, and B.P. Flannery. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 2nd edition,

42 Matematisk grunnlag, romlig filtrering (,) y Anta gitt et bilde f som en M N matrise av gråtoneverdier. x w(,) w(,) w(,) w(,) w(,1) w(,1) w(1,) w(1,) w(1,1) Anta gitt et filter w som en matrise av filterkoeffisienter. f(x,y) f(x,y) f(x,y+1) f(x,y) f(x,y) f(x,y) f(x+1,y) f(x+1,y) f(x+1,y+1) 41

43 Matematisk grunnlag, romlig filtrering (,) y Lineær romlig filtrering består da i å beregne: g(x,y)= a b s= a t= b w(s,t) f (x+s, y+t) x w(,) w(,) w(1,) w(,) w(,) w(1,) w(,1) w(,1) w(1,1) der a =(m 1)/2 og b =(n 1)/2 og x =,1,2,...,M 1 og y =,1,2,...,N 1 f(x,y) f(x,y) f(x+1,y) f(x,y) f(x,y+1) f(x,y) f(x,y) f(x+1,y) f(x+1,y+1) 42

44 Matematisk grunnlag, romlig filtrering I praksis skrives ikke ligningene for å understreke den romlige organisasjonen av filterkoeffisientene. Normalt benyttes følgende notasjon for romlig filtrering: R = w 1 z 1 + w 2 z w mn z mn = mn w i z i i=1 der w i er maskekoeffisientene og z i er verdiene i bildet som tilsvarer disse koeffisientene 43

45 Matematisk grunnlag, romlig filtrering For den generelle 3 3 masken i figuren til høyre er responsen i en gitt posisjon (x,y) i bildet gitt ved: w 1 w 2 w 3 R = w 1 z 1 + w 2 z w 9 z 9 = 9 w i z i i=1 w 4 w 7 w 5 w 8 w 6 w 9 44

47 Deteksjon av kanter, enkeltstående punkter Deteksjon av isolerte punkter består i prinsippet i å konvolere bildet med masken i figuren til høyre. Vi sier at et punkt er detektert i posisjonen der masken er sentrert dersom 8 R = w 1 z 1 +w 2 z w 9 z 9 = 9 i=1 w i z i T der T er en positiv terskel. 46

48 Deteksjon av kanter, enkeltstående punkter Figur 4: Utsnitt av flyfoto, absoluttverdi av resultat av punktdeteksjon og resultat av terskling 47

49 Deteksjon av kanter, enkeltstående punkter Figur 5: Utsnitt av flyfoto, detekterte punkter er markert. 48

51 Deteksjon av kanter, linjer Deteksjon av linjer består i prinsippet i å konvolere bildet suksessivt med maskene i figuren til høyre. Horisontal Vertikal o -45 o 5

52 Deteksjon av kanter, linjer 2 La R 1, R 2, R 3 og R 4 være responsen til de fire maskene separat der R j som før er definert ved Horisontal Vertikal R j = w 1 z 1 +w 2 z w 9 z 9 = 9 w i z i i= o -45 o 51

53 Deteksjon av kanter, linjer Dersom R i > R j for alle j i iet bestemt punkt sies dette punktet å være assosiert med retningen beskrevet med maske i. Horisontal Vertikal o -45 o 52

54 Deteksjon av kanter, linjer grader 45 grader grader 135 grader Figur 6: Detalj av flyfoto, respons for maskene, 45, 9 og 135 grader 53

55 Deteksjon av kanter, linjer grader 45 grader grader 135 grader Figur 7: Detalj av flyfoto, tersklet respons for maskene, 45, 9 og 135 grader 54

56 Deteksjon av kanter, linjer I praksis har ikke disse filterene mye verdi, de er altfor lite spesifikke. Det beste alternativet er basert på matematisk morfologi. 55

58 Deteksjon av kanter I praksis er det kantdeteksjon som er interessant. Kantdeteksjon i et bilde f er basert på beregning av en approksimasjon til gradienten til f. Husk: f(x, y)= [ Gx G y ] = [ f x f y ] 57

59 Deteksjon av kanter Bildet til høyre viser et utsnitt av et gråtonebilde f med respektive verdier merket z 1 etc. En simpel approksimasjon til gradienten til f i punktet med verdi z 5 kan beregnes ved: z1 z4 z2 z5 z3 z6 G x = (z 9 z 5 ) G y = (z 8 z 6 ) z7 z8 z9 58

60 Deteksjon av kanter Dette er den såkalte Roberts kryss-gradient operatoren Den kan beregnes som en romlig filtrering med maskene vist i figuren til høyre

61 Deteksjon av kanter I praksis benyttes ikke denne operatoren fordi den mangler et sentrum (noe som gjelder alle 2 2 masker). z1 z2 z3 En tilnærmelsesmåte som benytter 3 3 masker er basert på beregning av: z4 z5 z6 z7 z8 z9 G x = (z 7 + z 8 + z 9 ) (z 1 + z 2 + z 3 ) G y = (z 3 + z 6 + z 9 ) (z 1 + z 4 + z 7 ) 6

62 Deteksjon av kanter Dette er den såkalte Prewitt gradient operatoren Den kan beregnes som en romlig filtrering med maskene vist i figuren til høyre

63 Deteksjon av kanter Differansen mellom tredje og første rad er en tilnærming til gradienten i x-retningen Differansen mellom tredje og første kolonne er en tilnærming til gradienten i y-retningen

64 Deteksjon av kanter En lignende tilnærmelsesmåte består i å benytte 3 3 masker for beregning av følgende differanser: z1 z2 z3 G x = (z 7 + 2z 8 + z 9 ) (z 1 + 2z 2 + z 3 ) G y = (z 3 + 2z 6 + z 9 ) (z 1 + 2z 4 + z 7 ) z4 z7 z5 z8 z6 z9 63

65 Deteksjon av kanter -2 Dette er den såkalte Sobel gradient operatoren Den kan beregnes som en romlig filtrering med maskene vist i figuren til høyre

66 Deteksjon av kanter -2 Differansen mellom tredje og første rad er en tilnærming til gradienten i x-retningen. Differansen mellom tredje og første kolonne er en tilnærming til gradienten i y-retningen Det kan vises at vektinen av senterrad og kolonne gir noe glatting

67 Deteksjon av kanter I praksis benyttes primært Prewitt- og Sobel-operatorene. Prewittoperatoren er raskere å beregne, men Sobeloperatoren har bedre egenskaper når det gjelder støy Merk at koeffisientene alltid summerer til en, det vil si at responsen i et flatt område av bildet f er. 66

68 Deteksjon av kanter For å beregne gradient-vektorens (husk at gradient ofte brukes om lengden av denne vektoren), lengde og retning må resultatet av konvolusjon med maskene over kombineres som følger: f = f = G 2 x + G 2 y og: α(x,y)=tan 1 ( G y G x ) 67

69 Deteksjon av kanter Beregning av disse uttrykkene er beregningsmessig tungt, ofte tilnærmes derfor lengden av gradientvektoren med uttrykket: f G x + G y Ulempen med dette er at resultatet ikke er isotropt, det vil si at gradienten til f avhenger av retningen til kantene i f. Dette er ikke noe stort problem med Prewitt- og Sobeloperatorene, de gir uansett ikke isotrope resultater. 68

70 Deteksjon av kanter Både Prewitt- og Sobeloperatorene kan utvides til å inkludere masker som har maksimal respons for diagonale kanter Figuren til høyre viser dette for Prewittoperatoren:

71 Deteksjon av kanter -2-2 Både Prewitt- og Sobeloperatorene kan utvides til å inkludere masker som har maksimal respons for diagonale kanter Figuren til høyre viser dette for Sobeloperatoren:

72 Deteksjon av kanter Figur 8: Sobeloperatoren anvendt på et reelt bilde. Orginal og vertikale kanter. 71

73 Deteksjon av kanter Figur 9: Sobeloperatoren anvendt på et reelt bilde. Orginal og horisontale kanter. 72

74 Deteksjon av kanter Figur 1: Sobeloperatren anvendt på et reelt bilde. Orginal og sum av absoluttverdi av kanter. 73

75 Øving 1 Beregn Prewitt- og Sobel-gradienter for bildet under. Figur 11: Bilde til bruk i øving 1 74

76 Deteksjon av kanter Den store ulempen med alle disse operatorene er naturligvis at de er svært følsomme for støy i bildene. Dette følger av at de jo per konstruksjon er laget for å ha høy respons for små lokale variasjoner. Dette gjør at terksling for å finne lokale kantpiksler er vanskelig. 75

77 Deteksjon av kanter Figur 12: Sobeloperatoren anvendt på et reelt bilde. Orginal og sum av absoluttverdi av kanter og tersklet for å finne kantpiksler. 76

78 Deteksjon av kanter En mulig løsning på dette problemet er å filtrere bildet før kantdeteksjonsoperatorene anvendes. Dette svekker naturligvis sensibiliteten noe. En mye brukt preprosessering består i å medianfiltrere bildet før kantdeteksjonsoperatorene anvendes. Enkelt filter: For et 5 5 medianfilter består filtreringen i at senterpikslets verdi byttes med medianen til verdiene under masken. 77

79 Deteksjon av kanter Figur 13: Original og medianfiltrert versjon. 78

80 Deteksjon av kanter Figur 14: Sobeloperatoren anvendt på et reelt bilde. Medianfiltrert orginal og sum av absoluttverdi av kanter. 79

81 Deteksjon av kanter Figur 15: Original, kantdeteksjon med og uten preprosessering med medianfiltrering. 8

82 Øving 2 Beregn Prewitt- og Sobel-gradienter for bildet under med og uten postprosessering med medianfiltrering. Figur 16: Bilde til bruk i øving 2 81

83 Deteksjon av kanter, Laplace-operatoren Husk at Laplace-operatoren er gitt ved: 2 f (x,y)= 2 f x f y 2 Følgende to former benyttes mye i praksis: z1 z2 z3 2 f (x,y)=4z 5 (z 2 + z 4 + z 6 + z 8 ) z4 z5 z6 og: z7 z8 z9 2 f (x,y)=4z 5 (z 1 +z 2 +z 3 +z 4 +z 6 +z 7 +z 8 +z 9 ) 82

84 Deteksjon av kanter, Laplace-operatoren 4 Disse to filtrene kan implementeres med de romlige filtrene vist til høyre

85 Deteksjon av kanter, Laplace-operatoren Figur 17: Original og etter anvendelse av Laplace-operatoren. 84

86 Deteksjon av kanter, Laplace-operatoren I praksis benyttes ikke Laplace-operatoren som beskrevet over, dette skyldes flere ting: Den er ekstremt følsom for støy. Absoluttverdien gir doble kanter noe som kompliserer tolkningen av resultatet. Den gir ikke retning på kanter 85

87 Oversikt, kantsegmentering Kantlenking. Lokale metoder. Hough-transformasjonen. Aktive konturer. Matlab-demo. 86

88 Kantlenking, lokale metoder Basert på lokal analyse (3 3 eller 5 5 ) av pikslene i et nabolag rundt alle piksler som er segmentert ut som tilhørende kantklassen. Alle slike punkter som er tilstrekkelig like i en eller annen forstand lenkes sammen. Kriteriene for lenking er hovedsaklig størrelsen på gradientvektoren og retningen på gradient-vektoren. 87

89 Kantlenking, lokale metoder Størrelsen på gradient-vektoren er gitt ved: f = f = G 2 x + G2 y En kantpiksel-kandidat med koordinater (x,y ) i et predefinert nabolag av (x,y) har samme størrelse på gradientvektoren dersom: f (x,y) f (x,y ) E der E er en positiv terskel. 88

90 Kantlenking, lokale metoder Vinkelen på gradient-vektoren er gitt ved: α(x,y)=tan 1 ( G y G x ) En kantpiksel-kandidat med koordinater (x,y ) i et predefinert nabolag av (x,y) har samme retning på gradientvektoren dersom: α(x,y) α(x,y ) A der A er en positiv terskel. 89

91 Oversikt, kantsegmentering Kantlenking. Hough-transformasjonen. Aktive konturer. Matlab-demo. 9

92 Kantlenking, Hough-transformasjonen Basert på følgende enkle observasjon: En linje gjennom punktet(x i,y i ) har følgende representasjon: y i = ax i + b Det finnes uendelig mange linjer som går gjennom punktet (x i,y i ). Felles for dem alle er at de tilfredsstiller ligningen over for et eller annet sett parametre (a, b). 91

93 Kantlenking, Hough-transformasjonen Denne ligningen kan selvfølgelig omskrives slik: b = x i a + y i Detter er ligningen for en enkelt linje i (a,b)-planet for et bestemt punkt (x i,y i ). Et annet punkt (x j,y j ) har en annen linjerepresentasjon i (a,b)- planet. 92

94 Kantlenking, Hough-transformasjonen y (x i,y i ) Felles for linjene assosiert med (x i,y i ) og (x j,y j ) er at i (a,b) planet skjæres de i et punkt (a,b ) der a er stigningstallet og b er skjæringspunktet til linjen gjennom (x i,y i ) og (x j,y j ). x b' (x j,y j ) b=-x i a+y i b a' b=-x j a+y j a 93

95 Kantlenking, Hough-transformasjonen y (x i,y i ) Faktum er at alle punktene på linjen som går gjennom punktene (x i,y i ) og (x j,y j ) parametriserer linjer i (a, b)-planet som skjæres i (a,b ). x b' (x j,y j ) b=-x i a+y i b a' b=-x j a+y j a 94

96 Kantlenking, Hough-transformasjonen Hough s ide er nå svært enkel: b min b max Kvantiser parameterrommet (a, b), det vil si del det opp i celler. Det kvantiserte parameterrommet omtales ofte som bestående av akkumulatorceller. I figuren er a min etc. de minste og største verdiene de ulike parametrene antas å kunne ha. Tell opp antall treff i hver celle. a min a max a b 95

97 Kantlenking, Hough-transformasjonen I praksis benyttes ikke ligningen: y y = ax + b θ ρ for å representere linjene (hvorfor?). ρ min θ min ο θ max θ x I praksis benyttes representasjonen: xcosθ + ysinθ = ρ ρ max ρ 96

98 Kantlenking, Hough-transformasjonen Fordeler: Konseptuelt enkel. Enkel å implementere. Robust, kan håndtere manglende data. Kan tilpasses til ulike former, ikke bare linjer. 97

99 Kantlenking, Hough-transformasjonen Ulemper: Beregningskrevende for objekter beskrevet med mange parametre. Håndterer ikke alltid objekter med samme form men ulik størrelse godt. Leter etter bare en type objekt. 98

100 Kantlenking, Hough-transformasjonen ρ (pixels from center) θ (degrees) Figur 18: Opprinnelig syntetisk kantbilde og dets Hough-transformerte. 99

101 Kantlenking, Hough-transformasjonen ρ (pixels from center) θ (degrees) Figur 19: Opprinnelig syntetisk kantbilde med hull i kantinformasjonen og dets Hough-transformerte. 1

102 Kantlenking, Hough-transformasjonen Figur 2: Naturlig scene og samme scene etter kantdeteksjon med Sobel-filter. 11

103 Kantlenking, Hough-transformasjonen Figur 21: Naturlig scene og samme scene etter kantdeteksjon med Sobel-filter samt terskling. 12

104 Kantlenking, Hough-transformasjonen ρ (pixels from center) θ (degrees) Figur 22: Akkmulatormatrisen for forrige bilde. 13

105 Kantlenking, Hough-transformasjonen Figur 23: Naturlig scene og samme scene med inntegnet de 2 mest framtredende linjene fra akkumulatormatrisen. 14

106 Oversikt, kantsegmentering Kantlenking. Lokale metoder Veldig kort om Hough-transformasjonen. Aktive konturer. Matlab-demo. 15

107 Kantlenking, deformable konturer Deformable konturer er konturer som fra en initialposisjon vil endre form og posisjon for å ende i en sluttposisjon som tilfredsstiller endel optimalitetskriteria. Figur 24: Gradientbilde av venstre hjertekammer. Deformabel kontur i initialposisjon og sluttposisjon. 16

108 Kantlenking, deformable konturer Vi lar konturen være parametrisert som følger: v(s)= [ x(s) y(s) ] Her er x og y parameterfunksjonene og s parameteren. Normalt velges s [,1]. 17

109 Kantlenking, deformable konturer Formen på konturen velges nå ved å minimalisere følgende funksjonal: E (v)=s (v)+p(v) Denne funksjonalen kan betraktes som et uttrykk for energien assosiert med v. Den minimale energien til denne funksjonalen oppnås når konturen har visse egenskaper. 18

110 Kantlenking, deformable konturer Det første leddet i funksjonalen: S (v)= 1 w 1 (s) v s 2 + w 2 (s) 2 v s 2 2 ds er den indre deformasjonsenergien i konturen. 19

111 Kantlenking, deformable konturer I funksjonalen: S (v)= 1 w 1 (s) v s 2 + w 2 (s) 2 v s 2 2 ds modifiserer vekten w 1 bidraget fra den førstederiverte av v med hensyn på parameteren s. Dette leddet bestemmer konturens motstand mot bøyning. 11

112 Kantlenking, deformable konturer I funksjonalen: S (v)= 1 w 1 (s) v s 2 + w 2 (s) 2 v s 2 ds modifiserer vekten w 2 bidraget fra den andrederiverte av v med hensyn på parameteren s. Dette leddet bestemmer konturens motstand mot endring i bøyning. 111

113 Kantlenking, deformable konturer Det andre leddet i funksjonalen: P(v)= 1 P(v(s))ds er den ytre energien som påvirker konturen. P(x, y) er en skalar potensialfunksjon definert på bildeplanet. 112

114 Kantlenking, deformable konturer For å benytte deformable konturer i bildebehandling defineres P(x, y) slik at funksjonalen: P(v)= 1 P(v(s))ds har minima når konturen befinner seg i områder med sterke lokale gradienter eller andre interessante egenskaper i bildet. 113

115 Kantlenking, deformable konturer En mye brukt potensialunksjon P(x, y) er følgende: P((x,y)= c [G σ I(x,y)] der c styrer størrelsen på potensialet, er gradientoperatoren og G σ I(x,y) beteger bildet I(x,y) konvolvert med et Gaussisk filter med varians σ (for å undertrykke støy). 114

116 Kantlenking, deformable konturer, eksempel på bruk Funksjonell MR av hjertet vil i framtiden antagelig bli en viktig del av utredningen av hjerte-kar-lidelser. Denne typen undersøkelse gjør det mulig å evaluere effekten av en tilsnevret kransarterie, ikke bare fastlå at pasienten har en tilsnevret kransarterie. Effektiv bruk av slike undersøkelser krever avansert bildebehandling. 115

117 Kantlenking, deformable konturer, eksempel på bruk Figur 25: Gradient-bilde av venstre hjertekammer, initialisering av konturen og konturens endelige posisjon. 116

118 Kantlenking, deformable konturer Fordeler: Robust, kan håndtere manglende data som Hough-transformen. Kan tilpasses et stort utvalg av former. Kan benyttes på 3D objekter. 117

119 Kantlenking, deformable konturer Ulemper: Beregningskrevende. Mange parametre å justere. Konseptuelt mer kompleks metode enn Hough-transformen. 118

120 Oversikt, kantsegmentering Kantlenking. Lokale metoder Hough-transformasjonen. Aktive konturer. Matlab-demo. 119