Statistiske metoder i bildebehandling, anvendelser innen segmentering. Lars Aurdal, lau@ffi.no
|
|
- Konrad Fosse
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistiske metoder i bildebehandling, anvendelser innen segmentering. Lars Aurdal, lau@ffi.no FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT
2 Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications (ENST) Henri Maître, Isabelle Bloch Hôpital St. Vincent de Paul Catherine Adamsbaum, Gabriel Kalifa Doktorgradsarbeide delfinanisert av NFR.
3 Oversikt, del 1 Problemet: segmentering av bildedata. Lokal segmenteringsmetode: terskling. Global segmenteringsmetode: Markovsk segmentering. Matematisk bakgrunn. Eksempler. Konklusjon.
4 Oversikt, del 2 Medisinsk anvendelse. Adrenoleukodystrofi (ALD). Målinger av syke områder. Utvidelse til kontinuerlige etiketter. Diskret eller kontinuerlige etiketter. Perspektiver. Konklusjon.
5 Oversikt, del 1 Problemet: segmentering av bildedata. Lokal segmenteringsmetode: terskling. Global segmenteringsmetode: Markovsk segmentering Matematisk bakgrunn. Eksempler. Konklusjon.
6 Segmentering Segmentering: En prosess som tar utgangspunkt i et bilde (som kan være multi-spektralt ) og som har som mål å generere et nytt bilde der hvert pixel i det opprinnelige bildet er tilordnet en etikett som indikerer dens tilhørighet til en gruppe pixler som deler en eller annen egenskap. Tilhørighet kan avgjøres ut fra mange kriterier: Pixlene i en gruppe kan ha tilnærmet samme spektralegenskaper. Pixlene i en gruppe kan ha spektralegenskaper som tilfredsstiller et eller annet høyere-ordens statistisk kriterium (tekstur). Osv...
7 NB Segmentering er IKKE det samme som klassifisering. Segmentering har som mål å gi hver pixel en etikett som sier noe om denne pixelens tilhørighet til en eller annen gruppe av pixler (gruppe 1, gruppe 2 etc...). Klassifisering har som mål å gi hver pixel en etikett som har en eller annen (fornuftig) fysisk tolkning (vann, land, båt etc...). Klassifiseringsprosessen avhenger ofte av segmenteringsprosessen som et preprosesseringstrinn.
8 Eksempel Original Original med støy Segmentering Etikett=0 Etikett=1
9 Oversikt, del 1 Problemet: segmentering av bildedata. Lokal segmenteringsmetode: terskling. Global segmenteringsmetode: Markovsk segmentering. Matematisk bakgrunn. Eksempler. Konklusjon.
10 Terskling, eksempel Terskel Feil: 2.15%
11 Terskling,eksempel Terskel Feil: 15.18%
12 Terskling,eksempel Terskel Feil: 25.16%
13 Terskling Enkel algoritme. Hurtig (velegnet for sanntidsapplikasjoner). Vel utprøvd. Følsom for støy. Lokal. Terskelen kan være vanskelig å fastsette.
14 Terskling Hovedproblem: Lokal, ikke global algoritme. Tar ikke hensyn til nabopixlenes etiketter. Fjern isolerte pixler Feil: 25.16% Feil: 22.75%
15 Oversikt, del 1 Problemet: segmentering av bildedata. Lokal segmenteringsmetode: terskling. Global segmenteringsmetode: Markovsk segmentering. Matematisk bakgrunn. Eksempler. Konklusjon.
16 Markovsk segmentering Segmenteringsproblemet: I L En mulig segmenteringsmetode: max pl ( = li= i ) L = l Et MAP estimat av det segmenterte bildet.
17 Markovsk segmentering Bayes formel*: max max ( ) ( ) ( ) L l pl li i pi= il= lpl= l = = = = L = l pi ( = i) Forenkling: max max ( ) ( ) ( ) L l pl = li = i = pi= il= lpl= l = L = l * pab ( ) pbapa ( ) ( ) = pb ( )
18 Markovsk segmentering Betrakt bildet som et endelig sett S av punkter s. Hvert punkt s er tilordnet en deskriptor, typisk spektralverdien (gråtoneverdien) til det aktuelle punktet.
19 pi ( = il= l) Markovsk segmentering Anta hvit, gaussisk støy med null middelverdi og varians som avhenger av hvilken klasse vi befinner oss i. Da vil gråtoneverdiene innen en gitt klasse være statistisk uavhengige. Derfor kan vi skrive: pi ( = il= l) = PI ( s = isls = ls) s
20 Markovsk segmentering Videre vet vi at: 1 pi ( s = isls = ls) = exp 2πσ 2σ ls ( i ) s µ l 2 l s s 2 Derav følger: pi ( = il= l) = 1 exp s 2πσ 2σ ls ( i ) s µ l 2 l s s 2
21 pl ( = l) Markovsk segmentering Dette er det leddet som inneholder de antagelsene vi gjør med hensyn til utseendet av det segmenterte bildet. Vi kan for eksempel ønske oss et segmentert bilde der nabopixler stort sett har samme etikett. Markovfelter
22 Nabosystemer Bildet er et endelig sett S av punkter s. Anta at r og s er punkter i S På S definerer vi et nabosystem ν som følger: ν s { r S} = r s ν s ν s ν s r
23 Klikk (clique) En klikk er et subsett av punkter slik at alle punktene i subsettet er hverandres naboer (med hensyn til det definerte nabosystemet). 4-nærmeste naboer:
24 Klikk 8- nærmeste naboer (8)... (12) (4)
25 Klikk potensialer Interaksjoner mellom punktene i en klikk utrykkes ved klikk potensial funksjoner. V C En klikk potensial funksjon er en funksjon av deskriptorene (typisk gråtoneverdiene) til punktene som inngår i klikken. Energien i et punkt er summen av potensialfunksjonen for alle klikkene som dette punktet inngår i. U s = cs c V c
26 Klikk potensialer, eksempel Anta 4-nærmeste naboer nabosystem La V C være gitt ved Vc =δ( gs, gr)
27 Klikk potensialer, eksempel U = V = g g = s c δ( s, r) 1 cs c cs c
28 Markov-felt Anta en bestemt realisasjon l av L. Anta at s og r er punkter i L. Markovs hypotese holder for l dersom de betingede sannsynlighetene i et punkt i l bare avhenger av dette punktets naboer. pl ( = l L = l, r s) = pl ( = l L = l, r ν ) = pl ( = l ν ) s s r r s s r r s s s s
29 Andrei Andreyevich Markov Født 14. juni 1856 i Ryazan, Russland. Død 20. juli 1922 i St. Petersburg, Russland. Professor i matematikk ved universitetet i St. Petersburg fra Studerte under Chebyshev. Mest kjent for sitt arbeid med det som senere har blitt hetende Markov-kjeder.
30 Hammersley-Cliffords teorem Dersom S er endelig og tellbart og dersom det på S er definert et nabosystem ν og dersom antall mulige deskriptorer er endelig så vil et Markov-felt (med strengt positive sannsynligheter over konfigurasjonsrommet Ω ) være et Gibbs potensial-felt. Under enkelte, rimelige betingelser er et Markov-felt et Gibbs potensial-felt.
31 Gibbs potensial-felt Et Gibbs potensial-felt har sannsynlighet: 1 pl ( = l) = exp Vc () l Z c C
32 Altså Vi ville finne: max pi ( = il= lpl ) ( = l ) L = l Dette kan vi nå skrive som: max ( is ) 1 µ ls exp 2 L = l s 2πσ l ls 2σ s 2 1 Z exp[ Ul ( )]
33 Til syvende og sist Vi beregner logaritmen, bytter fortegn osv. og finner til slutt følgende uttrykk som må minimeres med hensyn på l: min ( is µ l ) s 2 L = l s 2σls 2 + c C Vc () l
34 I praksis Omskriv dette uttrykket slik: min ( is µ l ) s α 2 L = l s 2σls 2 + β c C Vc () l α β og brukes for å bestemme den innbyrdes vekten som legges på de to leddene.
35 Tolkning Dette kan betraktes som en global energifunksjon (definert på hele bildet). Ved å minimalisere denne funksjonen finner vi et bestemt bilde L. Bildet L som minimaliserer dette uttrykket er det segmenterte bildet. Minimaliseringen gjøres typisk ved hjelp av algoritmer av typen simulert størkning (simulated annealing).
36 Oversikt, del 1 Problemet: segmentering av bildedata. Lokal segmenteringsmetode: terskling. Global segmenteringsmetode: Markovsk segmentering. Matematisk bakgrunn. Eksempler. Konklusjon.
37 Eksempel min ( is µ l ) s α 2 L = l s 2σls 2 + β c C Vc () l α = 0, β = 1 V = 1 δ( g, g ) c s r Anta 4 nærmeste naboer nabosystem. Anta to klasser.
38 Initialtilstand Resultat 60 iterasjoner 1) 2) 120 iterasjoner 180 iterasjoner 3) 4)
39 Eksempel min ( is µ l ) s α 2 L = l s 2σls 2 + β c C Vc () l α = 0, β = 1 V = 1 δ( g, g ) c s r Anta 2 nærmeste naboer nabosystem. Anta to klasser.
40 Initialtilstand Resultat 60 iterasjoner 1) 2) 120 iterasjoner 180 iterasjoner 3) 4)
41 Eksempel min ( is µ l ) s α 2 L = l s 2σls 2 + β c C Vc () l α > 0, β > 0 V = 1 δ( g, g ) c s r Anta 4 nærmeste naboer nabosystem. Anta to klasser.
42 Resultat Terskling Markov Feil: 25.16% Feil: 0.75%
43 Resultat Terskling Markov Feil: 36.81% Feil: 4.34%
44 Oversikt, del 1 Problemet: segmentering av bildedata. Lokal segmenteringsmetode: terskling. Global segmenteringsmetode: Markovsk segmentering. Matematisk bakgrunn. Eksempler. Konklusjon.
45 Markovsk segmentering Lite følsom for støy Global Fleksibel Kompleks algoritme Regnekrevende Parametrene kan være vanskelige å bestemme
46 Oversikt, del 2 Medisinsk anvendelse. Adrenoleukodystrofi (ALD). Målinger av syke områder. Manuelle kontra automatiske metoder Utvidelse til kontinuerlige etiketter. Diskret eller kontinuerlige etiketter. Perspektiver. Konklusjon.
47 Adrenoleukodystrofi, ALD Genetisk sykdom (knyttet til X-kromosomet). Redusert oksydasjon av fettsyrer. Fører til en demyelinisering av sentralnervesystemet. Dårlig funksjon i binyrene. Spontan utvikling mot vegetativ tilstand. Svært sjelden tilstand.
48 Adrenoleukodystrofi Ekko 1 Ekko 2 Hjernen ALD Ventriklene
49 Medisinsk anvendelse. Oversikt, del 2 Adrenoleukodystrofi (ALD). Målinger av syke områder. Manuelle kontra automatiske metoder. Resultater. Utvidelse til kontinuerlige etiketter. Diskret eller kontinuerlige etiketter. Perspektiver. Konklusjon.
50 Målinger av syke områder Tykke kutt Partial volumes. Manuell segmentering er vanskelig, tidkrevende og unøyaktig. ALD : variasjoner inter- og intra-observatør i størrelsesorden 15% (ekstremt tilfelle: intra-observatørvariasjon på 36%). Fusjon fra flere bilder er ofte nødvendig.
51 Målinger av syke områder ALD Partial volume
52 Medisinsk anvendelse. Oversikt, del 2 Adrenoleukodystrofi (ALD). Målinger av syke områder. Manuelle kontra automatiske metoder. Resultater. Utvidelse til kontinuerlige etiketter. Diskret eller kontinuerlige etiketter. Perspektiver. Konklusjon.
53 Resultater, ALD
54 Resultater, ALD
55 Resultater, ALD Ventriklene, kutt 1 Areal i cm^ /-15% 7 2/8/90 11/2/91 9/3/92 Dato
56 Resultater, ALD 17 Ventriklene, kutt 2 Areal i cm^ /8/90 11/2/91 9/3/92 Dato
57 Resultater, ALD Sykdom, kutt 1 Areal i cm^ /8/90 11/2/91 9/3/92 Dato
58 Resultater, ALD Sykdom, kutt 2 Areal i cm^ /8/90 11/2/91 9/3/92 Date
59 Resultater, Fettvev Kutt på nivå med L4, bilde scannet fra film Bukvegg Underhudsfett L4 Fett i bukhulen
60 Resultater, Fettvev
61 Resultater, Fettvev
62 Resultater, Fettvev
63 Medisinsk anvendelse. Oversikt, del 2 Adrenoleukodystrofi (ALD). Målinger av syke områder. Manuelle kontra automatiske metoder. Resultater. Utvidelse til kontinuerlige etiketter. Diskret eller kontinuerlige etiketter. Perspektiver. Konklusjon.
64 Kontinuerlige etiketter ξ = ξ1,ξ 2,...,ξ Nc ( ) ξ i 0,1,, N l i=1 [ ] ξ i = 1
65 Kontinuerlige etiketter Diskret Kontinuerlig
66 Kontinuerlige etiketter
67 Kontinuerlige etiketter
68 Kontinuerlige etiketter Image 1 Image 2
69 Kontinuerlige etiketter ALD
70 Kontinuerlige etiketter Ventriklene
71 Kontinuerlige etiketter Hjernen
72 Medisinsk anvendelse. Oversikt, del 2 Adrenoleukodystrofi (ALD). Målinger av syke områder. Manuelle kontra automatiske metoder. Resultater. Utvidelse til kontinuerlige etiketter. Diskret eller kontinuerlige etiketter. Perspektiver. Konklusjon.
73 Diskret eller kontinuerlige etiketter
74 Diskret eller kontinuerlige etiketter
75 Diskret eller kontinuerlige etiketter Posisjon 1 Posisjon n Posisjon 9
76 Diskret eller kontinuerlige etiketter 58.5 Volum 7 Relative feil Volum Relativ feil i % Position Position
77 Diskret eller kontinuerlige etiketter Position 1 Position n Position 9
78 Diskret eller kontinuerlige etiketter 128 Volum 7 Relative feil Volum Relativ feil i % Position Position
79 Medisinsk anvendelse. Oversikt, del 2 Adrenoleukodystrofi (ALD). Målinger av syke områder. Manuelle kontra automatiske metoder. Resultater. Utvidelse til kontinuerlige etiketter. Diskret eller kontinuerlige etiketter. Perspektiver. Konklusjon.
80 Perspektiver, MrHyde Window/NT-versjon av software-pakken MrHyde. Mulighet for testing i klinisk miljø. Potensielt nyttig software for radiologer. Forbedret parameterestimering. Forbedring av segmenteringsmetoder som gir kontinuerlige etiketter. Teoretisk interessante. Forbedret presisjon.
81 Perspektiver, neste liv... Bildebehandling som fagfelt står i stampe, få overbevisende framskritt har blitt gjort i de siste 20 årene. Plus ca va, moins ca va, P. Zamperoni (PRL, 17, , 1966). Why progress in machine vision is so slow, Theo Pavlidis (PRL, 13, , 1992). Hva bør man satse på? C mon, c mon-it s either one or the other.
82 Perspektiver Menneskets synssystem er beviset på at maskinsyn er mulig. Fokus har i stor grad vært på lavnivå synsprosesser. Credo: Fokus bør endres fra lavnivå til høynivå sysnsprosesser. Erfaring...bruk av modeller. Læring...bytte av eller oppbygging av nye modeller. Kunnskap...hvordan lagre modellene. Matthews...we re getting another one of those strange aw blaw es span yol sounds.
Heuristiske søkemetoder III
Heuristiske søkemetoder III Lars Aurdal Intervensjonssenteret Lars.Aurdal@labmed.uio.no 14. september 2003 Plan Eksempel: Bildebehandling, segmentering: Hva er segmentering? Klassisk metode, terskling.
DetaljerOversikt, kursdag 5. Matematisk morfologi V. Hva er segmentering. Hva er segmentering. Lars Aurdal Norsk regnesentral
Matematisk morfologi V Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Segmentering: Watershedtransformen. Oversikt, kursdag 5 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR
DetaljerMatematisk morfologi V
Matematisk morfologi V Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 5 Segmentering: Watershedtransformen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR
DetaljerHeuristiske søkemetoder II: Simulert størkning og tabu-søk
Heuristiske søkemetoder II: Simulert størkning og tabu-søk Lars Aurdal Norsk regnesentral lars@aurdalweb.com Heuristiske søkemetoder II:Simulert størkning ogtabu-søk p.1/141 Hva er tema for disse forelesningene?
DetaljerMatematisk Morfologi Lars Aurdal
Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning Algoritmer.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2100 - FASIT Eksamensdag: Torsdag 15. juni 2017. Tid for eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 2. juni 2010 Tid for eksamen : 09:00 12:00 Oppgavesettet er på : XXX sider
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 28. mars 2007 Tid for eksamen : 13:30 16:30 Oppgavesettet er på : 4 sider
DetaljerEksamensoppgave i TMA4250 Romlig Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4250 Romlig Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Henning Omre Tlf: 90937848 Eksamensdato: 5. juni 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00
DetaljerKantsegmentering NTNU
Kantsegmentering Lars Aurdal Norsk regnesentral aurdal@nr.no 19. april 24 Oversikt, kantsegmentering Litt praktisk informasjon. Motivasjon. Hva er en kant i et bilde? Hva er segmentering? Hva er kantsegmentering?
DetaljerHeuristisk søk 1. Prinsipper og metoder
Heuristisk søk Prinsipper og metoder Oversikt Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Traveling sales person (TSP) Tromsø Bergen Stavanger Trondheim Oppdal Oslo
Detaljer6.2 Signifikanstester
6.2 Signifikanstester Konfidensintervaller er nyttige når vi ønsker å estimere en populasjonsparameter Signifikanstester er nyttige dersom vi ønsker å teste en hypotese om en parameter i en populasjon
DetaljerEN LITEN INNFØRING I USIKKERHETSANALYSE
EN LITEN INNFØRING I USIKKERHETSANALYSE 1. Forskjellige typer feil: a) Definisjonsusikkerhet Eksempel: Tenk deg at du skal måle lengden av et noe ullent legeme, f.eks. en sau. Botemiddel: Legg vekt på
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF230 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 6. juni 202 Tid for eksamen : 09:00 3:00 Oppgavesettet er på : 6 sider Vedlegg
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, kontinuasjonseksamen 14. september 2003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte maksimum-kutt problemet (maximum cut problem). Problemet
DetaljerVerdens statistikk-dag.
Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator
DetaljerKorteste vei problemet (seksjon 15.3)
Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k
DetaljerMatematisk morfologi IV
Matematisk morfologi IV Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no. desember 3 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag Geodesi-transformasjoner: Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon.
DetaljerOversikt. Heuristisk søk 1. Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk. Prinsipper og metoder
Oversikt Heuristisk søk Kombinatorisk optimering Lokalt søk og simulert størkning Populasjonsbasert søk Prinsipper og metoder Pål Sætrom Traveling sales person (TSP) Kombinatorisk optimering Trondheim
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, ordinær eksamen 14. september 2003 Deloppgave a 50-års jubileet for simulert størkning: I juni 1953 publiserte fire amerikanske fysikere,
DetaljerVerdens statistikk-dag. Signifikanstester. Eksempel studentlån. http://unstats.un.org/unsd/wsd/
Verdens statistikk-dag http://unstats.un.org/unsd/wsd/ Signifikanstester Ønsker å teste hypotese om populasjon Bruker data til å teste hypotese Typisk prosedyre Beregn sannsynlighet for utfall av observator
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerDenne uken: kap : Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans
Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner
DetaljerTilstandsestimering Oppgaver
University College of Southeast Norway Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN http://home.hit.no/~hansha Innholdsfortegnelse 1 Grunnlag... 3 1.1 Statistikk og Stokastiske systemer... 3 1.2
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for informatikk og e-læring Kandidat nr: Eksamensdato: 7. desember 007 Varighet: timer (9:00 :00) Fagnummer: LV78D Fagnavn: Digital bildebehandling Klasser: HIDT005H
DetaljerMAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem
MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi
DetaljerSnøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk
Snøtetthet Notat for TMA424/TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU 5. august 22 I forbindelse med varsling av om, klimaforskning og særlig kraftproduksjon er det viktig å kunne anslå hvor
DetaljerRekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
DetaljerFORELESNING I STK1130
FORELESNING I STK30 STEFFEN GRØNNEBERG (STEFFENG@MATHUIONO) Sammendrag Det anbefales at man TEX er den kommende obligen, og her er et lite eksempel på relevant TEX-kode TEX er uten tvil det fremtidige
DetaljerTilstandsestimering Oppgaver
Telemark University College Department of Electrical Engineering, Information Technology and Cybernetics Tilstandsestimering Oppgaver HANS-PETTER HALVORSEN, 2012.01.27 Faculty of Technology, Postboks 203,
DetaljerBetingede sannsynligheter Fra spøkefull Monty Hall til alvorsfull kreftdiagnostikk
Betingede sannsynligheter Fra spøkefull Monty Hall til alvorsfull kreftdiagnostikk Solve Sæbø IKBM, UMB Innhold The Monty Hall game Vinner du bilen eller geita? Den statistiske begrunnelsen for riktig
DetaljerKapittel 3: Studieopplegg
Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere
DetaljerKap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering
Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering Data, observatorer og relaterte fordelinger. Stokastisk simulering. Illustrasjon: - Sammenligning av jury bedømmelser i idrett. Fra data til
DetaljerUtkast med løsningshint inkludert UNIVERSITETET I OSLO
Utkast med løsningshint inkludert UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 2. juni 2010 Tid for eksamen : 09:00
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2001, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 21, ordinær eksamen 14. september 23 Innledning En klikk i en graf G er en komplett subgraf av G. Det såkalte maksimum-klikk problemet består
DetaljerBildetransformer Lars Aurdal
Bildetransformer Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT Lars Aurdal. Forsvarets forskningsinstitutt (FFI), Kjeller. 5 ansatte. Ca. 3 forskere og ingeniører. Tverrfaglig institutt med vekt på arbeide
DetaljerOppgave 3c Konvolusjonsteoremet: f Λ g, F G og f g, F Λ G F rste del sier at konvolusjon i det romlige domenet (f Λ g) er det samme som pixelvis multi
Oppgave 3a 1 P N 1 N x=0 P N 1 y=0 f (x; y) e j2ß(ux+vy)=n Oppgave 3b 2D diskret konvolusjon for x =0to M for y =0to N h(x; y) =0 for m =0to M for n =0to N h(x; y)+ = f (m; n) Λ g(x m; y n) h(x; y) =h(x;
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 5. juni 2007 Tid for eksamen : 09:00 12:00 Oppgavesettet er på : 5 sider
DetaljerEKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20
DetaljerGråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF Hovedsakelig fra kap. 6.3 til 6.6
Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF 230 Hovedsakelig fra kap. 6.3 til 6.6 Histogrammer Histogramtransformasjoner Histogramutjevning Histogramtilpasning Histogrammer i flere dimensjoner Matematisk
Detaljer3.A IKKE-STASJONARITET
Norwegian Business School 3.A IKKE-STASJONARITET BST 1612 ANVENDT MAKROØKONOMI MODUL 5 Foreleser: Drago Bergholt E-post: Drago.Bergholt@bi.no 11. november 2011 OVERSIKT - Ikke-stasjonære tidsserier - Trendstasjonaritet
DetaljerSimulering av optimal sengefordeling mellom avdelinger i sykehus Fredrik A. Dahl og Lene Berge Holm
Simulering av optimal sengefordeling mellom avdelinger i sykehus Fredrik A. Dahl og Lene Berge Holm Operasjonsanalyse-gruppen i Ahus/HØKH Bakgrunn Dahl: operasjonsanalyse i Forsvaret Lurås: modellering
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2 Eksamensdag: Mandag 6. juni 2011. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerFig.1. Prøver av GREASOLUX patroner:
GREASOLUX - et produkt som gir løsninger til problemer forårsaket av fett i avløpsvann behandling Industrielt og kommunalt avfall forurenset med fett - et hyppig problem for selskaper å opprettholde avløpsvann
DetaljerTildeling av minne til prosesser
Tildeling av minne til prosesser Tildeling av minne til en prosess Når en ny prosess opprettes har den et krav til hvor mye minne som skal reserveres for prosessen Memory Management System (MMS) i OS må
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgaver fra forelesningene Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)
DetaljerOppgaver fra forelesningene. MAT1030 Diskret matematikk. Oppgave (fra forelesningen 10/3) Definisjon. Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver
Oppgaver fra forelesningene MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 9: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 10. april 2008 Oppgave (fra forelesningen 10/3) a)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag: Mandag 1. juni 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettett er på: 6 sider Vedlegg:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 30. november 1992. Tid for eksamen: 09.00 15.00.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Torsdag 2. desember 2010. Tid for eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på
DetaljerEKSAMEN I TMA4300 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 16 Mai, 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 5 Kontakt: Jo Eidsvik 9747 EKSAMEN I TMA43 BEREGNINGSKREVENDE STATISTIKK Torsdag 6 Mai, 3 Tilatte hjelpemiddel: Gult
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Torsdag 9. oktober 2008. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er på
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF30-Digital bildebehandling Eksamensdag: Tirsdag 5. mars 06 Tid for eksamen: 09:00-3:00 Løsningsforslaget er på: 4 sider Vedlegg:
DetaljerBlokk1: Sannsynsteori
Blokk1: Sannsynsteori Statistikk er vitskapen om læring frå data, og måling, kontroll og kommunikasjon av usikkerheit (Davians Louis, Science, 2012). Vi lærer frå data ved å spesifisere ein statistisk
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4250 Romleg Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4250 Romleg Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Professor Henning Omre Tlf: 90937848 Eksamensdato: 5. juni 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00-13:00
DetaljerObligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16
Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag Oppgave 1 Halveringsmetoden igjen a) I skriptet vårt fra leksjon 6 skal altså linje 16 erstattes med while abs(b-a)>1e-3. Når vi gjør
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerOversikt, kursdag 4. Matematisk morfologi IV. Geodesi-transformasjoner: Dilasjon. Geodesi-transformasjoner
Matematisk morfologi IV Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no. desember Geodesi-transformasjoner: Oversikt, kursdag Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon.. Åpning/lukning
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
5..7 EKSAMEN Løsningsforslag Emnekode: ITD5 Dato:. desember 7 Hjelpemidler: - To A-ark med valgfritt innhold på begge sider. - Formelhefte. - Kalkulator som deles ut samtidig med oppgaven. Emnenavn: Matematikk
Detaljer- Kinetisk og potensiell energi Kinetisk energi: Bevegelses energi. Kinetiske energi er avhengig av masse og fart. E kin = ½ mv 2
Kapittel 6 Termokjemi (repetisjon 1 23.10.03) 1. Energi - Definisjon Energi: Evnen til å utføre arbeid eller produsere varme Energi kan ikke bli dannet eller ødelagt, bare overført mellom ulike former
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag: Onsdag 28. mai 2014 Tid for eksamen: 09:00 13:00 Oppgavesettet er på: 6 sider Vedlegg:
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17 22:38) Forelesning 29: Kompleksitetsteori
DetaljerForelesning 29: Kompleksitetsteori
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 29: Kompleksitetsteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 29: Kompleksitetsteori 13. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-17
DetaljerSEGMENTERING IN 106, V-2001 BILDE-SEGMENTERING DEL I 26/ Fritz Albregtsen SEGMENTERING SEGMENTERING
SEGMENTERING IN 106, V-2001 Segmentering er en prosess som deler opp bildet i meningsfulle regioner. I det enkleste tilfelle har vi bare to typer regioner BILDE-SEGMENTERING DEL I Forgrunn Bakgrunn Problemet
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerProsjektoppgaver om diusjonsprosesser og diusjonstilnærmelse
Prosjektoppgaver om diusjonsprosesser og diusjonstilnærmelse February 22, 2007 I alle oppgavene skal det skrives litt om hva diusjonsprosesser er, hvilke spesielle resultater fra diusjonsteorien man skal
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 2002, ordinær eksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder ALGKON 00, ordinær eksamen 1. september 003 Innledning Vi skal betrakte det såkalte grafdelingsproblemet (graph partitioning problem). Problemet kan
DetaljerSannsynlighetsbegrepet
Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis
DetaljerLøsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen
Løsningsforslag: Deloppgave om heuristiske søkemetoder, ALGKON 2003, kontinuasjonseksamen 1. september 2003 Deloppgave a I denne oppgaven skal vi ta for oss isomorfismer mellom grafer. To grafer G og H
DetaljerProsjektoppgaver om diusjonsprosesser og diusjonstilnærmelse
Prosjektoppgaver om diusjonsprosesser og diusjonstilnærmelse February 13, 2006 I alle oppgavene skal det skrives litt om hva diusjonsprosesser er, hvilke spesielle resultater fra diusjonsteorien man skal
DetaljerEKSAMEN I EMNE SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Onsdag 31. juli 2002 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist 73 59 35 32 EKSAMEN I EMNE SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Onsdag
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
DetaljerESTIMATION OF PREANALYTICAL UNCERTAINTY IN CLINICAL CHEMISTRY
ESTIMATION OF PREANALYTICAL UNCERTAINTY IN CLINICAL CHEMISTRY Marit Sverresdotter Sylte NKK-møtet, Solstrand, 14. mars 2014 Hovedveileder: Statistiker: Bjørn J. Bolann Tore Wentzel-Larsen HOVEDMÅLET FOR
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Fredag 29. mars 2019 Tid for eksamen : 14:30 18:30 (4 timer) Oppgavesettet er
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Onsdag 4. juni 2008 Tid for eksamen : 14:30 17:30 (3 timer) Oppgavesettet er på
DetaljerMatematisk morfologi III
Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 3 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter.
DetaljerLoven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) P(B oga)+p(b ogā) P(B A)P(A)+P(B Ā)P(Ā) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
DetaljerBildebehandling med Python og EzGraphics
Bildebehandling med Python og EzGraphics I denne oppgaven skal dere jobbe med bildebehandling. På samme måte som vi jobbet med lyd tidligere, skal vi nå se på bilder. Vi kan bruke EzGraphics til alt vi
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i : INF2310 Digital bildebehandling Eksamensdag : Tirsdag 4. juni 2013 Tid for eksamen : 09:00 13:00 Oppgavesettet er på : 7 sider
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Det er to populasjoner som vi ønsker å sammenligne. Vi trekker da et utvalg
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 1: Kapittel 1 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. januar 2008 Velkommen til plenumsregning for MAT1030 Torsdager 10:15 12:00 Gjennomgang
DetaljerMer om Markov modeller
Høyere ordens Markov modeller Mer om Markov modeller p h mnr = Pr( Y j+ 3 = ah Y j+ 2 = am, Y j+ 1 = an, Y j = a : r For en k-te ordens Markov modell som modellerer en DNA prosess vil det være 3*4 k mulige
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerStatistikk og dataanalyse
Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe
DetaljerUtvikling av en realistisk gelmodell for kontroll av nøyaktigheten til en ny algoritme for automatisk bestemmelse av svulstoverflate fra PET bilder
Utvikling av en realistisk gelmodell for kontroll av nøyaktigheten til en ny algoritme for automatisk bestemmelse av svulstoverflate fra PET bilder Arne Skretting 1, Jan F Evensen 2, Karsten Eilertsen
DetaljerMotivasjon. Litt sett-teori. Eksempel. INF Kap. 11 i Efford Morfologiske operasjoner. Basis-begreper
Basis-begreper INF 2310 08.05.2006 Kap. 11 i Efford Morfologiske operasjoner Fundamentale operasjoner på binære bilder Sammensatte operasjoner Morfologisk filtrering Morfologiske operasjoner på gråtonebilder
DetaljerDenne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans
Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner
DetaljerDato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler: Kun standard enkel kalkulator, HP 30S
DET TEKNISK - NATURVITENSKAPELIGE FAKULTET Institutt for data- og elektroteknikk Eksamen i MIK130, Systemidentifikasjon Dato: Tirsdag 28. november 2006 Lengde på eksamen: 4 timer Tillatte hjelpemidler:
Detaljer