Oversikt, kursdag 4. Matematisk morfologi IV. Geodesi-transformasjoner: Dilasjon. Geodesi-transformasjoner

Transkript

1 Matematisk morfologi IV Lars Aurdal Norsk regnesentral desember Geodesi-transformasjoner: Oversikt, kursdag Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon.. Åpning/lukning ved rekonstruksjon. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Geodesi-transformasjoner Alle transformasjonene vi har betraktet så langt har kombinert ett inputbilde med ulike strukturelementer. Geodesi-transformasjoner tar to bilder som input: En morfologisk transformasjon anvendes på det første bildet, deretter tvinges resultatet til å være større eller mindre enn det andre bildet. De gyldige transformasjonene er elementær erosjon og dilasjon. En geodesi-transformasjon involverer to bilder: Et markørbilde og et maskebilde. Begge bildene må ha samme definisjonsdomene og maskebildet må være større enn markørbildet (for dilasjon). Markørbildet dilateres, deretter tvinges resultatet av dilasjonen til å være mindre enn eller likt maskebildet. Maskebildet er derfor en grense for virkningen av dilasjonen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

2 Mer formelt: La f være markørbildet og g maskebildet. Vi krever at D f = D g samt at f g. Geodesi-dilasjonen (med størrelse ) av markørbildet f med hensyn til maskebildet g betegnes δ g () ( f ) og er definert som det punktvise minimum mellom maskebildet og den elementære dilasjonen δ () av markørbildet: δ g () ( f )=δ () ( f ) g Figur : Markørbilde, maskebilde, dilatert markørbilde samt geodesi-dilasjonen av markørbildet med hensyn til maskebildet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR På grunn av den punktvise minimum-operatoren er geodesidilasjonen mindre eller lik maskebildet: δ g () ( f ) g Figur : Geodesi-dilasjon av D-signal. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

3 Fra definisjonsligningen kan vi vise at geodesi-dilasjon er en ekstensiv operator siden dilasjon med et strukturelement som inneholder sitt origo er en ekstensiv operasjon og ettersom f g f g = f : δ () ( f ) f δ () ( f ) g f g δ () g ( f ) f Geodesi-dilasjon er også en økende transformasjon. Dersom f f og g g og dersom f g og f g gjelder: δ () g ( f ) δ () g ( f ) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Denne siste egenskapen gjør det mulig å uttrykke geodesi-dilasjon ved terskeldekomposisjon: t max g ( f )= δ () CS t (g) [CS t( f )] δ () t= Geodesi-dilasjon med størrelse n av et markørbilde f med hensyn til maskebildet g oppnås ved å utføre n suksessive geodesidilasjoner av f med hensyn til g: δ (n) g ( f )=δ g () [δ g (n ) ( f )] Essensielt å gjøre dette trinnvis slik at den lokale min-operatoren kan anvendes etter hver iterasjon. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

4 Geodesi-transformasjoner: Erosjon Geodesi-transformasjoner: Erosjon Geodesi-erosjon er den duale operasjonen til geodesi-dilasjon med hensyn til settkomplementering: der vi krever at f g. ε g( f ) = [δ ( f C ) g C ] C = [(ε ( f )) C g C ] C = ε ( f ) g Figur : Geodesi-erosjon av D-signal. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Geodesi-transformasjoner: Erosjon Geodesi-transformasjoner: Rekonstruksjon Geodesi-erosjon med størrelse n av et markørbilde f med hensyn til maskebildet g oppnås ved å beregne n suksessive geodesierosjoner av f med hensyn til g: ε (n) g ( f )=ε g () [ε g (n ) ( f )] Essensielt å gjøre dette trinnvis slik at den lokale max-operatoren kan anvendes etter hver iterasjon. Geodesi-dilasjon og erosjon med bestemte størrelser brukes sjelden i praksis. Det som benyttes i praksis er geodesi-dilasjon og erosjon iterert til stabilitet. Dette gir opphav til veldig effektive bildebehandlingsalgoritmer. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

5 Geodesi-transformasjoner: Rekonstruksjon Geodesi-transformasjoner: Rekonstruksjon Initial state Iteration Iteration Geodesi-dilasjon og erosjon av bilder med begrensede gråtoneverdier vil alltid konvergere etter et endelig antall iterasjoner. De såkalte morfologisk rekonstruksjonsalgoritmene er basert på dette. Rekonstruksjon ved dilasjon av et maskebilde g fra et markørbilde f (der D f = D g og der f g) betegnes R g ( f ) og er definert som geodesi-dilasjon av f med hensyn til g inntil stabilitet: der i er slik at δ g (i) ( f )=δ g (i+) ( f ). R g ( f )=δ (i) g ( f ) Iteration Iteration Final state Figur : D markørsignal og maskesignal samt trinn i prosessen som rekonstruerer masken fra markøren under dilasjon. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Geodesi-transformasjoner: Rekonstruksjon Geodesi-transformasjoner: Rekonstruksjon Morfologisk rekonstruksjon under dilasjon av et maskebilde fra et gitt markørbilde er en økende ( f f R g ( f ) R g ( f ) ), antiekstensiv (R g ( f ) g) og idempotent (R Rg( f )( f )=R g ( f )) operasjon Rekonstruksjon ved erosjon av et maskebilde g fra et markørbilde f (der D f = D g og der f g) er geodesi-erosjonen av f med hensyn til g iterert til stabilitet. Denne operasjonen betegnes R g( f ): der i er slik at ε (i) g ( f )=ε (i+) g ( f ). R g( f )=ε (i) g ( f ) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

6 Geodesi-transformasjoner: Rekonstruksjon Geodesi-transformasjoner: Rekonstruksjon Initial state Iteration Iteration Merk at rekonstruksjon ved erosjon av g fra f er det samme som komplementet til rekonstruksjonen ved dilasjon av g C fra f C. Iteration Iteration Iteration R g( f )=[R g C ( f C )] C Iteration Iteration Final state Figur : D markørsignal og maskesignal samt trinn i prosessen som rekonstruerer masken fra markøren under erosjon. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Rekonstruksjon, anvendelser Rekonstruksjon, anvendelser Gå gjennom første del av eksemplet som ble brukt i første forelesning. Dobbel terskling (hystereseterskling). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

7 Øving Fjerning av kantobjekter. Hvordan lager man bilder av den typen som er vist under der alle riskorn som ligger i kanten av bildet er fjernet? Et regionalt minimum M i et bilde f på nivå t er en sammenhengende komponent av piksler med grånivåverdi t og som har kantpiksler med grånivåverdier større enn t: M connected p M, f (p)=t q δ () (M) \ M, f (q) > t Figur : Øving. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Regionale maksima defineres på samme måte: M connected p M, f (p)=t q δ () (M) \ M, f (q) < t Ekstremalverdiene til et bilde defineres som unionen av dets regionale maksima og minima. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

8 Merk: Av definisjonen for et regionalt maksima ved t ser vi at de regionale maksima ved t ikke er noe annet enn de samenhengende komponentene i tverrsnittet av f ved t som ikke henger sammen med noen komponenter i tverrsnittet av f ved t +. Et regionalt maksima ved t vil derfor ikke rekonstrueres under dilasjon med CS t+ ( f ) som markør og CS t ( f ) som maske. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Dersom vi kaller de regionale maksima i et bilde f på nivå t for RMAX t ( f ) kan vi skrive: Settet av alle maksima defineres ved å betrakte unionen av maksima funnet ved hvert nivå t: RMAX t ( f )=RMAX( f ) T t ( f )=CS t ( f ) \ R CSt ( f )[CS t+ ( f )] RMAX( f )= t {CS t ( f ) \ R CSt ( f )[CS t+ ( f )]} Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

9 Ettersom CS t+ ( f )=CS t ( f ) og RMAX t ( f ) RMAX t = / for alle t t kan settdifferansen i ligningen over byttes med en algebraisk differanse og unionen med en sum. Vi får da: RMAX( f )= f R f ( f ) Dersom den valgte datatypen for f ikke støtter negative verdier kan ligningen: RMAX( f )= f R f ( f ) omskrives slik: RMAX( f )= f + R f + ( f ) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Regionale minima av f ved nivå t betegner vi RMIN t ( f ). RMIN t ( f )=RMIN( f ) T t ( f )=R CS t+ ( f ) ( f )[CS t( f )] \CS t+ ( f ) Som over kan dette forenkles til: RMIN( f )=R f ( f + ) f Figur : D signal og regionale maksima. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

10 De såkalte h-ekstremalverdiene gir oss tilsvarende de ekstremalverdiene som tilfredsstiller et kontrastkriterium. Den såkalte HMAX transformen undertrykker de regionale maksima som skiller seg med mindre enn h grånivåer fra sine naboer: HMAX h ( f )=R f ( f h) Figur : D signal f og dets HMAX ( f ). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Den såkalte h-konveks transformen defineres ved HMAX h ( f ) fra f : HCONV EX h ( f )= f HMAX h ( f ) å trekke Merk at HMAX og HMIN transformene filtrerer bildene ut fra et kontrastkriterium, mens de grunnleggende transformene (dilasjon og erosjon) filtrerer bildene ut fra et formkriterium. Analogt defineres HMIN h ( f ) og HCONCAVE h ( f ): HMIN h ( f ) = R f ( f + h) HCONCAVE h ( f ) = HMIN h ( f ) f Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

11 Åpning/lukning ved rekonstruksjon Åpning/lukning ved rekonstruksjon Åpningen ved rekonstruksjon med størrelse n av et bilde f er definert som rekonstruksjonen av f fra erosjonen med størrelse n av f : γ (n) R ( f )=R f [ε (n) ( f )] I motsetning til ordinær åpning vil åpning ved rekonstruksjon bevare formen til de komponentene som ikke fjernes under erosjonen. Alle deler av bildet som ikke kan inneholde strukturelementet fjernes mens de øvrige forblir uendret. Lukning ved rekonstruksjon med størrelse n av et bilde f er definert som rekonstruksjonen av f fra dilasjonen med størrelse n av f : φ (n) R ( f )=R f [δ (n) ( f )] Merk at følgende ordning gjelder: γ γ R I φ R φ Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Øving Hva illustrerer figurene under. Dette er øving. Figur : Illustrasjoner for øving. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR