Matematisk Morfologi Lars Aurdal

Transkript

1 Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT

2 Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning

3 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

4 Motivasjon MR-bilde av hjernen. Gutt, ca. 7 år, lider av adrenoleukodystrofi (ALD). ALD Ønsker å måle størrelsen av det syke området. Vil begynne med å etablere en maske for selve hjernen. Hud Hjerne vev

5 Motivasjon Terskling

6 Motivasjon Hvordan kutte slike forbindelser?

7 Motivasjon Morfologisk åpning

8 Motivasjon S Behold største komponent i komplementet til S.

9 Motivasjon Inverter

10 Motivasjon Masker

11 Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning

12 Grunnleggende setteori Betrakter to sett A og B i Z 2 med komponenter a=(a 1,a 2 ) og b=(b 1,b 2 ). Z 2 A B

13 Grunnleggende setteori Komplement: A C = { x x A} A A C

14 Grunnleggende setteori Differanse: A B = { x x A, x B} = A B C A B A-B

15 Grunnleggende setteori Translasjonen av A med x=(x 1,x 2 ), (A) x, er gitt ved: ( A) = { c c = a + x x, a A} A (A) (1,-4)

16 Grunnleggende setteori Refleksjonen av B, B^, er gitt ved: ^ Bxx { = bb, B } B B^

17 Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning

18 Dilasjon La A og B være sett i Z 2. La Ø være et tomt sett (et sett uten elementer). Dilasjonen av A med B, A B, er definert ved: ^ A B = { x ( B) A } x Settet B kalles gjerne strukturelementet.

19 A Dilasjon B

20 Dilasjon

21 Dilasjon

22 A Dilasjon B

23 Dilasjon

24 Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning

25 Erosjon La A og B være sett i Z 2. Erosjonen av A med B, A B, et definert ved: AΘ B = { x ( B) A} Settet B kalles gjerne strukturelementet. x

26 A Erosjon B

27 Erosjon

28 Erosjon

29 A Erosjon B

30 Erosjon

31 Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning

32 Åpning Åpningen av settet A med settet B, A B, er en sammensatt operasjon definert ved: A B = ( AΘB) B Åpning brukes typisk for å jevne ut konturen av et sett pixler, den bryter smale forbindelser mellom sett og fjerner tynne forgreninger.

33 A Åpning B

34 Åpning Erosjon Dilasjon

35 A Åpning B

36 Åpning Erosjon Dilasjon

37 Åpning Hvordan kutte slike forbindelser?

38 Åpning Åpning

39 Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning

40 Lukning Lukningen av settet A med settet B, A B, er en sammensatt operasjon definert ved: A B = ( A B)ΘB Lukning brukes derfor også til å jevne konturer, men vil (i motsetning til åpning), lukke smale åpninger mellom sett, lukke små hull og fylle gap i konturer.

41 A Lukning B

42 Lukning Dilasjon Erosjon

43 A Lukning B

44 Lukning Dilasjon Erosjon

45 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

46 Hit-or-miss -transformen Algoritme for formgjenkjenning. Gonzalez:...basic tool for shape detection.... Leter etter denne formen

47 Hit-or-miss -transformen Definer først to strukturelementer Samme form som formen det letes etter Lokal bakgrunn

48 Hit-or-miss -transformen Gjør først en erosjon med et strukturelement som har samme form som formen det letes etter Erosjon

49 Hit-or-miss -transformen Finn komplementet av alle formene det letes blant:

50 Hit-or-miss -transformen Eroder komplementet med den lokale bakgrunnen Erosjon

51 Hit-or-miss -transformen Finn snittet av de to delresultatene: =

52 Hit-or-miss -transformen c A B = ( AΘB ) ( A ΘB ) 1 2

53 Hit-or-miss -transformen

54 Hit-or-miss -transformen Karbonfiberarmert epoxy til bruk i missilskall.

55 Hit-or-miss -transformen Segmentering Karbonfiber Luftbobler Lim

56 Hit-or-miss -transformen Antall fiber? Fordeling (uniform)? Deformasjoner? Radius ca. 10 pixler

57 Hit-or-miss -transformen Første strukturelement: disk med diameter 17 pixler.

58 Hit-or-miss -transformen Første strukturelement: disk med diameter 17 pixler. Problem: Fibrene er ikke runde. Problem: Noen av fibrene inneholder hull. Problem: Neste trinn (erosjon med lokal bakgrunn) er meningsløst ettersom fibrene berører hverandre.

59 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

60 Tynning

61 Tynning Tynningen av et sett A med strukturlemenet B kan defineres ved hjelp av hit-or-miss transformen: A B=A-(A O* B) =A (A *O B) c For symmetrisk tynning brukes det typisk en sekvens av strukturelementer: {B}={B 1,B 2,B 3,...,B n } B i er en rotert versjon av B i-1. Tynning defineres nå som en sekvensiell operasjon: A {B}=((...((A *O B 1 ) *O B 2 )...) *O B n )

62 Tynning {B}={B 1,B 2,B 3,...,B n } B1 B1B B5 B5B B2 B2B B6 B6B B3 B3B B7 B7B B4 B4B B8 B8B

63 A Tynning A {B} B1 B1B {B} B5 B5B B2 B2B B6 B6B B3 B3B B7 B7B B4 B4B B8 B8B

64 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

65 Tykking Tykking er den morfologiske dualen til tynning: A B=A (A *O B) Som for tynning kan tykking defineres ved en sekvensiell operasjon: A {B}=((...((A B 1 ) B 2 )...) B n ) I praksis utføres tykking ved at komplementet til settet som skal tykkes, tynnes, resultatet av tynningen komplementeres for å få den endelige tykkingen. Altså: For å tykke A beregnes C=A c, C tynnes og til slutt beregnes C c.

66 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

67 Gråtonebilder Erosjon

68 Gråtonebilder Et bilde......kan betraktes som en intensitetsfunksjon f(x,y)

69 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

70 Dilasjon i gråtonebilder Dilasjon av en slik funksjon f(x,y) med b, f b, er definert ved: ( f b)(,) st = max{( fs xt, y) + bxy (, ) ( s x),( t y) D ;(, xy) D } der D f og D b er definisjonsområdene for henholdsvis f og b. b er fortsatt strukturelementet, men b er nå en funksjon og ikke et sett. f b

71 Dilasjon i gråtonebilder

72 Original Dilasjon i gråtonebilder Dilasjon

73 Dilasjon i gråtonebilder Original Dilasjon

74 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

75 Erosjon i gråtonebilder Erosjon av en funksjon f(x,y) med b, f b, er definert ved: ( fθ b)(,) st = min{( fs+ xt, + y) bxy (, ) ( s+ x),( t+ y) D ;(, xy) D } der D f og D b er definisjonsområdene for henholdsvis f og b. b er fortsatt strukturelementet, men b er nå en funksjon og ikke et sett. f b

76 Erosjon i gråtonebilder

77 Original Erosjon i gråtonebilder Erosjon

78 Erosjon i gråtonebilder Original Erosjon

79 Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning

80 Åpning og lukning i gråtonebilder Åpning og lukning av gråtonebilder er definert akkurat som for binære bilder (sett). Åpning: Lukning: f b = ( fθb) b f b = ( f b)θb

81 Åpning og lukning i gråtonebilder Original Åpning Lukning

82 Åpning og lukning i gråtonebilder Original Åpning Lukning