Matematisk morfologi I

Transkript

1 Matematisk morfologi I Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR

2 Oversikt, kursdag 1 Praktisk informasjon om kurset Forelesninger. Øvinger. Pensum. Eksamen. Tema for forelesningene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 1

3 Praktisk informasjon om kurset Kurs TDT16, Matematisk morfologi i bildebehandling vekttall, tilsvarer ca. 2 ukers arbeid. Forelesningene gjennomføres som et 3-dagers seminar i uke 43, 6 timer forelesning hver dag. Øvinger utgjør resten av kurset. Øvingene er ikke obligatoriske. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 2

4 Praktisk informasjon om kurset Pensum er disse foilene. Foilene gjøres tilgjengelige på en egen CD. Støttelitteratur: P. Soille, Morphological Image Analysis, Principles and Applications, 2nd ed., Springer Verlag, ISBN (kurset er sterkt basert på denne boken). Muntlig eksamen (etter trekning), den 15 desember. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 3

5 Praktisk informasjon om kurset Romplan: Dag Sted Reservert Onsdag 22/10 Lusenga (Realfagbygget) 9-16 Torsdag 23/10 Lusenga (Realfagbygget) 9-16 Fredag 24/10 Lusenga (Realfagbygget) 9-16 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 4

6 Tema forelesningsdag 1 Motivasjon, demonstrasjon. Litt historie. Matematisk bakgrunn. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 5

7 Tema forelesningsdag 2 Grunnleggende morfologiske operatorer: Erosjon. Dilasjon. Sammensatte operasjoner: Åpning. Lukning. Flosshatt-transformasjoner. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 6

8 Tema forelesningsdag 3 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 7

9 Tema forelesningsdag 4 Geodesi-transformasjoner: Geodesi-dilasjon. Geodesi-erosjon. Geodesi-rekonstruksjon. Regionale ekstrema. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 8

10 Tema forelesningsdag 5 Segmentering: Watershedtransformen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 9

11 Motivasjon Figur 1: Karbonfiberarmert epoxy. Forstørret tverrsnitt Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 10

12 Motivasjon Karbonfiber dyppes i en epoxy og vikles på en form. Brukes i ekstremt kritiske applikasjoner. Produksjonen er en komplisert prosess: Uniform fiberfordeling. Ingen luftbobler. etc. Strenge krav til materialkontroll. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 11

13 Motivasjon Vi ønsker å studere fiberfordelingen i slike bilder. Fargeinformasjonen er ikke vesentlig. Figur 2: ig=rgb2gray(i) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 12

14 Motivasjon Kan terskling alene være nok? Vi terskler for å skille ut fiber og mørke områder. Figur 3: igt=(ig>150) (ig<90) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 13

15 Motivasjon Vi vil prøve en morfologisk rekonstruksjon ved dilasjon? Begynn med en erosjon. Figur 4: igte=bwmorph(igt, erode ) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 14

16 Motivasjon Utfør en morfologisk rekonstruksjon ved dilasjon. Figur 5: igtr=imreconstruct(igte,igt) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 15

17 Motivasjon Hva har vi oppnådd så langt? Figur 6: Opprinnelig gråtonebilde, båndtersklet og rekonstruert ved dilasjon. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 16

18 Motivasjon Fortsatt hull i fibrene. Dette kan (delvis) løses ved en morfologisk lukning. Figur 7: igtrc=imclose(igtr,se) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 17

19 Motivasjon Hva har vi oppnådd så langt? Figur 8: Opprinnelig gråtonebilde, rekonstruert og lukket og konturen overlagret det opprinnelige bildet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 18

20 Motivasjon Men fibrene henger fortsatt sammen. Gjør en watershedtransform på det avstandstransformerte resultatet fra forrige slide. Begynn med en avstandstransform. Figur 9: dist=-bwdist( igtrc) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 19

21 Motivasjon Gjør så en watershedtransform å det avstandstransformerte bildet. Sett etiketter på de ulike fangbassengene. Figur 10: dist( igtrc)=-inf;wat=watershed(imhmin(dist,2)); label=label2rgb(wat, jet, w ); Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 20

22 Motivasjon Sluttresultatet blir: Figur 11: Opprinnelig gråtonebilde og endelige konturer av fibrene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 21

23 Litt historie Bildebehandling som fagfelt er ikke spesielt gammelt. Oppsto som disiplin på 60-tallet i forbindelse med det Amerikanske romforskningsprogrammet. Den opprinnelig suksessen var enorm og forventningene til dette nye feltet tilsvarende. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 22

24 Litt historie Matematisk morfologi ble definert på omtrent samme tid i Frankrike. Jean Serra og Georges Matheron studerte porøse media. Slike media er binære i den forstand at et punkt enten tilhører objektet eller ikke. Dette ledet de to til å definere en sett-formalisme for for å analysere bilder av slike medier. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 23

25 Litt historie Sentralt verk: Eléments pour une théorie des milieux poreux av G. Matheron (1967). Her foreslo Matheron for første gang morfologiske transformasjoner for å analysere geometrien til objekter i binære bilder. Matematisk morfologi har vokst til å bli en betydelig underdisiplin under bildebehandling. Frankrike er fortsatt et sentralt land i denne forskningen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 24

26 Matematisk bakgrunn Matematisk morfologi ble først definert for det Euklidske rom. Dette ga opphav til Euklidsk morfologi. Men bildebehandling skjer (stort sett) på digitale bilder, det vil si en samling punktprøver (sampler) av en lysintensitetsfordeling. Punktprøvene er typisk tatt i ett eller annet geometrisk mønster. Dermed har vi behov for en diskret variant av den matematiske morfologien. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 25

27 Matematisk bakgrunn Betrakt det 2-dimensjonale Euklidske rom R 2. Den diskrete versjonen av dette rommet er Z 2. Overgangen fra R 2 til Z 2 skjer ved punktprøving av R 2. I praksis betraktes typisk et nettverk av jevnt fordelte punkter, piksler (picture elements). Diskret bilder defineres ved å assosiere en (eller flere) numeriske verdier med hvert punkt i nettverket av punkter. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 26

28 Matematisk bakgrunn Ulikt punkter i R 2 som har uendelig lite areal, har piksler en utstrekning fordi de representerer midlere luminans for et kontinuerlig objekt over et punktprøvingsvindu (samplingvindu). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 27

29 Matematisk bakgrunn Figur 12: Et kontinuerlig objekt, punktprøvingsvinduer og tilsvarende digitalt objekt. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 28

30 Matematisk bakgrunn Et bilde er i praksis definert over et rektangulært område kalt definisjonsdomenet til bildet. Dette domenet blir ofte omtalt som bildeplanet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 29

31 Matematisk bakgrunn Binære bilder og gråtonebilder skilles ved verdiene som assosieres med hvert punkt i nettverket. Verdien til en piksel i et binært bilde er enten 0 eller 1. Et binært bilde kan sies å være en mapping fra subsettet D f av Z n (definisjonsdomenet) inn i settet {0,1}, det vil si: f : D f Z n {0,1} Verdien til en piksel i et gråtonebilde er ikke begrenset til 0 eller 1, men til ett større, endelig, sett av ikke-negative tall. Et gråtonebilde kan sies å være en mapping fra subsettet D f av Z n (definisjonsdomenet) inn i det endelige settet N 0 som består av ikke-negative heltall, det vil si: f : D f Z n {0,1,...,t max } Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 30

32 Matematisk bakgrunn Begrensningen på verdiene i gråtonebilder til positive heltall eller 0 er en konvensjon. Mappingen av de kontinuerlige luminansverdiene til et objekt fra den virkelige verden til et endelig sett gråtoner kalles kvantisering. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 31

33 Matematisk bakgrunn I matematisk morfologi betrakter vi gråtonebilder som topografiske relieffer idet vi assosierer med hver piksel en høyde som er proporsjonal med dens gråtone, det vil si at vi tenker på verdiene i et bilde som høyder på en flate over bildeplanet. Figur 13: DEM (digital elevation model) og 3D rendrering. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 32

34 Matematisk bakgrunn Mer formelt kan vi betrakte gråtonebilder som sett via deres graf og subgraf. Grafen G til et bilde f er settet av punkter (x,t) slik at x ligger i bildeplanet til f og slik at t = f (x). G( f )={(x,t) Z n N 0 t = f (x)} Grafen til et bilde kalles ofte bildets intensitetsflate. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 33

35 t t Matematisk bakgrunn Subgrafen SG til f er det sett av punkter i Z n N 0 som ligger under grafen til bildet og over bildeplanet. SG( f )={(x,t) Z n N 0 0 t f (x)} x x Figur 14: 1D graf og subgraf. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 34

36 Matematisk bakgrunn Ved definisjon er subgrafen til et n-dimensjonalt gråtonebilde et (n + 1)-dimensjonalt sett. Subgrafen til et 2D gråtonebilde er derfor et 3D sett. Merk: Enhetene i settet er ikke uniforme, i bildeplanet brukes romlige enheter mens langs gråtoneaksen brukes intensitet. I praksis er det ikke nødvendig å ha noe strengt skille mellom binære bilder og gråtonebilder, et binært bilde er jo bare et gråtonebilde med t max = 1. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 35

37 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Morfologiske bildetransformasjoner er bilde til bilde transformasjoner i den forstand at det transformerte bildet har samme definisjonsdomene som det opprinnelige bildet og fortsatt er en mapping fra dette domenet inn i et sett av ikke negative heltall. En slik mapping betegner vi med Ψ. Et eksempel på en slik transform er identitetstransformen, oftest betegnet I: f,i( f )= f Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 36

38 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner En mye brukt slik transformasjon er tersklingstransformasjonen. Den setter alle piksler i det opprinnelige bildet som har gråtoneverdi i et bestemt område til 1 og alle de øvrige til 0. Kall denne operatoren T, da har vi: T [ti,t j ]( f )(x)= { 1, dersom ti f (x) t j 0, ellers Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 37

39 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Det såkalte tverrsnittet til et bilde kan uttrykkes ved denne transformasjonen. Tverrsnittet til et bilde f på nivå t er det settet av piksler i bildet som har gråtoneverdi større eller lik t. Dette settet kalles CS t ( f ). CS t = T [t,tmax ] Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 38

40 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Merk at tverrsnittet påetnivå t > 0 er inkludert i tverrsnittet på nivå t 1. Generelt: CS tmax ( f ) CS tmax 1( f ) CS 0 ( f ) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 39

41 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Merk nå at subgrafen til et gråtonebilde er det samme som superposisjonen av dette bildets suksessive tverrsnitt. Et gråtonebilde kan derfor dekomponeres i summen av sine tverrsnitt, unntatt tverrsnittet på nivå 0 (et konstant bilde på nivå 1): f = t max CS t ( f ) t=1 Gråtoneverdien til et bilde i piksel x er lik den største verdien t slik at tverrsnittet til f på nivå t ikke er tomt. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 40

42 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Dekomposisjonen av et gråtonebilde i sine suksessive tverrsnitt kalles ofte en terskeldekomponering av bildet. En bilde til bilde transformasjon Ψ er invariant overfor terskeldekomposisjon dersom den kan skrives som summen av transformasjonene til tverrsnittene til bildet: Ψ er invariant overfor terskeldekomposisjon Ψ = t max ΨCS t t=1 Mange morfologiske transformasjoner har denne egenskapen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 41

43 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner t x Figur 15: 1D graf og terskeldekomposisjonen av dens subgraf. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 42

44 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Ofte er det nødvendig å reiterere en transformasjon et antall ganger n. Det vil si at resultatet av transformen brukes som input til transformen inntil transformen har blitt anvendt n ganger. Dette betegner vi Ψ (n) : der Ψ (0) = I. Ψ (n) = ΨΨ (n 1) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 43

45 Matematisk bakgrunn, sett-operatorer anvendt på bilder De grunnleggende set-operatorene er union ( ) og snitt ( ). For gråtonebilder er unionen av deres subgrafer den punktvise max-operatoren. Snittet er tilsvarende den punktvise min-operatoren av subgrafene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 44

46 Matematisk bakgrunn, sett-operatorer anvendt på bilder De punktvise max ( ) og min ( ) operatorene mellom to bilder f og g som har samme definisjonsdomene er definert som følger for hvert punkt x: ( f g)(x)=max[ f (x),g(x)] ( f g)(x)=min[ f (x),g(x)] Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 45

47 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Figur 16: 1D grafer og deres union ( ) og snitt ( ). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 46

48 Matematisk bakgrunn, sett-operatorer anvendt på bilder En annen sentral sett-operatorer er komplementering. Komplementet til et bilde f, betegnet f c, er definert for hver piksel x som den maksimale verdien til datatypen som brukes for å lagre f minus verdien i x. f c (x)=t max f (x) Komplementeringsoperatoren betegnes C : C ( f )= f c Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 47

49 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Figur 17: Komplementer av henholdsvis et binært bilde, et 1D signal og et gråtonebilde. Merk: I 1D signalet er t max = 5. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 48

50 Matematisk bakgrunn, sett-operatorer anvendt på bilder Sett differansen mellom to sett X og Y, betegnet ved X \ Y er definert som snittet mellom X og komplementet av Y : X \Y = X Y c Er definert bare for binære bilder (Hvorfor? Man kunne jo definere det som f g c ). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 49

51 Matematisk bakgrunn, sett-operatorer anvendt på bilder Translasjonen av et bilde f med en vektor b er betegnet f b. Verdien av det translaterte bildet f b i piksel x er verdien av det originale bildet i posisjonen translatert med den motsatt vektoren: f b (x)= f (x b) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 50

52 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner Figur 18: Translatert 1D signal (+1 )og translatert definisjonsdomene for et bilde (+(2,1) ). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 51

53 Matematisk bakgrunn, sett-operatorer anvendt på bilder Alle morfologiske operatorer kan uttrykkes som kombinasjoner av snitt (evt. punktvise minimum), unioner (evt. punktvise maksima) og translasjoner. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 52

54 Matematisk bakgrunn, sett-operatorer anvendt på bilder Transposisjonen av et sett B er dets symmetriske sett med hensyn til dets origo. ˇB = { b b B} Et sett B med origo O er symmetrisk bare dersom B = ˇB. Generelt er X symmetrisk bare dersom X = ˇX b for en eller annen b R 2 (eller Z 2 for digitale sett). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 53

55 Matematisk bakgrunn, bilde til bilde transformasjoner B B Figur 19: Transponert sett. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 54

56 Matematisk bakgrunn, ordningsrelasjoner Et bilde f er mindre enn eller likt et bilde g (med samme definisjonsområde), dersom verdien i f er mindre enn verdien i g for alle piksler x i det felles definisjonsområdet. En ekvivalent måte å si dette på erå si at for alle grånivåverdier t er tverrsnittet av f ved nivå t inkludert i tverrsnittet av g ved samme nivå: f g x, f (x) g(x) t,cs t ( f ) CS t (g) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 55

57 Matematisk bakgrunn, ordningsrelasjoner Sagt på en annen måte: Bildet f er mindre enn eller likt bildet g dersom f s subgraf er inkludert i g s subgraf. f g SG( f ) SG(g) Eksempel: ( f g) ( f g). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 56

58 Matematisk bakgrunn, ordningsrelasjoner Ordning mellom bildetransformasjoner defineres analogt dette: En transformasjon Ψ 1 er mindre eller lik en transformasjon Ψ 2 hvis og bare hvis Ψ 1 ( f ) er mindre eller lik Ψ 2 ( f ) for alle bilder f : Ψ 1 Ψ 2 f,ψ 1 ( f ) Ψ 2 ( f ) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 57

59 Matematisk bakgrunn, ordningsrelasjoner Ordning er et nøkkelbegrep innen matematisk morfologi. De fleste morfologisk operasjoner bevarer ordningen mellom sine inputbilder. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 58

60 Matematisk bakgrunn, ordningsrelasjoner En annen viktig ordningsrelasjon er basert på begrepet aktivitet. Transformasjonen Ψ 1 er mindre aktiv (betegnet ) enn transformasjonen Ψ 2 dersom verdiene i et inputbilde transformert med Ψ 1 er nærmere verdiene i det opprinnelige bildet enn etter en transformasjon med Ψ 2. Ψ 1 Ψ 2 { I Ψ1 I Ψ 2 I Ψ 1 I Ψ 2 Den minst aktive transformasjonen er (per definisjon) identitetstransformasjonen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 59

61 Matematisk bakgrunn, diskret geometri Husk: Diskret bilder defineres ved å assosiere en (eller flere) numeriske verdier med hvert punkt i et nettverk av punkter. Men definisjonen av et slikt nettverk holder ikke dersom vi vil definere naboskap mellom piksler. For dette formålet trenger vi grafer. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 60

62 Matematisk bakgrunn, diskret geometri En ikke rettet graf G assosiert med et digitaliseringsnettverk er et sett {V,E} av noder V og kanter E. Nodene V = {v 1,v 2,...,v n } er et sett av punkter i digitaliseringsnettverket. Kantene E = {e 1,e 2,...,e n } er et sett av uordnede par av noder {v i,v j }. Dersom {v i,v j } er et sett av noder i kantsettet sier vi at det går en kant mellom nodene v i og v j. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 61

63 Matematisk bakgrunn, diskret geometri En graf G sies å være enkel dersom den ikke inneholder kanter av typen {v i,v i } (sløyfer) og dersom det ikke finnes mer enn en kant mellom hvert gitt par av noder. En graf er planar dersom den kan tegnes i planet uten at noen kanter krysser hverandre. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 62

64 Matematisk bakgrunn, diskret geometri Figur 20: 4-sammenhengende og graf 8-sammenhengende graf. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 63

65 Matematisk bakgrunn, diskret geometri I 3D er de viktige sammenhengene 6-, 16- og 26-sammenheng. I det følgende skal vi la naboene til en piksel v iengrafg = {V,E}, betegnet N G (v) være definert ved: N G (v)={v V {v,v } E} Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 64

66 Matematisk bakgrunn, diskret geometri I det Euklidske rommet er kanten til et sett det settet av punkter som samtidig har naboer i og utenfor settet. Dette kan utvides til diskrete rom dersom vi lar kantpikslene være de pikslene i objektet som har minst en bakgrunnspiksel som nabo, og de bakgrunnspikslene som har minst en objektpiksel som nabo. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 65

67 Matematisk bakgrunn, diskret geometri Dette gir opphav til begrepene indre og ytre kant. Den ytre kanten til et digitalt objekt X er alle bakgrunnspiksler for X med minst en nabo i X. Den indre kanten til et digitalt objekt X er alle piksler i X med minst en nabo i X s bakgrunn. Ytre og indre kanter er komplementære i den forstand at den indre kanten til et objekt X er lik den ytre kanten til komplementet til X. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 66

68 Matematisk bakgrunn, diskret geometri Figur 21: 6 6 diskret, binært bilde representert på et 4-sammenhengende nettverk, ytre, indre og total kant. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 67

69 Matematisk bakgrunn, diskret geometri Konnektiviteten (eller sammenhengen) til et sett er definert som følger: Et sett er sammenhengende dersom ethvert par av punkter i settet kan knyttes sammen med en sekvens av nabopunkter som alle ligger i settet. Sammenhengen til et sett er derfor bestemt av definisjonen av naboskap i det underliggende digitaliseringsnettverket. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 68

70 Matematisk bakgrunn, diskret geometri Figur 22: Ikke sammenhengende og sammenhengende komponenter. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 69

71 Matematisk bakgrunn, diskret geometri Sammenhengende komponent merking er en viktig transformasjon som er direkte knyttet til begrepet sammenheng. Denne transformasjonen består i å sette hver piksel som tilhører en bestemt sammenhengende komponent i input-bildet til en bestemt gråtoneverdi i output-bildet. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 70

72 Matematisk bakgrunn, diskret geometri Figur 23: Opprinnelig bilde tersklet og merket med sammenhengende komponenter. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 71

73 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner Hva er en metrikk? En metrikk d for et vektorrom E er en funksjon som assosierer ikke negative reelle tall med to vektorer p og q fra rommet E på en slik måte at: i) d(p,q) 0 og d(p,q)=0 p = q, ii) d(p, q)=d(q, p), iii) d(p,q) d(p,r)+d(r,q) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 72

74 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner God, gammeldags euklidsk avstand er bare en av mange mulige metrikker. Den diskret avstanden d G mellom to piksler p og q i et digitaliseringsnettverk G er den korteste sekvensen P av piksler som knytter de to pikslene sammen. d G (p,q)=min{l(p) P sekvens som knytter p og q sammen i G } Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 73

75 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner Det følger at målt avstand er en funksjon av digitaliseringsnettverket. De korteste veiene kalles geodesier. Dersom den underliggende grafen er 4-sammenhengende kalles metrikken ofte en city-block-metrikk (d 4 ). Dersom den underliggende grafen er 8-sammenhengende kalles metrikken ofte en sjakkbrett-metrikk(d 8 ). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 74

76 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner Husk: d G (p,q) er definert ved: d G (p,q)=min{l(p) P sekvens som knytter p og q sammen i G } For city-block-metrikken forenkles dette til: d 4 [(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )] = x 2 x 1 + y 2 y 1 der (x i,y i ) er koordinatene til piksel p i. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 75

77 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner Husk: d G (p,q) er definert ved: d G (p,q)=min{l(p) P sekvens som knytter p og q sammen i G } For sjakk-brett-metrikken forenkles dette til: d 8 [(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )] = max{ x 2 x 1, y 2 y 1 } der (x i,y i ) er koordinatene til piksel p i. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 76

78 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner NB: Et mye brukt alternativ er å betrakte punktene i digitaliseringsnettverket som om de lå i det Euklidske rommet R. Dermed tar en ikke hensyn til naboforhold mellom piksler og en betrakter heller Euklidsk avstand. d ε [(x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )] = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 der (x i,y i ) er koordinatene til piksel p i. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 77

79 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner Ofte rundes den Euklidske avstanden d ε til nærmeste heltall. Merk at man da ikke lenger har en virkelig metrikk, men en semimetrikk (fordi denne nye metrikken ikke tilfredsstiller triangelulikheten). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 78

80 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner q q p p Figur 24: Euklidsk (d ε ) og sjakkbrett-avstand (d 8 ). Merk at d ε (p,q) = 5, mens d 8 (p,q) =2. Merk også at den korteste veien mellom p og q ikke er unik Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 79

81 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner, et lite sidesprang Figur 25: Isometrikker for senterpikslet. Euklidsk, city-block og chess-board metrikker. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 80

82 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner En avstandstransformasjon D på et binært bilde f assosierer med hver piksel x av definisjonsdomenet D f til f avstanden til nærmeste piksel med verdi lik 1. [D( f )](x)=min{d(x,y) f (y)=1} Avhengig av om man benytter d ε eller d G får man euklidske eller diskret avstandstransformasjoner. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 81

83 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner, nok et sidesprang Men hvordan beregnes en avstandstransformasjon? Umiddelbar løsning: Løkke over alle voxlene i objektet (objektene), mål avstand til alle voxlene utenfor objektet og assosier minste avstand som endelig verdi for vokslene utenfor objektet. Fordel: Eksakt. Ulempe: Tidkrevende (O(nN), der n er antall voksler i objektet og N er antall voksler utenfor objektet). Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 82

84 Matematisk bakgrunn, diskret avstand og avstandstransformasjoner, nok et sidesprang Smart løsning: Propager lokale avstander, dette kan gjøres parallelt eller sekvensielt. Fordel: Raskt (O(nM) der n er antall voksler i bildet og M er antall voksler som omfattes av de lokale maskene). Ulempe: Ikke eksakt. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 83

85 ...nok et sidesprang Utgangspunkt Avstand (chess-board) Figur 26: Utgangspunkt og fasit. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 84

86 ...nok et sidesprang Forovermaske Utgangspunkt Bakovermaske Figur 27: Bytt verdien under 0 (i masken) med minimum av summen av elementene i masken og de underliggende pixlene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 85

87 ...nok et sidesprang Trinn 1 Trinn n Figur 28: Resultat etter trinn 1 og trinn n. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 86

88 ...nok et sidesprang Trinn n + 1 Trinn n Figur 29: Resultat etter trinn n + 1 og n + 2. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 87

89 ...nok et sidesprang Trinn m Trinn m Figur 30: Resultat etter trinn m og trinn m + 1. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 88

90 ...nok et sidesprang Avsluttet forovertransformasjon Fasit Figur 31: Resultat etter avsluttet forovertransformasjon samt fasit. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 89

91 ...nok et sidesprang I praksis brukes større masker med ikke-heltallige mål for euklidsk avstand. Presisjonen er begrenset av maskestørrelse. NB: avhengig av maskestørrelse og topologien til flatene man måler avstand mellom kan det oppstå unøyaktigheter. Det finnes en enkel utvidelse av disse algoritmene til 3D. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 90

92 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Invarians under translasjon En transformasjon Ψ er invariant under translasjon dersom den kommuterer med translasjon. Ψ er invariant under translasjon f, b,ψ( f b )=[Ψ( f )] b Kalles også skift-invarians. De fleste morfologiske transformasjoner har denne egenskapen. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 91

93 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Dimensjonalitet Vi oppnår en sett-representasjon av gråtonebilder ved å betrakte bildenes subgrafer. Subgrafen til et n-dimensjonalt bilde er et (n+1)-dimensjonalt sett. Men, subgrafene til bilder er ikke sett i et homogent rom fordi enhetene i bildeplanet ikke er de samme som de som brukes for å måle grånivåene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 92

94 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Dimensjonalitet Derfor vil en skalering av en subgraf avhenge både av skaleringen av bildeplanet og av det dynamiske området til gråtoneverdiene. Begrepet dimensjonalitet er innført for å karakterisere bildetransformasjoner under uavhengige skaleringer i bildeplanet og i grånivåene. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 93

95 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Dimensjonalitet En transformasjon Ψ er dimensjonal for en ukjent skalering Λ x av bildeplanet dersom den kommuterer med disse skaleringene: Ψ er dimensjonal for en ukjent Λ x ΨΛ x = Λ x Ψ En transformasjon Ψ er dimensjonal for en ukjent skalering Λ t av grånivåene dersom den kommuterer med disse skaleringene eller er invariant under disse skaleringene: Ψ er dimensjonal for en ukjent Λ t ΨΛ t = Λ t Ψ or ΨΛ t = Ψ Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 94

96 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Lokal kunnskap Definisjonsdomenet til et diskret bilde er et utsnitt av en større scene. Ved bruk av nabolagstransformasjoner kan det oppstå problemer ved kantene av bildet. Lokal kunnskap egenskapen er knyttet til definisjonen av et subsett av bildeplanet der det ikke forekommer kanteffekter. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 95

97 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Lokal kunnskap Mer formelt: Ψ tilfredsstiller den lokale kunnskap egenskapen dersom det finnes et subsett D av definisjonsdomenet D til bildet slik at dersom transformasjonen anvendes på et bilde f begrenset til D og så videre begrenset til D er dette ekvivalent med å anvende transformasjonen over hele bildeplanet for så å begrense resultatet til D : Ψ( f D) D = Ψ( f ) D Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 96

98 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Idempotens En transformasjon Ψ er idempotent dersom gjentatte anvendelser ikke endrer resultatet: Ψ er idempotent ΨΨ = Ψ Dette er en nøkkelegenskap ved morfologiske transformasjoner. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 97

99 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Ekstensivitet En transformasjon Ψ er ekstensiv dersom den har egenskapen: Ψ er ekstensiv I Ψ Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 98

100 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Antiekstensivitet En transformasjon Ψ er antiekstensiv dersom den har egenskapen: Ψ er antiekstensiv I Ψ Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 99

101 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Økning En transformasjon Ψ er økende dersom den bevarer ordningsrelasjonen mellom bilder: Ψ er økende f,g, f g Ψ( f ) Ψ(g) Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 100

102 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Dualitet To transformasjoner Ψ og Φ er duale med hensyn til komplementering dersom det å anvende den ene på et bilde gir samme resultat som når en komplementerer resultatet av resultatet av den andre anvendt på komplementet av bildet: Ψ og Φ er duale med hensyn til komplementering dersom Ψ = C ΦC Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 101

103 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Dualitet Endel egenskaper ved en transformasjon Ψ følger av kjennskap til egenskaper ved dennes duale transformasjon Φ: Φ idempotent ψ idempotent Φ ekstensiv ψ antiekstensiv Φ antiekstensiv ψ ekstensiv Φ økende ψ økende Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 102

104 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Selv-dualitet En transformasjon Ψ er selvdual med hensyn til komplementering dersom dens duale transformasjon med hensyn til komplementering er Ψ selv: Ψ er selvdual med hensyn til komplementering dersom Ψ = C ΨC Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 103

105 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Komplementaritet To transformasjoner Ψ og Φ er komplementære hvis og bare hvis det å anvende Ψ på et bilde er det samme som å anvende Φ på komplementet av dette bildet: Ψ er komplementære dersom Ψ = ΦC Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 104

106 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Selvkomplementaritet En transformasjoner Ψ er selvkomplementære dersom den er sin egen komplementære operator: Ψ = ΨC Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 105

107 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Homotopi La oss begynne med å definere homotopitreet til et begrenset sett X. Roten X 0 er det ubegrensede settet som består av den sammenhengende komponenten til X C. Første nivå med grener tilsvarer de sammenhengende komponentene X 1 til X som grenser opp mot X 0. Andre nivå med grener tilsvarer de sammenhengende komponentene X 2 til X som grenser opp mot X 1. etc... Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 106

108 Matematisk bakgrunn, egenskaper ved transformasjoner Homotopi X 1 X 2 X 1 X 3 X 3' X 3 X 3' X 3'' X 1 X 3'' X 2 X 1' X 3' X 2 X 3'' X 2' X 2' X 1' X 0 X 1' X 1 X 0 X 1' X 1 X 0 X 1 X 2 X 2' X 2 X 2' X 2 X 3 X 3' X 3'' X 3 X 3' X 3'' X 3' X 3'' Figur 32: Sett og deres homotopitrær. Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR 107