Introduksjon. Litt mengdeteori. Eksempel: Lenke sammen objekter. Morfologiske operasjoner på binære bilder. INF2310 Digital bildebehandling

Transkript

1 Introduksjon Digital bildebehandling Forelesning 4 Morologiske operasjoner på binære bilder Andreas Kleppe Repetisjon av grunnleggende mengdeteori Fundamentale operatorer ammensatte operatorer Eksempler på anvendelser G&W: og , ogdelera av 264og / 40 Matematisk morologi brukes ote som et steg i analyse av bilder. Modiiserer ormen (eng.: shape) ) til objekter v.b.a. lokale operasjoner. Kan brukes til å jerne uønskede eekter etter segmentering: Fjerne små objekter (antas å være stø. Glatte omrisset til større objekter. Fylle hull i objekter. Lenke sammen objekter. Kan brukes som et steg or å beskrive/analysere av objekter: Finne omriss av objekter. Tynne objekter. Finne objekter som inneholder en viss struktur. Finne mønstre i et bilde. Operasjonene er ote enkle og kan utøres svært raskt. Kan generaliseres til gråtonebilder (har da enda lere anvendelser). 2/ 40 Eksempel: Lenke sammen objekter Litt mengdeteori Morologiske operasjoner er ote velegnet til å orbedre en segmentering. Eks.: Lenke sammen deragmentere objekter: En mengde (eng.: set) består av elementer. Rekkeølgen av elementene og antallet av hver element er ubestemt. Dersom elementet a er inneholdt i mengden A skriver vi: Dersom elementet a ikke er inneholdt i mengden A skriver vi: a A a A er mengden uten noen elementer og kalles den tomme mengden. A c er komplementet til A og består av alle elementene som ikke er i A. A er en delmengde av B dersom alle elementene i A også er elementer i B, og dette betegnes: Unionen av to mengder A og B er mengden som består av alle elementer som er i A og/eller B, og dette betegnes: nittet av to mengder A og B er mengden som består av alle elementer som er i både A og B, dette betegnes: A B A B A B 3/ 40 4/ 40

2 Mengder og binære bilder La A være en mengde i Z 2. Hvert element i A er da et punkt (a,a 2 ) der a og a 2 er heltall. Et binært bilde kan beskrives ved orgrunnspikslenes koordinater. Mengden av disse pikslene er en mengde i Z 2. Komplementet til et binært bilde : hvis (x, 0 h (x, 0 hvis (x, Unionen av to bilder og gg: hvis (x, eller h g h (x, 0 nittet av to bilder og g: h g hvis (x, og h (x, 0 g(x, g(x, Konturen av to binære bilder, A og B Komplementet I igurene markerer grått med i mengden, til A og hvitt ikke med. (Fra igur 2.3 i G&W) nittet av A og B Unionen av A og B 5/ 40 Et strukturelement or et binært bilde er et naboskap. Tre sentrale begrep Typisk deinert ved en binær matrise der markerer med i naboskapet. Når vi ører strukturelementet over det binære bildet vil vi inne: Posisjoner der strukturelementet ikke overlapper objektet. Posisjoner der strukturelementet delvis overlapper objektet, vi sier at elementet treer objektet. Posisjoner der strukturelementet ligger inni objektet, vi sier at elementet passer i objektet. I igurene markerer grått med i mengden (orgrunnspiksel), og hvitt ikke med. 6/ 40 trukturelementenes orm og origo Passer strukturelementet til det binære bildet? trukturelementer kan ha ulik orm og størrelse. Må bestemme et origo. Origo markerer pikselen som evt. endrer verdi. Origo kan ligge utenor strukturelementet. I igurene markerer grått med i naboskapet / strukturelementet, og hvitt ikke med. Vi lytter strukturelementet rundt over et binært bilde. trukturelementet passer i posisjonen (x, i bildet hvis hvert element 0i strukturelementet overlapper en pikselverdi 0 i bildet. Kan tenkes på som en «minimums-korrelasjon». I denne sammenhengen vil vi alltid: Ignorere pikselverdier som overlapper 0 i strukturelementet. Et bilde To orskjellige struktur- elementer To orskjellige resultater Origo bør markeres når man an strukturelementet,.eks. ved 0 markerer jo «ikke er med i naboskapet». Anta at piksler utenor bildet er 0. 7/ 40 8/ 40

3 Erosjon Eekter av erosjon Plasser strukturelementet slik at origo overlapper posisjon (x, inn-bildet, og beregn ut-bildet g ved å bruke regelen: g( x, 0 hvis passer erodert med Erodering krymper objekter. Piksler jernes også innenra, hvis objektet har hull. Erosjon jerner «små» utstikk i objektets omriss erodert med Erosjon av et bilde med strukturelementet betegnes: θ Mer presist: Erosjonen av mengden A med strukturelementet B er deinert som posisjonene til alle piksler z som er slik at B er inkludert i A når origo i B plasseres i z: A θ B z ( B ) z A z «må» er relativt til størrelsen av strukturelementet. Erosjon utvider innbuktninger i objektets omriss. Resultatet er avhengig av strukturelementet. tørre strukturelement mer erosjon/jerning. j / 40 0 / 40 Iterativ erosjon Anvendelse av erosjon: Kantdeteksjon Vi sa at «tørre strukturelement mer erosjon/jerning». Resultatet av erosjon med et stort strukturelement er (nesten) lik resultatet av gjentatt erosjon med et mindre strukturelement med samme orm. Hvis s 2 er ormlik s, men dobbelt så stort, så er: ө s 2 ( ө s ) ө s erodert 2 ganger med Erodering jerner piksler langs omrisset av et objekt. Vi kan inne kantene av objektene i bildet ved å subtrahere et erodert bilde ra originalbildet: g = - ( ө ) trukturelementet t t avgjør 4- eller 8-tilkoblet: t Et bilde erodert med => dieranse ammenhengende kanter dersom man bruker 8-tilkobling ammenhengende kanter ved bruk av 4-tilkobling / 40 2 / 40

4 Eksempel: Kantdeteksjon ved erosjon Treer strukturelementet det binære bildet? Et bilde erodert med => dieranse Vi lytter strukturelementet rundt over et binært bilde. trukturelementet treer i posisjonen (x, i bildet hvis et element 0 i strukturelementet overlapper en pikselverdi 0 i bildet. Her relekterer vi (roterer 80 ) strukturelementet ør vi lytter det rundt. Kan tenkes på som en «maximums-konvolusjon». Et bilde To orskjellige struktur- elementer To orskjellige resultater Fortsatt vil vi: Ignorere pikselverdier som overlapper 0 i strukturelementet. Anta at piksler utenor bildet er 0. 3 / 40 4 / 40 Dilasjon (dilatasjon) Eekter av dilasjon Roter og plasser det slik at origo overlapper (x, i inn-bildet, og beregn ut-bildet g ved: g( x, 0 hvis treer Dilasjon av et bilde med strukturelementet betegnes: Mer presist: Dilasjonen av mengden A med strukturelementet B er deinert som posisjonene til alle piksler z som er slik at en 80 rotert B har minst ett elles element med A når origo i B plasseres i z: A B z ( Bˆ) A Ø z dilatert med / 40 Dilasjon utvider objekter. Dilasjon yller i hull i objektet. Fyller igjen hullet hvis strukturelementet er stort nok i orhold til hullet dilatert med Dilasjon glatter ut innbuktninger i objektets omriss. Resultatet er avhengig av strukturelementet. tørre strukturelement større dilasjons-eekt / 40

5 Anvendelse av dilasjon: Region-ylling La X 0 inneholde et punkt i regionen som skal ylles. c Deretter iterer X ( X ) inntil konvergens: k k X 0 c Eekter av sirkulære strukturelementer på hjørner Både dilatering og erodering med kvadratiske strukturelementer bevarer ormen til hjørner. Dilatering av konkave hjørner med sirkulære strukturelementer bevare hjørnenes orm. ( X ) ) ( X X 2 X 3 X 4 X (Bildene er hentet ra 7 / 40 Dilatering av konvekse hjørner med sirkulære strukturelementer avrunde hjørnene. irkulære strukturelementer avrundede hjørner ved erosjon av konkave hjørner. Konvekse hjørner bevares. 8 / 40 Dualitet Dualitet og eekter av sirkulære strukturelementer på hjørner Dilasjon og erosjon er duale med hensyn til komplementering og relektering (80 rotering), d.v.s. at dilasjon og erosjon kan uttrykkes ved hverandre: θ c c θ Ŝ c c Ŝ For å dilatere med symmetrisk kan vi erodere komplementet til med, og ta komplementet av resultatet. Tilsvarende or å erodere. => Dilasjon og erosjon kan utøres av samme prosedyre, orutsatt at vi kan 80 rotere et strukturelement og inne komplementet t til et binært bilde. et bilde dilatert med komplementet erodert med og disse bildene er komplementære Erosjon er å inne de posisjonene der strukturelementet passer inni orgrunnen. Dilasjon er å inne de posisjonene der (det 80 roterte) strukturelementet passer inni bakgrunnen, og så komplementere resultatet. Det er dette den ene dualitetsormelen sier. => iden erosjonen av konkave hjørner med et sirkulært strukturelement avrunder hjørnene, så vil dilasjonen avrunde konvekse hjørner når vi benytter samme strukturelement. Merk: Et konvekst orgrunns-hjørne er også et konkavt bakgrunns-hjørne. Logikken ungerer like bra omvendt vei. 9 / / 40

6 Dilasjon: Andre egenskaper Dilasjon er kommutativ. elv om det er en konvensjon at ørste operand er bildet og andre er strukturelementet, så har dette altså ingen betydning. Dilasjon er assosiativ. ( 2 ) ( ) Hvis kan dekomponeres, d.v.s. at er dilatert med 2, kan vi spare en del regnetid, spesielt hvis og 2 er én-dimensjonale. Eksempel: 2 Erosjon: Andre egenskaper Erosjon er IKKE kommutativ: θ θ Erosjon er heller IKKE assosiativ, men suksessiv erosjon av bildet med A og så med B er ekvivalent med erosjon av bildet med A dilatert med B: ( θ A) θ B θ (A B) Passer det med denne tidligere påstanden? «Hvis s 2 er ormlik s, men dobbelt så stort, så er ө s 2 ( ө s ) ө s» 2 / / 40 Åpning Geometrisk tolkning av åpning Erosjon av et bilde jerner alle strukturer som ikke kan inneholde strukturelementet, og «krymper» alle andre strukturer. Hvis vi dilaterer resultatet av en erosjon med samme strukturelement, vil de strukturene som «overlevde» erosjonen bli omtrentlig gjenskapt. Dette er en morologisk åpning; θ Navnet kommer av at operasjonen kan skape en åpning (et mellomrom) mellom to strukturer som bare henger sammen ved en tynn «bro», uten å krympe disse to strukturene i noen betydelig grad. Bare erosjon kan også skape en slik åpning/mellomrom, men vil også krympe begge strukturene. 23 / 40 Tenk at strukturelementet deinerer størrelsen og ormen til spissen av en tusjpenn. Det er bare tillatt å argelegge innenor objekter. Et par detaljer: Man må holde tusjen vinkelrett på tegnelaten og med samme rotasjon som strukturelementet. Åpningen er resultatet av å argelegge så mye man har lov til. For runde strukturelementer: Konvekse hjørner blir avrundet, konkave hjørner beholdes rette. Akkurat som ved dilasjon (skyldes at enhver åpning avsluttes med en dilasjon). (Deler av igur 9.8 i G&W) Åpning er idempotent: ( ) d.v.s. at gjentatte anvendelser med samme strukturelement ingen endring. 24 / 40

7 Lukking Geometrisk tolkning av lukking Dilasjon av et bilde utvider strukturer, yller i hull og innbuktninger i omrisset. Hvis vi eroderer resultatet av en dilasjon med samme strukturelement, vil strukturene stort sett å gjenskapt sin opprinnelige størrelse og orm, men hull og innbuktninger som ble ylt igjen ved dilasjonen vil ikke gjenoppstå. Dette er en morologisk lukking; θ Navnet kommer av at operasjonen kan lukke en åpning mellom to strukturer som bare er adskilt med et lite gap, uten at de to strukturene vokser i noen betydelig grad. Bare dilasjon kan også lukke en slik åpning, men vil også orstørre begge strukturene. Vi kan benytte samme metaor som or åpning: trukturelementet deinerer størrelsen og ormen til spissen av en tusjpenn. Man holder tusjen vinkelrett tegnelaten og argelegger så mye man har lov til. Denne gangen er det bare tillatt å argelegge utenor objekter. En detalj: Denne gangen skal tusjen holdes speilvendt (80 rotert) av strukturelementet. Lukkingen er det som ikke argelegges. Denne gangen argelegger vi altså bakgrunnen, sist argela vi orgrunnen. For runde strukturelementer: Konkave hjørner blir avrundet, konvekse hjørner beholdes rette. Akkurat som ved erosjon (skyldes at enhver lukking avsluttes med en erosjon). (Deler av igur 9.9 i G&W) Også lukking er idempotent: ( ) 25 / / 40 Lukking lukker små åpninger Dualitet mellom åpning og lukking binært bilde dilatert med erodert med samme strukturelement Lukking er en dual operasjon til åpning med hensyn til komplementering og relektering (80 rotering), og omvendt: ( ˆ c c ) ( ˆ c c ) Lukking kan utøres ved å komplementere bildet, åpne det med det speilvendte (80 rotere) strukturelementet, og ta komplementet av resultatet. Tilsvarende or åpning. Vi kan altså utøre begge operasjonene med kode bare or den ene, hvis vi har kode å speilvende og komplementere et binært bilde. Lukking er en ekstensiv transormasjon (piksler legges til). trukturelementets størrelse og orm, og strukturenes mellomrommer er avgjørende or resultatet. Åpning er en antiekstensiv transormasjon (piksler jernes). 27 / / 40

8 Eksempel: tøyjerning med åpning Eksempel: Formseparering ved åpning Åpning med et (7x7) sirkulært strukturelement Åpning med et sirkulært strukturelement (Bildene er hentet ra 29 / / 40 Eksempel: Filtrering ved lukking Eksempel: Filtrering ved åpning og lukking Lukking med et (3x3) kvadratisk strukturelement 3 / / 40

9 9.5.9 Morologisk rekonstruksjon Tidligere: Bilde og strukturelement Nå: Markørbilde F (startpunktene), maskebilde G og et strukturelement B som deinerer tilkoblingstypen Morologisk rekonstruksjon Åpning ved rekonstruksjon Tidligere: Bilde og strukturelement Nå: Markørbilde F (startpunktene), maskebilde G og et strukturelement B som deinerer tilkoblingstypen Morologisk rekonstruksjon ved dilasjon: k k F ( F B) G der F 0 = F. Morologisk rekonstruksjon ved dilasjon: k k F ( F B) G der F 0 = F. Med ord: Iterativt t dilater F med B, og begrens resultatet med G, inntil ingen endring. Med ord: Iterativt t dilater F med B, og begrens resultatet med G, inntil ingen endring. B = deinerer 4-tilkobling 8-tilkobling i markørbildet Merk: Omvendt som or kantdeteksjonen! ordi ut-bildet da var det som ble erodert v.b.a. strukturelementet. Åpning ved rekonstruksjon ( med ): Lag markørbildet F ved å n ganger erodere med (n er en tilleggsparameter). Kunne vært deinert uten parameteren n. Da må deinerer hele eroderingen. Utør morologisk rekonstruksjon ved dilasjon der G =. Tilsvarer vanlig åpning, bare at de gjenværende objektene blir nøyaktig bevart. 33 / / Morologisk rekonstruksjon Helautomatisk hullylling Morologisk rekonstruksjon Kantrydding (a) () Reconstruction-by-dilation o marker image. Tidligere: Bilde og strukturelement Nå: Markørbilde F (startpunktene), maskebilde G og et strukturelement B som deinerer tilkoblingstypen Tidligere: Bilde og strukturelement Nå: Markørbilde F (startpunktene), maskebilde G og et strukturelement B som deinerer tilkoblingstypen Morologisk rekonstruksjon ved dilasjon: k k F ( F B) G der F 0 = F. Morologisk rekonstruksjon ved dilasjon: k k F ( F B) G der F 0 = F. Med ord: Iterativt t dilater F med B, og begrens resultatet med G, inntil ingen endring. Med ord: Iterativt t dilater F med B, og begrens resultatet med G, inntil ingen endring. Helautomatisk hullylling (av bildet ): Kantrydding (av bildet ) (er også helautomatisk): La markørbildet F(x, være -(x, når (x, er på bildekanten, og 0; La markørbildet F være lik på bildekanten, og 0; ( x, F( x, 0 hvis (x, er på bildekanten ( x, F( x, 0 hvis (x, er på bildekanten Utør morologisk rekonstruksjon ved dilasjon der G = c og komplementer resultatet. Utør morologisk rekonstruksjon ved dilasjon der G = og subtraher resultatet ra. 35 / / 40

10 «Hit-or-miss»-transormasjonen Tilbake til den opprinnelige situasjonen: Bilde og strukturelement Men strukturelementet er nå deinert ved et par [, 2 ] binære strukturelementer som har ingen elles elementer. «Hit-or-miss»-transormasjonen av med = [, 2 2] er deinert som: C, ( θ ) ( θ ) ( ) ( ) 2 2 Et orgrunnspiksel iut-bildet oppnås kun hvis: passer orgrunnen rundt pikselet og 2 passer bakgrunnen rundt pikselet. Kan brukes til å inne/behandle bestemte mønstre i et bilde,.eks. til å: Finne bestemte strukturer. Fjerne enkeltpiksler. Benyttet i tynning (om to slides). Eksempel: «Hit-or-miss» Et bild A trukturelement Et bilde A Resultat etter erosjon med trukturelement 2 A c - komplementet til bildet A c erodert med 2 «Hit-or-miss»-resultatet Logisk AND av de to delresultatene 37 / / 40 Morologisk tynning: Morologisk tynning ( ( ) ) gjentatt med en sekvens av strukturelementer, k or k=,..,n, inntil ingen av strukturelementene skaper noen endring. Fjerner grovt sett alle piksler utenom de som: er isolerte, deinerer utstrekningen av et objekt, eller En vanlig sekvens or tynning: x = don t care (<=> verken med i eller 2 ) Eksempel på bruk av denne sekvensen på bildet A: Grunnleggende begreper: Oppsummering trukturelement (med origo) Erosjon Dilasjon Dualitet Åpning (erosjon etterulgt av dilasjon) Lukking (dilasjon etterulgt av erosjon) Morologisk rekonstruksjon Hit-or-miss trengs or å ikke dele et objekt. og markerer to korreksjoner. (Figur 9.2 i G&W) 39 / 40 Eksempler på anvendelser. 40 / 40