1.1 Matematikk er meir enn berre Ô kunne rekne

Transkript

1 1.1 Matematikk er meir enn berre Ô kunne rekne Du skal l re ^ kor viktig det er Ô gjere overslag og vurdere kor rimeleg svaret er ^ Ô tolke, vurdere og diskutere matematisk innhald i skriftlege framstillingar EKSEMPEL 1 «Flere og flere velger rådhuset framfor kirken når barnets start på livet skal feires. Oslo har hatt en vekst på over 50 % på tre år.» Dette skreiv Aftenposten i Tabellen i margen er saksa frå artikkelen. Eit foreldrepar som hadde valt dåp, vart intervjua. Avisa gjorde eit poeng av at dei valde dette «selv om trenden sier navnefest uten religiøse trekk». Meiner du at avisa gir korrekt informasjon? Om vi ikkje les tabellen, kan informasjonen tolkast som om det er stor nedgang når det gjeld dåp. Men tabellen syner at det er nokså stabilt kor mange som vel dåp gjennom heile perioden. Ein påstand i teksten er at talet på namnefestar hadde ein vekst på meir enn 50 %. Stemmer det med tabellen? 50 % vekst vil seie at vi legg til halvparten av det opphavlege talet. Dersom 50 % var korrekt, skulle overslagsrekning ha vist at ca. 460 þ 230 ¼ 690 barn hadde namnefest. Det stemmer ikkje med tabellen. UTVIKLING Oslo og Akershus r Borgarleg namnefest DÔp Kjelde: Human-Etisk Forbund og Den norske kyrkja I artikkelen stod det 50 % vekst over ein treårsperiode. Tabellen viser ein fireårsperiode. Det kan vere at prosenten er korrekt, ettersom tabellen gjeld Oslo og Akershus, mens det stod Oslo i artikkelen. EKSEMPEL 2 Overslag. Kor rimeleg er svaret? Ein dag kom Kari over billig parkett på timesal. Dette tilbodet ville ho dra nytte av. Ho hadde ikkje tid til å få målt opp rommet sitt, men visste at det var litt under 5 meter langt og om lag 2;5 meter breitt. Kari gjorde overslag og bestemte seg for å kjøpe 17 m 2 parkett. a) Korleis kom ho fram til dette talet? Meiner du at det var nok? FØR 228,- per m 2 NO 75 % rabatt Då Kari skulle betale, var rekninga på 1938 kroner. Ho syntest det var mykje for 17 m 2 parkett. Ho kontrollrekna og fann at ho skulle betale halvparten av dette. b) Kva kan ekspeditøren ha gjort feil? 10 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

2 Løysing: a) Kari må vere sikker på at ho kjøper nok om ho ikkje skulle få tak i parkettypen seinare. 17 m 2 kan ho ha kome fram til ved å gjere overslag over breidda og rekne med ei breidd på 3m.Såhar ho gonga 5 og 3 med kvarandre og lagt til 2 m 2 med tanke på svinn. b) Dersom Kari skulle ha betalt full pris, ville det ha kosta kroner ¼ 3876 kroner. Summen på kassa er halvparten av dette, så ekspeditøren har nok berre trekt frå 50 % rabatt. Ein måte å rekne ut rett sum på er å dele full pris på % rabatt vil seie at ho skal betale 25 % av prisen. Det er det same som ein firedel. AKTIVITETAR OppgÔve 1.1 Gjer først overslag. Rekn så ut dei eksakte svara: a) 23 þ 9 þ 48 þ 78 þ 129 þ 31 b) c) OppgÔve 1.2 Trine gjer overslag når ho handlar, for å vite om beløpet ho skal betale, stemmer. Ein dag handla ho 2 liter mjølk til 11;50 kr per liter, ca. 2 kg eple til 22;50 kr=kg, kjøttdeig til 58;69 kr, toalettpapir til 11;90 kr og eit tidsskrift som kosta 48;90 kr. Gjer overslag og finn ut om lag kor mykje ho skal betale. OppgÔve 1.3 Det er haustsal i ein klesbutikk. Lene finn mange gode tilbod, og ho ønskjer å handle inn julepresangar til familien. Ho har plukka med seg tre genserar til 160 kroner per stykk, og her gjeld «ta 3, betal for 2». Vidare ønskte ho å kjøpe to treningsdressar til 249 kroner per stykk, ei bukse som var sett ned til 119 kroner, og ein kjole til 180 kroner. Lene har med seg 1300 kroner og har ikkje meir pengar på bankkortet. Gjer eit overslag og vis om ho har råd til å kjøpe alt dette. ParoppgÔve 1.4 Ein ungdomsklubb vart pussa opp og modernisert. I tillegg vart det fleire aktivitetar. Som ei følgje av dette auka medlemstalet. Tabellen viser medlemstalet dei fire første månadene etter oppussinga: Månad januar februar mars april Medlemstal Den siste fredagen i månaden blir det servert pizza, og då plar om lag 50 % av medlemmene å kome. Dei som har ansvaret for pizzakvelden i mai, skal rekne ut kor mykje pizza dei må bestille. Dei reknar fire personar per pizza. a) Individuell oppgåve: Prøv å rekne ut kor mange medlemmer det er i mai. b) Paroppgåve: Forklar korleis de har tenkt. Samanlikn svara. Kor mange pizzaer ville de ha gått inn for å kjøpe? Utfordring 1.5 Bjørn og Kristin går fottur. Ein dag valde dei ein tur der ein tredel av løypa gjekk i lett terreng og to tredelar i brattare terreng. I lett terreng held dei ein fart på ca. 5 km=h, mens dei bruker 3 km=h i brattare lende. Bjørn og Kristin byrja å gå klokka 10 og skal gå 30 kilometer. Dei håpar å nå fram til middag klokka 19. Vil dei rekke det? KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 11

3 1.2 Vegen om 1 ^ ein praktisk framgangsmôte Du skal l re ^ Ô löyse praktiske oppgôver ved Ô gô ßvegen om1ý Butikkane sel varer i ulike pakningar. For at vi forbrukarar lett skal kunne samanlikne prisane, pliktar forretningane å opplyse om prisen i for eksempel kroner per kilogram eller kroner per liter. Gjennom nokre eksempel viser vi korleis du kan rekne med «vegen om 1». Det vi gjer, er å finne kor mykje som svarar til éi eining. Deretter kan vi finne kor mykje ein gitt storleik svarar til. EKSEMPEL 3 I ein butikk kostar safta Tropisk 23;90 kroner for ei flaske på 1;5 liter, og 16;90 kroner for ei literflaske. Literprisen er også gitt for den største flaska, men vi vil likevel kontrollrekne det. Kva slags flasketype av Tropisk lønner det seg å kjøpe? 23;90 kroner Saft i flaska på 1;5 liter: 15;93 kroner per liter 1;5 liter Det lønner seg å kjøpe saftflaska på 1;5 liter. EKSEMPEL 4 For ein kalkun på 3;8 kg betaler Eli 171 kroner. a) Kva er prisen per kilogram for kalkunen? b) Kva ville ein kalkun på 4;2 kg ha kosta? Løysing: 171 kroner a) Prisen er ¼ 45 kroner per kilogram 3;8 kg b) 4;2 kg kalkun ville ha kosta 4;2 45 kroner ¼ 189 kroner. EKSEMPEL 5 Du har fått 750 danske kroner av ei tante i Danmark. Du vekslar inn pengane i ein norsk bank ein dag det kostar 105;30 norske kroner for 100 danske kroner. Dette kallar vi kursen på danske kroner. Banken krev eit vekslingsgebyr på 35 kroner. Kor mange norske kroner får du utbetalt? 12 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

4 Løysing: 100 danske kroner svarar til 105;30 norske kroner. 105;30 kroner Éi dansk krone svarar til ¼ 1;053 norske kroner danske kroner svarar til 750 1;053 kroner ¼ 789;75 kroner. Før du får utbetalt pengane, trekkjer banken frå gebyret. Du får altså utbetalt 789;75 kroner 35 kroner ¼ 754;75 kroner. AKTIVITETAR OppgÔve 1.6 Ole og Petter skulle beise husa sine. Ole kjøpte beis i eit tilitersspann til 498 kroner. Per kjøpte ein annan type beis. Han betalte 188 kroner for beis i eit firelitersspann. Kven kjøpte den billigaste beisen? OppgÔve 1.7 I ei oppskrift på fårikål står det at 1;2 kg kjøtt og 1;6 kgkål er høveleg til fire personar. Kor mykje kjøtt og kor mykje kål måvi kjøpe inn til fem personar? OppgÔve 1.8 Vi skal handle sjokoladepulver. Vi plar kjøpe store boksar på 500 gram til 36;00 kroner. Ein dag er det tilbod på små boksar på 200 gram. Ein liten boks kostar 23;50 kroner, men på tilbod kan vi «ta tre og betale for to». Lønner det seg å kjøpe dei små boksane? OppgÔve 1.9 Bente trenar på stigar i ei rundløype som er 3;5 km lang. Rekorden hennar er 14 minutt 30 sekund. Trine plar springe ein runde på ein veg som er 4;8 km lang. Den raskaste tida ho har sprunge på, er 22 minutt. Kven har best kilometertid? OppgÔve 1.10 Ei forretning tilbyr pakkar med fire beger yoghurt til 14;90 kroner. Kvart beger inneheld 125 ml yoghurt. Den same forretninga tilbyr også enkeltbeger med 175 ml yoghurt til 4;90 kroner. Samanlikn prisane per liter yoghurt for dei to tilboda. OppgÔve 1.11 Du kjøper 2750 svenske kroner. Denne dagen opplyser banken at du må betale 80;40 norske kroner for 100 svenske kroner. Kor mange norske kroner må du betale når banken krev eit vekslingsgebyr på 40 kroner? Utfordring 1.12 Bjørnar kjøper eit smørbrød på danskebåten. Smørbrødet kostar 40 danske kroner. Bjørnar betaler med 100 norske kroner og får att 50 danske kroner i vekslepengar. a) Kva for ein kurs på 100 danske kroner svarar det til? Då Bjørnar kom heim, fann han ut at kursen den aktuelle dagen hadde vore 104;30. b) Samanlikn kursen rekna ut i a med den faktiske kursen. Kommenter. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 13

5 1.3 Dekadiske môleiningar. MÔlepresisjon Du skal l re ^ om dekadiske môleiningar ^ Ô gjere om mellom dekadiske môleiningar ^ ommôlepresisjon,gjeldandesi erogavrundingavsvar I margen repeterer vi nokre av dei dekadiske einingane du kjenner frå grunnskulen. Vi kallar einingane dekadiske fordi vi kan gjere om mellom dei ved å gonge eller dele med 10. Deka tyder ti. Når vi gjer om frå ei eining til ei anna, kan vi tenkje slik: For kvart steg vi går oppover i trappa, deler vi med 10. For kvart steg vi går nedover i trappa, gongar vi med 10. Vi lagar nye einingar ved hjelp av forstavingar: kilo tyder tusen, og desi tyder tidel. Vi får då for eksempel kilometer, km, som tyder tusen meter, og desimeter, dm, som tyder tidelen av ein meter. I tillegg har somme einingar eigne namn: 1 mil ¼ 10 km og 1 tonn ¼ 1000 kg. I margen gir vi eit oversyn over dei vanlegaste forstavingane. EKSEMPEL 6 Gjer om 4;2 cm til meter. Løysing: Vi skal dividere med 10 to gonger. Det gjer vi ved å flytte desimalkommaet to plassar mot venstre. Vi får 4;2 cm¼ 0;042 m. DEKADISKE EININGAR km kg hg hl m dm g cm mm l dl mg cl FORSTAVINGAR ml giga G milliard mega M million kilo k tusen hekto h hundre deka da ti desi d tidel centi c hundredel milli m tusendel mikro m milliondel Når vi måler avstandar i geometrien på skulen, bruker vi oftast linjal. Har du tenkt over at vi då ikkje kan måle lengder heilt nøyaktig? For eksempel ser du at lengda på figuren er ca. 2;4 cm. Vi skriv «ca.» for å streke under at det ikkje er mogleg å måle lengda heilt nøyaktig. Vi seier at 2;4 cm er ein tilnærmingsverdi med to gjeldande siffer for den gitte lengda. Det vil seie at den «korrekte» lengda ligg ein eller annan stad mellom 2;35 cm og 2;45 cm Når vi treng større presisjon, må vi bruke andre målereiskapar. Det vanlegaste i industrien er skuvelære og mikrometerskrue. Skuvelæret kan måle nøyaktig ned til ein tidels millimeter, mens mikrometerskruen kan måle nøyaktig ned til ein hundredels millimeter. Dei mest moderne måtane å måle større avstandar på baserer seg på laserteknologi. Ein laserpuls blir send ut, reflektert og motteken i utgangspunktet. Den tida laserlyset bruker på dette, blir så målt. Dermed kan vi rekne ut lengda. 14 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

6 Når vi reknar ut eit svar, må vi ikkje skrive svaret meir nøyaktig enn dei storleikane vi gjekk ut frå. Når vi gongar eller deler, rundar vi av svaret til like mange gjeldande siffer som det vi starta med. EKSEMPEL 7 SIFFERREGEL Rund av svaret til like mange gjeldande si er som det du gjekk ut frô. Finn arealet av eit rektangel med lengda 3;6 cm og breidda 2;4 cm. Løysing: Dei to storleikane vi går ut frå, har to gjeldande siffer. Då rundar vi også av svaret til to gjeldande siffer. Altså: 3;6 cm 2;4 cm 8;6 cm 2. Vi reknar ofte med kilometer per time, km=h, og meter per sekund, m=s: km h ¼ 1km 1h ¼ 1000 m s ¼ 1000 m 3600 s ¼ 1 3;6 m=s Vi kan altså gjere om frå km=h til m=s ved å dividere med 3;6. Omvendt kan vi gjere om frå m=s til km=h ved å gonge med 3;6. MELLOM km/h OG m/s 3, 6 m/s km/h 3, 6 EKSEMPEL 8 Gjer om 25 m=s til kilometer per time (km=h). Løysing: Vi gongar med 3;6 ogfår25m=s ¼ 25 3;6 km=h ¼ 90 km=h. AKTIVITETAR OppgÔve 1.13 Gjer om a) 34;7 ml til liter b) 1;57 kg til gram OppgÔve 1.14 Vi måler høgda til ei jente. Kva fortel vi a) dersom vi set høgda til 162 cm b) dersom vi set høgda til 162;0 cm OppgÔve 1.15 Rekn ut arealet av eit rektangel med lengda 4;38 dm og breidda 3;67 dm. OppgÔve 1.16 a) Gjer om 72 km=h til meter per sekund (m=s). b) Gjer om 30 m=s til kilometer per time (km=h). c) Ida syklar 20 km på 1 time 15 minutt. Rekn ut gjennomsnittsfarten i km=h og i m=s. DrÖfting 1.17 Ei alen tok utgangspunkt i ei olbogelengd, det vil seie avstanden frå olbogen til fingerspissen. Finn den gjennomsnittlege olbogelengda i klassen. Kva er problemet med ei slik måleining? Utfordring 1.18 Ein pasient skal få tilført medisin intravenøst med 16 dropar per minutt. Vi reknar at 1 milliliter (ml) svarar til 20 dropar. Pasienten skal ha tilført 0;1 liter væske til saman. Medisineringa byrjar kl. 09:45. Når er ho ferdig? Miniprosjekt 1.19 Søk på nettet og finn ut kva Justerstellet i Noreg arbeider med. Lag eit lite oversyn for gruppa. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 15

7 1.4 Lommereknaren Du skal l re ^ reknerekkjefölgja ved talrekning, som ogsô er lagd inn i lommereknaren ^ at vi kan rekne vidare med det siste svaret ved Ô bruke Ans ^ skilnaden pô rekneminus og forteiknsminus ^ at vi ofte mô hjelpe lommereknaren med Ô setje parentesar ^ korleis vi rettar feil inntasting pô lommereknaren Vi skal bruke lommereknaren mykje i dette kurset. Du skal få lære framgangsmåtane etter kvart som du treng dei. Men alt no skal vi øve inn nokre grunnleggjande operasjonar. La oss med ein gong kontrollere at lommereknaren er rett innstilt. CASIO Trykk MENY og vel RUN på Casio. Trykk SHIFT SETUP. Nedanfor ser du korrekt oppsett. Bruk pil ned og flytt markøren til linjer med feil. Gjer så rett val. Avslutt med EXIT. TEXAS Trykk MODE på Texas. Nedanfor ser du korrekt oppsett. Om det ikkje stemmer, bruker du piltastane, flytter markøren til rett felt og trykkjer ENTER. Avslutt med 2nd QUIT. I margen har vi repetert reknerekkjefølgja vi bruker for å kunne rekne rett. Vi viser ei utrekning der denne rekkjefølgja er brukt: 4 þ ¼ 4 þ 5 8 ¼ 4 þ 40 ¼ 44 Denne reknerekkjefølgja er lagd inn i lommereknaren. Vi kan derfor trykkje 4 þ nøyaktig som det står, og avslutte med EXE på Casio og ENTER på Texas. Legg merke til at lommereknaren har ein eigen tast for potens, ^: REKNEREKKJEFØLGJE 1Parentes 2Potens 3 Gonge og dele 4 Pluss og minus CASIO TEXAS I uttrykket 4 þ er det altså gale å starte med å leggje saman 4 og 5. Dersom meininga var at vi skulle ha innleidd med det, ville reknestykket sett slik ut: ð4 þ 5Þ2 3 ¼ ¼ 9 8 ¼ 72 Dette kan vi også trykkje nøyaktig som det står pålommereknaren: CASIO TEXAS 16 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

8 Når vi skal bruke svaret direkte vidare i ei utrekning, for eksempel 72, trykkjer vi berre gongetast og slik: CASIO TEXAS Lommereknaren gjer altså bruk av det siste svaret ved hjelp av Ans, som er ei forkorting for «answer». Du oppdaga kanskje også at lommereknaren har ein eigen tast for som vi bruker i staden for det unøyaktige 3;14. Vi kan òg plassere Ans midt i ei utrekning ved å trykkje SHIFT Ans på Casio og 2nd ANS på Texas: CASIO TEXAS I uttrykket er det første minusteiknet eit forteiknsminus. 2 2 skal jo ikkje trekkjast frå noko tal. Minusteiknet i midten er eit rekneminus som fortel at vi skal trekkje 4 frå resultatet av utrekninga 2 2. Derfor finst det både forteiknsminus, ( ), og rekneminus,,pålommereknaren. Texas gir feilmelding når vi ikkje bruker rett minusteikn. Legg merke til at vi bruker tasten x 2 for å opphøgje i andre potens: CASIO TEXAS Brøkar og rotteikn skriv vi ofte utan parentesar, no som vi veit korleis dei skal reknast ut. For eksempel er 5 þ ¼ 12 6 ¼ 2 Dersom vi vil rekne ut svaret utan mellomrekning på lommereknaren, må vi hjelpe til med å slå parentesar om teljaren og nemnaren: CASIO TEXAS pffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi På same måten må vi trykkje ð98 56Þ for å få Vi kan gå attende og rette inntastingar ved å bruke venstrepil på Casio og 2nd ENTRY og venstrepil på Texas. Læraren hjelper deg med overskriving, DEL og INS. AKTIVITETAR OppgÔve 1.20 Rekn ut på lommereknaren: a) 4 þ b) 3 þ 3 2 ð92 2 5Þ OppgÔve 1.21 Rekn ut på lommereknaren: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) b) KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 17

9 1.5 ReknerekkjefÖlgje og forteikn ^ nyttige reglar Du skal l re ^ Ô bruke reknerekkjefölgja i eigne utrekningar ^ Ô rekne med forteikn EKSEMPEL 9 Vi repeterer at lommereknaren kan gi feilmelding dersom vi ikkje skil mellom rekneminus,, og forteiknsminus, ( ). I reknestykket 8 5 ¼ 3 fortel minusteiknet at talet 5 skal trekkjast frå talet 8. Her fungerer minus som rekneminus, og vi bruker. I reknestykket 2 þ 5 ¼ 3 fortel minusteiknet at vi har det negative talet 2. Her er minusteiknet eit forteiknsminus, og vi bruker ( ). Feil som kjem av galen reknerekkjefølgje, kan samanliknast med å setje komma på feil stad: «Heng han ikkje, vent til eg kjem» tyder noko heilt anna enn «Heng han, ikkje vent til eg kjem»! MINUS PÅ LOMMEREKNAREN Rekneminus er tasten. Forteiknsminus er tasten ( ). REKNEREKKJEFØLGJE 1Parentes 2Potens 3 Gonge og dele 4 Pluss og minus EKSEMPEL 10 Trine, Ellen og Knut har prøvd å rekne ut denne oppgåva: 2 þ ð 5 þ 2Þ Dei fekk ulike svar og kontrollerte utrekninga på lommereknaren. Det synte seg at Ellen hadde rekna rett. Hjelp Trine og Knut med å finne ut kva dei har gjort gale. Som reknerekkjefølgja viser, gjorde Trine feil fordi ho starta med å leggje saman dei to første tala. Å leggje saman og trekkje frå gjer vi etter å ha fullført dei andre rekneoperasjonane. Knut gjorde feil då han skulle gonge inn i parentesen. Talet som stod utanfor parentesen, gonga han berre med det eine talet inni parentesen. Knut ville ikkje gjort feil i denne oppgåva dersom han først hadde trekt saman inni parentesen. 18 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

10 EKSEMPEL 11 Her viser vi korleis vi i tillegg til rett reknerekkjefølgje må passe på forteikna: a) 3 2 ð 4Þð 2Þ ¼9 8 ¼ 72 (reglane 2 og 3) b) 3 2 þ 4 ð 2Þ ¼ 9 8 ¼ 17 (reglane 2, 3 og 4) c) ð 3Þ 2 þ 4 ð 2Þ ¼9 8 ¼ 1 (reglane 2, 3 og 4) d) 2 ð3 7Þ 2 ¼ 2 ð 4Þ 2 ¼ 2 16 ¼ 32 (reglane 1, 2 og 3) Kontroller at du får same svaret på lommereknaren. HUGS! 2 3 ¼ 6 ð 2Þ3 ¼ 6 2 ð 3Þ ¼ 6 ð 2Þð 3Þ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 4 AKTIVITETAR OppgÔve 1.22 Rekn ut utan lommereknar: a) 8 þ 4 6 b) 8 : 2 3 c) 9 2 þ 18 : 3 d) þ 6 : 2 þ 5 OppgÔve 1.23 Rekn ut med og utan lommereknar: a) 3 ð 4Þ 2 3 þ 4 ð 2Þ b) 2 3 ð 3 þ 4Þ 2 c) 3 ð 4Þð 2Þ : ð2 3Þ d) 5 þ 3 ð 2Þ þ 3 þ 4 ð 2Þ OppgÔve 1.24 Trass i at vi kan la lommereknaren gi oss svaret, har hovudrekning den fordelen at det somme gonger går raskare. Tipset er å leggje saman eller gonge to tal som gir tal som er lette å rekne med. For eksempel kan vi raskt løyse oppgåva 2 þ 17 þ 8 þ 3 ved å leggje saman 2 þ 8og 17 þ 3 kvar for seg. Då får vi 10þ 20 ¼ 30. Rekn ut i hovudet: a) 26 þ 18 þ 14 þ 42 b) 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8 þ 9 þ 10 c) d) ParoppgÔve 1.25 Løys denne oppgåva munnleg: Ole hadde 500 kroner. Han kjøpte to pølser til 19 kroner per stykk. Ein kveld han var på kino, betalte han 80 kroner for kinobilletten, to gonger 20 kroner for togbillettane, og han kjøpte 250 gram smågodt til 10 kroner per hektogram. Veka etter fekk han utbetalt lønn for å ha jobba fem timar. Timelønna hans var 110 kroner. Ole var skuldig Hanne 1000 kroner, og han fann ut at han kunne betale henne tre firedelar no. Har Ole råd til å ta ein ny tur på kino til same prisen som sist? Utfordring 1.26 Vi veit at 2 þ 3 4 ¼ 20 er gale, mens ð2 þ 3Þ4 ¼ 20 er rett. Føy til parentesar slik at desse stykka blir korrekte: a) þ 6 ¼ 106 b) 3 4 þ 5 6 ¼ 162 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 19

11 1.6 Enkel algebra Du skal l re ^ Ô rekne med parentesar ^ÔreknemedbrÖk Mellom anna i formelrekning kan det vere behov for å rekne med parentesar. Vi repeterer derfor nokre reglar. EKSEMPEL 12 Kva for reglar er nytta her? a) 2 þðx 1Þ ¼2 þ x 1 ¼ x þ 1 b) 2 ðx 1Þ ¼2 x þ 1 ¼ x þ 3 EKSEMPEL 13 Kva er regelen når eit tal skal gongast inn i ein parentes? 2 ðx 1Þ ¼2 x 2 1 ¼ 2x 2 I det neste eksemplet repeterer vi korleis vi gongar to parentesar med kvarandre. REKNING MED PARENTESAR 1Plussframforparentes: ^ Parentesen kan fjernast. 2Minusframforparentes: ^ Fjern parentesen og skift samstundes forteikn pô ledda inni parentesen. 3 Tal gonga med parentes: ^Gongtaletmedkvartledd iparentesen. 4Parentesgongamed parentes: ^Gongkvartleddideneine parentesen med kvart ledd idenandre. 5 Dra saman ledda inni parentesen dersom det berre er e in type ledd. EKSEMPEL 14 Her har vi to parentesar som skal gongast med kvarandre. Vi gongar då kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd i den andre: ðx þ 4Þð2x þ 1Þ ¼x 2x þ x 1 þ 4 2x þ 4 1 ¼ 2x 2 þ x þ 8x þ 4 ¼ 2x 2 þ 9x þ 4 PARENTES MED PARENTES Vi multipliserer kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd i den andre: EKSEMPEL 15 I desse reknestykka finst det parentesar med berre ein type ledd. Kva kan det då vere lurt å gjere? a) 2 ð3 þ 1Þ ¼2 4 ¼ 8 b) ð3x þ xþðx þ 2Þ ¼4x ðx þ 2Þ ¼4x x þ 4x 2 ¼ 4x 2 þ 8x Vi har også behov for brøkrekning i oppgåver. Vi repeterer den viktigaste rekninga frå grunnskulen. 20 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

12 EKSEMPEL 16 Rekn ut og skriv svaret som brøk: a) 3 4 þ 7 4 ¼ 3 þ 7 4 ¼ 10 4 ¼ ¼ 5 2 b) ¼ ¼ ¼ 8 3 ¼ c) ¼ ¼ ¼ 5 6 d) 2 3 x þ x 3 5 ¼ 2 3 x 1 þ x ¼ 2x 3 þ 5x 3 ¼ 7x 3 ¼ 7 3 x 1 ¼ 7 3 x BRØK PLUSS OG MINUS BRØK ^ Utvid eventuelt brökane slik at dei fôr lik nemnar. ^ Dra saman teljarane og hald fast ved nemnaren. ^Kortsvaretommogleg. BRØK GONGA MED BRØK ^Gongteljarmedteljar og nemnar med nemnar. ^Kortsvaretommogleg. EKSEMPEL 17 1 ðx þ 2Þ 2x 5 3x ¼ x 2 þ 2 2 2x þ 5 2 3x 2 ¼ x 2 þ 2 2 4x 2 þ 5 2 3x 2 x 4x 3x ¼ þ 2 þ ¼ 6x 2 þ 7 2 ¼ 3x þ 7 2 AKTIVITETAR OppgÔve 1.27 Rekn ut: a) 3 ð2x þ 5Þ b) 2 ðx þ 3Þ c) 3 ðx 2Þþ2 ð2x þ 7Þ d) 3 2 ð5 xþ e) 2 ðx 4xÞ ð2x þ 7Þ f) x 2 x ðx 3Þ OppgÔve 1.28 Rekn ut: a) ðx þ 2Þðx þ 3Þ b) ðx 2Þðx 3Þ c) ð4 2Þð2x þ 7Þ d) ð3x 2Þð2x þ 7Þ OppgÔve 1.29 Rekn ut og skriv svaret som brøk: a) 1 3 þ 4 3 b) c) 1 3 þ 5 d) Kontroller svara på lommereknaren. OppgÔve 1.30 Rekn ut og skriv svaret som brøk: a) b) c) d) Kontroller svara på lommereknaren. OppgÔve 1.31 Rekn ut: a) 2x ðx þ 2Þ b) 2 3 ðx 1Þ x 2 3 Utfordring 1.32 I testamentet sitt hadde Olsen delt arven mellom dei to nevøane sine, Knut og Per, og naboen Hansen. Hansen skulle få halve arven, Knut tre tidelar og Per resten. I arveoppgjeret fekk Per kroner. Kor mykje fekk kvar av dei to andre? KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 21

13 1.7 Likningar Du skal l re ^ Ô löyse enkle likningar ^ Ô setje opp og löyse uoppstilte likningar I margen har vi sett opp forslag til reglar for å løyse likningar. Det er ikkje alle reglane som må brukast kvar gong. Det kjem an på oppgåva. Nedanfor viser vi nokre typiske eksempel. EKSEMPEL 18 5x 3 ¼ 9 x 5x þ x ¼ 9 þ 3 6x ¼ x 6 6 ¼ 12 6 x ¼ 2... Viflytteroverogskifterforteikn... Vi dreg saman pô kvar side... Vi deler med 6 pô kvar side... Vi kortar og reknar ut svaret LØYSING AV LIKNINGAR ^ Gong inn i og opne parentesane. ^ Gong alle ledd med samnemnaren. ^ Saml x-ledda pô venstre side og tala pô högre side. ^SkiftforteiknnÔrdu ytter over ledd. ^ Dra saman x-ane og tala kvar for seg. ^ Del med talet framfor x pô begge sider. Kort eventuelt svaret. EKSEMPEL 19 3 þ x ¼ 3 ðx þ 2Þ 4x 2 3 þ x ¼ 3x þ 6 4x 2 3 þ 2x ¼ 6x þ 12 8x 2x 6x þ 8x ¼ x ¼ 9 6 4x 6 4 ¼ Vi gongar ut parentesen... Vi gongar overalt med 2... Vi löyser som i eksempel18 x ¼ 9 4 Mange praktiske problem kan løysast ved at vi set opp informasjonen som ei likning. Ein av dei ukjende kallar vi x. Ut frå opplysningane i oppgåva finn vi ut kva dei andre ukjende må kallast. Det kan lønne seg å la den minste storleiken vere x, eller vi lèt x vere det vi samanliknar med flest gonger. UOPPSTILT LIKNING NÔr x er eit tal, har vi: 2x er det doble av talet x þ 3 er 3 meir enn talet 2 ðx þ 3Þ er det doble av 3meirenntalet 22 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

14 EKSEMPEL 20 Ole, Trine og Bente er til saman 43 år. Ole er dobbelt så gammal som Trine, og Bente er tre år eldre enn Trine. Kor gamle er kvar av dei? Løysing: I denne oppgåva kan det vere lurt å kalle den yngste for x. Trine er då x år, Ole er 2x år, og Bente er ðx þ 3Þ år: Trine þ Ole þ Bente ¼ 43 år x þ 2x þðx þ 3Þ ¼43 4x ¼ x 6 4 ¼ 40 4 x ¼ 10 Trine er 10 år, Ole er 20 år, og Bente er 13 år. AKTIVITETAR OppgÔve 1.33 Løys likningane: a) 3x þ 2 ¼ 12 þ 2x b) 4 ðx 2Þ ¼3 ð5x þ 2Þ c) 3 þ 4 ðx 3Þ ¼9 2x d) 3x þ 2 ðx 5Þ ¼ 3x 2 OppgÔve 1.34 Per er dobbelt så gammal som Ola. Kari er ti år eldre enn Ola. Til saman er dei 78 år. a) Gå ut frå at Ola er x år gammal. Kva blir då uttrykket for alderen til Per og Kari? b) Set opp ei likning og finn ut kor gamle dei er. OppgÔve 1.35 Geir og Line har til saman 73 kroner. Line har 19 kroner meir enn Geir. Kor mange kroner har dei kvar? OppgÔve 1.36 Marit, Britt og Elin lagar keramikkfigurar som dei sel til turistar. Ei veke har dei til saman laga 70 figurar. Britt har laga ni fleire enn Marit, og Marit har laga fire færre enn Elin. Kor mange figurar har kvar av dei laga? OppgÔve 1.37 Lise, Erik og Petter har til saman 420 kroner. Kor mange kroner har Lise, Erik og Petter kvar når Erik har dobbelt så mykje som Lise, og Erik har 20 kroner mindre enn Petter? Løys oppgåva ved å setje opp ei likning. OppgÔve 1.38 Ellen, Mari og Per sel til saman 900 lodd. Ellen sel dobbelt så mange lodd som Per, og Mari sel 100 lodd meir enn Per. a) Set opp ei likning og finn kor mange lodd kvar av dei sel. b) Noko av inntekta frå loddsalet får dei som lønn. Kor mykje får kvar av dei i lønn når dei til saman får 540 kroner? Utfordring 1.39 I ein gymtime vel halvparten av elevane ballspel, tredelen vel styrketrening, mens resten, fire elevar, er sjuke eller har gløymt gymtøyet. Set opp ei likning og finn kor mange elevar som er med i gruppa. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 23

15 1.8 Kvadratiske likningar. Ulikskapar Du skal l re ^ löysingsformelen for ei kvadratisk likning ^ korleis vi löyser enkle ulikskapar I avsnittet framanfor løyste vi enkle likningar. Men har du tenkt over kva ei likning eigentleg er? For å forstå det må du kjenne til omgrepet open utsegn. «Eg er høgare enn deg» er ei utsegn vi kan avgjere om er sann eller usann. Når Nina seier det til Erik, er det jo sant. Slike påstandar som vi kan finne ut om er sanne eller usanne, kallar vi matematiske utsegner. «Heia Rosenborg» kan vi derimot ikkje ta standpunkt til på denne måten. Det er ikkje ei matematisk utsegn. «x er mindre enn 3» kan vi først ta standpunkt til når vifår vite kva x er. Er x lik 2, blir utsegna sann. Er x lik 4, blir ho usann. Vi kallar det ei open utsegn med variabelen x. Likningar og ulikskapar er slike opne utsegner. Å løyse ei likning eller ein ulikskap vil seie å finne alle verdiane av x som gjer at utsegna blir sann. Når variabelen i ei likning er opphøgd i andre potens, har vi ei kvadratisk likning. Likninga x 2 ¼ 9 er derfor eit eksempel på ei kvadratisk likning. Å løyse likningar vil seie å finne alle verdiar av x som gjer at likninga blir oppfylt. Vi ser med ein gong at x 2 ¼ 9 er oppfylt når x ¼ 3, fordi x 2 ¼ 3 2 ¼ 9. Likninga har også løysinga x ¼ 3, for vi har også x 2 ¼ð 3Þ 2 ¼ 9. Vi skriv dei to løysingane til likninga x 2 ¼ 9 under eitt som x ¼3. p Sidan 3 ¼ ffiffi 9, får vi løysingsformelen som er skriven i margen. EKSEMPEL 21 Eg er høgare enn deg. Løys dei kvadratiske likningane: a) 2x 2 ¼ 32 b) ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 Løysing: a) I likninga 2x 2 ¼ 32 dividerer vi med 2 på begge sider. p Vi får likninga x 2 ¼ 16, som har løysinga x ¼ ffiffiffiffiffi 16 ¼4. b) I likninga ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 ser vi på x þ 3 som ein ny ukjend. Då kan vi bruke løysingsformelen for kvadratiske likningar. p ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 gir x þ 3 ¼ ffiffiffiffiffi 25 ¼5 Så reknar vi ut for pluss og minus kvar for seg: x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 2 x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 8 KVADRATISKE LIKNINGAR Likninga x 2 ¼ a har løysinga p x ¼ ffiffi a 24 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

16 Vi løyser enkle ulikskapar på same måten som vi løyser likningar. Men det er ein skilnad, nemleg når vi multipliserer eller dividerer på begge sider av ulikskapsteiknet med eit negativt tal. Vi skal forklare det med 4 < 6, som vi veit er sant. Når vi dividerer begge tala med 2, får vi desse verdiane: 4 2 ¼ 2 og 6 2 ¼ 3 Men 2 er som kjent større enn 3. For at ulikskapen framleis skal vere sann, må vi derfor snu ulikskapsteiknet og skrive 2 > 3. Tilleggsregelen blir altså at vi må snu ulikskapsteiknet når vi multipliserer eller dividerer på begge sider av ulikskapen med eit negativt tal. EKSEMPEL x þ 3 > 3x x þ 6 3 > x x þ 18 > 9x 2... Vi multipliserer alle ledd med samnemnaren 6... Vi kortar og multipliserer ut... Viflytteroverogskifterforteikn ENKLE ULIKSKAPAR Vi bruker reglane for enkle likningar. I tillegg mô vi hugse pô Ô snu ulikskapsteiknet nôr vi multipliserer eller dividerer pô begge sider av ulikskapen med eit negativt tal. 4x 9x > x > 20 5x 5 < 20 5 x < 4... Vi reknar saman... Vi dividerer pô begge sider med talet framfor x. Sidan talet er negativt, mô vi snu ulikskapsteiknet.... Vi kortar og reknar ut x AKTIVITETAR OppgÔve 1.40 Løys likningane: a) x 2 ¼ 25 b) 3x 2 ¼ 27 c) ðx þ 2Þ 2 ¼ 36 OppgÔve 1.41 Løys ulikskapane: a) 2x > 12 b) x þ 3 < 4x 3 c) 4 x 2 < 1 x 3 d) 1 3 x > 2 3x 6 OppgÔve 1.42 Elham er seljar og får to tilbod om månadsbetaling: A: Kr 6000 fast og i tillegg kr 500 per sal B: Ingenting fast, men kr 800 per sal Gå ut frå at Elham har x sal per månad. Set opp ein ulikskap og finn ut når det lønner seg med tilbod A. Utfordring 1.43 Løys likninga x ðx 2Þþ 2 3 ¼ 1 2 x 5 2 ðx x2 Þ. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 25

17 1.9 Rekning med formlar Du skal l re ^ kva vi meiner med ein matematisk formel ^Ôbrukeeinmatematiskformel Ordet formel kjem frå latin og tyder «liten regel». I matematikk bruker vi mange formlar. Dersom vi kjenner radien i ein sirkel, finn vi for eksempel arealet av sirkelen ved hjelp av formelen A ¼ r 2. Formlar er også vanlege å bruke i andre fag som økonomi og naturfag, og i mange yrke. I rekning med formlar kan vi ofte velje mellom fleire framgangsmåtar. Somme gonger er det enkel rekning fordi den ukjende står åleine på venstre side i formelen. Andre gonger får vi ei likning som må løysast. Vi kan eventuelt gjere om på formelen, slik at vi slepp å rekne med likningar. Ein tredje variant er å bruke ferdig oppsette «trekantformlar». ALTERNATIVE FRAMGANGSMÅTAR ^ Set inn tall i formelen for det som er kjent. LÖys oppgôva som ei likning. ^ Gjeromformelenslikat den ukjende kjem Ôleine pô venstre side. Finn svaret. ^Skrivformelensomein ßtrekantformelý (sjô neste side). Finn svaret. EKSEMPEL 23 Ein sirkel har eit areal på 95;0 cm 2. Kor lang er radien? Løysing: Formelen for arealet av ein sirkel er gitt ved A ¼ r 2. Når vi set inn det gitte arealet i formelen, får vi ei likning som må løysast: 95;0 ¼ r 2 95;0 ¼ r2 30;24 r 2 p r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 30;24 5;5 Radien er 5;5 cm lang. 95,0 cm 2 r EKSEMPEL 24 På ein 185 km lang biltur var gjennomsnittsfarten 74 km=h. Kor lenge varte bilturen? Løysing: Vi har formelen strekning ¼ fart tid, som vi kan skrive s ¼ v t. Ettersom det er tida t vi skal finne, kan vi først gjere om på formelen. Då slepp vi å måtte løyse ei likning. Vi får t ¼ s v. Tida t som bilturen varte, er 185 km ¼ 2;5 h. 74 km=h 26 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

18 EKSEMPEL 25 Else sprang 400 meter på 64 sekund. Kor stor fart heldt ho? Vi kan bruke same formelen som i eksemplet framanfor. Men denne gongen vel vi å bruke ein såkalla «trekantformel». Vi set inn for s og t og finn at farten v er lik 400 m ¼ 6;25 m=s. 64 s TREKANTFORMEL s v t AKTIVITETAR OppgÔve 1.44 a) Oda går med farten 6 km=h. Kor langt kjem ho etter 1;5 timar? b) Ein bilførar køyrer med farten 80 km=h. Kor lang tid bruker han på å køyre 280 km? c) Simen brukte 8;2 sekund på 60-meteren. Rekn ut farten hans i meter per sekund. DrÖfting 1.45 Sjå på skrivemåtane nedanfor. Veit de kva dei står for? O ¼ 2 r H 2 O C4 ¼ B3 A2=100 U ¼ R I Diskuter i gruppa: a) Kva for uttrykk ovanfor er matematiske formlar? b) Kva tyder dei ulike symbola? c) Finst det reglar for val av symbol? d) Kva er fordelen med å bruke formlar? e) Kven bruker formlar? OppgÔve 1.46 Snikkarverkstaden AS har spesialisert seg på å lage gardinstenger. Materialet til ei gardinstong kostar 15 kroner, mens faste kostnader som lønn, straumutgifter og leige av lokale utgjer 2600 kroner dagen. a) Snikkarverkstaden AS produserer x gardinstenger om dagen. Forklar at formelen for samla kostnader per dag, K, kan skrivast K ¼ 15x þ b) Rekn ut kor store dei samla kostnadene blir ein dag dei produserer 120 gardinstenger. c) Kor mange gardinstenger vart produserte då dei samla kostnadene var 3950 kroner? DrÖfting 1.47 Kroppsmasseindeksen KMI er eit mål på forholdet mellom kor mange kilogram du veg, og kvadratet av høgda di. Formelen kan skrivast slik: KMI ¼ m h 2. Her måler vi m i kilogram og h i meter. a) Rekn ut KMI for ein gut som veg 66 kg og er 1;76 m høg. b) Ei jente som er 1;66 m høg, har KMI lik 20;9. Kor mykje veg jenta? c) Kva meiner de om bruken av ein slik indeks? Utfordring 1.48 Ida og Sara har same typen telefonabonnement. Dei betaler ein fast sum i tillegg til at dei betaler for kor mange teljarskritt dei ringjer. Den siste telefonrekninga var på 480 kroner for Ida, som hadde ringt 225 teljarskritt, mens Sara hadde ringt 175 teljarskritt og måtte betale 440 kroner. Lag ein formel som viser kor mykje som må betalast når dei ringjer x teljarskritt. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 27

19 1.10 SmÔ og store tal Du skal l re ^ korleis vi kan skrive smô og store tal pô standardform ^ korleis lommereknaren reknar med smô og store tal Du hugsar kanskje at vi gongar med 10 ved å flytte desimalkommaet ein plass mot høgre: 75;43 10 ¼ 754;3. På same måten deler vi med 10 ved å flytte desimalkommaet ein plass mot venstre: 75;43 : 10 ¼ 7;543. Potensen 10 2 fortel at vi skal gonge med 10 to gonger. Vi flytter desimalkommaet to plassar mot høgre og får 75; ¼ I matematikk er det vanleg å bruke skrivemåten 10 2 når vi skal dele med 10 to gonger. Altså flytter vi desimalkommaet to plassar mot venstre og får 75; ¼ 0;7543. VI FLYTTER DESIMALKOMMAET 10 2 vil seie Ô gonge med 10 to gonger.v ytter desimalkommaet to plassar mot högre vil seie Ô dele med 10 to gonger.v ytter desimalkommaet to plassar mot venstre. Lommereknaren forstår denne skrivemåten. Vi tastar 75:43 10^ 2 og får det same svaret. Her må vi hugse å bruke forteiknsminus ( ) på lommereknaren. EKSEMPEL 26 Rekn ut på lommereknaren: 1 a) b) Løysing: a) Svaret på lommereknaren er 1:3512 E 11. Det står for talet 1; ¼ b) Svaret på lommereknaren er 7:8125 E - 6. Det står for talet 7; ¼ 0; SKRIVEMÅTEN PÅ LOMMEREKNAREN 8:3E5stÔr for talet 8, ¼ :3E - 5 stôr for talet 8, ¼ 0, Eit hydrogenatom veg 1; kg. Når vi skriv talet på desimalform, får vi 0; Avstanden frå sola til planeten Pluto er 5; km. Dette er ein annan skrivemåte for talet Du ser kor oversiktleg det kan vere å skrive tala med tiarpotensar! Vi seier at tala er skrivne på standardform. TAL PÅ STANDARDFORM a 10 k ^ a er eit tal mellom 1 og 10 ^ k er eit heilt tal I dei neste to eksempla skal vi øve oss på denne skrivemåten. 28 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

20 EKSEMPEL 27 Skriv tala på standardform: a) 5200 b) 0; Løysing: a) 5200 ¼ 5; ¼ 5; b) 0; ¼ 6;3 : ¼ 6; EKSEMPEL 28 Planeten Saturn er 1; meter unna oss. Lyset går med ein fart på 3; meter per sekund. Ein romsonde sender eit signal til jorda frå Saturn. For å finne kor lang tid signalet bruker, må vi dividere strekninga med farten: Tid ¼ strekning fart ¼ 1; meter 3; meter per sekund 4770 sekund Når vi bruker lommereknar til å rekne med tal på standardform, er det av og til nødvendig å setje parentesar for å unngå feil. Vi kan sleppe å setje parentesar dersom vi skriv inn tala på denne måten: Casio: Talet 8; skriv vi inn som 8:3 EXP 5. Texas: Talet 8; skriv vi inn som 8:3 2nd EE 5. AKTIVITETAR OppgÔve 1.49 Rekn ut ved hjelp av lommereknaren og skriv svara både på standardform og som vanlege tal: a) b) c) d) OppgÔve 1.50 Skriv svara på standardform: a) Gjer om 13;2 meter til millimeter. b) Gjer om 7;5 kilometer til centimeter. c) Gjer om 2 desimeter til kilometer. OppgÔve 1.51 Eit lysår er den avstanden lyset går påeit år. Eit lysår er lik 9; meter. a) Gjer om talet frå standardform til vanleg tal. b) Kor mange meter per sekund er lysfarten? DrÖfting 1.52 Bakteriane økslar seg ved at ei bakteriecelle deler seg og blir til to celler. Dersom bakteriane har nok mat og plass, kan denne delinga skje kvar time. Etter éin time er det to bakteriar, etter to timar er det 2 2 ¼ 4 bakteriar, og så vidare. a) Kor mange bakteriar kan det teoretisk bli etter eitt døgn? Skriv svaret på standardform. b) Kan denne auken halde fram vidare i same tempoet? Kommenter. Utfordring 1.53 Kvart hydrogenatom har massen 1; kg. Kor mange atom er det i 1 kg hydrogen? KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 29