MATEMATIKKEN RUNDT OSS

Transkript

1

2 1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

3 1.1 Matematikk er mer enn bare Ô kunne regne Du skal l re ^ hvorviktigdeterôanslôsvar,gjöreoverslagogvurdererimelighetenavsvar ^ Ô tolke, vurdere og diskutere matematisk innhold i skriftlige framstillinger EKSEMPEL 1 «Flere og flere velger rådhuset framfor kirken når barnets start på livet skal feires. Oslo har hatt en vekst på over 50 % på tre år.» Dette skrev Aftenposten i Tabellen i margen er sakset fra artikkelen. Et foreldrepar som hadde valgt dåp, ble intervjuet. Avisa gjorde et poeng av at de valgte dette «selv om trenden sier navnefest uten religiøse trekk». Mener du at det blir gitt riktig informasjon? Om vi ikke leser tabellen, kan informasjonen tolkes som om det er stor nedgang når det gjelder dåp. Men tabellen viser at antallet er ganske stabilt i hele perioden. En påstand i teksten er at veksten i tallet på navnefester var mer enn 50 %. Stemmer det med tabellen? 50 % vekst vil si at vi legger til halvparten av det opprinnelige tallet. Dersom 50 % var korrekt, skulle overslagsregning ha vist at ca. 460 þ 230 ¼ 690 barn hadde navnefest. Det stemmer ikke med tabellen. UTVIKLING Oslo og Akershus r Borgerlig navnefest DÔp Kilde: Human-Etisk Forbund og Den norske kirke I artikkelen stod det 50 % vekst over en treårsperiode. Tabellen viser en fireårsperiode. Det kan være at prosenten er riktig, siden tabellen er for Oslo og Akershus, mens det stod Oslo i artikkelen. EKSEMPEL 2 Overslag. Hvor rimelig er svaret? En dag kom Kari over billig parkett på timesalg. Dette tilbudet ville hun benytte seg av. Hun hadde ikke tid til å få målt opp rommet sitt, men visste at det var litt under 5 meter langt og omtrent 2;5 meter bredt. Kari gjorde overslag og bestemte seg for å kjøpe 17 m 2 parkett. a) Hvordan kom hun fram til dette tallet? Mener du at det var nok? Da Kari skulle betale, var regningen på 1938 kroner. Hun syntes prisen virket høy for 17 m 2 parkett. Hun kontrollregnet og fant at hun skulle betale halvparten av dette. b) Hva kan ekspeditøren ha gjort feil? 10 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

4 Løsning: a) Kari må være sikker på å kjøpe nok dersom hun ikke skulle få tak i parkettypen seinere. 17 m 2 kan hun ha kommet fram til ved å gjøre overslag for bredden og regne med 3 m bredde. Så har hun ganget 5 og 3 med hverandre og lagt til 2 m 2 med tanke på svinn. b) Dersom Kari skulle ha betalt full pris, ville det ha kostet kroner ¼ 3876 kroner. Beløpet på kassa er halvparten av dette, så ekspeditøren har nok bare trukket fra 50 % rabatt. En måte å regne ut riktig beløp på er å dele full pris på % rabatt vil si at hun skal betale 25 % av prisen. Det er det samme som en firedel. AKTIVITETER Oppgave 1.1 Gjør først overslag. Regn så ut de eksakte svarene: a) 23 þ 9 þ 48 þ 78 þ 129 þ 31 b) c) Oppgave 1.2 Trine gjør overslag når hun handler, for å vite om beløpet hun skal betale, stemmer. En dag handlet hun 2 liter melk til 11;50 kr per liter, ca. 2 kg epler til 22;50 kr=kg, kjøttdeig til 58;69 kr, toalettpapir til 11;90 kr og et tidsskrift som kostet 48;90 kr. Gjør overslag og finn ut omtrent hvor mye hun skal betale. Oppgave 1.3 Det er høstsalg i en klesbutikk. Lene finner mange gode tilbud, og hun ønsker å handle inn julepresanger til familien. Hun har plukket med seg tre gensere til 160 kroner per stykk, og her gjelder «ta 3, betal for 2». Videre ønsker hun å kjøpe to treningsdresser til 249 kroner per stykk, en bukse som er satt ned til 119 kroner, og en kjole til 180 kroner. Lene har med seg 1300 kroner og har ikke mer penger på bankkortet. Gjør et overslag og vis om hun har råd til å kjøpe alt dette. Paroppgave 1.4 En ungdomsklubb ble pusset opp og modernisert. I tillegg økte antall aktiviteter. Som en følge av dette økte medlemstallet. Tabellen viser medlemstallet de fire første månedene etter oppussingen: Måned januar februar mars april Medlemstall Den siste fredagen i måneden blir det servert pizza, og da pleier ca. 50 % av medlemmene å komme. De som har ansvaret for pizzakvelden i mai, skal regne ut hvor mye pizza som må bestilles. De regner fire personer per pizza. a) Individuell oppgave: Prøv å regne ut hvor mange medlemmer det er i mai. b) Paroppgave: Forklar hvordan dere har tenkt. Sammenlikn svarene. Hvor mange pizzaer ville dere ha anbefalt å kjøpe inn? Utfordring 1.5 Bjørn og Kristin går fottur. En dag valgte de en tur der en tredel av løypa gikk i lett terreng og to tredeler i brattere terreng. I lett terreng holder de en fart på ca. 5 km=h, mens de bruker 3 km=h i brattere områder. Bjørn og Kristin begynte å gå klokka 10 og skal gå 30 kilometer. De håper å nå fram til middag klokka 19. Vil de rekke det? KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 11

5 1.2 Veien om 1 ^ en praktisk framgangsmôte Du skal l re ^ Ô löse praktiske oppgaver ved Ô gô ßveien om 1ý Butikkene selger varer i forskjellige pakninger. For at vi forbrukere lett skal kunne sammenlikne prisene, plikter forretningene å oppgi prisen i for eksempel kroner per kilogram eller kroner per liter. Gjennom noen eksempler viser vi hvordan du kan regne med «veien om 1». Det vi gjør, er å finne ut hvor mye som tilsvarer én enhet. Deretter kan vi finne ut hvor mye en gitt størrelse svarer til. EKSEMPEL 3 I en butikk koster saften Tropisk 23;90 kroner for en flaske på 1;5 liter, og 16;90 kroner for en literflaske. Literprisen er også gitt for den største flaska, men vi vil likevel kontrollregne det. Hvilken flaskestørrelse av Tropisk lønner det seg å kjøpe? 23;90 kroner Saft i flaska på 1;5 liter: 15;93 kroner per liter 1;5 liter Det lønner seg å kjøpe saftflaska på 1;5 liter. EKSEMPEL 4 For en kalkun på 3;8 kg betaler Eli 171 kroner. a) Hva er prisen per kilogram for kalkunen? b) Hva ville en kalkun på 4;2 kg ha kostet? Løsning: 171 kroner a) Prisen er ¼ 45 kroner per kilogram. 3;8 kg b) 4;2 kg kalkun ville ha kostet 4;2 45 kroner ¼ 189 kroner. EKSEMPEL 5 Du har fått 750 danske kroner av en tante i Danmark. Du veksler inn pengene i en norsk bank en dag det koster 105;30 norske kroner for 100 danske kroner. Dette kaller vi kursen for danske kroner. Banken krever et vekslingsgebyr på 35 kroner. Hvor mange norske kroner får du utbetalt? 12 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

6 Løsning: 100 danske kroner svarer til 105;30 norske kroner. 105;30 kroner Én dansk krone svarer til ¼ 1;053 norske kroner danske kroner svarer til 750 1;053 kroner ¼ 789;75 kroner. Før du får utbetalt pengene, trekker banken fra gebyret. Du får altså utbetalt 789;75 kroner 35 kroner ¼ 754;75 kroner. AKTIVITETER Oppgave 1.6 Ole og Petter skulle beise husene sine. Ole kjøpte beis i et tilitersspann til 498 kroner. Per kjøpte en annen type beis. Han betalte 188 kroner for beis i et firelitersspann. Hvem kjøpte den billigste beisen? Oppgave 1.7 I en oppskrift på fårikål står det at 1;2 kg kjøtt og 1;6 kg kål passer til fire personer. Hvor mye kjøtt og hvor mye kål måvi kjøpe inn til fem personer? Oppgave 1.8 Vi skal handle sjokoladepulver. Vi pleier å kjøpe store bokser på 500 gram til 36;00 kroner. En dag er det tilbud på små bokser på 200 gram. En liten boks koster 23;50 kroner, men på tilbud kan vi «ta tre og betale for to». Lønner det seg å kjøpe de små boksene? Oppgave 1.9 Bente trener på stier i en rundløype som er 3;5 km lang. Rekorden hennes er 14 minutter 30 sekunder. Trine pleier å løpe en runde på en vei som er 4;8 km lang. Den raskeste tida hun har løpt på, er 22 minutter. Hvem har best kilometertid? Oppgave 1.10 En forretning tilbyr pakker med fire beger yoghurt til 14;90 kroner. Hvert beger inneholder 125 ml yoghurt. Den samme forretningen tilbyr også enkeltbeger med 175 ml yoghurt til 4;90 kroner. Sammenlikn prisene per liter yoghurt for de to tilbudene. Oppgave 1.11 Du kjøper 2750 svenske kroner. Denne dagen opplyser banken at du må betale 80;40 norske kroner for 100 svenske kroner. Hvor mange norske kroner må du betale når banken krever et vekslingsgebyr på 40 kroner? Utfordring 1.12 Bjørnar kjøper et smørbrød på danskebåten. Smørbrødet koster 40 danske kroner. Bjørnar betaler med 100 norske kroner og får tilbake 50 danske kroner i vekslepenger. a) Hvilken kurs på 100 danske kroner svarer det til? Da Bjørnar kom hjem, fant han ut at kursen den aktuelle dagen hadde vært 104;30. b) Sammenlikn kursen du regnet ut i a, med den faktiske kursen. Kommenter. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 13

7 1.3 Dekadiske môlenheter. NÖyaktighet Du skal l re ^omdekadiskemôlenheter ^ Ô gjöre om mellom dekadiske môlenheter ^ om môlenöyaktighet, gjeldende si er og avrunding av svar I margen repeterer vi noen av de dekadiske enhetene du kjenner fra grunnskolen. Vi kaller enhetene dekadiske fordi vi kan gjøre om mellom dem ved å gange eller dele med 10. Deka betyr ti. Når vi gjør om fra en enhet til en annen, kan vi tenke slik: For hvert trinn vi går oppover i trappa, deler vi med 10. For hvert trinn vi går nedover i trappa, ganger vi med 10. Vi lager nye enheter ved hjelp av forstavelser: kilo betyr tusen, og desi betyr tidel. Vi får da for eksempel kilometer, km, som betyr tusen meter, og desimeter, dm, som betyr tidelen av en meter. I tillegg har noen enheter egne navn: 1 mil ¼ 10 km og 1 tonn ¼ 1000 kg. I margen gir vi en oversikt over de vanligste forstavelsene. EKSEMPEL 6 Gjør om 4;2 cm til meter. Løsning: Vi skal dividere med 10 to ganger. Det gjør vi ved å flytte desimalkommaet to plasser mot venstre. Vi får 4;2 cm¼ 0;042 m. km DEKADISKE ENHETER kg hg hl m dm g cm mm l dl mg cl FORSTAVELSER ml giga G milliard mega M million kilo k tusen hekto h hundre deka da ti desi d tidel centi c hundredel milli m tusendel mikro m milliondel Når vi måler avstander i geometrien på skolen, bruker vi oftest linjal. Har du tenkt på at vi da ikke kan måle lengder helt nøyaktig? For eksempel ser du at lengden på figuren er ca. 2;4 cm. Vi skriver «ca.» for å understreke at det ikke er mulig å oppgi lengden helt nøyaktig. Vi sier at 2;4 cm er en tilnærmingsverdi med to gjeldende siffer for den oppgitte lengden. Det vil si at den «riktige» lengden ligger et eller annet sted mellom 2;35 cm og 2;45 cm Når vi trenger større presisjon, må vi bruke andre måleredskaper. Det vanligste i industrien er skyvelære og mikrometerskrue. Skyvelæret kan måle med en nøyaktighet på en tidels millimeter, mens mikrometerskruen kan måle med en nøyaktighet på en hundredels millimeter. De mest moderne metodene for å måle større avstander nøyaktig er basert på laserteknologi. En laserpuls blir sendt ut, reflektert og mottatt i utgangspunktet. Den tida laserlyset bruker på dette, blir så målt. Dermed kan vi regne ut lengden. 14 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

8 Når vi regner ut et svar, må ikke svaret oppgis mer nøyaktig enn de størrelsene vi gikk ut fra. Når vi ganger eller deler, runder vi av svaret til samme antall gjeldende siffer som det vi gikk ut fra. EKSEMPEL 7 SIFFERREGEL Rund av svaret til samme antall gjeldende si er som det du gikk ut fra. Finn arealet av et rektangel med lengden 3;6 cm og bredden 2;4 cm. Løsning: De to størrelsene vi går ut fra, har to gjeldende siffer. Da runder vi også av svaret til to gjeldende siffer. Altså: 3;6 cm 2;4 cm 8;6 cm 2. Vi regner ofte med kilometer per time, km=h, og meter per sekund, m=s: km h ¼ 1km 1h ¼ 1000 m s ¼ 1000 m 3600 s ¼ 1 3;6 m=s Vi kan altså gjøre om fra km=h til m=s vedådividere med 3;6. Omvendt kan vi gjøre om fra m=s til km=h ved å gange med 3;6. MELLOM km/h OG m/s 3, 6 m/s km/t 3, 6 EKSEMPEL 8 Gjør om 25 m=s til kilometer per time (km=h). Løsning: Vi ganger med 3;6 ogfår25m=s ¼ 25 3;6 km=h ¼ 90 km=h. AKTIVITETER Oppgave 1.13 Gjør om a) 34;7 ml til liter b) 1;57 kg til gram Oppgave 1.14 Vi måler høyden til en jente. Hva forteller vi a) dersom vi oppgir høyden til 162 cm b) dersom vi oppgir høyden til 162;0 cm Oppgave 1.15 Regn ut arealet av et rektangel med lengden 4;38 dm og bredden 3;67 dm. Oppgave 1.16 a) Gjør om 72 km=h til meter per sekund (m=s). b) Gjør om 30 m=s til kilometer per time (km=h). c) Ida sykler 20 km i løpet av 1 time 15 minutter. Regn ut gjennomsnittsfarten i km=h og i m=s. DrÖfting 1.17 En alen tok utgangspunkt i en albuelengde, det vil si avstanden fra albuen til fingerspissen. Finn den gjennomsnittlige albuelengden i klassen. Hva er problemet med en slik målenhet? Utfordring 1.18 En pasient skal få tilført medisin intravenøst med 16 dråper per minutt. Vi regner at 1 milliliter (ml) svarer til 20 dråper. Pasienten skal ha tilført 0;1 liter væske til sammen. Medisineringen begynner kl. 09:45. Når skal den avsluttes? Miniprosjekt 1.19 Søk på nettet og finn ut hva Justervesenet i Norge arbeider med. Lag en kort oversikt for gruppa. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 15

9 1.4 Lommeregneren Du skal l re ^ regnerekkefölgen for tallregning, som ogsô er lagt inn i lommeregneren ^ at du kan regne videre med det forrige svaret ved Ô bruke Ans ^ forskjellen pô regneminus og fortegnsminus ^ atduoftemôhjelpelommeregnerenmedôsetteparenteser ^ hvordan du retter feil inntasting pô lommeregneren Vi skal bruke lommeregneren mye i dette kurset. Du skal få lære de forskjellige framgangsmåtene etter hvert som du trenger dem. Men alt nå skal vi øve inn noen grunnleggende ferdigheter. La oss med en gang kontrollere at lommeregneren er stilt inn riktig. CASIO Trykk MENY og velg RUN på Casio. Trykk SHIFT SETUP. Nedenfor ser du korrekt oppsett. Bruk pil ned og flytt markøren til linjer med feil. Velg så riktig. Avslutt med EXIT. TEXAS Trykk MODE på Texas. Nedenfor ser du korrekt oppsett. Hvis det ikke stemmer, bruker du piltastene, flytter markøren til riktig felt og trykker ENTER. Avslutt med 2nd QUIT. I margen har vi repetert regnerekkefølgen vi bruker for å kunne regne rett. Vi viser en utregning der denne rekkefølgen er brukt: 4 þ ¼ 4 þ 5 8 ¼ 4 þ 40 ¼ 44 Denne regnerekkefølgen er lagt inn i lommeregneren. Derfor kan vi trykke 4 þ akkurat som det står, og avslutte med EXE på Casio og ENTER på Texas. Legg merke til at lommeregneren har en egen tast for potens, ^: REGNEREKKEFØLGE 1Parentes 2Potens 3Gangeogdele 4 Pluss og minus CASIO TEXAS I uttrykket 4 þ er det altså galt å begynne med å legge sammen 4 og 5. Dersom meningen var at vi skulle ha begynt med det, ville regnestykket sett slik ut: ð4 þ 5Þ2 3 ¼ ¼ 9 8 ¼ 72 Dette kan vi også trykke på lommeregneren akkurat som det står: CASIO TEXAS 16 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

10 Når vi skal bruke svaret direkte videre i en utregning, for eksempel 72, trykker vi bare gangetast og slik: CASIO TEXAS Lommeregneren regner altså med det forrige svaret ved hjelp av Ans, som er en forkorting for «answer». Du oppdaget kanskje også at lommeregneren har en egen tast for som vi bruker i stedet for det unøyaktige 3;14. Vi kan også plassere Ans midt i en utregning ved å trykke SHIFT Ans på Casio og 2nd ANS på Texas: CASIO TEXAS I uttrykket er det første minustegnet et fortegnsminus. 2 2 skal jo ikke trekkes fra noe tall. Det midterste minustegnet er et regneminus som forteller at vi skal trekke 4 fra resultatet av utregningen 2 2. Derfor finnes det både fortegnsminus, ( ), og regneminus,,pålommeregneren. Texas gir feilmelding når vi ikke bruker riktig minustegn. Legg merke til at vi bruker tasten x 2 for å opphøye i andre potens: CASIO TEXAS Brøker og rottegn skriver vi ofte uten parenteser, siden vi jo er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er 5 þ ¼ 12 6 ¼ 2 Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning på lommeregneren, må vi hjelpe til med å slå parenteser om telleren og nevneren: CASIO TEXAS pffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Tilsvarende må vi trykke ð98 56Þ for å få Vi kan gå tilbake og rette inntastinger ved å bruke venstrepil på Casio og 2nd ENTRY og venstrepil på Texas. Læreren hjelper deg med overskriving, DEL og INS. AKTIVITETER Oppgave 1.20 Regn ut på lommeregneren: a) 4 þ b) 3 þ 3 2 ð92 2 5Þ Oppgave 1.21 Regn ut på lommeregneren: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a) b) KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 17

11 1.5 RegnerekkefÖlge og fortegn ^ nyttige regler Du skal l re ^ Ô bruke regnerekkefölgen i egne utregninger ^Ôregnemedfortegn EKSEMPEL 9 Vi repeterer at lommeregneren kan gi feilmelding dersom vi ikke skiller mellom regneminus,, og fortegnsminus, ( ). I regnestykket 8 5 ¼ 3 betyr minustegnet at tallet 5 skal trekkes fra tallet 8. Her fungerer minus som regneminus, og vi bruker. I regnestykket 2 þ 5 ¼ 3 betyr minustegnet at vi har det negative tallet 2. Her er minustegnet et fortegnsminus, og vi bruker ( ). Feil som skyldes feil regnerekkefølge, kan sammenliknes med å sette komma på feil sted: «Heng ham ikke, vent til jeg kommer» betyr noe helt annet enn «Heng ham, ikke vent til jeg kommer»! MINUS PÅ LOMMEREGNEREN Regneminus er tasten. Fortegnsminus er tasten ( ). REGNEREKKEFØLGE 1Parentes 2Potens 3Gangeogdele 4 Pluss og minus EKSEMPEL 10 Trine, Ellen og Knut har prøvd å regne ut denne oppgaven: 2 þ ð 5 þ 2Þ De fikk forskjellige svar og kontrollerte utregningen på lommeregneren. Det viste seg at Ellen hadde regnet rett. Hjelp Trine og Knut med å finne ut hva de har gjort feil. Som regnerekkefølgen viser, gjorde Trine feil fordi hun begynte å legge sammen de to første tallene. Å legge sammen og trekke fra gjør vi etter å ha fullført de andre regneoperasjonene. Knut gjorde feil da han skulle gange inn i parentesen. Tallet som stod utenfor parentesen, ganget han bare med det ene tallet inni parentesen. I denne oppgaven ville Knut unngått å gjøre feil dersom han først hadde trukket sammen inni parentesen. 18 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

12 EKSEMPEL 11 Her viser vi hvordan vi i tillegg til riktig regnerekkefølge må passe på fortegnene: a) 3 2 ð 4Þð 2Þ ¼9 8 ¼ 72 (reglene 2 og 3) b) 3 2 þ 4 ð 2Þ ¼ 9 8 ¼ 17 (reglene 2, 3 og 4) c) ð 3Þ 2 þ 4 ð 2Þ ¼9 8 ¼ 1 (reglene 2, 3 og 4) d) 2 ð3 7Þ 2 ¼ 2 ð 4Þ 2 ¼ 2 16 ¼ 32 (reglene 1, 2 og 3) Kontroller at du får samme svar på lommeregneren. HUSK: 2 3 ¼ 6 ð 2Þ3 ¼ 6 2 ð 3Þ ¼ 6 ð 2Þð 3Þ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 4 AKTIVITETER Oppgave 1.22 Regn ut uten lommeregner: a) 8 þ 4 6 b) 8 : 2 3 c) 9 2 þ 18 : 3 d) þ 6 : 2 þ 5 Oppgave 1.23 Regn ut med og uten lommeregner: a) 3 ð 4Þ 2 3 þ 4 ð 2Þ b) 2 3 ð 3 þ 4Þ 2 c) 3 ð 4Þð 2Þ : ð2 3Þ d) 5 þ 3 ð 2Þ þ 3 þ 4 ð 2Þ Oppgave 1.24 Selv om vi kan la lommeregneren gi oss svaret, har hoderegning den fordelen at det noen ganger går raskere. Tipset er å legge sammen eller gange to tall som gir tall som er lette å regne med. For eksempel kan vi raskt løse oppgaven 2 þ 17 þ 8 þ 3 ved å legge sammen 2 þ 8og 17 þ 3 hver for seg. Da får vi 10þ 20 ¼ 30. Regn ut i hodet: a) 26 þ 18 þ 14 þ 42 b) 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8 þ 9 þ 10 c) d) Paroppgave 1.25 Løs denne oppgaven muntlig: Ole hadde 500 kroner. Han kjøpte to pølser til 19 kroner per stykk. En kveld han var på kino, betalte han 80 kroner for kinobilletten, to ganger 20 kroner for togbillettene, og han kjøpte 250 gram smågodt til 10 kroner per hektogram. Uka etter fikk han utbetalt lønn for å ha jobbet fem timer. Timelønna hans var 110 kroner. Ole skyldte Hanne 1000 kroner, og han fant ut at han kunne betale henne tre firedeler nå. Har Ole råd til å ta en tur på kino igjen til samme pris som sist? Utfordring 1.26 Vi vet at 2 þ 3 4 ¼ 20 er feil, mens ð2 þ 3Þ4 ¼ 20 er riktig. Føy til parenteser slik at disse stykkene blir riktige: a) þ 6 ¼ 106 b) 3 4 þ 5 6 ¼ 162 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 19

13 1.6 Enkel algebra Du skal l re ^Ôregnemedparenteser ^ÔregnemedbrÖk Blant annet i formelregning kan det være behov for å regne med parenteser. Derfor repeterer vi noen regler. EKSEMPEL 12 Hvilke regler er brukt her? a) 2 þðx 1Þ ¼2 þ x 1 ¼ x þ 1 b) 2 ðx 1Þ ¼2 x þ 1 ¼ x þ 3 EKSEMPEL 13 Hva er regelen når et tall skal ganges inn i en parentes? 2 ðx 1Þ ¼2 x 2 1 ¼ 2x 2 I det neste eksemplet repeterer vi hvordan vi ganger to parenteser med hverandre. REGNING MED PARENTESER 1 Pluss foran parentes: ^ Parentesen kan fjernes. 2 Minus foran parentes: ^ Fjern parentesen og bytt samtidig fortegn pô leddene iparentesen. 3 Tall ganget med parentes: ^ Gang tallet med hvert ledd iparentesen. 4Parentesgangetmed parentes: ^ Gang hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd idenandre. 5 Trekk sammen leddene inni parentesen dersom det bare er en type ledd. EKSEMPEL 14 Her har vi to parenteser som skal ganges med hverandre. Da ganger vi hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre: ðx þ 4Þð2x þ 1Þ ¼x 2x þ x 1 þ 4 2x þ 4 1 ¼ 2x 2 þ x þ 8x þ 4 ¼ 2x 2 þ 9x þ 4 PARENTES MED PARENTES Vi multipliserer hvert av leddene i den ene parentesen med hvert av leddene i den andre: EKSEMPEL 15 I disse regnestykkene finnes det parenteser med bare en type ledd. Hva kan det være lurt å gjøre da? a) 2 ð3 þ 1Þ ¼2 4 ¼ 8 b) ð3x þ xþðx þ 2Þ ¼4x ðx þ 2Þ ¼4x x þ 4x 2 ¼ 4x 2 þ 8x Brøkregning har vi også bruk for i oppgaver. Vi repeterer den viktigste regningen fra grunnskolen. 20 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

14 EKSEMPEL 16 Regn ut og skriv svaret som brøk: a) 3 4 þ 7 4 ¼ 3 þ 7 4 ¼ 10 4 ¼ ¼ 5 2 b) ¼ ¼ ¼ 8 3 ¼ c) ¼ ¼ ¼ 5 6 d) 2 3 x þ x 3 5 ¼ 2 3 x 1 þ x ¼ 2x 3 þ 5x 3 ¼ 7x 3 ¼ 7 3 x 1 ¼ 7 3 x BRØK PLUSS OG MINUS BRØK ^UtvideventueltbrÖkene slik at de fôr lik nevner. ^ Trekk sammen tellerne og behold nevneren. ^Forkortsvaretommulig. BRØK GANGER BRØK ^ Gang teller med teller og nevner med nevner. ^Forkortsvaretommulig. EKSEMPEL 17 1 ðx þ 2Þ 2x 5 3x ¼ x 2 þ 2 2 2x þ 5 2 3x 2 ¼ x 2 þ 2 2 4x 2 þ 5 2 3x 2 x 4x 3x ¼ þ 2 þ ¼ 6x 2 þ 7 2 ¼ 3x þ 7 2 AKTIVITETER Oppgave 1.27 Regn ut: a) 3 ð2x þ 5Þ b) 2 ðx þ 3Þ c) 3 ðx 2Þþ2 ð2x þ 7Þ d) 3 2 ð5 xþ e) 2 ðx 4xÞ ð2x þ 7Þ f) x 2 x ðx 3Þ Oppgave 1.28 Regn ut: a) ðx þ 2Þðx þ 3Þ b) ðx 2Þðx 3Þ c) ð4 2Þð2x þ 7Þ d) ð3x 2Þð2x þ 7Þ Oppgave 1.29 Regn ut og skriv svaret som brøk: a) 1 3 þ 4 3 b) c) 1 3 þ 5 d) Kontroller svarene på lommeregneren. Oppgave 1.30 Regn ut og skriv svaret som brøk: a) b) c) d) Kontroller svarene på lommeregneren. Oppgave 1.31 Regn ut: a) 2x ðx þ 2Þ b) 2 3 ðx 1Þ x 2 3 Utfordring 1.32 I testamentet sitt hadde Olsen delt arven mellom sine to nevøer, Knut og Per, og naboen Hansen. Hansen skulle få halve beløpet, Knut tre tideler og Per resten. I arveoppgjøret fikk Per kroner. Hvor mye fikk hver av de to andre? KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 21

15 1.7 Likninger Du skal l re ^ Ô löse enkle likninger ^ Ô sette opp og löse uoppstilte likninger I margen har vi satt opp forslag til regler for å løse likninger. Det er ikke alle reglene som må brukes hver gang. Det avhenger av oppgaven. Nedenfor viser vi noen typiske eksempler. EKSEMPEL 18 5x 3 ¼ 9 x 5x þ x ¼ 9 þ 3 6x ¼ x 6 6 ¼ 12 6 x ¼ 2... Viflytteroverogskifterfortegn... Vi teller sammen pô hver side... Vi deler med 6 pô hver side... Vi forkorter og regner ut svaret LØSING AV LIKNINGER ^ Gang inn i og Ôpne parentesene. ^ Gang alle ledd med fellesnevneren. ^ Saml x-leddene pô venstre side og tallene pô höyre side. ^ Bytt fortegn nôr du ytter over ledd. ^Trekksammenx-ene og tallene hver for seg. ^ Del med tallet foran x pô begge sider. Forkort eventuelt svaret. EKSEMPEL 19 3 þ x ¼ 3 ðx þ 2Þ 4x 2 3 þ x ¼ 3x þ 6 4x 2 3 þ 2x ¼ 6x þ 12 8x 2x 6x þ 8x ¼ x ¼ 9 6 4x 6 4 ¼ Vi ganger ut parentesen... Vi ganger overalt med 2... Vi löser som i eksempel18 x ¼ 9 4 Mange praktiske problemer kan løses ved at vi setter opp informasjonen som en likning. En av de ukjente kaller vi x. Ut fra opplysningene i oppgaven finner vi ut hva de andre ukjente må kalles. Det kan lønne seg å la den minste størrelsen være x, eller vi lar x være det som det sammenliknes med flest ganger. UOPPSTILT LIKNING NÔr x er et tall, har vi: 2x er det dobbelte av tallet x þ 3 er 3 mer enn tallet 2 ðx þ 3Þ er det dobbelte av3merenntallet 22 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

16 EKSEMPEL 20 Ole, Trine og Bente er til sammen 43 år. Ole er dobbelt så gammel som Trine, og Bente er tre år eldre enn Trine. Hvor gamle er hver av dem? Løsning: I denne oppgaven kan det være lurt å kalle den yngste for x. Trine er da x år, Ole er 2x år, og Bente er ðx þ 3Þ år. Trine þ Ole þ Bente ¼ 43 år x þ 2x þðx þ 3Þ ¼43 4x ¼ x 6 4 ¼ 40 4 x ¼ 10 Trine er 10 år, Ole er 20 år, og Bente er 13 år. AKTIVITETER Oppgave 1.33 Løs likningene: a) 3x þ 2 ¼ 12 þ 2x b) 4 ðx 2Þ ¼3 ð5x þ 2Þ c) 3 þ 4 ðx 3Þ ¼9 2x d) 3x þ 2 ðx 5Þ ¼ 3x 2 Oppgave 1.34 Per er dobbelt så gammel som Ola. Kari er ti år eldre enn Ola. Til sammen er de 78 år. a) Gå ut fra at Ola er x år gammel. Hva blir da uttrykket for alderen til Per og Kari? b) Sett opp en likning og finn ut hvor gamle de er. Oppgave 1.35 Geir og Line har til sammen 73 kroner. Line har 19 kroner mer enn Geir. Hvor mange kroner har de hver? Oppgave 1.36 Marit, Britt og Elin lager keramikkfigurer som de selger til turister. En uke har de til sammen laget 70 figurer. Britt har laget ni flere enn Marit, og Marit har laget fire færre enn Elin. Hvor mange figurer har hver av dem laget? Oppgave 1.37 Lise, Erik og Petter har til sammen 420 kroner. Hvor mange kroner har Lise, Erik og Petter hver når Erik har dobbelt så mye som Lise, og Erik har 20 kroner mindre enn Petter? Løs oppgaven ved å sette opp en likning. Oppgave 1.38 Ellen, Mari og Per selger til sammen 900 lodd. Ellen selger dobbelt så mange lodd som Per, og Mari selger 100 lodd mer enn Per. a) Sett opp en likning og finn hvor mange lodd hver av dem selger. b) Noe av inntekten fra loddsalget får de som lønn. Hvor mye får hver av dem i lønn når de til sammen får 540 kroner? Utfordring 1.39 I en gymtime velger halvparten av elevene ballspill, tredelen velger styrketrening, mens resten, fire elever, er syke eller har glemt gymtøyet. Sett opp en likning og finn hvor mange elever som er med i gruppa. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 23

17 1.8 Kvadratiske likninger. Ulikheter Du skal l re ^ lösningsformelen for en kvadratisk likning ^ hvordan vi löser enkle ulikheter I forrige avsnitt løste vi enkle likninger. Men har du tenkt over hva en likning egentlig er? For å forstå det må du kjenne begrepet åpent utsagn. «Jeg er høyere enn deg» er et utsagn vi kan avgjøre om er sant eller usant. Når Nina sier det til Erik, er det jo sant. Slike påstander som vi kan finne ut om er sanne eller usanne, kaller vi matematiske utsagn. «Heia Rosenborg!» kan vi derimot ikke ta standpunkt til på denne måten. Det er ikke et matematisk utsagn. «x er mindre enn 3» kan vi først ta standpunkt til når vi får vite hva x er. Er x lik 2, blir utsagnet sant. Er x lik 4, blir det usant. Vi kaller det et åpent utsagn med variabelen x. Likninger og ulikheter er slike åpne utsagn. Å løse en likning eller en ulikhet vil si å finne alle verdiene av x som gjør at utsagnet blir sant. Når variabelen i en likning er opphøyd i andre potens, har vi en kvadratisk likning. Likningen x 2 ¼ 9 er derfor et eksempel på en kvadratisk likning. Å løse likninger vil si å finne alle verdier av x som gjør at likningen blir oppfylt. Vi ser med en gang at x 2 ¼ 9 er oppfylt når x ¼ 3, fordi x 2 ¼ 3 2 ¼ 9. Likningen har også løsningen x ¼ 3, for vi har også x 2 ¼ð 3Þ 2 ¼ 9. Vi skriver de to løsningene til likningen x 2 ¼ 9 under ett som x ¼3. p Siden 3 ¼ ffiffi 9, får vi løsningsformelen som er skrevet opp i margen. EKSEMPEL 21 Løs de kvadratiske likningene: a) 2x 2 ¼ 32 b) ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 Løsning: a) I likningen 2x 2 ¼ 32 dividerer vi med 2 på begge sider. p Vi får likningen x 2 ¼ 16, som har løsningen x ¼ ffiffiffiffiffi 16 ¼4. b) I likningen ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 ser vi på x þ 3 som en ny ukjent. Da kan vi bruke løsningsformelen for kvadratiske likninger. p ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 gir x þ 3 ¼ ffiffiffiffiffi 25 ¼5 Så regner vi ut for pluss og minus hver for seg. x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 2 x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 8 KVADRATISKE LIKNINGER Likningen x 2 ¼ a har løsningen p x ¼ ffiffi a 24 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

18 Vi løser enkle ulikheter på samme måte som vi løser likninger. Men det er en forskjell, nemlig når vi multipliserer eller dividerer på begge sider av ulikhetstegnet med et negativt tall. Vi skal forklare det med 4 < 6, som vi vet er sant. Når vi dividerer begge tallene med 2, får vi disse verdiene: 4 2 ¼ 2 og 6 2 ¼ 3 Men 2 er jo større enn 3. For at ulikheten fortsatt skal være sann, må vi derfor snu ulikhetstegnet og skrive 2 > 3. Tilleggsregelen blir altså at vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer eller dividerer på begge sider av ulikheten med et negativt tall. EKSEMPEL x þ 3 > 3x x þ 6 3 > x x þ 18 > 9x 2... Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren 6... Vi forkorter og multipliserer ut... Viflytteroverogskifterfortegn ENKLE ULIKHETER Vi bruker reglene for enkle likninger. I tillegg mô vi huske pô Ô snu ulikhetstegnet nôr vi multipliserer eller dividerer pô begge sider av ulikheten med et negativt tall. 4x 9x > x > 20 5x 5 < 20 5 x < 4... Vi regner sammen... Vi dividerer pô begge sider med tallet foran x. Siden tallet er negativt, mô vi snu ulikhetstegnet... Vi forkorter og regner ut x AKTIVITETER Oppgave 1.40 Løs likningene: a) x 2 ¼ 25 b) 3x 2 ¼ 27 c) ðx þ 2Þ 2 ¼ 36 Oppgave 1.41 Løs ulikhetene: a) 2x > 12 b) x þ 3 < 4x 3 c) 4 x 2 < 1 x 3 d) 1 3 x > 2 3x 6 Oppgave 1.42 Elham er selger og får to tilbud om månedsbetaling. A: Kr 6000 fast og i tillegg kr 500 per salg B: Ingenting fast, men kr 800 per salg Gå ut fra at Elham har x salg per måned. Sett opp en ulikhet og finn ut når det lønner seg med tilbud A. Utfordring 1.43 Løs likningen x ðx 2Þþ 2 3 ¼ 1 2 x 5 2 ðx x2 Þ KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 25

19 Òvingsoppgaver 1.1 Matematikk er mer enn bare Ô kunne regne A1.87 Gjør først et overslag. Regn deretter ut det eksakte svaret: a) 27 þ 12 þ 15 þ þ 17 b) c) A1.88 Ada kjøper inn tre flasker brus til kr 8;90 per flaske, tre sjokolader til kr 9;90 per stykk og 0;5 kg epler til kr 22;30 per kilogram. Gjør et overslag og finn ut om hun har nok penger dersom hun bare har 70 kroner i pungen. A1.89 B1.91 Per og Kari går påskole og har tilleggsjobb i en kiosk. Per arbeider hver åttende ettermiddag, og Kari arbeider hver sjette ettermiddag. En ettermiddag er begge på jobben. Hvor mange dager går det før begge igjen arbeider samme ettermiddag? B1.92 Tallene 1; 2; 4; 7 og 14 er de hele tallene som er mindre enn 28 og går opp i 28. Det vil si at 28 er delelig med disse tallene. Men vi har også at 28 ¼ 1 þ 2 þ 4 þ 7 þ 14 Det vil si at 28 er et tall som er lik summen av alle tallene mindre enn 28 som går opp i 28. Det er blitt vanlig å kalle slike tall perfekte tall. a) Undersøk om 24 er et perfekt tall. b) Finn det minste perfekte tallet. c) Vis at 496 er et perfekt tall. Artikkelen er fra VG, som gjorde en undersøkelse av priser i en butikk. Gjør hoderegningen som er nevnt i artikkelen. B1.90 Per Olav er skoleelev og har ekstrajobb på lørdager. Han har en fast timelønn på kr 125 hele den tida han jobber. Per Olav har en egen timeliste på jobben der han skriver opp tidspunktet når han kommer, og når han går. Han blir lønnet for hele den tida han er til stede på jobben. Til jobben: Fra jobben: C1.93 Noen gode venner var ute på restaurant. Hver av dem bestilte nøyaktig det samme, og regningen for hver enkelt av dem var et helt tall. Den samlede regningen kom på kr Hvor mange venner var det i selskapet? C1.94 Per og Kari har hver sin gamle klokke. Pers klokke saktner litt i forhold til Karis. De stiller klokkene likt. Når det er gått 40 minutter etter Karis klokke, viser Pers klokke at det er gått 39 minutter. Hvor lenge går det til begge klokkene igjen viser samme tid? Hvor mye skal Per Olav ha i lønn denne måneden? 44 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

20 1.2 Veien om 1 ^ en praktisk framgangsmôte A1.95 Vi betaler 47;25 kroner for 2;5 kg epler. Hva er prisen per kilogram? A1.96 Hvor mange norske kroner får vi for 9000 japanske yen når 1 japansk yen svarer til 6;00 kroner? A1.97 I en oppskrift på løvbiff står det at vi trenger 600 gram biff til fire personer. Hvor mange gram biff går med til sju personer? A1.98 Et stearinlys er formet som en sylinder med høyde 20 cm. Vi tenner lyset for første gang og lar det brenne i 40 minutter. Da er det igjen 18 cm av lyset. Hvor lang tid kan vi regne med at dette stearinlyset fortsatt kan brenne? B1.99 Hvor mange engelske pund får vi for kr 5800 når 1 engelsk pund svarer til 11;60 norske kroner? B1.100 Per skal lage gresk salat og vurderer om han skal kjøpe rødløk i bunter til kr 24;90 eller i løs vekt til 29;90 kr/kg. Han finner at bunten veier 0;6 kg. Sammenlikn prisene. B1.101 Vi kjøper 5000 danske kroner. Denne dagen oppgir banken at vi må betale 108 norske kroner for 100 danske kroner. Hvor mange norske kroner må vi betale når banken krever et vekslingsgebyr på kr 40? B1.102 Vi fyller tanken på bilen helt full med bensin. Etter å ha kjørt 75 mil må vi fylle 60 liter på tanken for at den skal bli full igjen. a) Hvor mange liter har vi brukt per mil? b) Hvor mange mil har vi kjørt per liter? B1.103 På en skole er det 320 elever. Fordelingen av jenter og gutter er 5 : 3. Hvor mange jenter og hvor mange gutter er det på skolen? C1.104 Knut lander på Seychellene. Han vet ikke kursen på seychelliske rupier (SCR), men veksler inn 200 euro og får 1742;07 SCR. Hvor mange norske kroner svarer 100 rupier til når 1 euro er 7;40 kroner og vi ser bort fra gebyrer? C1.105 Du kappløper 100-meter med en sprinter. Hun kommer i mål når du har igjen 10 meter av distansen. Som en gest til deg foreslår hun at dere skal løpe 100 meter en gang til, men at hun denne gangen skal starte 10 meter bak startlinja. Hvem vinner denne gangen? 1.3 Dekadiske môlenheter. NÖyaktighet A1.106 Gjør om til liter: a) 15 ml b) 13;4 dl A a) Gjør om 34;7 ml til liter. b) Gjør om 1;57 kg til gram. c) Gjør om 1;3 l til centiliter. d) Gjør om 3;2 g til hektogram. e) Gjør om 2;7 m til millimeter. f) Gjør om 4;8 mm til meter. g) Gjør om 2;1 dm til millimeter. h) Gjør om 4;3 ml til desiliter. A1.108 Finn arealet av et rektangel med lengden 4;32 m og bredden 7;73 m. A1.109 a) Gjør om 0;42 kg til gram. b) Gjør om 43;3 mm til meter. c) Gjør om 2;3 dl til milliliter. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 45