Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi. Oppgåve 1: Ståande svingningar

Transkript

1 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitskaplege fakultet Eksamen i GEOF330 Dynamisk Oseanografi 15. Desember 2006, kl Tillatte hjelpemiddel: Kalkulator og matematisk formelsamling Oppgåve 1: Ståande svingningar a) Start med dei generelle likningane for momentum og massekonservering, og forklår kva tilnærmingar me gjer for å få fylgjande likningssett: t fv = 1 p ρ 0, t + fu = 1 p ρ 0 y, w t = 1 p ρ 0 z g, og + y + w z = 0. Me vil nytte desse likningane til å studera tidevatnet i Fundy-bukta, ei stor, grunn bukt som ligg på grensa mellom USA og Kanada. Bukta kan modellerast som eit rektangelforma basseng med lengde L = 160 km, breidde W = 40 km og konstant djup H = 20 m. Den innerste enden er ein vertikal vegg plassert i x = 0 og munninga til bukta er lokalisert i x = L = 160 km. b) Forklår kvifor me kan nytte den hydrostatiske tilnærminga og kan neglisjera jordrotasjonen. Syn at likningane så vert t = g η og η t + H = 0, der η er overflatehevinga, g tyngdeakselerasjonen og H det konstante djupet. c) Utlei bylgjelikninga for η og syn at løysinga η = η 0 cos kxcos ωt, og u = c H η 0 sinkxsin ωt også tilfredsstiller grensevilkåret u = 0 i x = 0 (ingen straum gjennom kysten). Syn at c 2 = (ω/k) 2 = gh. Nynorsk, side 1/5

2 d) Gje eller utlei uttrykka for den potensielle (P E) og den kinetiske (KE) energitettleiken (J/m 2 ), og syn at når ωt = π/4 vil den totale energitettleiken vera uavhenging av x og gjeve ved PE + KE = 1 4 ρgη2 0. e) Gjennom åpninga til bukta (i x = L) må både massefluksen og perturbasjonstrykket vera kontinuerleg. Syn at forholdet må vera kontinuerleg. massefluks perturbasjonstrykk = WH tan kltan ωt c f) Utanfor bukta er det eit havbasseng som er veldig breidt og djupt. La breidden og djupet her vera uendeleg stort, og syn at dette gjev bestemte bylgjer i bukta med lengde og periode gjeve ved λ = 4L 2n + 1, og T = 4L (2n + 1)c, der n = 0,1,2,3,... er ein teljar. Rekn ut bylgjelengder og periodar for dei fyrste tre modane (n = 0,1,2) og lag ei skisse av overflatehevinga for dei tre tilfella. g) Perioden til det halvdaglege M 2 tidevatnet er timar. Forklår med å ord den fysiske mekanismen som leiar til det høge tidevatnet i Fundybukta. Oppgåve 2: Indre bylgjer a) Skriv trykk og tettleik som sum av midlare tilstand og avvik frå dette, og syn at Boussinesq-tilnærminga saman med antatt inkompressibilitet gjev fylgjande fem likningar til å skildra raske fluktuasjonar i ei kontinuerleg sjikta veske: ρ 0, w ρ 0 z ρ g, ρ 0 b) Frå dei fem likningane kan me utleie bylgjelikninga og ρ 0 y, ρ t + wdρ 0 dz = 0, + y + w z = 0. 2 t 2 2 w + N 2 2 H w = 0, der 2 = 2 2 y 2 z og 2 2 H = 2 2 y. Kva er N og kva er den fysiske 2 meininga? Syn at dispersjonsrelasjonen for slike bylgjer vert ω 2 k 2 + l 2 = k 2 + l 2 + m 2N2 der ω er frekvensen og k, l, m dei tre komponentane til bylgjetalsvektoren. Nynorsk, side 2/5

3 z U x h=h(x) Figure 1: Modell av ein uniform straum med fart U over eit sinusforma fjell. c) Syn at frekvensen kun avheng av sjiktinga og vinkelen mellom bylgjetalsvektoren og horisontalplanet, ω = N cos φ. Gje ei kort fysisk forklåring på denne enkle samanhengen. d) Lag ei skisse av ei flate med konstant frekvens i bylgjetalsrommet, og legg på vektorar som syner fase- og gruppehastigheitar. Kva er vinkelen mellom bylgjeforplantinga og energiforplantinga? e) Me vil no studera bylgjer som kan verta generert i ei veske som straumer med konstant hastigheit U over ein topografisk variasjon gjeve ved h(x) = h 0 sin(kx) (sjå figur 1). Nyttar me eit koordinatsystem som fylgjer straumen, vil det verka som om topografien går mot venstre med ein fart U. Syn at vertikalhastigheita på botn er gjeve ved w(0) = Ukh 0 cos(kx ωt) der ω = ku vil vera frekvensen gjeve av botntopografien. f) Anta ein bylgjekomponent gjeve ved den reelle delen til w = w 0 exp[i(kx+mz ωt)], og syn at bylgjetalet m er gjeve ved m 2 = ( N U )2 k 2. g) Finn gruppehastigheita og syn at denne står normalt på fasehastigheita. h) Lag skisser av løysingane når m 2 > 0 og når m 2 < 0 og gje ei fysisk tolkning av resultata. Kva avgjer vinkelen med horisontalplanet? Oppgåve 3: Geostrofisk tilpassing Anta ein tolagsstruktur med tettleik ρ 1 < ρ 2, ingen variasjonar i y retninga ( y = 0), ingen straum i det nedre laget, og at det øvre laget i starten er i ro (u = v = 0). Tjukkleiken til det øvre laget er gjeve ved h(x). I starten er h(x) = 0 når x < 0 og h(x) = h 0 når x > 0 (sjå figur 2a). Nynorsk, side 3/5

4 a) Syn at trykkgradienten i det øvre laget er gjeve ved p = ρ 1g η = ρ 1g h der η er overflatehevinga og g = (ρ 2 ρ 1 )/ρ 2 er den reduserte tyngda. b) Integrer kontinuitetslikninga over det øvre laget og syn at dei tre likningane som skildrar systemet vert t + u fv = g h, c) Syn at kvervlingslikninga vert t + u + fu = 0 h og t + (hu) = 0 D Dt (ζ + f h ) = 0, og at startvilkåra gjev der ζ = og D Dt t + u, + f = f h 0 h. d) Me vil søke etter ei løysing der stasjonær tilstand ( t Nytt kontinuitetslikninga over til å syne at u = 0 og dermed v = g f = 0) er nådd (sjå figur 2b). e) Utlei likninga for h(x) og nytt grensevilkåra h h 0 når x og h = 0 når x = x 0 til å syna at løysinga er gjeve ved h = h 0 [1 exp( x + x 0 a der a = g h 0 /f er Rossby sin deformasjonsradius. h. )], og v = g h 0 exp( x + x 0 ), a f) Nytt konservering av volum (tap av lett vatn frå høgresida må vera lik tilførsla på venstresida) til å syna at forflyttinga av grenseflata x 0 er lik Rossbyradiusen. g) Syn at volumtransporten er gjeve ved V = g 2f h2 0. h) Frå start til slutt-tilstanden har bylgjer fjerna 2/3 av den totale energien (du treng ikkje syne dette). Kva type bylgjer er dette? Lag ei skisse av deira dispersjonsrelasjon, og gje gruppefarten for bylgjer som er korte og for bylgjer som er lange samanlikna med Rossbyradiusen. Lukke til! Tore Furevik Kjell Arild Orvik Nynorsk, side 4/5

5 (a) z=η z=0 h=h 0 ρ 1 x=0 z= (h 0 η) ρ 2 z= H (b) x= x 0 h=h(x) ρ 1 z=η z=0 x=0 z= (h 0 η) ρ 2 z= H Figure 2: (a) Ein enkel tolagsmodell. For x < 0 har havet konstant tettleik, og for x > 0 er det ein tolagsstruktur med lett vatn over tyngre vatn. (b) Etter geostrofisk tilpassing. Nynorsk, side 5/5