Gratis dynamisk geometri med GEONExT

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Gratis dynamisk geometri med GEONExT"

Transkript

1 Hans Jørgen Riddervold Gratis dynamisk geometri med GEONExT Hans Jørgen Riddervold arbeider ved Høgskolen i Bergen, Avdeling for lærerutdanning. Dette er en utvidet versjon av artikkelen «Gratis dynamisk geometri med GEONExT» som stod på trykk i Tangenten 2/2005. Å arbeide med dynamisk geometri går ut på å bruke datamaskinen til å for eksempel lage konstruksjoner som kan utforskes interaktivt: Eleven kan «ta tak i» et punkt i konstruksjonen, og deretter se hvordan konstruksjonen forandrer seg avhengig av hvordan punktet «dras» omkring på skjermen. Dette åpner med andre ord for en alternativ visualiseringsmulighet, gjerne i kombinasjon med utforskningsaktiviteter eller diskusjon omkring de matematiske begrepene som inngår. Les mer om dynamisk geometri i Anne Berit Fuglestads kapittel «Konstruktivistisk perspektiv på datamaskiner i matematikkundervisningen» i boken Matematikk for skolen [7]. Veslemøy Johnsens artikkel [8] inneholder også mye interessant om elevers arbeid med dynamisk geometri (selv om den naturlig nok er blitt for gammel når det gjelder de tekniske beskrivelsene av programmet). GEONExT er et gratis dataprogram Det finnes flere programmer for dynamisk geometri, og Cabri Geometri II er nok blant de vanligste [5]. En opplagt ulempe er imidlertid at disse programmene fort koster mye penger for en skole: Å kjøpe Cabri så alle skolens lærere og elever kan bruke det, kan for eksempel koste fire, fem tusen kroner Programmet GEONExT er derimot gratis for alle! Det følgende skal ikke være noen omfattende manual for GEONExT den greieste måten å lære det på er sannsynligvis å hive seg ut i det og prøve seg frem men noen ord om hvordan du kommer i gang vil kanskje være til hjelp. Aldersmessig vil alle elever fra i hvert fall mellomtrinnet til og med videregående skole kunne ha nytte av programmet. Elever i videregående skole kan for eksempel bruke GEONExT til å tegne grafer, til å studere trigonometri eller parametriske kurver. Yngre elever kan bruke GEONExT til å jobbe med for eksempel speilinger, Pytagoras og konstruksjoner generelt. Og hvem vet kanskje noen får sånn «dilla» på programmet at de vil installere det hjemme? Eksempler Her vil jeg vise noen konkrete eksempler på konstruksjoner som er laget i GEONExT. Alle disse eksemplene finner du på nettsiden min [12] sammen med andre eksempler. Der kan du altså eksperimentere med programmet og trekke i visse punkter på konstruksjonene. I tillegg kan du laste ned GEONExT-filene for å se nærmere på selve konstruksjonene. Vinkelsummen i en trekant: Et av mine beste matematikkminner fra ungdomsskolen er beviset for at summen av vinklene i en trekant blir 180 grader. Dette kan illustreres ved å lage en figur av denne typen i GEONExT, der den stiplede linjen er parallell med linjestykket AB: tangenten 2/2005 1

2 På en slik figur kan eleven «ta tak i» og flytte på punktene A, B og C. Da vil figuren endre seg i takt med forflytningene, og vi «ser» at summen av de tre vinklene alltid ser ut til å bli 180. Nå er ikke en interaktiv figur av denne typen i seg selv noe bevis for resultatet, men som illustrasjon av resultatet kan figuren være utmerket. Den stiplede parallellen til AB i figuren ovenfor, laget jeg ved å bruke en funksjon der du selv kan velge et punkt og en linje, før GEONExT konstruerer en parallell til linjen, gjennom punktet. På lignende måte kan du for eksempel halvere en vinkel ved å rett og slett peke ut den vinkelen du vil halvere. Dette gjøre du ved å først peke på et punkt på høyre vinkelbein, deretter på toppunktet og til slutt et punkt på venstre vinkelbein. Hvis du vil konstruere akkurat som med passer og linjal i stedet for å bruke slike innebygde funksjoner, så er det også mulig med de samme dynamiske utforskningsmulighetene. Speiling og symmetri på mellomtrinnet: Vi hører ofte at en figur er symmetrisk når det er «likt på begge sider». Er den formuleringen god nok? Mange elever misforstår denne symmetribeskrivelsen [1, side 366]. Disse elevene kan for eksempel tro at den stiplede trekanten nedenfor fremkommer ved å speile trekant ABC om linjen som er tegnet mellom de to trekantene: I dette tilfellet kan elevene få eksemplet som et elektronisk arbeidsark: Ved å utforske en slik konstruksjon i GEONExT gjerne med en speilingslinje som i utgangspunktet er vertikal kan elevene se hvordan speilbildet endrer seg når de flytter på speilingslinjen. Da kan de sammenholde dette med sine egne, opprinnelige gjetninger. De kan også forandre på trekanten som skal speiles. Bildet nedenfor viser en situasjon der jeg har speilet en figur om en linje, og deretter fortsatt med å speile dette speilbildet om enda en linje. Så kan vi prøve å tenke ut hva som ble resultatet av denne sammensatte speilingen. (Kun «sluttfiguren» og den opprinnelige figuren er tegnet inn her.) tangenten 2/2005 2

3 Det dynamiske i dette eksemplet ligger i at de to speilingslinjene og alle hjørnene på figuren kan flyttes på. Dynamisk geometri i nasjonale prøver: Eksemplene på nettbaserte nasjonale prøver [11] innbyr til dynamisk geometri på 7. trinn. Oppgaven går ut på å gjøre et areal størst mulig: Eleven skal finne ut hvilken plassering av punktet C som gir størst mulig areal for en trekant på en figur som nedenfor, når punktet C bare kan flyttes langs den tynne linjen hvor det allerede er plassert. Dette er en interessant eksempeloppgave fordi den virkelig utnytter det dynamiske elementet. Den ville fremstått som ganske annerledes hvis den kun hadde vært gitt på papir. Målstokk og formlikhet: Bildet nedenfor inneholder to enkle, formlike figurer. Ved å flytte på det røde punktet på bildet langs intervallet, så kan du selv velge en målestokk som her vil bli større enn null men mindre eller lik fire. Figuren til høyre endrer størrelse samtidig som du forandrer på målestokken: tangenten 2/2005 3

4 Hvorfor bruker vi ikke målestokk null? Hva skjer når målstokken er mindre enn 1? Hvorfor blir det slik? Elevene får sannsynligvis størst utbytte av å lage en lignende konstruksjon selv, men hvis det blir for teknisk kan de også få utlevert konstruksjonen som et arbeidsark [12]. Periferivinkelsetningen og Thales setning: Jeg har ofte opplevd at Periferivinkelsetningen er et resultat som mange blir forbauset over og kanskje er ikke det så rart? Selv om dette er noe som vanligvis ikke behandles på grunnskolen, så dreier det seg om en virkelig matematisk skjønnhet det er vel verdt å utforske dynamisk. Med GEONExT er det relativt enkelt å konstruere en passende illustrasjon. På figuren nedenfor kan punktene A, B og C flyttes langs sirkelbuen uansett hvor eleven plasserer dem, vil figuren vise at sentralvinkelen α med toppunkt i O alltid er dobbelt så stor som periferivinkelen β med toppunkt i C. Her skal vi se på det spesialtilfellet som kalles Thales setning: At en periferivinkel som spenner over en diameter, må være 90 : tangenten 2/2005 4

5 Figuren konstruerte jeg ved å først trekke opp linjestykket AB. Deretter konstruerte jeg midtpunktet på AB ved hjelp av en funksjon i GEONExT, og jeg kunne trekke opp halvsirkelen. Så valgte jeg punktet C et tilfeldig sted langs periferien dette lot jeg være et såkalt glidepunkt, det vil si et punkt som kan flyttes på, men aldri utenfor en bestemt kurve (i dette tilfellet halvsirkelen). Til slutt kunne jeg trekke linjestykkene BC og AC, be GEONExT oppgi størrelsen på vinkel ACB og eventuelt skjule midtpunktet på AB. Igjen har vi et bilde som ikke beviser resultatet, men foran en datamaskin kan eleven utforske figuren på en helt annen måte enn hva papirbøker kan tilby: Punktene A og B kan flyttes for å lage halvsirkler av ulik størrelse, og punktet C kan flyttes langs sirkelbuen: Uansett hvor eleven plasserer dem, vil figuren illustrere at periferivinkelen med toppunkt i C alltid er en rett vinkel. Som en alternativ tilnærming til Thales setning, kan vi også bruke arbeidsark. Eksemplet «Vinkler i sirkelen» i Anne Berit Fuglestads artikkel om arbeidsark [4], viser en tilnærming til dette. Det er enkelt å skjule deler av en konstruksjon i GEONExT. Innsenter, omsenter og høydenes skjæringspunkt: Ved å bruke at en halveringslinje for en vinkel består av alle punkter som ligger like langt fra hvert av vinkelbeina, kan vi vise at de tre halveringslinjene i en trekant skjærer hverandre i ett og samme punkt; innsenteret. Vi kan også vise at midtnormalene skjærer hverandre i ett eneste punkt; omsenteret. Men at også høydene og medianene i trekanten har tilsvarende egenskaper, er det kanskje ikke like vanlig å tenke over det er da også noe mer krevende å vise. Hvis vi bestemmer oss for å utforske de tre høydene ved hjelp av GEONExT, kan vi først enkelt lage en trekant ved å trekke tre linjer som skjærer hverandre. Deretter kan vi konstruere høydene i trekanten, gjerne med en innebygget funksjon (et valg fra menylinjen i GEONExT) som kan konstruere en normal fra et valgt punkt og bort på en valgt linje. tangenten 2/2005 5

6 På denne figuren kan elevene så trekke i punktene A, B og C, og «se» at høydene alltid skjærer hverandre ett punkt. De kan også eksperimentere med skjæringspunktets beliggenhet (hvis de forlenger høydene i denne trekanten) når flyttes skjæringspunktet ut av trekanten? Dette eksemplet antyder en pussig side ved programmer for dynamisk geometri. Vi kan «se» at en observasjon kan se ut til å stemme, og kanskje kan vi bli overbevist om det også, men det beviser ingenting: Vi har jo bare sett på spesialtilfeller, uten å finne noe generelt argument! Så mens elever på den ene siden kan komme til å føle mindre behov for å bevise resultatet de studerer de har jo fått se så mange eksempler så vil akkurat samme egenskap ved slike programmer gjøre oss i stand til å utforske og eksperimentere på en langt mer effektiv og kraftfull måte enn vi kunne før. Vi kan bruke programmene for dynamisk geometri til å skaffe oss bakgrunn for å opparbeide intuisjon og for å finne frem til beviser, se for eksempel artikkelen Morleys hjerte [9]. Sykloiden: Til slutt et eksempel som er av mest interesse for enkelte elever i videregående skole: Da Blaise Pascal ( ) trengte noe for å fjerne tankene fra tannpinen sin, studerte han en kurve som kalles sykloide. Populært sagt er dette den kurven sykkelventilen følger når du sykler på flat mark, og ved hjelp av animasjonsmulighetene i GEONExT kan vi få en skisse slik: Andreas Lindners nettsted [10] inneholder flere eksempler på 3MX-nivå. Installasjon av programmet GEONExT er utviklet ved Lehrstuhl für Mathematik und Ihre Didaktik ved Universitetet i Bayreuth, og er tilgjengelig for både Windows og Linux, og langt på vei også for Mac OS. En tidligere versjon het Geonet, men den er ikke aktuell å bruke når vi nå har GEONExT. Gå til nettsiden [6] og velg «Download». Deretter ruller du ned på siden til du finner riktig type for deg (det er ikke sikkert du trenger den større «Java-versjonen»). Så er det bare å lagre filen på maskinen. Hvis du sitter på en Windowsmaskin kan du starte Windows utforsker og dobbeltklikke på filen du nettopp lastet ned. Da gjenstår bare å følge instruksjonene underveis; dette pleier å gå ganske enkelt. Oppstart og bruk av programmet Når vi starter opp GEONExT kommer dette vinduet opp: tangenten 2/2005 6

7 I venstremargen og under «Objects»-menyen på dette skjermbildet, finner du et slikt symbol: Ved å klikke på dette symbolet får du anledning til å «ta tak i» punkter for å trekke dem rundt som du føler for. Resten av konstruksjonen vil da følge med (hvis du har konstruert riktig), og du kan utforske egne gjetninger omkring figurene. Symbolene i kantene er snarveier til vanlige eller dine sist brukte konstruksjoner eller andre operasjoner. Alle konstruksjonsmulighetene i GEONExT er tilgjengelige under «Objects» øverst i vinduet. Litt senere skal vi se nærmere på en del av disse. Menyene «View» og «Board» inneholder funksjoner som omhandler zooming og visning av koordinatsystem og lignende. GEONExT finnes på ti språk, men dessverre foreløpig ikke på norsk. Det betyr at elevene (inntil videre) må forholde seg til en del engelske ord og uttrykk. Hjelpesidene er på tysk. Mange vil mene at dette er beklagelig, eller kanskje til og med grunn nok til å velge andre programmer. Andre vil påstå at det tvert i mot kan være en fordel, eller at det ikke har så mye å si. Du og jeg får vurdere det selv ut fra de elevene og klassene det er snakk om å jobbe med. Som et eksempel på en litt komplisert konstruksjon som er mulig å lage relativt greit i GEONExT, kan vi ta denne konstruksjonen av nipunktsirkelen: tangenten 2/2005 7

8 GEONExT tillater deg å endre på strektykkelser og slikt. Senere får du se hvordan dette bildet så ut opprinnelig. Oppbygging av menyene i GEONExT For å være mer konkret omkring hva GEONExT tilbyr og for å illustrere oppbygningen av menyene, viser jeg her hva slags punkttyper GEONExT lar deg konstruere (ved å klikke på «Objects» og velge «Points»): Valg under punktmenyen Kort beskrivelse av funksjonen Avsetter et punkt Kan brukes til å finne og merke av midtpunktet mellom to punkter eller midtpunktet på et linjestykke Konstruerer fotpunktet for en normal Ved å klikke på tre ulike punkter, konstruerer GEONExT omsenteret for den trekanten som har de tre første punktene som hjørner Konstruerer det siste hjørnet i et parallellogram, hvis du har klikket på de tre første i en bestemt rekkefølge: For å konstruere punktet D på figuren her, klikk på A, B og C i rekkefølge: Valget (x,y)-point lar deg direkte angi koordinatene til et punkt, noe som kan være praktisk hvis du for eksempel trenger noen punkter med bestemte, faste avstander mellom seg Denne funksjonen lar deg finne skjæringspunktet mellom to linjer, sirkler eller andre kurver Dette valget lager det vi kan kalle et glidepunkt, det vil si et punkt som får lov til å bevege seg hvis du «drar» i konstruksjonen, men bare langs en linje eller kurve som du bestemmer En funksjon som lar deg speile et punkt om en linje Denne funksjonen lar deg speile et punkt om et punkt tangenten 2/2005 8

9 De andre menyene er bygget opp på tilsvarende måte. Ved å velge Lines kan du for eksempel velge om du vil ha en rett linje, et linjestykke, en stråle, en vinkelhalveringslinje, en normal fra et punkt til en linje, en normal på en linje eller en linje som er parallell med en gitt linje. Å forandre på konstruksjonen Etter hvert kommer konstruksjonen din til å inneholde ganske mange punkter, streker og andre hjelpelinjer. Da kan du gå inn på «Objects» og velge «Object Properties», eller du kan klikke på dette symbolet: Nå kommer det opp et vindu der du kan endre på forskjellige egenskaper: Du kan endre navn, farger, strektykkelser, du kan bestemme om en linje skal være stiplet eller kanskje til og med usynlig. Alt gjøres altså i dette vinduet: Ved å gå inn på valget «General» i dette skjermbildet, kan vi velge om objektet vårt (i dette tilfellet et linjestykke kalt c) skal være synlig eller ikke. Valget «Contour» lar oss velge andre farger enn de opprinnelige, mens «Label»-valget gir oss anledning til å velge om objektet skal ha synlig navn og med hvilken farge navnet eventuelt skal skrives. Siden eksemplet her dreier seg om et linjestykke, så kan vi ved å trykke på «Lines» få velge strektykkelsen og om linjestykket skal være stiplet eller ikke. I tilfelle vi velger å ha linjestykket tegnet med stiplet linje, kan vi velge mellom flere varianter av stiplede linjer. Hvis figuren er stor og sammensatt kan det fort bli mange navn i listen til venstre i bildet, men med en liten ekstrainnsats er det ikke noe problem å endre navnene fortløpende slik at navnsettingen blir fornuftig (og ikke nødvendigvis fortløpende etter alfabetet, slik GEONExT tangenten 2/2005 9

10 gjør automatisk). Belønningen er at konstruksjonen av nipunktsirkelen ser ut som den gjorde på figuren høyere opp, og ikke så rotete som den gjorde før «opprydningen»: I praksis er det lurt å gjøre slik opprydning underveis i arbeidet med konstruksjonene. Mer avanserte eksempler Pytagoras setning: Hvis vi starter med å konstruere en rettvinklet trekant (bruk for eksempel Thales setning), kan vi etterpå konstruere kvadrater på hver av sidekantene, eller sirkler eller andre figurer. På den måten kan vi illustrere Pytagoras setning, og si litt om hvilke konsekvenser vi kan få ut av den. La oss her konstruere halvsirkler: Det kan tenkes at en del vil oppfatte akkurat denne konstruksjonen som litt «teknisk»: Teksten «Areal: 6.07» har jeg fått frem ved å bruke linjestykket M AB A som radius i halvsirkelen. Deretter fikk jeg GEONExT til å beregne arealet av sirkelen ved å regne det ut som vanlig: Jeg går inn på «Objects» og velger «Text and Calculation» for å få frem vinduet nedenfor, og skriver inn teksten «Areal:» i den hvite tekstlinjen. Deretter trykker jeg der det står «Term». Da fyller GEONExT inn teksten <value></value>, og vi får anledning til å gjøre beregninger: Vi skriver inn det vi vil regne ut mellom der det står <value> og </value>. Avstanden mellom punktene M AB og A (det vil si radien i sirkelen), finner vi i GEONExT ved å skrive Dist(M_{AB},A), så alt i alt skriver vi inn denne teksten: Areal: <value> *dist(m_{ab},a)*dist(m_{ab},a)</value> tangenten 2/

11 Klikk så på «Apply», og ut kommer arealet vårt! Med litt øvelse går det fortere. Jeg kunne selvfølgelig også ha brukt et kortere navn enn M AB for å angi midtpunktet på AB. Perspektivtegninger: Ved hjelp av GEONExT er det det også mulig å studere perspektivtegninger. Vi kan nemlig laste inn et bilde eller en tegning som et «bakgrunnsbilde» i GEONExT, og deretter utforske den ved hjelp av datamaskinen. Se for eksempel på Eschers tegning av Babels tårn: Du kan starte med å lagre bildet på maskinen (du finner det på Internett [3]) og eventuelt åpne det i Paint for å lagre det som en jpg-fil. Så kan du laste det inn i GEONExT ved å klikke på «Board», velge «Board Properties» og deretter «Background» og «Load Image». Ved å tegne inn fluktlinjene på øyemål her (det kan dessverre fort bli unøyaktig!), kan vi se hvordan de møtes i tre forsvinningspunkter: tangenten 2/

12 Dette kan selvfølgelig kombineres med utforsking av for eksempel kunst, arkitektur og forekomst av det gylne snitt. Vi er heller ikke avhengige av «ferdig-tegninger» for å jobbe med perspektivtegninger: Ved å merke av horisont og forsvinningspunkter på forhånd, er det også mulig å konstruere sin egen, enkle perspektivtegning i GEONExT. Dette siste kan imidlertid være litt enklere og raskere i Cabri. Fordelen er uansett at eleven får se hvordan skissen endrer seg etter hvert som forsvinningspunktene forflyttes. Sammenligning mellom Cabri og GEONExT Siden jeg regner med at en del lesere kjenner programmet Cabri [2], vil jeg til slutt si litt om likheter og forskjeller mellom Cabri og GEONExT: Det første elevene kommer til å merke når de bruker GEONExT, er at programmet ikke bruker norske navn det går i tysk eller engelsk. For Cabri er det mulig å få tak i «ekstrautstyr» som gir norsk eller nynorsk språk. Hvor alvorlig dette er, vil være forskjellig for ulike klasser. Det vil også være avhengig av elevenes alder og innholdet i konstruksjonene de skal lage. I begge programmene kan konstruksjonene utstyres med måltall, og for eksempel arealer, som forandrer seg når eleven forandrer på konstruksjonen. Dette kan imidlertid oppfattes som til dels vesentlig lettere å få til i Cabri enn i GEONExT, i hvert fall på enkle og ikke for sammensatte figurer som for eksempel sirkler eller mangekanter. Men allerede for et kvadrat og en halvsirkel plassert med diameteren langs (og like lang som) en sidekant i kvadratet, begynner det etter mitt syn å bli vanskelig å presentere arealet av figuren (summen av de to arealene) på en tilfredsstillende måte i Cabri. I GEONExT er det derimot fortsatt ikke noe vanskeligere enn i eksempelet med areal og Pytagoras tidligere i artikkelen. I GEONExT er hjelpesidene på tysk, men de er gode og omfattende. Det finnes også en epostgruppe der deltagerne kan utveksle spørsmål og erfaringer. Cabri har derimot ikke noen egentlige hjelpesider innebygget, selv om det finnes et innføringshefte i papir for salg. Personlig synes jeg menyene i Cabri kan være noe raskere og mer behagelig å bruke, siden hvert av valgene under Objects-feltet i GEONExT rett og slett er lagt direkte tilgjengelig utover som en slags verktøylinje i Cabri. Men jeg vil likevel si at Cabri kan føles mer uversiktlig når du skal bearbeide en konstruksjon: For å gjøre visse linjer eller andre deler av konstruksjonen usynlige, må du i Cabri peke dem ut fra skjermbildet, mens GEONExT tilbyr utvelgelse fra en navne-basert liste, der du samtidig kan velge farge, eventuelt fyllfarge, tangenten 2/

13 strektype og -tykkelse, navnevisning og enkelte andre egenskaper. Men hva du til syvende og sist foretrekker akkurat når det gjelder disse egenskapene, kommer nok an på hva slags konstruksjon det er snakk om å lage. Å lage det som kalles en makro i Cabri, betyr å lagre en eller annen sekvens av operasjoner som du velger ut selv. Dette kan brukes til å gjøre vanlige konstruksjoner raskere, eller til å «huske» visse kompliserte konstruksjoner. Det ser ikke ut til at GEONExT gir mulighet for å lage makroer, og det er synd. Men selv om dette ikke er mulig i GEONExT, så har vi her mulighet for å zoome inn konstruksjonen vi jobber med. Den muligheten har vi ikke i Cabri, til tross for at det er en opplagt fordel hvis vi jobber med litt større konstruksjoner. En annen ting som selvfølgelig er behagelig med programmer som GEONExT og Cabri, er at du som lærer får relativt lett tilgang til å lagre illustrasjoner på datamaskinen. Siden programmene bruker ulik oppløsning vil jeg si at GEONExT egner seg bedre til denne bruken enn Cabri: Bilder som lages i Cabri har lett for å se mer «hakkete» ut enn de som er laget i GEONExT jeg har selv hørt forvirrede utbrudd som «han er 'kje beine?!?» om konstruksjoner laget i Cabri. Måten du lagrer figurene dine på, er å lage figuren du er ute etter i programmet du liker best, trykke på tasten merket «Print Screen» (hvis du jobber i GEONExT kan du også gå inn på «Board» og velge «Screenshot»). Så starter du rett og slett et tegneprogram som for eksempel Paint, limer inn skjermbildet, klipper vekk ting som virker forstyrrende, og lagrer figuren. Nå har du en figur du kan bruke som du vil, og hvis du lagret på JPEG-format tar den dessuten liten plass i tillegg. (Å lime bilder direkte over i Word kan fort gi enormt store filer ) Rask oversettelse av navnene i GEONExT For å gjøre det lettere å bruke GEONExT i undervisningen, legger jeg her med en oversettelse av de viktigste valgene, med kortfattede forklaringer. Du finner de samme oversettelsene som en egen fil på GEONExT-siden min [12]. Points Punkter Engelsk navn i Norsk navn Eventuell forklaring GEONExT Point Punkt Midpoint Midtpunkt Foot of a Vertical Fotpunkt Line Circumcenter Omsenter Gir sentrum for omskreven sirkel Parallellogram Point «Parallellogrampunkt» Med utgangspunkt i tre punkter kan du her konstruere et fjerde slik at alle punktene blir hjørner i et parallellogram (x;y)-point (x,y)-punkt Du får oppgi koordinatene til punktet direkte Intersection Skjæringspunkt Ved å klikke på for eksempel en linje og en sirkel, får du skjæringspunktene mellom dem Slider «Glidepunkt» Du får et punkt som kan «gli» langs en kurve (linje), omtrent som en perle på en tråd Point (reflection in a line) Point (reflection in a point) Punkt (speiling om en linje) Punkt (speiling om et punkt) tangenten 2/

14 Lines Linjer Engelsk navn i Norsk navn Eventuell forklaring GEONExT Straight Line Rett linje Line Segment Linjestykke Ray Stråle Bisector Vinkelhalveringslinje Du må klikke på tre punkter som danner en vinkel; først et punkt på høyre vinkelbein, deretter toppunktet og til slutt et punkt på venstre vinkelbein Vertical Line Nedfelt normal Normal fra et punkt og ned på en linje Perpendicular Line Normal (Oppreist normal) Parallel Line Parallell (linje) Circles Sirkler Engelsk navn i GEONExT Circle Circle (radius from other object) Circle (enter radius) Circumcircle Arc (Circle) Sector of a Circle Norsk navn Sirkel Sirkel (radius fra annet objekt) Sirkel (oppgi radius) Omsirkel Sirkelbue Sirkelsektor Eventuell forklaring Med denne funksjonen kan du konstruere en sirkel med radius like lang som et bestemt linjestykke Du får anledning til å skrive inn lengden av radien Arrows Piler (vektorer) Disse kan være greie for å markere hvor langt og i hvilken retning du parallellforskyver noe. Engelsk navn i GEONExT Norsk navn Arrow Vektor (eventuelt «pil») Parallel Arrow Parallell vektor Polygon Mangekant/Polygon Eventuell forklaring Lager en pil mellom to valgte punkter Denne funksjonen gir deg mangekanter: Klikk på de punktene som skal være hjørner i mangekanten; du avslutter ved å klikke på startpunktet en gang til slutt. tangenten 2/

15 Graphs Grafer Engelsk navn Norsk navn i GEONExT Graph of a Graf til en Function funksjon Parametric Parametrisk Curve kurve Locus Lokus eller geometrisk sted Eventuell forklaring For å bruke denne funksjonen trenger du en kurve (for eksempel en linje eller sirkel), et glidepunkt på den kurven og et punkt som er avhengig av hvor glidepunktet er. Dette gir mulighet for å vise alle mulige posisjoner det avhengige punktet kan få når glidepunktet glir langs kurven Texts and Calculations Tekst og beregninger Engelsk navn i GEONExT Norsk navn Eventuell forklaring Text Tekst Funksjonen lar deg skrive inn en tekst, med mulighet for å bruke matematiske tegn Measure Angle Mål vinkel Du trenger tre punkter: Først et punkt på høyre vinkelbein, så toppunktet og til slutt et punkt på venstre vinkelbein. Motsatt rekkefølge gjør at du får «utvendig» vinkel i stedet (som for eksempel 300 i stedet for 60 ) Measure Distance Mål avstand Gir avstand uten benevning Angles Vinkler Engelsk navn i Norsk navn Eventuell forklaring GEONExT Mark Angle Merk vinkel Markerer en vinkel med en bue og litt farge; du trenger tre punkter på samme måte som for å måle vinkelen Angle (enter size) Vinkel (oppgi størrelse) Measure Angle Mål vinkel Dette er den samme funksjonen som under «Tekst og beregninger» tangenten 2/

16 Referanser [1] Breiteig, Trygve og Venheim, Rolf: Matematikk for lærere 1, Universitetsforlaget, [2] Cabri Geometri II (2005): [3] Escher, M. C: viser et bilde av Babels tårn (2005) [4] Fuglestad, Anne Berit: Elektroniske arbeidsark i Cabri, Tangenten 2/2005. [5] Fuglestad, Anne Berit: Internettressurser Dynamisk geometri, Tangenten 3/2000. [6] GEONExT-siden (april 2005): [7] Grevholm, Barbro (red.): Matematikk for skolen, Fagbokforlaget, [8] Johnsen, Veslemøy: Å oppdage geometri. Cabri som hjelpemiddel i geometriundervisningen, Tangenten 3/1995. [9] Knudtzon, Signe Holm og Aarnes, Johan F.: Morleys hjerte, Normat, 51:4 (2003) og 52:1 (2004). [10] Lindner, Andreas: er en side med mange fine eksempler, også på 3MX-nivå (april 2005) [11] Nettside for nasjonale prøver i matematikk (februar 2005): [12] Riddervold, Hans Jørgen: er en nettside med GEONExT-eksempler (2005) tangenten 2/

Elektroniske arbeidsark i Cabri

Elektroniske arbeidsark i Cabri Anne Berit Fuglestad Elektroniske arbeidsark i Cabri Dynamisk geometri her er det noe i bevegelse. Vi kan flytte på figurer eller dra i dem, forandre form eller størrelser. Vi starter i utgangspunktet

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

6 IKT i geometriundervisningen

6 IKT i geometriundervisningen 6 IKT i geometriundervisningen Matematikk som fag står i en særstilling når det gjelder databehandling. Prinsippene som ligger til grunn for datamaskinenes virkemåte kan oppfattes som matematikk. I norsk

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

Geometri med GeoGebra Del 2

Geometri med GeoGebra Del 2 Geometri med GeoGebra Del 2 Å endre linjestil eller farge, og vise navn på objekt Vi kan endre farge og stil på hjelpelinjer for å framheve det objektet vi egentlig skal lage. Ved hjelp av ikonene på stilmenyen

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra Del 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern: Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit

Detaljer

Pytagoras, Pizza og PC

Pytagoras, Pizza og PC Øistein Gjøvik Pytagoras, Pizza og PC Skal vi bestille en stor eller to små? Eller kanskje en medium og en liten? Magnus har helt klart tenkt seg å få mest for pengene. Kan du regne ut hvor stor forskjellen

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet Kurshefte GeoGebra Barnetrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Detaljer

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri

1.7 Digitale hjelpemidler i geometri 1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Å oppdage Geometri. Veslemøy Johnsen. Cabri som hjelpemiddel i geometriundervisningen

Å oppdage Geometri. Veslemøy Johnsen. Cabri som hjelpemiddel i geometriundervisningen 10 TANGENTEN 3 1995 Veslemøy Johnsen Å oppdage Geometri Cabri som hjelpemiddel i geometriundervisningen Geometri gir oss gode muligheter til å lære om modellering og å gjøre matematikk, skille mellom aksiom,

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet

Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk

Detaljer

Geometri. Menyene i geometri. - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål.

Geometri. Menyene i geometri. - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål. Geometri - kommer fra det greske ordet geo- jord og metron mål. Geometri har spilt en viktig rolle i matematikken. Emnet spiller en sentral rolle i skolematematikken. På den tredje internasjonale kongressen

Detaljer

Bedre vurderingspraksis. Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana)

Bedre vurderingspraksis. Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana) Bedre vurderingspraksis Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana) Bedre vurderingspraksis Prosjekt Bedre vurderingspraksis skal arbeide for å få en tydeligere

Detaljer

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse

R1-6.1-6.4 Geometri. I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30. Geometri. Løsningsskisse R1-6.1-6.4 Geometri Løsningsskisse I Figuren viser et trapes ABCD, hvor CAB 30, DBC 40, BDC 30 a) Hvilke kongruente trekanter finner du her? b) Hvilke formlike trekanter finner du her? c) Finn alle vinklene

Detaljer

SINUS R1, kapittel 1-4

SINUS R1, kapittel 1-4 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 1-4 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 1.13 e, side 13 1.31 a, side

Detaljer

GeoGebra. Kurshefte for mellom- og ungdomstrinnet. Bjørn Ove Thue

GeoGebra. Kurshefte for mellom- og ungdomstrinnet. Bjørn Ove Thue GeoGebra Kurshefte for mellom- og ungdomstrinnet Bjørn Ove Thue 1 Om GeoGebra GeoGebra er et dynamisk verktøy som forener geometri, algebra og numeriske utregninger. Programmet er gratis og kan lastes

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra

Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matte TRINN: 9.trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra Eleven skal kunne -

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals

Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals Hva er nytt i GeoGebra 3.0? Sigbjørn Hals 1 Dersom du vil ha en fullstendig oversikt over det som er nytt i versjon 3.0, kan du gå til denne nettsida: http://www.geogebra.org/static/geogebra_release_notes_prerelease.txt

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Formelverktøy, bildeverktøy og tegneverktøy: 1MB

Formelverktøy, bildeverktøy og tegneverktøy: 1MB 07/05/16 1/6 Formelverktøy, bildeverktøy og tegneverktøy: 1MB Formelverktøy, bildeverktøy og tegneverktøy: 1MB Formelverktøyet Formelverktøyet gir deg mulighet til å skrive og endre formler slik at de

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 7 Periode 1: UKE 34 - UKE 37 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet Opplæringshefte i GeoGebra for mellomtrinnet og ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals Bokmål 1 Innhold: Del 1. Generell informasjon om GeoGebra...3 Kva er GeoGebra?...3 Kvar kan eg få tak i dette programmet?...3

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Matematisk juleverksted

Matematisk juleverksted GLASSMALERI Matematisk juleverksted Mona Røsseland 1 2 GLASSMALERI GLASSMALERI Slik går du frem: Fremgangsmåte for å lage ramme Lag en ramme av svart papp. Lag strimler av svart papp, som skal brukes til

Detaljer

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3

3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3 Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tema: Statistikk gjennomføre undersøkelser og bruke databaser

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

1.9 Oppgaver Løsningsforslag

1.9 Oppgaver Løsningsforslag til Oppgaver 19 19 Oppgaver 191 (Eksamen i grunnskolen 1993) a I et parallellogram ABCD er avstanden mellom de parallelle sidene AB og CD 5,0 cm Konstruer parallellogrammet når siden AB=9,0 cm og A = 45

Detaljer

Eksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 22.05.2009. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen.05.009 REA30 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del : Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett.

Start et nytt Scratch-prosjekt. Slett kattefiguren, for eksempel ved å høyreklikke på den og velge slett. Norgestur Introduksjon Bli med på en rundreise i Norge! Vi skal lage et spill hvor du styrer et helikopter rundt omkring et kart over Norge, mens du prøver å raskest mulig finne steder og byer du blir

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation.

Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation. LÆRERENS D IGITALBOK 3 LDB Flere oppgaver Løsningsforslag Kapittelprøve Verktøyopplæring Twig-arbeidsark Kopioriginaler Kapittel 3 er geometrikapitlet. På 8. trinn har vi valgt å konsentrere oss om konstruk

Detaljer

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra:

MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: MATEMATIKK kjennetegn på måloppnåelse HOVEDOMRÅDE Tall og algebra: 1. sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform, uttrykke slike tall på varierte

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2016-2017 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 33-UKE 39 Tema: Tall og tallforståelse sammenligne og omregne hele tall,

Detaljer

Geometri Noen sentrale begrep. Nord-Gudbrandsdalen, Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO

Geometri Noen sentrale begrep. Nord-Gudbrandsdalen, Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO Geometri Noen sentrale begrep Nord-Gudbrandsdalen, 20.-23.10.14 Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO Eksempelundervisning Tema på eksempelundervisningen denne gangen var Geometri, men

Detaljer

Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse.

Inf109 Programmering for realister Uke 5. I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Inf109 Programmering for realister Uke 5 I denne leksjonen skal vi se på hvordan vi kan lage våre egne vinduer og hvordan vi bruker disse. Før du starter må du kopiere filen graphics.py fra http://www.ii.uib.no/~matthew/inf1092014

Detaljer

Om reflektert og ureflektert moromatematikk

Om reflektert og ureflektert moromatematikk Noen ganger skjer det et kupp, et hyggelig og positivt kupp. Et slikt kupp har redaksjonen for TANGENTEN vært vitne til da vi skulle lage dette heftet i TANGENTEN. Lesere og bidragsytere har overtatt.

Detaljer

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.

GEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet. GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg

Detaljer

Kanter, kanter, mange mangekanter

Kanter, kanter, mange mangekanter Kanter, kanter, mange mangekanter Nybegynner Processing PDF Introduksjon: Her skal vi se på litt mer avansert opptegning og bevegelse. Vi skal ta utgangspunkt i oppgaven om den sprettende ballen, men bytte

Detaljer

Bytte til OneNote 2010

Bytte til OneNote 2010 I denne veiledningen Microsoft OneNote 2010 ser helt annerledes ut enn OneNote 2007, så vi har laget denne veiledningen for å gjøre det så enkelt som mulig for deg å lære forskjellene. Les videre for å

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1P Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, så regner symbolsk. Det vil si at

Detaljer

Brukerveiledning WordPress. Innlogging:

Brukerveiledning WordPress. Innlogging: Brukerveiledning WordPress Her er en liten guide for hjelpe deg gjennom det grunnleggende i Wordpress. Denne veilederen vil ta deg gjennom: Innlogging Lage en side Lage et innlegg Innlogging: For å logge

Detaljer

Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning

Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Konstruksjon og bruk av rutenett i perspektivtegning Gert Monstad Hana Sammendrag Teksten tar for seg hvordan å lage et perspektivisk bilde av kvadratiske rutenett. Bildet av slike rutenett kan være til

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Er hvitveisen speilsymmetrisk?

Er hvitveisen speilsymmetrisk? Er hvitveisen speilsymmetrisk? 11 Geometri 2 MÅL I dette kapitlet skal du lære om flytting av figurer ved speiling, parallellforskyving og dreining speilingssymmetri KOPIERINGSORIGINALER 11.1 Speiling

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATTE 10.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tall og Algebra Analysere sammensatte problemstillinger, identifisere

Detaljer

Matematikk R,S og X. Nye læreplaner for programfag i matematikk i videregående skole. http://www.utdanningsdirektoratet.no/grep

Matematikk R,S og X. Nye læreplaner for programfag i matematikk i videregående skole. http://www.utdanningsdirektoratet.no/grep Matematikk R,S og X Nye læreplaner for programfag i matematikk i videregående skole http://www.utdanningsdirektoratet.no/grep Foredrag på faglig pedagogisk dag 3. Jan. 2007 Kristian Ranestad Matematisk

Detaljer

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray

HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray HamboHus Technical Note Nr 10: Terreng HamboHus 5.4 Rev. 1, 8. september 2005 A. Cordray I HamboHus 5.4 er implementasjonen av terreng utvidet og forbedret. Det er lettere å lage terrengpunkter, og mye

Detaljer

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser?

Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? Hvordan lage et sammensatt buevindu med sprosser? I flere tilfeller er et vindu som ikke er standard ønskelig. I dette tilfellet skal vinduet under lages. Prinsippene er de samme for andre sammensatte

Detaljer

Start med å åpne programmet ved å trykke på ikonet GIMP 2 på skjermen eller under startmenyen.

Start med å åpne programmet ved å trykke på ikonet GIMP 2 på skjermen eller under startmenyen. 1 Tegne i GIMP Det er flere måter å tegne på i Gimp. Man kan bruke frihåndstegning, og man kan bruke utvalgsverktøy. Man kan også hente opp bilder som kan manipuleres med ulike verktøy. Åpne Gimp Start

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Tegning av tredimensjonale figurer parallell sentral perspektiv Parallell-projeksjoner grunnlinje horisontalprojeksjon vertikalprojeksjon

Tegning av tredimensjonale figurer parallell sentral perspektiv Parallell-projeksjoner grunnlinje horisontalprojeksjon vertikalprojeksjon Tegning av tredimensjonale figurer Å tegne en tredimensjonal figur på et papirark byr på fundamentale prinsipielle problemer: Papiret er todimensjonalt, mens gjenstandene som skal avbildes, er tredimensjonal.

Detaljer

TI-89 / TI-92 Plus / Voyage 200 Cabri Geometry

TI-89 / TI-92 Plus / Voyage 200 Cabri Geometry TI-89 / TI-92 Plus / Voyage 200 Cabri Geometry Viktig informasjon Installasjonsanvisninger Kundestøtte Lisensavtalen Brukerhåndbok for programmet Cabri Geometry Copyright 1999 2002 Texas Instruments Incorporated

Detaljer

Vegg/gulv. Kapittel 2 - Vegg/gulv... 3

Vegg/gulv. Kapittel 2 - Vegg/gulv... 3 20.10.2009 Kapittel 2... 1 Kapittel Innhold... Side Kapittel 2 -... 3 Yttervegg... 3 Gulv... 8 Innervegg... 11 Hvordan ser veggene ut?... 17 Referansepunkt i vegg på venstre/høyre side... 23 Start fra

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Periode 1: UKE 34-38 Tema: Kap.1 «Tall og tallforståelse» sammenligne og omregne hele tall ( ) og tall på standardform,

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

Perspektivtegning med Paint

Perspektivtegning med Paint Perspektivtegning med Paint Hvis du bruker Microsoft Windows, har du tilgang til programmet Paint. Paint finner du som regel ved å velge Start, Alle programmer og Tilbehør. Med Paint kan du bl.a. lage

Detaljer

Velkommen til Brother's Keeper 6 for Windows!

Velkommen til Brother's Keeper 6 for Windows! Velkommen til Brother's Keeper 6 for Windows! Det kan være at du har mottatt en Installasjons-CD eller CD/minnepinne/hentet fra internett med programmet. Dette dokumentet følger med Installasjons-CD fra

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

Eksamen 28.05.2008. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.05.2008. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 8.05.008 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Vedlegg: Framgangsmåte Rettleiing om vurderinga: 5 timar: Del 1

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008

Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

5.4 Den estetiske dimensjonen

5.4 Den estetiske dimensjonen 5.4 Den estetiske dimensjonen I et brev til sin elskerinne, Sophie Volland, skriver redaktøren av Encyclopedi, Denis Diderot (1713 1774): «Michelangelo søker etter hvilken form han skal gi kuppelen i St.

Detaljer

Hvor i All Verden? Del 2 Erfaren Scratch PDF

Hvor i All Verden? Del 2 Erfaren Scratch PDF Hvor i All Verden? Del 2 Erfaren Scratch PDF Introduksjon Hvor i All Verden? er et reise- og geografispill hvor man raskest mulig skal fly innom reisemål spredt rundt i Europa. Dette er den andre leksjonen

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

WordPress. Brukerveiledning. Kjære kunde. Innlogging:

WordPress. Brukerveiledning. Kjære kunde. Innlogging: Brukerveiledning WordPress Sist oppdatert: 26.02.2014 Kjære kunde Her er en liten guide for å hjelpe deg gjennom det grunnleggende i Wordpress. Denne veilederen vil ta deg gjennom: Innlogging - s.1 Kontrollpanel

Detaljer

1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren.

1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren. Geometri før Euklid og Euklids Elementene Mye av material ned er fra matematikk.no Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. π π er forholdet mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av

Detaljer

www.ir.hiof.no/~eb/viz.htm Side 1 av 12

www.ir.hiof.no/~eb/viz.htm Side 1 av 12 VIZhtm Side 1 av 12 Innhold Side MÅL 1 OPPGAVE / RESULTAT 1 BESKRIVELSE ØVING 6A 2 BESKRIVELSE ØVING 6B 9 BESKRIVELSE ØVING 6C 12 MÅL Når du har utført denne øvingen, skal du kunne: Benytte et kamera som

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets

Detaljer

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne

Detaljer