Å oppdage Geometri. Veslemøy Johnsen. Cabri som hjelpemiddel i geometriundervisningen

Transkript

1 10 TANGENTEN Veslemøy Johnsen Å oppdage Geometri Cabri som hjelpemiddel i geometriundervisningen Geometri gir oss gode muligheter til å lære om modellering og å gjøre matematikk, skille mellom aksiom, definisjon og teorem, komme med hypoteser og å prøve å finne bevis eller motbevis. Men i løpet av de siste femti årene har euklidsk geometri omtrent forsvunnet fra skolematematikken. En av grunnen til dette var at det var svært vanskelig for elevene å utforske geometri. Teoremene som måtte pugges, ble bare oppgitt, og elevene måtte så lære å bevise dem og anvende dem på nesten meningsløse oppgaver. Nå kan elever utforske euklidsk geometri på datamaskinen, og med litt hjelp gjenoppdage viktige teoremer. Dette vil seinere kunne gi grunnlag for formelle bevis. Geometri bør presenteres slik at det logiske aspektet vektlegges. Eleven kan da hjelpes til å formulere sine egne "bevis" og arbeide som "matematikere". Cabri-Geometri er et aktuelt program i denne sammenhengen. Det har interessante pedagogiske muligheter, etter min mening. Det er lett å lære og å bruke. Vi starter med de grunnleggende objektene punkt, linje og sirkel og spesifiserer relasjoner mellom disse, for eksempel ved kommandoen Punkt på linje eller at en linje er Normal til en annen linje. På denne måten kan invariante egenskaper utforskes. Cabri har i tillegg den egenskapen at vi kan bygge opp mere komplekse systemer og konstruksjoner ved hjelp av de grunnleggende objektene. Programmet er åpent og ingen vet helt hvor mye det kan brukes til. Mulighetene ligger klar for den som bruker programmet. Kan elever i 6. og 7. klasse ha nytte av konstruksjonsprogram i geometri? Hvilke muligheter har et slikt framfor andre fysiske hjelpemidler som passer, linjal, sjablon, saks og speil? Hvordan kan programmet brukes? Hvilke aktiviteter passer for datamaskinen? Skoleåret 1994/95 gjennomførte jeg et undervisningsprosjekt i noen 6. og 7. klasser i Vest Agder. Jeg vil nedenfor skissere noen av aktivitetene jeg har brukt og også komme med noen kommentarer. Prosjektet er ikke ferdig analysert, og det er for tidlig å si noe om læringseffekten. Observasjoner og samtaler med elever og lærere tyder imidlertid på at de fleste elevene likte å arbeide med programmet.

2 TANGENTEN Et viktig trekk ved et konstruksjonsprogram som Cabri er følgende: Vi kan omforme figurer mens de beholder de grunnleggende egenskapene gitt ved konstruksjonen. En bestemt figur som er laget i Cabri, kan oppfattes som representant for en hel klasse. Vi kan for eksempel studere klassen av alle trekanter. Hvis vi ønsker å studere vinkelsummen, kan vi tegne en trekant, sette mål på vinklene og så Figur 1 dra i et av hjørnene, se figur 1. Vi kan nå lage så mange forskjellige trekanter vi vil. Måltallene for vinklene vil endre seg i takt med omformingen av figuren, men alltid summere opp til 180. Hvis vi hadde brukt andre metoder passer og linjal, avriving av hjørner eller lignende ville vi bare kunne undersøke noen få figurer. Dette kan være kan være et utgangspunkt for hvordan elever kan komme igang med å bruke programmet. Læreren lager en trekant, firkant, femkant og sekskant og setter mål på vinklene. Disse figurene lagres på hver sin fil. Elevene henter inn trekanten, regner ut vinkelsummen ved hjelp av lommeregner og noterer seg denne summen. Så beveger de et av hjørnene, observerer at trekanten har forandret form, regner ut vinkelsummen på nytt og noterer seg denne. De kan gjenta operasjonen så mange ganger som det er behov for. Ut fra dette vil elevene kunne komme med en hypotese om at alle trekanter har samme vinkelsum og hvor stor denne er. Vi har ikke har fått noe bevis, men en sterk indikasjon på at hypotesen er riktig Deretter gjentar elevene denne prosedyren med firkanten, femkanten og sekskanten. Her kommer elevene fort opp i problemet med at Cabri ikke måler vinkler større enn 180. Hvis v > 180, så måler Cabri 360 v. Vinkelsummen blir ikke riktig, hvis elevene adderer de målene som nå kommer opp på figuren. Læreren kan her omgå problemet med å si at figuren må Figur 2

3 12 TANGENTEN være konveks. Men hun kan også bruke dette i forbindelse med vinkelbegrepet: Cabri "tror" at en vinkel ikke kan bli større enn 180 og det er det mange elever som også tror. Hvordan kan vi da finne ut noe om vinkelsummen? Jeg observerte en 6. klasse som brukte Cabri for første gang. De utforsket vinkelsummer i mangekanter. Alle elevene kom fram til riktige summer for de forskjellige mangekantene, og en elev fant også den generelle formelen for vinkelsummen i en n-kant, ( n 2) 180. Klassen følte tydelig tilfredsstillelse ved å oppdage denne sammenhengen. Utforsking av menyene En annen måte å starte med programmet på er å fortelle elevene litt om det: Det er et nytt geometriprogram som vi ønsker at de skal utforske. De skal finne ut hvor nyttig dette programmet kan være for dem. Selv mener vi at dette programmet er spennende, og vi vil gjerne finne ut hva de kan lære av det. Det er et slags tegneprogram, men det er ikke hovedpoenget med programmet. Vi kan tegne basisobjektene punkt, linjer og sirkler på skjermen, og så bruke disse som byggesteiner til å konstruere mange forskjellige figurer. Vi forteller videre at vi tror at elevene gjennom å bruke programmet vil lære mer i matematikk, at programmet skal bli et redskap til å løse problemer, og at de også vil synes programmet er interessant og utviklende å holde på med. Første oppgave er å utforske kommandoene på Tegnmenyen. Læreren viser hvordan en av kommandoene virker, for eksempel Linje. Han viser også muligheten til å få hjelp ved å klikke på spørsmålstegnet i menylinjen. Elevene skal nå lage en tegning som består av rette linjer og sirkler både Figur 3 på skjermen og på papir. Etterpå kan noen av elevene vise tegningen sin og fortelle hvordan de har laget den. Neste oppgave vil være å utforske standardkommandoene på Konstruksjonmenyen. Her bør vi nok styre elevene noe og gi dem oppgaver av typen:

4 TANGENTEN Tegn to punkter på skjermen. Gå inn på konstruksjonsmenyen. Hvilke av konstruksjonene kan du bruke på to punkter? Hva skjer når du bruker den? Tegn et punkt og ei linje. Hvilke konstruksjoner kan du nå bruke? Tegn en trekant og undersøk. Tegn en sirkel og ei linje som skjærer sirkelen. Prøv igjen hvilke konstruksjoner du kan bruke. Hva skjer? Figur 4 Et problem er at elevene ofte bare vil fortsette å tegne. De ser ikke poenget med å konstruere, og med å etablere relasjoner mellom de geometriske objektene. Det er derfor viktig at elevene diskuterer hva de gjør og ser konsekvensene når noe er tegnet, ikke konstruert: Da blir vesentlige egenskaper ved figuren ødelagt, når vi beveger på den. Symmetri Cabri egner seg godt til å arbeide med symmetri. Før elevene begynner å arbeide med maskinene, gjennomgås hva vi mener med at en figur er symmetrisk, og vi må repetere konstruksjonen Symmetrisk punkt. Denne sommerfuglen er tegnet med Cabri. Lag din egen sommerfugl. Du har bruk for linje, linjestykke punkt på objekt symmetrisk punkt sirkel Elevene tegner den ene siden av sommerfuglen, speiler alle punktene om symmetrilinjen og knytter disse sammen med linjestykker. De fleste elevene vil her ikke komme på å bruke konstruksjonen Punkt på Figur 5

5 14 TANGENTEN objekt, men bare plassere punkt i nærheten av symmetrilinjen. Tilsynelatende ligger da punktet på symmetrilinjen, men Cabri har ikke lagt inn denne relasjonen. Vi ser da at figuren ikke vil henge sammen, når vi beveger på figuren eller symmetrilinjen. Dette kan repareres ved kommandoen Knytt et punkt til et objekt, hvis de da ikke vil starte på nytt igjen. Ved hjelp av Redigermenyen kan elevene sette farge på objekter, tegne dem med tykk strek eller skjule objekter. Tegn en trekant ABC og en linje l utenfor trekanten. Sett navn på hjørnene i trekanten og på linjen. Når pekeren er i nærheten av et av punktene A, B eller C, forandrer den seg til en åpen hånd. Du kan gripe tak i det punktet. Hold ned museknappen og dra. Hva ser du? Nå skal du speile ABC i l. Sett navn på speilbildet av trekanten. Dra i hjørnene på trekant ABC. Hva skjer med speilbildet? Figur 6 Trekk linjestykker mellom hvert av hjørnene på ABC og det tilsvarende hjørnet på speilbildet. Konstruer skjæringspunktet mellom hvert av disse linjestykkene og l. Sett mål på alle linjestykkene på figuren din. Finner du noen som er like lange? Hvilke? Hvorfor blir det slik? Finner du noen rette vinkler? Noen like store vinkler? Tegn og forklar. I denne oppgaven fokuserer vi på avstanden fra et hjørne til symmetrilinjen sammenlignet med avstanden fra speilbildet av hjørnet til symmetrilinjen. Vi merker oss at Cabri ikke kjenner et linjestykke som del av en linje, før det er konstruert som et linjestykke. Et skjæringspunkt mellom to objekter må også konstrueres, til det brukes kommandoen Skjæring. Vi kan ikke sette mål på linjestykker eller vinkler før de er konstruert av Cabri. Dette kan skape problemer for noen elever. En annen oppgave i forbindelse med symmetri kan være at læreren på forhånd lager en figur med to speilingslinjer vinkelrett på hverandre, plasserer et vilkårlig punkt Z, speiler dette punktet om speilingslinjene, får punktene K, L og M, se figur 7. Speilingslinjene skjules, elevene prøver å finne ut hvordan figuren er konstruert og konstruerer til slutt en tilsvarende figur. De må finne ut hvilket av punktene som er uavhengig og som de kan bevege og observere

6 TANGENTEN hva som da skjer med de andre punktene. En liknende oppgave kan lages med en linje som speiles om en annen linje og så skjule speilingslinjen. Etter å ha arbeidet med Cabri er det viktig at elevene oppsummerer hva de har gjort i en klassediskusjon, både når det gjelder bruken av programmet og det geometriske innholdet. I dette tilfellet vil det være aktuelt å ta opp: Figur 7 Med Cabri kan vi speile punkter, ikke linjestykker. De må tegnes etterpå. Hvilke objekter er uavhengige og hvilke er avhengige? Skjæringspunkt og linjestykke som del av en linje, må konstrueres. Hvordan setter vi navn på objekter? Hvordan måler vi? Alle lengder på speilbildet er like store som de tilsvarende lengdene på figuren som er utgangspunktet for speilingen. Avstanden fra et punkt til speilingslinjen er lik avstanden fra speilbildet av punktet til speilingslinjen. Kopiere en figur Elevene kan studere viktige egenskaper ved å lage noe etter et forbilde, for eksempel en keramikkflis, et vindu, en firmalogo eller en hjulkapsel. Hvis ikke elevene har egne ideer, kan læreren vise eksempler. Elevene bør i størst mulig grad selv finne ut hvilke figurer som lar seg konstruere med Cabri. Figurene må bare bestå av linjer, linjestykker og sirkler. Elevene kan også her vise figuren sin og forklare for hverandre hvordan de har laget den. Videre arbeid her kan være å be elevene forklare hvordan en figur er laget, for eksempel denne hjulkapselen. Hvilke skjulte hjelpeobjekter er det i denne konstruksjonen? Figur 8

7 16 TANGENTEN Cabri lar oss også rekonstruere en figur skritt for skritt, og en elev kan ved denne kommandoen finne ut hvordan en medelevs figur er laget. Firkanter I neste oppgave skal elevene arbeide med firkanter og gjøre seg kjent med de forskjellige typene og deres egenskaper. Hvert av "kvadratene" på figur 9 er konstruert med utgangspunkt i tilsvarende firkant på figur 10, men de er så justert ved å dra i hjørnene slik at alle firkantene ser ut som kvadrater. Læreren lager figuren på forhånd for at elevene ikke skal bruke tiden til å konstruere figurene, men studere egenskapene. Figur 9 Figur 10 Elevene henter inn figur 9 og prøver ut hvilke hjørner som kan beveges, for å finne ut hva slags firkant som er utgangspunktet. Noen av navnene kjenner kanskje elevene. Navnet er ikke det vesentligste, men egenskapene til de forskjellige firkantene, hva som kjennetegner hver enkelt av dem og hva som er irrelevante egenskaper. I forbindelse med for eksempel parallellogrammet er følgende spørsmål aktuelle: Hva kan du si om lengdene på sidene? Hva kan du si om diagonalene? Hva kan du si om størrelsen på vinklene? Hva blir summen av vinklene i hjørnene? På skjermen er det enklest å se rette vinkler, parallelle linjer og liknende når figurene blir plassert horisontalt, men å gjøre dette er alltid pedagogisk uheldig da det kan påvirke elevenes begrepsdannelse.

8 TANGENTEN Cabri og tradisjonelle konstruksjoner Å konstruere i Cabri betyr å lage geometriske figurer med relasjoner mellom objektene. Ikke alle objektene kan være uavhengige. Det må være sammenhenger mellom dem. For eksempel skal et kvadrat fortsette å være et kvadrat når vi beveger på hjørnene. Konstruer et kvadrat ved hjelp av Cabri. Hvordan kan du være sikker på at du har konstruert et kvadrat? Kanskje du må forandre konstruksjonen din slik at kvadratet fortsetter å være et kvadrat når du drar i hjørnene? Du har kanskje bruk for skjæringspunkt normal parallell linje sirkel definert ved sentrum og et punkt symmetrisk punkt. Forklar hvordan du har konstruert kvadratet ditt. Konstruer et kvadrat med passer og linjal. Kan du lage eller tegne et kvadrat på andre måter? Konstruer et parallellogram med Cabri. Tåler parallellogrammet ditt at du drar i hjørnene? Kan du også lage eller tegne et parallellogram på andre måter? Konstruer et trapes som har en rett vinkel. Det er viktig at elevene lærer seg til å sette ord på det de gjør i matematikk. De bør derfor velge ut minst en av figurene og forklare hvordan de konstruerte den, eventuelt både med passer/linjal og med Cabri. Når vi snakker om å konstruere et rektangel på skjermen, mener vi at figuren er laget på en slik måte at den fortsetter å være et rektangel også når vi drar i hjørnene. Dette tilsvarer en riktig passer/linjal konstruksjon. Når vi for eksempel drar i hjørnene på en vilkårlig firkant og tilpasser den så den ser ut som et rektangel, vil dette tilsvare at vi tegner en firkant som ser ut som et rektangel, ikke konstruerer vinklene til å være 90 med passer og linjal. Jeg observerte en sjuendeklasse som arbeidet med å konstruere et kvadrat på skjermen. Elevene kom fram til forskjellige måter å løse oppgaven på. En gruppe begynte med å konstruere en side AB og så oppreise en normal i hvert av endepunktene. Deretter Figur 11

9 18 TANGENTEN konstruerte de en sirkel med sentrum i A og radius AB, fant skjæringspunktet C mellom sirkelen og normalen, brukte dette punktet som sentrum i en ny sirkel med sidelengden som radius og fant til slutt skjæringspunktet D (tangeringspunktet) mellom denne sirkelen og normalen i B (Figur 11). En annen gruppe begynte på samme måte, men konstruerte bare en sirkel og konstruerte deretter en normal i skjæringspunktet mellom sirkelen og normalen for så å finne det siste hjørnet som skjæringspunktet mellom to normaler. To grupper begynte med en linje l, konstruerte et punkt A på denne linjen og oppreiste en normal til linjen i A (figur 12). Så konstruerte de et punkt B på normalen og en ny normal i B til linjen AB. Videre konstruerte de sirkler med sentrum i A og B. Til slutt fant de skjæringspunktene C og D, mellom disse to sirklene og normalene, og hadde dermed alle fire hjørnene i Figur 12 kvadratet. En gruppe angrep problemet på en helt annen måte. De startet med å konstruere en sirkel, fant deretter det symmetriske punktet til et punkt på sirkelperiferien med hensyn på sentrum og konstruerte midtnormalen til disse to punktene. Skjæringspunktene mellom denne midtnormalen og sirkelperiferien er de to siste hjørnene i kvadratet. Figur 13 En gruppe brukte samme idé som forrige, men denne gruppen valgte kommandoen Linje bestemt ved to punkter til å tegne en linje gjennom sentrum og et periferipunkt i sirkelen. De konstruerte så normalen til denne linjen i sentrum til sirkelen for å finne de to siste hjørnene. Når elevene forklarer sin konstruksjon i klassen, ser de at mange løsninger er mulige. De må begrunne eller forsvare figuren sin: Hvorfor er denne figuren et

10 TANGENTEN kvadrat? Denne refleksjonen kan bevisstgjøre egenskaper ved et kvadrat for dem. Å kunne konstruere figurer nøyaktig er til stor hjelp i utviklingen av geometriske begreper. Mange elever, spesielt de som er motorisk svake, lager så unøyaktige konstruksjoner med passer og linjal, at de ikke oppdager de karakteristiske egenskapene ved en figur. En elev som ikke får til å konstruere et kvadrat der alle sidelengdene ser ut til å være like lange, kan få problemer med begrepet kvadrat. En annen side ved Cabri er at fysisk funksjonshemmede elever vil kunne utføre konstruksjonsoppgaver, som de ikke ville ha noen mulighet til med passer og linjal, så sant de kan bevege musa med rimelig grad av nøyaktighet. Dermed kan de delta i en større del av aktivitetene i matematikk. Makrokonstruksjoner I Cabri bruker vi et lite antall grunnleggende konstruksjoner, men repertoaret kan utvides. Ved hjelp av tilgjengelige konstruksjoner, kan vi lage mere kompliserte figurer og konstruksjoner. Disse kan vi lagre som makroer. Vi kan hente dem inn som kommandoer i menyene slik at de blir enkle å bruke som snarveier i nye konstruksjoner. For eksempel har vi ofte bruk for å konstruere et kvadrat ut fra et gitt, orientert linjestykke. Vi lagrer denne konstruksjonen som en makro. Seinere kan vi velge den i menyen. Cabri konstruerer kvadratet når vi har pekt på to punkter, og linjestykket mellom disse punktene blir da siden i kvadratet. Den lille startsamlingen av konstruksjoner kan utvides etter som elevene lærer mer. De slipper å bruke tid på de grunnleggende konstruksjonene og kan rette oppmerksomheten mot nye sammenhenger. Flere muligheter En annen funksjon som kan være svært nyttig, er Geometrisk sted. Denne kan vi bruke til å få tegnet ut en mengde av punkter som oppfyller bestemte geometriske krav. For eksempel kan Cabri tegne en parabel. En parabel kan beskrives som det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra et gitt punkt H som fra en gitt linje l. Vi kan finne et slikt punkt som skjæringspunktet S mellom en normal n i et vilkårlig punkt X på l og midtnormalen m på HX. Vi kan så markere S, velge kommandoen Geometrisk sted og dra X langs l. S setter spor etter seg, og det geometriske

11 20 TANGENTEN stedet parabelen kommer fram. Denne konstruksjonen kan vi ikke gjøre med de klassiske hjelpemidlene. Den dynamiske konstruksjonen av geometrisk sted gir spesielle muligheter for å oppdage geometri. Noen flere eksempler er gitt av Breiteig og Fuglestad (1994) og Schumann og Green (1994). Figur 14 Eksempler fra andre land Det er stor internasjonal interesse for undervisning i geometri og for konstruksjonsprogram. I det engelske tidsskriftet Micromath finner vi i nesten hvert eneste nummer artikler om dette emnet, for eksempel Healy m. fl. (1994) som tar opp hvordan Cabri kan brukes til begrepsoppbygging hos 12- åringer. Elevene skal se nødvendigheten av å konstruere. Alle elevene vakler mellom konstruksjon og tegning. De starter vanligvis med en tegning, og de er ikke alltid overbevist om at en figur kan være galt konstruert, selv om den ser riktig ut. Et eksempel fra videregående skole er Capponi og Strässer (1992) som beskriver et undervisningsopplegg om cosinusfunksjonen. Her er Cabri en sentral del av opplegget. Laborde (1992) sammenligner hvordan forskjellige typer programvare i geometri påvirker elevenes løsning av oppgaver. Hun konkluderer med at en visualisering av en dynamisk prosess der elevene er passive, er til liten hjelp. Det er først når forandringene analyseres aktivt av elevene at geometriske kunnskaper oppnås. En figur inkluderer en mengde sammenhenger mellom variable. Når vi drar i et punkt eller en linje, synliggjøres disse sammenhengene. Men hun konkluderer også med at selv om elevenes kunnskapsområde utvides, kan nye problemer oppstå, som må løses på en annen måte, og læreren er sentral i denne læringsprosessen. Som en konklusjon kan vi si at dynamiske konstruksjonsprogram i geometri er et nyttig hjelpemiddel i undervisningen, men det "løser ikke problemet". Elevene må selv begrunne, resonnere, navngi egenskaper og bevise. Det er lett å variere en figur slik at vi får mange mulige varianter og spesialtilfeller av

12 TANGENTEN figuren. Yngre elever skal i første rekke utforske og finne ut av sammenhenger. Slike program gir god trening i de klassiske konstruksjonene med passer og linjal, og elevene bør selvsagt også prøve seg på slike konstruksjoner manuelt. Vi kan ikke bruke dataprogram til bevisføring, men de kan hjelpe oss til å finne en hypotese. Vi må fremdeles bevise geometriske setninger på euklidsk vis. Et konstruksjonsprogram erstatter ikke den tradisjonelle geometriundervisningen, men kan komplettere og berike den. Breiteig, T. & Fuglestad, A.B. (1994) Data i matematikken. Aschehoug Capponi, B. & Strässer, R. (1992) Computerunterstützter Geometriunterricht. ZDM 5, s Green, D. & Schumann, H. (1994) Discovering Geometry with a Computer using Cabri Géomètre. Chartwell-Bratt Healy, L., Hoelzl, R., Hoyles, C. & Noss, R. (1994) Cabri Constructions. Micromath 2, s Laborde, C. (1992) Solving problems in computer based geometry environments: The influence of the features of the software. ZDM 4, s Micromath A Journal of the association of teachers of mathematics, 7 Shaftesbury Street, Derby, DE23 BYB, England Om programmene Det har i de siste årene kommet en rekke dynamiske konstruksjonsprogrammer på markedet. Det som er felles for alle disse, er at vi kan tegne på skjermen grunnleggende geometriske figurer - punkt, rett linje, linjestykke og sirkel. På grunnlag av disse grunnobjektene kan vi bruke en del standard konstruksjoner som for eksempel normal, halveringslinje og symmetrisk punkt, til å konstruere figurer. Når en figur er konstruert, kan den flyttes eller omformes ved at vi griper fatt i et grunnobjekt med musa og beveger på det. Figuren bevarer de relasjonene den er konstruert ved, for eksempel vil en firkant som er konstruert som et kvadrat alltid være et kvadrat, mens sidelengde og plassering på skjermen endres.

13 22 TANGENTEN De mest aktuelle programmene er Geometriks, Geometers' Sketchpad og Cabri Geometri. Geometriks er en norsk oversettelse av et dansk program og fins bare i MS- Dos-versjon. Programmet kan brukes til alle aktiviteter som omtales her - og mange flere. Svakhetene med dette programmet er først og fremst at det er mye klikking med musa. Å sette navn på objekter er lite fleksibelt, og det er heller ikke automatisk opptegning av figurene. Geometers Sketchpad fins både for MacIntosh og Windows. Dette programmet har de største mulighetene, både når det gjelder faglig innhold og redigering. Hvis en skal velge et konstruksjonsprogram for eldre elever, vil antagelig dette programmet være det beste. Men det har en del svakheter sett i forhold til yngre barn. Programmet er noe mere komplisert å bruke, siden det har mange flere valgmuligheter. Mål blir ikke satt direkte på objektene, og menyene kan ikke redigeres. Cabri kommer både for MacIntosh og MS-Dos (musestyrt). Den største fordelen med dette programmet er at det har en lav terskel, men kan utvides kraftig etterhvert, det er åpent og brukerstyrt. Det er enkelt å lære å bruke og kan tilpasses slik at elevene ikke får for mange valgmuligheter. Menyene kan redigeres, slik at de kommandoene vi ikke ønsker elevene skal bruke ved en bestemt aktivitet, kan fjernes. For eksempel hvis vi vil arbeide med begrepet Midtnormal, kan denne konstruksjonen fjernes fra menyen, og elevene må konstruere den ut fra sirkler og skjæringspunkt. Navn kan settes på objekter når som helst under konstruksjonen - navnene kan endres, fjernes eller flyttes. Mål på linjestykker og vinkler plasseres direkte på figuren, ikke i eget vindu eller i et hjørne på skjermen. En svakhet i MS-Dosversjonen er at programmet - i motsetning til de to forannevnte og også Macversjonen - ikke kan foreta beregninger. Denne ulempen mener jeg er mindre vesentlig enn fordelene. Geometrix, Nordisk Ministerråd, Dataprogramgruppen, KUF, FoU-seksjonen, Oslo 1992 Geometers Sketchpad, Key Currulum Press, 2512 Martin Luther King Jr. Way, Berkeley, California 94704, 1993 Cabri Geometri, MS-Dosversjon, Høgskolen i Agder, Realfagsavdelingen, Kongsgård allé 20, Postuttak 4604 Kristiansand 1995