OBLIG 1 - MAT 1120 Høsten 2005
|
|
- Solveig Marthinsen
- 4 år siden
- Visninger:
Transkript
1 > with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords has been redefined OBLIG - MAT 2 Høsten 2 Oppgave a) > A:=<< 4 >, <2 2 >, < 2 2>, <2 4 4 >>; A := 4 ù Poenget er selvsagt at A er invertibel, f.eks. siden det(a) = -6 : > Determinant(A); -6 Gitt C := AB kan da vi alltid gjenfinne B ved å beregne A (-) C siden A (-) C =A (-) AB = B. Hvis A ikke er invertibel vil det kunne hende at C = AB = AB' for B' forskjellig fra B slik at B ikke vil kunne rekonstrueres fra C. (At dette alltid vil kunne hende når A er en ikke-invertibel heltallsmatrise, for passende valg av B og B' som tilfredstiller kravene i oppgaven, krever en viss argumentasjon; man kan da begrunne at passende B og B' som tilfredstiller kravene i oppgaven kan alltid velges slik at B' = B + N for en 4 x 4 - heltallsmatrise N som ikke er -matrisen og som har kolonnevektorer som alle ligger i Nul(A); får da at AB' = AB + AN = AB + = AB = C, og B' er forskjellig fra B. Det kreves ikke noe utredning av dette i besvarelsene).
2 Opp. b) > C:=Matrix([[,,, 6], [, 26, 49, 2], [29,, 9, 2], [4, 4, 2, 6]]); C := 6ù > S:= MatrixInverse(A); Finner da tilbake B ved > B:=S.C; S := B := ù ù så kundens kontonummer er 246 og dets kode er 2. Opp.c) (ikke obligatorisk) B=A (-) C kan regnes direkte uten å beregne A (-) eksplisitt ved å utføre rad-red. algoritmen på matrisen [ A C ], som vil produsere matrisen [ I B ] :
3 > rref(convert(<a C>,matrix)); ù Oppgave 2a) La X m = x m, ù x m, 2 x m,, m=,2,.... Det er klart at x, = q, x, 2 = p og x, =, så X = qù p = q q r ù p - p s - q r r p s s ù = P X. La nå m. For å bestemme x m +, j = sannsynlighten for at systemet er i tilstand T j - etter m+ tidsenheter, ser vi på hvordan systemet kan havne i denne tilstanden etter m+ tidsenheter. Ser f.eks. på j=: - etter m tidsenheter var systemet i T med sannsynlighet x m, og det vil forbli i T med sannsynligheten q; denne muligheten for å havne i T etter m+ tidsenheter inntreffer altså med sannsynlighten q x m,. - etter m tidsenheter var systemet i T med sannsynlighet x m, 2 og det går derfra over til T med sannsynligheten qr ; denne muligheten for havne i T etter m+ tidsenheter inntreffer altså med sannsynlighten qr x m, 2. - etter m tidsenheter var systemet i T 2 med sannsynlighet x m,. Det kan ikke gå derfra over til T ; denne muligheten for havne i T etter m+ tidsenheter inntreffer alstå ikke. Dette betyr at x m +, = q x m, + qr x m, 2.
4 Tilsvarende : x m +, 2 = p x m, +( - ps - qr )x m, 2 + r x m, og x m +, = p s x m, 2 + s x m,. Disse tre likningene kan skrives som X m + = q q r ù p - p s - q r r p s s x m, ù x m, 2 x m, = P X m, som ønsket. Opp. 2b) > p:='p': q:='q': r:='r': s:='s': > P:=<<q q*r >, <p -p*s-q*r r>, < p*s s>>; P := q q r ù p - p s - q r r p s s > q:=-p; s:=-r; q := - p s := - r > p:=/: r:=/6: > P;
5 4 4 4 ù 6 6 > X[]:=<.,.,.>: for i from to 6 do X[i]:=P.X[i-] end: 'X[]'=X[],'X[2]'=X[2],'X[]'=X[],'X[6]'=X[6]; X =.4462ù , X 2 =.4296ù , X =.442ù , X 6 =.49969ù Matrisen P er regulær siden alle koeffisientene i P 2 er positive : > P^2; ù For å bestemme P's likevektsvektor finner vi først Nul (P-I). Maple angir en basis for det slik : > N:=NullSpace(P-IdentityMatrix()); N := ì í î 2ù ü ý þ > V:=%[];
6 V := 2ù Summen av komponentene til V er 6/. Så likevektsvektoren Q til P er gitt ved: > Q:=(/6)*V; Q := 2ù Sjekker at Q er en likevektsvektor for P ved å sjekke at PQ = Q : > P.Q; 2ù Sannsynligheten for at ingen linjer er opptatt (m.a.o. at systemet er i tilstand T_) utover dagen er altså Q's første komponent, dvs 2/6. På desimalform : > evalf(2/6);.4944 Oppg. 2c) løses nokså tilsvarende som b): > p:='p': q:='q': r:='r': s:='s':
7 > P:=<<q q*r >, <p -p*s-q*r q*r >, < p*s -p*s-q*r r>, < p*s s>>; P := > q:=-p: s:=-r: p:=/: r:=/6: q q r ù p - p s - q r q r p s - p s - q r r p s s > P; ù > P^2; ù > P^;
8 ù som viser at P er regulær. > N:=NullSpace(P-IdentityMatrix(4)); N := ù ì í î ü ý þ > V:=N[]; V := ù > d:=v[]+v[2]+v[]+v[4]: Q:=(/d)*V;
9 Q := 96ù Sannsynligheten for at ingen linjer er opptatt utover dagen er Q's første komponent. dvs. 96/9. På desimalform blir denne lik : > evalf(q[]);.626 Oppgave c) (ikke obligatorisk) Ser på n=4 (orket noen høyere n enn det?!): > p:='p': q:='q': r:='r': s:='s': > P:=Matrix(,,[[q, q*r,,,], [p, -p*s-q*r,q*r,,], [, p*s,-p*s-q*r,q*r,], [,,p*s,-p*s-q*r,r], [,,,p*s, s]]): > q:=-p: s:=-r: p:=/: r:=/6: > P; ù
10 > N:=NullSpace(P-IdentityMatrix()): V:=N[]: d:=v[]+v[2]+v[]+v[4]+v[]: Q:=(/d)*V; Q := 2ù > evalf(2/46); Vi ser at at sannsynligheten for at ingen linjer er opptatt utover dagen fortsetter å falle. Oppgave a) > A:=<<2 >, <- - >, < 4-2>>; A er ikke invertibel, f.eks. siden det(a) =. A := 2 ù > Determinant(A); Dette ser vi også fra den reduserte trappeformen til A, som er > rref(convert(a,matrix));
11 6ù - Fra denne kan vi lese at den tredje kolonnen i A, a, er 6 ganger.kol. i A, a, minus ganger 2. kol. i A, a 2.Altså har vi at 6 a - a 2 - a = Oppgave b) Den reduserte trappeformen til A har pivoter i. og 2. kolonne. En basis B for Col A består derfor av de to første kolonnene til A. (Col A er derfor et plan). Når det gjelder nullrommet til A har vi at > NullSpace(A); ì í î -6ù ü ý þ og dette angir en basis for Nul A. Vi kan utvide B til en basis B for R ved å legge til en vektor som ikke ligger i Col A. Det enkleste er legge til en normal vektor for planet M = Col A : ved å beregne kryssproduktet av A's to første kolonner finner vi at en slik vektor er (kolonne)-vektoren (, -, -). Oppgavene 4 a) og b) er "rett frem", og løsning blir ikke gitt her. Oppgave 4c) Skisserer først for moro skyld kurven parametrisert ved f : > f:=t -> [t^2-t, -t^, t^-t^2 ]; f := t t 2 - t, - t, t - t 2 [ ] > spacecurve(f(t),t=.., color=green);
12 Beregner så g (og bruker da matrisen A fra oppg. ) : > g:=t -> A.Vector(f(t)): 'g(t)'=g(t); g( t) = t 2-2 t + ù - t 2 + t t 9 t 2 - t t Fra b) vet vi at g = T A (f) er med i F([,], Col A). Nå er Col A lik planet M som går gjennom origo og som er utspent av de to første kolonnevektorene til A (jf. a). Dette betyr at g(t) ligger i M for alle t. For å finne koordinatvektoren til g(t) m.h.p. B uten å beregne koord.skiftematrisen fra stand. basisen til B untnytter vi den lin. avh. relasjonen vi fant i a) : vi får da at
13 g(t) = A (f(t)) = (t^2 - t) a + (- t^) a 2 + (t^ - t^2) a = (t^2 - t) a + (- t^) a 2 + (t^ - t^2) (6 a - a 2 ) (t^2 - t + 6 = t^ - 6 t^2) a + (- t^ - t^ - t^2) a 2 = (6 t^ - t^2 - t) a + ( - t^ - t^2) a 2 og vi kan lese av at koordinatvektoren til g(t) m.h.p. B er Oppgave 4c)(ikke obligatorisk) 6 t - t 2 - t ù - t - t 2 Planet M = Col A har kartesisk likning x - y - z = (finnes lett fra b)). En skisse av kurven parametrisert ved g og en passende del av planet M ser slik ut : > G:=spacecurve(convert(g(t),array), t =.., color=blue): > G2:=plotd(x-y, x=.., y=(-).., color=yellow): > display({g,g2});
14 x -. y >
OBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005
> with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords
DetaljerMarkov-kjede I ("dekk-eksemplet")
> restart: with(linalg): with(linearalgebra): with(plots): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the name
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
Detaljer6.5 Minste kvadraters problemer
6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-4 Vårsemester 7 Prøveeksamen Contents. Forord................................. OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 7 4 OPPGAVE 8 OPPGAVE 6 OPPGAVE 7 OPPGAVE 8 OPPGAVE 9 Formatering av svarene 4 9. Rasjonale tall.............................
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
Detaljer6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen
6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerUNIVERSITET I BERGEN
UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerMAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag
MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 3
MAT-4 Vårsemester 7 Obligatorisk øving Contents OPPGAVE OPPGAVE Hvordan løses oppgave? 5 4 Hvordan løses oppgave? 6 5 Formatering av svarene 8 5. Rasjonale tall............................. 8 5. Matriser
DetaljerMAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse
MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt
DetaljerObligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15
Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
DetaljerUtkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.
Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerMAT1120. Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 20. september 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).
Innleveringsfrist MAT20 Obligatorisk oppgave av 2 Torsdag 20. september 208, klokken 4:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen for hånd og scanner besvarelsen
DetaljerNotat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger
Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon
DetaljerObligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2008
Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2008 Innleveringsfrist: fredag 26/09-2008, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA-109 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik
EKSAMEN EMNE: MA- FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Turid Knutsen, Øystein Alvik Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): Antall oppgaver: Antall
DetaljerForelesning 10 Cramers regel med anvendelser
Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010 Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er
DetaljerOblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 23. september 2009 A =
Oblig - MAT Fredrik Meyer. september 9 Oppgave Linkmatrise: A = En basis til nullrommet til matrisen A I kan finnes ved å bruke MATLAB. Jeg kjører kommandoen rref(a-i) og får følge: >> rref(a-i). -.875.
DetaljerLineær algebra. H. Fausk 09.03.2015. i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Første utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. Selv om løsningen av lineære likingsystem i prinsippet er elementært blir det fort
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Magnus Dahler Norling (magnudn@math.uio.no) September 2014 Oppgave 4.6.4 rank A = rank B = 5 (teorem 13+14). dim Nul A = n - rank A = 6-5 = 1 (teorem
Detaljer7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet
7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt
DetaljerRepetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerObligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014
Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Innleveringsfrist: torsdag 25. september 2014, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus.
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Mandag. desember Oppgave a) Karakteristisk polynom er + = ;
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerDenne labøvelsen gir en videre innføring i elementær bruk av programmet Maple.
MAPLE-LAB 2 Denne labøvelsen gir en videre innføring i elementær bruk av programmet Maple.. Sett i gang Maple på din PC / arbeidsstasjon. Hvis du sitter på en Linux-basert maskin og opplever problemer
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2
MAT-1004 Vårsemester 2017 Obligatorisk øving 2 Contents 1 OPPGAVE 2 2 OPPGAVE 2 Eksempler 4.1 Oppgave 1............................... 4.2 Oppgave 2............................... 5 4 Formatering av svarene
DetaljerObligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16
Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
Detaljer7.4 Singulærverdi dekomposisjonen
7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon
DetaljerEKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven
DetaljerBasis, koordinatsystem og dimensjon
Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA1202/MA6202 VÅR 2010
LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA/MA6 VÅR Oppgave. a Radredusering gir A 4 6 5 R, og siden R har to ledende variabler så får vi ranka. Siden A har re kolonner gir dimensjonsteoremet for matriser at nullitya 4
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerObligatorisk innlevering 2 - MA 109
Obligatorisk innlevering 2 - MA 9 Skriv fullt navn og studentnummer øverst på besvarelsen. Du skal bruke sifrene fra studentnummeret i besvarelsen. Studentnummeret ditt er E. Er studentnummeret ditt da
Detaljer(3/2)R 2+R 3 R 1 +R 2,( 2)R 1 +R 3 ( 2)R 1 +R 4 6/5R 3 +R 4 1/5R 3
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk 3 våren 2009 Løsningsforslag - Øving 10 Fra Edwards & Penney, avsnitt 4.4 5 Vi bruker Algoritme 1 og 2 i EP på sidene 190 og 193 for å finne en basis
DetaljerEKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 Faglig kontakt under eksamen: Truls Fretland (73 55 89 87) EKSAMEN I MA1202 LINEÆR ALGEBRA MED ANVENDELSER LØSNINGSFORSLAG
DetaljerEKSAMEN. 1 Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen. Klasser: (div) Dato: 24. mai 2004 Eksamenstid:
EKSAMEN EMNE: MA6 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Trond Stølen Gustavsen Klasser: (div) Dato: mai Eksamenstid: Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink forside): 5 Antall oppgaver: Antall vedlegg:
DetaljerKap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former
Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
Detaljer6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
Detaljer4.9 Anvendelser: Markovkjeder
4.9 Anvendelser: Markovkjeder Markov kjeder er en spesiell type diskret dynamisk system. Stokastisk modell: grunnleggende i sannsynlighetsregning. Vinner av Abelprisen 2007, S. Varadhan, jobber i dette
DetaljerLitt romgeometri. Mat4010. Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo. Andreas Marker
Litt romgeometri av Andreas Marker Mat4010 Det matematisk- naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo Vår 2015 Innhold 1 To metoder å gange vektorer ir 3 på 3 1.1 Skalar-, prikk-, og indreprodukt.................
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
Detaljer12 Lineære transformasjoner
2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT - Lineær algebra Onsdag 5 september, 0, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerOppgave P. = 2/x + C 6 P. + C 6 P. d) 12(1 x) 5 dx = 12u 5 1/( 1) du = 2u 6 + C = 2(1 x) 6 + C 6 P. Oppgave P.
Løsning MET 86 Matematikk for siviløkonomer Innleveringsfrist 5. mars 9 kl Vi benytter maksimal score 6p på hver deloppgave og 44p totalt, og grensen for å bestå er ca 86p. Du kan selv fylle ut tabellen
DetaljerLineær algebra-oppsummering
Kapittel 9 Lineær algebra-oppsummering Matriser 1 Matriser er et rektangulært sett av elementer ordnet i rekker og kolonner: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij m n a m1 a n2 a mn 2 Kvadratisk matrise:
DetaljerInnlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
DetaljerOppgave 1. f(2x ) = f(0,40) = 0,60 ln(1,40) + 0,40 ln(0,60) 0,0024 < 0
Løsning MET 80 Matematikk for siviløkonomer Dato 0. mai 07 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi lar p = 0,60 og q = 0,40, og skriver funksjonen som f() = p ln( + ) + q ln( ) for å forenkle skrivemåten. Funksjonen
DetaljerLineær algebra. H. Fausk i=1 a ix i. Her har vi oppgitt hva ledd nummer i skal være og hvilke indekser i vi summerer over.
Lineær algebra H. Fausk 09.03.2015 Andre utkast Linære likningsystem lar seg løse ved bruk av de elementære regneartene. I prinsippet er det enkelt, men det blir fort veldig mange regneoperasjoner som
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerUiO MAT1012 Våren Ekstraoppgavesamling
UiO MAT1012 Våren 2011 Ekstraoppgavesamling I tillegg til eksamen og prøveeksamen fra våren 2010 inneholder denne samlingen en del oppgaver som er blitt gitt til eksamen i diverse andre emner ved UiO i
Detaljer5.6 Diskrete dynamiske systemer
5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerUniversitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag. Eksamen MA desember Lykke til!
Universitetet i Agder Fakultetet for teknologi og realfag Institutt for matematiske fag Eksamen Emnekode: Emnenavn: MA-2 Lineær algebra Dato: Varighet:. desember 2 9. - 4. Antall sider: Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerOppgavesett. Kapittel Oppgavesett 1
Kapittel 9 Oppgavesett Dette kapitlet består av fire oppgavesett med oppgaver fra alle deler av kompendiet. 9. Oppgavesett Oppgave. Et dynamisk system er gitt ved x n+ = M x n der M er -matrisen.6.. M
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser våren 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i MA22/MA622 Lineær algebra med anvendelser våren 29 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerEmne 7. Vektorrom (Del 1)
Emne 7. Vektorrom (Del 1) Første del av dette emnet innholder lite nytt regnemessig, men vi innfører en rekke nye begreper. Avbildning (image). R m T R n n image(t) Vi kan starte med samme skjematiske
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerNTNU. MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren Maple-øving 2. Viktig informasjon. Institutt for matematiske fag. maple02 28.
NTNU Institutt for matematiske fag MA1103 Flerdimensjonal Analyse våren 2011 Maple-øving 2 Fyll inn studieprogram: Fyll inn navn: 1. 2. 3. 4. Viktig informasjon Besvarelsen kan leveres som gruppearbeid
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Lineær algebra Eksamensdag: Mandag,. desember 7. Tid for eksamen: 4. 8.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler:
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerOppgaver og fasit til seksjon
1 Oppgaver og fasit til seksjon 3.1-3.3 Oppgaver til seksjon 3.1 1. Regn ut a b når a) a = ( 1, 3, 2) b = ( 2, 1, 7) b) a = (4, 3, 1) b = ( 6, 1, 0) 2. Finn arealet til parallellogrammet utspent av a =
DetaljerInnlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 2014 kl. 14 Antall oppgaver: 13
Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Fredag 14. november 014 kl. 14 Antall oppgaver: 13 Løsningsforslag 1 Finn volumet til tetraederet med hjørner O(0,
Detaljer6.6 Anvendelser på lineære modeller
6.6 Anvendelser på lineære modeller Skal først se på lineær regresjon for gitte punkter i planet: det kan formuleres og løses som et minste kvadraters problem! I mere generelle lineære modeller er man
DetaljerMA1201/MA6201 Høsten 2016
MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MA1202/MA6202 Lineær algebra med anvendelser høsten 2009.
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 Løsningsforslag til eksamen i MA/MA6 Lineær algebra med anvendelser høsten 9 Oppgave a) Rangen til A er lik antallet
DetaljerGeometri R2, Prøve 2 løsning
Geometri R, Prøve løsning Del 1 Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Gitt punktene P 1, 1,5 og Q 1,4,0 a) Bestem avstanden mellom punktene Avstanden mellom punktene er lengden av PQ PQ 1 1,4
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller. Kontaktperson under eksamen: Professor Andrei Prasolov. Telefon:
EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Mat 4 Lineær algebra Dato: Torsdag 4 juni 25 Tid: Kl 9: 3: Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator, to A4 ark egne notater og Rottmanns tabeller Oppgavesettet
DetaljerOppgave 1 (25 %) - Flervalgsoppgaver
Oppgaver og løsningsforslag for 4t eksamen 10.mai 006 i LO510D Lineær algebra med grafiske anvendelser. Fra og med oppgave skal alle svar begrunnes. Oppgave 1 (5 %) - Flervalgsoppgaver Denne oppgaven består
DetaljerMAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016
MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker
DetaljerEKSAME SOPPGAVE MAT-1004 (BOKMÅL)
EKSAME SOPPGAVE MAT-00 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-00 Lineær algebra. Dato : Torsdag 09. juni. Tid : 09.00 -.00. Sted: : Teorifagb., hus, plan. Tillatte hjelpemidler : Godkjent kalkulator, to A ark egne notater
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljer