Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014"

Transkript

1 Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Innleveringsfrist: torsdag 25. september 2014, innen kl Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner på hjemmesiden. Dersom du på grunn av sykdom eller andre tungtveiende grunner har behov for å utsette innleveringen, må du i god tid før innleveringsfristen sende søknad til: studieinfo@math.uio.no Husk at sykdom må dokumenteres ved legeattest. Oppgavesettet består av tilsammen 12 punkter. For å få godkjent Oblig 1 må du besvare minst 10 av de 12 punktene og det må komme frem av besvarelsen at du har prøvd seriøst å løse disse punktene. Videre må minst 8 av punktene være besvart på en tilfredsstillende måte, med en ryddig fremstilling og gode begrunnelser. Det kreves også at alle Matlab-delene i oppgavesettet er rimelig godt besvart. Der det står at Matlab skal brukes, må det vedlegges passende utskrifter av m-filer og dagbokfil ( diary ) med kommentarer. De som foretrekker det kan bruke Python istedet for Matlab, og det må da vedegges tilsvarende dokumentasjon. Studenter som ikke får sin opprinnelige besvarelse godkjent, men som har gjort et reelt forsøk på å løse oppgavesettet, vil få en mulighet til å levere en revidert besvarelse. Studenter som ikke får godkjent begge sine besvarelser til oblig. 1 og oblig. 2 vil ikke få adgang til avsluttende eksamen. Det er lov å samarbeide om oppgavene. Men alle må levere sin egen personlig besvarelse og selv ha gjennomført alle Matlab-kjøringer (evt Python-kjøringer). Er vi i tvil om at du virkelig ha forstått det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig redegjørelse. Det vises ellers til regelverket for obligatoriske oppgaver, som du finner via en lenke på hjemmesiden til emnet. Lykke til! 1

2 1 En modell for trafikk i veinettverk Vi skal se på en enkel modell for trafikk i et veinettverk. Vi vil da trenge begrepet rettet graf som forklares først. En rettet graf G = (V, E) består av en endelig ikketom mengde V, der elementene kalles hjørner (eller punkter), samt en mengde E av ordnede par av elementer fra V. Hvert slikt par kalles en kant og er på formen e = (u, v) der u, v V er distinkte hjørner. 1 Hvis e = (u, v) E, så kalles u og v endehjørner for kanten e. For å unngå isolerte hjørner (som er uinteressante) antar vi at ethvert hjørne er endehjørne for (minst) en kant. Spesielt er antall kanter minst 1 og antall hjørner minst 2. Den enkleste rettede grafen etter denne definisjonen er på formen G = (V, E) der V = {u, v} og E = {(u, v)}. Denne grafen kan visualiseres i planet slik: u (u,v) v Figure 1: En graf Eksempel 1. Betrakt den rettede grafen G = (V, E) der V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } og E = {(v 1, v 2 ), (v 2, v 3 ), (v 3, v 4 ), (v 4, v 1 ), (v 1, v 3 )}. I planet kan den visualiseres slik: v 1 e 1 v 2 e e 5 4 e 2 v v 4 e3 3 Figure 2: Nok en graf Her er e 1 = (v 1, v 2 ), e 2 = (v 2, v 3 ), e 3 = (v 3, v 4 ), e 4 = (v 4, v 1 ) og e 5 = (v 1, v 3 ). Et veinettverk kan representeres ved en rettet graf G = (V, E). Her vil hjørnene svare til veikryss, mens hver kant svarer til et veistrekk (en veibit?) mellom to veikryss med retning slik kanten angir. Altså: kanten (u, v) svarer til veistrekket fra kryss u til kryss v. Hvis det fins et veistrekk i motsatt retning fra v til u vil dette gi kanten (v, u). I en rettet graf som representerer et veinettverk, slik vi er vant til, 1 Noen tillater at u og v kan være like, altså at en kant kan være på formen (v, v). I denne obligen er det ikke noe poeng å godta slike kanter. 2

3 vil det som regel være slik at ethvert hjørne har minst én kant som går ut og minst én kant som går inn. Men vi trenger ikke å anta dette generelt. Vi skal nå modellere trafikken og antar, noe forenklet, at nettverket er lukket fra omverdenen, slik at ingen biler forlater eller kommer inn i nettverket. Det er altså et visst antall biler som kjører i nettverket. 2 Trafikken i nettverket kan representeres ved en vektor x R n med én komponent for hvert veistrekk i nettverket. La nemlig kantene være e 1, e 2,..., e n og la x j være variabelen som svarer til kanten e j (j n). Vi tenker på x j som antall biler på veistrekket e j ved et visst tidspunkt. Vektoren x = (x 1, x 2,..., x n ) gir oss da et øyeblikksbilde av trafikken i de ulike deler av nettverket, og x j / n i=1 x i vil være andelen av det totale antall biler som er på kant e j ved et gitt tidspunkt. For å modellere hvordan trafikken endres, som funksjon av tiden, innfører vi en passende Markov kjede: Vi tenker oss at tilstandsrommet er E, altså kantmengden i nettverket. 3 Videre lager vi en n n stokastisk matrise (overgangsmatrise) P = [p ij ] der p ij angir sannsynligheten for at en bil på kant (veistrekk) e j går over til kant e i i løpet av ett tidsskritt. Vi lar her tidsskrittene være små slik at hvis e j = (u, v) (kanten går inn til v), så er p ij > 0 bare for de kantene e i som forlater v, altså kanter på formen e i = (v, w). Vi tillater også at p jj > 0 for noen (eller alle) j er fordi noen av bilene på veistrekket e j ikke kommer fram til krysset i løpet av ett tidsskritt. Hvis x R n er en sannsynlighetsvektor som angir fordelingen av bilene på hvert veistrekk i et gitt øyeblikk, vil da P x angi den sannsynlige fordelingen av bilene etter ett tidsskritt. Så hvis x 0 angir fordelingen ved starttidspunktet, vil Markov kjeden {x k } k 0 der x k = P x k 1, k 1, angi fordelingen av bilene etter k tidskritt for hver k. Kommentar: i matematiske modeller i anvendelser er det ofte en problemstilling å få tak i relevante data for modellen. I vår modell gjelder dette matrisen P. Man vil her kunne estimere P ved å observe trafikken i løpet av en viss tidsperiode. (Det finnes andre veitrafikk modeller som kan være mer realistiske, men som ofte baseres på parametre som er vanskelig å finne gode verdier på.) 2 Det mer generelle tilfelle der det er trafikk inn/ut av nettverket kan håndteres på flere måter, men vi går ikke inn på dette her. 3 I mange situasjoner som kan modelleres med en rettet graf er det naturlig å betrakte Markov kjeder der tilstandsrommet er hjørnemengden V. I en del situasjoner, slik som her, er det kantmengden som er det naturlige tilstandsrommet. 3

4 Eksempel 1, forts. Anta grafen fra Eksempel 1 representerer et lite trafikk nettverk. En mulig overgangsmatrise kan da være P = La oss f.eks. se på den 4. kolonnen i P : den forteller oss at blant bilene på veistrekket e 4, så vil 30 prosent gå over til e 1, 50 prosent vil forbli på e 4, og 20 prosent vil gå over til e 5 (i løpet av ett tidsskritt). Det er lett å sjekke at P er regulær (ved å regne ut at P 4 bare har positive koeffisienter). Teorem 18 i Lays avsnitt 4.4 forteller oss at P har en entydig likevektsvektor q og at enhver Markov kjede assosiert med P vil konvergere mot q. Utregning gir q = (0.3103, , , , ). (Dette kan du gjerne sjekke!). Etter en stund vil altså trafikken stabilisere seg i nettverket og rundt 31 prosent av bilene vil befinne seg på veistrekket e 1. Hvis det f.eks. er totalt 200 biler som sirkulerer i dette nettverket, betyr det at det vil være 62 biler langs e 1. Nå er det ikke sikkert at dette er fysisk mulig! I praksis vil det da være kødannelser i nettverket og modellen må endres. I en slik situasjon vil man måtte vurdere forskjellige mulige tiltak: legge til en eller flere kanter (altså lage ny(e) veistrekk, eventuelt tillate toveis kjøring), eller fjerne en eller flere kanter (som kan tenkes å bidra til avlastning av et bestemt veistrekk). Vi ser nå nærmere på et mer realistisk eksempel. Grafen er en forenkling av veinettverket i Oslo, se Figur 3 (på siste side). Vi har m = 8 veikryss og n = 28 kanter. Disse veikryssene er Oslo S, Skøyen, Majorstua, Smestad, Ullevål, Sinsen, Carl Berner, Økern. Veistrekkene svarer til Ring 2, Ring 3 osv. (med litt fri tenkning rundt dette!) og innholder gater/veier med stor trafikk. Oppgave 1 Betrakt grafen i Figur 3. (i) En overgangsmatrise P = [p i,j ] for dette nettverket finner du på m- filen Oslo.m (som er tilgjengelig på samme nettside som Oblig 1). Sjekk at P er regulær ved hjelp av Matlab og angi minste k slik at P k bare har positive elementer.. 4

5 Betrakt så Markov kjeden {x k } k 0 der x 0 = (1/28,..., 1/28) og x k = P x k 1, k 1. Siden P er regulær vet vi at enhver Markov kjede assosiert med P konvergerer mot en entydig bestemt likevektsvektor x. Finn x ved å beregne x k med Matlab inntil det ikke er noen endring med 4 desimalers nøyaktighet. (ii) Anta nå at nettverket endres (pga veiarbeid) slik at kant nr. 28 forsvinner. Dette svarer til man innfører enveiskjøring mellom Smestad og Majorstua (retning Smestad). Oppdater P ut fra dette ved å fjerne rad og kolonne 28, sette p 25,22 = 0.7, p 21,24 = 0.8, og la de andre sannsynlighetene være uendret. (Den nye matrisen blir også regulær.) Beregn med Matlab den nye likevektsvektoren ˆx R 27. Hvilke tre veistrekk får størst økning i trafikk? Hvis den totale trafikkmengden i nettverket er biler, hva er da endringene for disse tre veistrekkene? 2 Permutasjonsmatriser, direkte summer og rang Vi skal se på noen nyttige resultater om rangen til matriser. Vi må først introdusere et par begreper. En permutasjonsmatrise P (av orden n) er en n n matrise der kolonnene fremkommer ved å bytte om på rekkefølgen av kolonnene i identitetsmatrisen I n. Vi betrakter også I n selv som en permutasjonsmatrise (der ombyttingen er den "trivielle", dvs rekkefølgen forandres ikke). Det er opplagt fra definisjonen at permutasjonsmatriser er stokastiske matriser, men disse er av en veldig spesiell type. Videre er enhver permutasjonsmatrise P av orden n invertibel: kolonnene til P danner jo en basis for R n, så dette følger av Invertibel Matrise Teoremet. F.eks. er de to eneste permutasjonsmatrisene av orden 2 gitt ved [ ] [ ] I 2 =, P = Vi kan angi en permutasjonsmatrise av orden n ved hjelp av en permutasjon (eller ombytting hvis du vil) av tallene fra 1 til n: per definisjon er dette en avbildning σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} som er 1-1 og på (mao en bijeksjon). Matrisen P σ = [e σ(1) e σ(2) e σ(n) ] er da en permutasjonsmatrise (av orden n). Hvis f.eks. σ : {1, 2, 3} {1, 2, 3} er permutasjonen av tallene fra 1 til 3 gitt ved σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1, 5

6 så er den assosierte permutasjonsmatrisen gitt ved P σ = [e σ(1) e σ(2) e σ(3) ] = [e 2 e 3 e 1 ] = Oppgave 2 Skriv ned alle permutasjonsmatriser av orden 3. Kommentar: Det finnes nøyaktig n! permutasjoner av tallene 1 til n, og dermed nøyaktig n! permutasjonsmatriser av orden n. Du kan gjerne tenke over hvordan du ville forklare dette. Siden dette ikke er vesentlig i denne obligen skisserer vi bare en måte å innse dette: overbevis deg selv at man kan tenke på en permutasjon av tallene fra 1 til n som en ordnet liste σ(1), σ(2),..., σ(n) av alle tallene fra 1 til n; så kan du slå opp i Kalkulus-boka til Lindstrøm og finne en begrunnelse (ved et enkelt induktivt argument) for at det finnes nøyaktig n! måter å ordne n forskjellige objekter i rekkefølge. Oppgave 3 Begrunn at hvis P er en permutasjonsmatrise (av orden n), så fremkommer P ved å bytte om på rekkefølgen av radene i identitetsmatrisen I n. Hint 1: Begynn med å se på første rad til P. Hint 2: En bijeksjon har en omvendt funksjon som selv er en bijeksjon. Vi kan derfor si at en permutasjonsmatrise er en kvadratisk matrise der hvert element er 0 eller 1, og det er nøyaktig én 1 er i hver rad og i hver kolonne. Oppgave 4 La A være en m n matrise, og la P og Q være permutasjonsmatriser av orden henholdsvis n og m. Sett B = AP og C = QA. (i) Begrunn at kolonnene i B består av de samme kolonnene som A har, men med ombyttet rekkefølge, mens radene i C består av de samme radene som A har, men med ombyttet rekkefølge. Gi et eksempel som illustrerer dette med m = n = 3 og P = Q I 3. (ii) Bruk forrige punkt til å vise at rank B = rank A = rank C. (iii) Sett A = QAP. Vi sier da at A er fremkommet fra A ved rad- og kolonnepermutasjoner. Begrunn at rank A = rank A. Kommentar ang. punkt (iii) ovenfor: generelt vil rank A = rank A når P og Q er vilkårlige invertible matriser, men da er ikke sammenhengen mellom A og A så sterk. Vi bruker O for å symbolisere enhver nullmatrise (av passende størrelse). 6.

7 La nå A 1 og A 2 være to matriser (som ikke trenger å være av samme størrelse). Blokkmatrisen [ ] A1 O A = O A 2 kalles den direkte summen av A 1 og A 2, og angis ved A = A 1 A 2. Oppgave 5 Anta at A 1 er en m 1 n 1 matrise og A 2 er en m 2 n 2 matrise, begge ulik nullmatrisen. Anta videre at {u 1,..., u r } er en basis for Col A 1, mens {v 1,..., v s } er en basis for Col A 2. Hvis x = (x 1,..., x n1 ) R n 1, lar vi x R n 1+n 2 være definert ved x = (x 1,..., x n1, 0,..., 0). Tilsvarende hvis y = (y 1,..., y n2 ) R n 2, lar vi y R n 1+n 2 være definert ved y = (0,..., 0, y 1,..., y n2 ). (i) Begrunn at {u 1,..., u r, v 1,..., v s} er en basis for Col (A 1 A 2 ). (ii) Bruk (i) til å begrunne at rank (A 1 A 2 ) = rank A 1 + rank A 2. Bruk deretter rangteoremet for matriser til å konkludere med at dim(nul (A 1 A 2 )) = dim(nul A 1 ) + dim(nul A 2 ). 3 Rettede grafer og indikatormatriser Vi vender nå tilbake til generelle rettede grafer. I denne seksjonen skal vi studere forbindelsen mellom slike grafer og matriser/lineær algebra. La G = (V, E) være en rettet graf med m hjørner og n kanter. Til G knytter vi en m n matrise A = [a ij ] der rader svarer til hjørner og kolonner svarer til kanter. Vi velger da først en ordning av henholdsvis hjørner og kanter, slik at første hjørne svarer til første rad osv. Matrisen A er definert slik: kolonnen som svarer til kanten (u, v) har 1 i raden som svarer til u og 1 i raden som svarer til v, mens alle andre elementer i denne kolonnen er 0. Hver kolonne i A inneholder derfor nøyaktig én 1 er og én ( 1) er, resten er nuller. Matrisen A, som avhenger av den valgte ordningen på hjørner og kanter, kalles en indikatormatrise for grafen G. 7

8 Eksempel 1, forts. For grafen G fra Eksempel 1 får vi indikatormatrisen A oppgitt under, når vi lar rader og kolonner svare til hjørner og kanter i den rekkefølgen disse ble listet i Eksempel 1 (fra venstre mot høyre): A = Oppgave 6 (i) Betrakt grafen G = (V, E) fra Eksempel 1 med følgende ordning av hjørner og kanter: V : v 4, v 1, v 3, v 2 E : (v 2, v 3 ), (v 4, v 1 ), (v 3, v 4 ), (v 1, v 3 ), (v 1, v 2 ). Skriv ned indikatormatrisen A for G du nå får. Bruk Matlab til å beregne rank A og rank A, og sjekk at disse to tallene er like. (ii) Hvilken indikatormatrise for G man får avhenger av hvilken rekkefølge man bruker for hjørner og kanter. Imidlertid vil rangen til en indikatormatrise for G alltid være den samme (utregningen i punkt (i) gir et eksempel på at dette stemmer). Bruk Oppgave 4 til å begrunne denne påstanden. Oppgave 7 La A være en indikatormatrise for en rettet graf G. Begrunn at radene i A er lineært avhengige. (Hint: summer alle radene i A). Begrunn deretter at rank A m 1 (der m er antall hjørner). Det kan vises at rangen til A er lik m 1 hvis og bare hvis grafen er "sammenhengende". Slike indikatormatriser danner grunnlaget for en lang rekke modeller for trafikk i veinettverk. Det samme gjelder andre typer nettverk: data, internett, rutenett for fly, telenett etc. Man er da interessert i ulike problemstillinger angående strøm, kapasiteter etc. Dette leder ofte til optimering med begrensninger gitt ved ulikheter, og mer om dette kan du lære i emnet MAT-INF3100 Lineær optimering. Lykke til! 8

9 Figure 3: Forenklet Oslo veinettverk 9

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15 Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

MAT1120. Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 20. september 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).

MAT1120. Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 20. september 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Innleveringsfrist MAT20 Obligatorisk oppgave av 2 Torsdag 20. september 208, klokken 4:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen for hånd og scanner besvarelsen

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2008

Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2008 Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2008 Innleveringsfrist: fredag 26/09-2008, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer

Detaljer

Obligatorisk oppgave nr1 MAT Lars Kristian Henriksen UiO

Obligatorisk oppgave nr1 MAT Lars Kristian Henriksen UiO Obligatorisk oppgave nr1 MAT-1120 Lars Kristian Henriksen UiO 21. oktober 2014 Oppgave 1 i) Minste k slik at P k kun har positive elementer er 6. Finner x* ved å laste oslo.m, for så å skrive følgende

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n

Detaljer

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4

MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis

Detaljer

Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16

Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16 Obligatorisk oppgavesett 2 MAT1120 H16 Innleveringsfrist: torsdag 03.11.2016, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner

Detaljer

4.4 Koordinatsystemer

4.4 Koordinatsystemer 4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom

Detaljer

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4

MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4 MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik

Detaljer

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.

Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. 4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet

Detaljer

4.9 Anvendelser: Markovkjeder

4.9 Anvendelser: Markovkjeder 4.9 Anvendelser: Markovkjeder Markov kjeder er en spesiell type diskret dynamisk system. Stokastisk modell: grunnleggende i sannsynlighetsregning. Vinner av Abelprisen 2007, S. Varadhan, jobber i dette

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 MAT 1120: Obligatorisk oppgave 2, H-09 Innlevering: Senest fredag 30 oktober, 2009, kl1430, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7 etasje NHA) Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:

Detaljer

MAT1140 Strukturer og argumenter

MAT1140 Strukturer og argumenter 12. november 2018 MAT1140 Strukturer og argumenter Innleveringsfrist Obligatorisk oppgave 2 av 2 Torsdag 8. november 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om

Detaljer

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09

MAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09 MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 13. september, 2018 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 27/9-2018, kl. 14:30 i Devilry Obligatoriske oppgaver («obliger») er en sentral del av MAT-INF1100 og er utmerket trening i å

Detaljer

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater

Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og

Detaljer

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen

7.4 Singulærverdi dekomposisjonen 7.4 Singulærverdi dekomposisjonen Singulærverdi dekomposisjon til en matrise A er en av de viktigste faktoriseringene av A (dvs. A skrives som et produkt av matriser). Den inneholder nyttig informasjon

Detaljer

MAT1120 Repetisjon Kap. 1

MAT1120 Repetisjon Kap. 1 MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer

Detaljer

6.5 Minste kvadraters problemer

6.5 Minste kvadraters problemer 6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør

Detaljer

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 22. september, 2016 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 6/10-2016, kl. 14:30 i Devilry Obligatoriske oppgaver («obliger») er en sentral del av MAT-INF1100 og er utmerket trening i å

Detaljer

Basis, koordinatsystem og dimensjon

Basis, koordinatsystem og dimensjon Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis

Detaljer

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9

MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n 1 + + a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning

Detaljer

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente Oppvarming Her er et eksempel på et

Detaljer

STK1000 Obligatorisk oppgave 2 av 2

STK1000 Obligatorisk oppgave 2 av 2 STK1000 Obligatorisk oppgave 2 av 2 Innleveringsfrist Torsdag 16. november 2017, klokken 14:30 i Devilry (https://devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen for hånd og

Detaljer

MAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016

MAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016 MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker

Detaljer

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1

LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 LP. Leksjon 8: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.1 Vi fortsetter studiet av (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Har nå en algoritme for beregning av x for gitt spenntre T Skal forklare

Detaljer

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform

MAT 1110: Bruk av redusert trappeform Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,

Detaljer

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse

MAT3000/ Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse MAT3000/4000 - Våren 2013 Obligatorisk oppgavesett nr. 2 Løsningsskisse Oppgave 1 Din offentlig nøkkel er N = 377 og a = 269, mens lederen av klubben har valgt N = 1829 og a = 7. Passordet som du har mottatt

Detaljer

MAT1110. Obligatorisk oppgave 1 av 2

MAT1110. Obligatorisk oppgave 1 av 2 30. mai 2017 Innleveringsfrist MAT1110 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 23. FEBRUAR 2017, klokken 14:30 i obligkassen, som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. etasje i Niels Henrik Abels hus. Instruksjoner

Detaljer

12 Lineære transformasjoner

12 Lineære transformasjoner 2 Lineære transformasjoner 2 Funksjoner Definisjon 2 En funksjon ( a function) f : A B er en regel, som tilordner en entydig bestemt verdi f (a) B til ethvert element a A Mengden A kalles domenet til f

Detaljer

4 Matriser TMA4110 høsten 2018

4 Matriser TMA4110 høsten 2018 Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF-MAT 3370 Lineær optimering Eksamensdag: 1. juni 2010 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen

Detaljer

6.4 Gram-Schmidt prosessen

6.4 Gram-Schmidt prosessen 6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig

Detaljer

Løsningsforslag øving 6

Løsningsforslag øving 6 Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en

Detaljer

MEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).

MEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). 28. februar 2019 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2019 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 28. februar 2019, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF-MAT 3370 Lineær optimering Eksamensdag: 3. juni 2008 Tid for eksamen: 14.30 17.30 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

Bytte om to rader La Matlab generere en tilfeldig (4 4)-matrise med heltallige komponenter mellom 10 og 10 ved kommandoen Vi skal underske hva som skj

Bytte om to rader La Matlab generere en tilfeldig (4 4)-matrise med heltallige komponenter mellom 10 og 10 ved kommandoen Vi skal underske hva som skj velse 2: Egenskaper ved determinanter av Klara Hveberg I denne velsen skal vi bruke Matlab til a studere hva elementre radoperasjoner gjr med determinanten til en matrise. Deretter skal vi se pa determinanten

Detaljer

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.

3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. 3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:

Detaljer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer

LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer LP. Leksjon 7. Kapittel 13: Nettverk strøm problemer Skal studere matematiske modeller for strøm i nettverk. Dette har anvendelser av typen fysiske nettverk: internet, vei, jernbane, fly, telekommunikasjon,

Detaljer

LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former

LP. Leksjon 5. Kapittel 5: dualitetsteori. motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former LP. Leksjon 5 Kapittel 5: dualitetsteori motivasjon det duale problemet svak og sterk dualitet det duale til LP problemer på andre former 1 / 26 Motivasjon Til ethvert LP problem (P) er det knyttet et

Detaljer

5.8 Iterative estimater på egenverdier

5.8 Iterative estimater på egenverdier 5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til

Detaljer

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 2

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 2 6. mars, 13 MAT-INF 36: Obligatorisk oppgave Innleveringsfrist: 4/4-13, kl. 14:3 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. et. i Niels

Detaljer

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay

Repetisjon: om avsn og kap. 3 i Lay Repetisjon: om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p der b j -ene er i R n for hver j. Produktet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

MEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2.

MEK1100, vår Obligatorisk oppgave 1 av 2. 9. februar 2017 Innleveringsfrist MEK1100, vår 2017 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Torsdag 2. mars 2017, klokken 14:30 i obligkassen, som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. etasje i Niels Henrik Abels

Detaljer

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 2

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 2 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 2 Innleveringsfrist: torsdag 8. november 2018 kl. 14:30 Obligatoriske oppgaver («obliger») er en sentral del av MAT-INF1100 og er utmerket trening i å besvare en matematisk

Detaljer

Lineærtransformasjoner

Lineærtransformasjoner Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon

Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Kapittel Lineære ligningssystemer og gausseliminasjon Vi skal lære en metode for å finne og beskrive alle løsninger av systemer av m lineære ligninger med n ukjente. Oppvarming Her er et eksempel på et

Detaljer

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.

MAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7. MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom

Detaljer

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger

Notat2 - MAT Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Notat2 - MAT1120 - Om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger Dette notatet uftfyller bokas avsn 54 om matriserepresentasjoner av lineære avbildninger mellom endelig dimensjonale vektorrom En matriserepresentasjon

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 2. juni 2006 Tid for eksamen: 09.00 12.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: INF-MAT 3370/INF-MAT 4370 Lineær

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri

Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1201 Lineær algebra og geometri Faglig kontakt under eksamen: Steffen Oppermann Tlf: 9189 7712 Eksamensdato: 05.10.2016 Eksamenstid (fra til): 08:15 09:45

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon

Matriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper

Detaljer

Egenverdier for 2 2 matriser

Egenverdier for 2 2 matriser Egenverdier for matriser (Bearbeidet versjon av tidligere notat på nett-sidene til MA101 - Lineær algebra og geometri Versjon oppdatert med referanser til 10utg av læreboken) Egenvektorer og egenverdier

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

STK1000 Obligatorisk oppgave 1 av 2

STK1000 Obligatorisk oppgave 1 av 2 6. september 2017 STK1000 Obligatorisk oppgave 1 av 2 Innleveringsfrist Torsdag 21. september 2017, klokken 14:30 i Devilry (https://devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen

Detaljer

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 8. september, 2005 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 23/9-2005, kl. 14:30 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres på ekspedisjonskontoret i 7. etg. i Niels Henrik Abels

Detaljer

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former

Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Kap. 7 Symmetriske matriser og kvadratiske former Vi skal koble diagonalisering av matriser sammen med ortogonalitet. Skal bl.a. se på symmetriske matriser som har uvanlig pene egenskaper mht. diagonalisering.

Detaljer

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.

Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts. Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre

Detaljer

5.6 Diskrete dynamiske systemer

5.6 Diskrete dynamiske systemer 5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets

Detaljer

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3 8. april, 2013 MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 3 Innleveringsfrist: 2/5-2013, kl. 14:30 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7.

Detaljer

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018

6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 6 Determinanter TMA4110 høsten 2018 En matrise inneholder mange tall og dermed mye informasjon så mye at det kan være litt overveldende Vi kan kondensere ned all informasjonen i en kvadratisk matrise til

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1

MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 3. september, 2004 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 17/9-2004, kl. 14:30 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres på ekspedisjonskontoret i 7. etg. i Niels Henrik Abels

Detaljer

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:

A 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer: 5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.

Detaljer

LP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse

LP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse LP. Leksjon 6: Kap. 6: simpleksmetoden i matriseform, og Seksjon 7.1: følsomhetsanalyse matrisenotasjon simpleksalgoritmen i matrisenotasjon eksempel negativ transponert egenskap: bevis følsomhetsanalyse

Detaljer

6.6 Anvendelser på lineære modeller

6.6 Anvendelser på lineære modeller 6.6 Anvendelser på lineære modeller Skal først se på lineær regresjon for gitte punkter i planet: det kan formuleres og løses som et minste kvadraters problem! I mere generelle lineære modeller er man

Detaljer

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige

Detaljer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer

Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen

Detaljer

= 3 11 = = 6 4 = 1.

= 3 11 = = 6 4 = 1. MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom 4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,

Detaljer

LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2

LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2 LP. Leksjon 9: Kapittel 13: Nettverk strøm problemer, forts.2 Vi tar siste runde om (MKS): minimum kost nettverk strøm problemet. Skal oppsummere algoritmen. Se på noen detaljer. Noen kombinatorisk anvendelser

Detaljer

TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 2 - Parameterestimering

TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer. Datamaskinøving 2 - Parameterestimering Institutt for teknisk kybernetikk Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 27.10.98 EWR TTK4180 Stokastiske og adaptive systemer Datamaskinøving 2 - Parameterestimering Tid og sted: -Utdeling av

Detaljer

6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen

6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen 6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Lørdag 25. Mai 29. Tid for eksamen: :5 4:5. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:

Detaljer

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 2

MAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 2 6. mars, 13 MAT-INF 36: Obligatorisk oppgave Innleveringsfrist: 4/4-13, kl. 14:3 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. et. i Niels

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer.

I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. Kapittel 2 Matriser I dette kapittelet skal vi studerer noen matematiske objekter som kalles matriser. Disse kan blant annet brukes for å løse lineære likningssystemer. 2.1 Definisjoner og regneoperasjoner

Detaljer

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018

9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018 9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige

Detaljer

MA1201/MA6201 Høsten 2016

MA1201/MA6201 Høsten 2016 MA/MA6 Høsten 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematikk Med forebehold om feil Hvis du finner en, ta kontakt med Karin Kapittel 4 8 Vi benevner matrisen vi skal frem til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3

DAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3 Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

Oblig2 - obligatorisk oppgave nr. 2 (av 4) i INF1000

Oblig2 - obligatorisk oppgave nr. 2 (av 4) i INF1000 Oblig2 - obligatorisk oppgave nr 2 (av 4) i INF1000 Leveringsfrist Oppgaven må leveres senest fredag 29 september kl 1600 Viktig: les slutten av oppgaven for detaljerte leveringskrav Formål Formålet med

Detaljer

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type

GENERELLE VEKTORROM. Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type Emne 8 GENERELLE VEKTORROM Hittil har vi bare snakket om vektorrom av type og underrom av dette. Vi definerte en mengde V som et underrom av hvis det inneholdt og var lukket under addisjon og skalar multiplikasjon.

Detaljer

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet

7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet 7.1 forts. Schur triangularisering og spektralteoremet Vi skal vise to svært sentrale resultat i lineær algebra. Spektralteoremet (Teorem 3 i Lay): dette sier bl.a. at reelle symmetriske matriser er ortogonalt

Detaljer