8. Frattini undergruppen. Nilpotente grupper. Fitting undergruppen G version

Transkript

1 8. Frattini undergruppen. Nilpotente grupper. Fitting undergruppen G version Lad G være en gruppe. Undergruppen M G, M G, kaldesmaksimal i G, hvisderingen undergrupper K findes med M K G. Max(G) betegner mængden af maksimale undergrupper i G. Hvis G {1} er en endelig gruppe, så ermax(g), ogvisætter Φ(G) = M. M Max(G) Vi kalder Φ(G) forfrattini-(under)gruppen i G. Når M Max(G) ogα Aut(G), så erigenα(m) Max(G). Derfor er Φ(G) char G og specielt altså Φ(G) G. HvisG = {1} sættes Φ(G) ={1}. Det viser sig, at Φ(G) har forbindelse med ikke-frembringere forg: Når X G, såer X den af X frembragte undergruppe af G, dvs. den mindste undergruppe i G, som indeholder X. (Se kapitel 1.) Hvis X = G, kalder vi X en frembringermængde for G. Betragt elementer g G som opfylder: X G : X, g = G X = G. Sådanne elementer kaldes ikke-frembringere, fordide er overflødige i alle frembringermængder for G. Lad I(G) ={g G g er ikke frembringer}. (8A) Sætning: Lad G være en endelig gruppe. Da gælder Φ(G) =I(G). Bemærkning: Denne sætning gælder også når G er uendelig. Bevis: Lad g I(G), M Max(G). Antag, at g/ M. SåerM g, M, og da M er maksimal må g, M = G. Da g I(G) fås M = M = G, en modstrid. Der må altsågældeg M for enhver maximale undergruppe M. Vi har vist I(G) Φ(G). Lad nu g Φ(G). Antag at X G, ogat g, X = G. Vi skal vise X = G. Hvis X G, så findes M Max(G), med X M. Men 1

2 da g Φ(G) M, fås X, g M, en modstrid. Så X = G. Vi har vist Φ(G) I(G). (8B) Sætning: Lad G være en endelig gruppe. Lad P Syl p (Φ(G)). Såer P G. Bevis: Vi anvender Frattini argumentet (1E) på Φ(G) G og får Ved at bruge (8A) ser vi G =Φ(G) N G (P ). G = Φ(G),N G (P ) = I(G),N G (P ) = N G (P ) = N G (P ), altså P G. Bemærkning: Dette viser, at når G er endelig, så er alle Sylow grupper for gruppen Φ(G) normale i G og derfor også i Φ(G). Det betyder faktisk, at Φ(G) er et (indre) direkte produkt af sine Sylow grupper (dvs. en endelig nilpotent gruppe, se sætning (8J)). Vi giver i det følgende en beskrivelse af nilpotente grupper. Her er gruppen G ikke nødvendigvis endelig. Når H og K er delmængder af G, så betegner [H, K] = [h, k] h H, k K undergruppen af G frembragt af alle kommutatorer af elementer fra H og K. Vi minder om, at Z(G) betegner centret af gruppen G. Det er let at se, at HcharG, KcharG [H, K] char G fordi automorfierne af G blander frembringere for [H, K], jfr. kapitel 1. (8C) Lemma: Lad K G og K H G. Der gælder Bevis: Vi har [H, G] K H/K Z(G/K). [H, G] K h H g G :[h, g] K 2

3 h H/K, g G/K :[h, g] =1 H/K Z(G/K). (8D) Lemma: Lad ϕ : G H være en surjektiv homomorfi. Så gælder ϕ(z(g)) Z(H). Bevis: Lad a Z(G), h H. Viskalviseat[ϕ(a),h]=1. Daϕ er surjektiv findes et g G med ϕ(g) =h. Såer[a, g] =1,daa Z(G) ogdermed 1=ϕ([a, g]) = [ϕ(a),ϕ(g)] = [ϕ(a),h]. I forbindelse med definitionen af nilpotente grupper spiller centralrækker en vigtig rolle. Definition: Vi definerer to serier af undergrupper af en vilkårlig gruppe G: Den aftagende centralrække for G er fastlagt ved at G = L 1 (G) L 2 (G) L c (G) L 1 (G) =G, L i (G) =[L i 1 (G),G] for i 2. Den voksende centralrække for G er fastlagt ved {1} = Z 0 (G) Z 1 (G) Z c (G) Z 0 (G) ={1},Z i (G)/Z i 1 (G) =Z ( G/Z i 1 (G) ) for i 2. (Specielt er altså Z 1 (G) =Z(G).) (8E) Eksempler: (1) Lad G = S 4. Vi har Z(G) ={1}, ogderformå Z 0 (G) =Z 1 (G) =Z 2 (G) = = {1}. Der gælder, at G = A 4. Endvidere 3

4 er [G,G] = [A 4,S 4 ] = A 4, idet f.eks. [(1, 2, 3), (1, 3, 2, 4)] = (1, 2, 4) og [(1, 2, 3), (2, 3, 4)] = (1, 4)(2, 3) frembringer A 4.Derformå L 1 (G) =S 4,L 2 (G) =L 3 (G) = = A 4. (2) Lad G = D 8, en diedergruppe af orden 16. G = x, y x 8 = y 2 =1,y 1 xy = x 1. Her gælder, at Z(G) = x 4 og at G/Z(G) = D 4. Gruppen D 4 har også et centrum af orden 2, så vifår Z(G/ x 4 )= x 2 / x 4. Der gælder, at G/ x 2 er en firegruppe. Vi får Z 0 (G) ={1},Z 1 (G) = x 4,Z 2 (G) = x 2 Z i (G) =G for i 3. Endvidere er G = x 2 (som vi har set tidligere). Der gælder [G,G]= [x 2,y] = x 4 og [ x 4,G]=1,dax 4 Z(G). Vi får L 1 (G) =G, L 2 (G) = x 2,L 3 (G) = x 4 L i (G) ={1} for i 4. Det første eksempel viser, at den aftagende (hhv. voksende) centralrække ikke behøver at slutte i {1} (hhv. G). I det andet eksempel var Z 2 (G) =G og L 3 (G) ={1}. Sammenhængen forklares her: (8F) Sætning: For enhver gruppe G og ethvert m 0 gælder Endvidere gælder i dette tilfælde, at Z m (G) =G L m+1 (G) ={1}. ( ) L i+1 (G) Z m i (G) for alle i 4

5 Bevis: Lad os først antage at Z m (G) =G, også vise inklusionen ( ). Dette gøres ved induktion efter i 0. For i =0erL 1 (G) =Z m (G) =G, så( ) er opfyldt. Antag, at der for et i 0gælder L i+1 (G) Z m i (G). Såvises,atL i+2 (G) Z m i 1 :Førster L i+2 (G) =[L i+1 (G),G] [Z m i (G),G] ifølge definitionen og induktionsantagelsen. Men ifølge (8C) (med K = Z m i 1 (G) ogh = Z m i (G)) og definitionen på voksende centralrække, er [Z m i (G),G] Z m i 1 (G). Såinklusionen( ) holder også fori = m, dvs. L m+1 (G) Z 0 (G) ={1} altså L m+1 (G) ={1}. Omvendt, hvis L m+1 (G) ={1}, så vil vi vise, at ( ) L m+1 j (G) Z j (G) ved induktion efter j 0. (Bemærk, at dette i virkeligheden er det samme som ( ), fordi i begge inklusioner er summen af indices lig m +1!) For j =0 er L m+1 (G) =Z 0 (G) ={1}, så( ) eropfyldt. Antag,atforetj 0gælder L m+1 j (G) Z j (G). Såviservi,atL m j (G) Z j+1 (G): Afbildningen ψ : gl m+1 j (G) gz j (G) fra G/L m+1 j (G) G/Z j (G) er en surjektiv homomorfi, fordi vi har antaget, at L m+1 j (G) Z j (G). Men L m j (G)/L m+1 j (G) Z (G/L m+1 j (G)). Dette følger fra (8C) (med K = L m+1 j (G) ogh = L m j (G)) og definitionen af den aftagende centralrække. Ifølge (8D) afbilder ψ den centrale undergruppe L m j (G)/L m+1 j (G) ig/l m+1 j (G) ind i centret af G/Z j (G). Men Z(G/Z j (G)) = Z j+1 (G)/Z j (G) ifølge definitionen, så det følger, at L m j (G) Z j+1 (G). (Brug definitionen af ψ!) 5

6 Derfor gælder inklusionen ( ) også for j = m, dvs. G = L 1 (G) Z m (G), altså G = Z m (G). Definition: En gruppe G kaldes nilpotent hvis der findes et m 0så Z m (G) =G. Det mindste tal m med Z m (G) =G kaldes nilpotensklassen af G. Man siger så, at G er nilpotent af klasse m. Bemærkning: G = {1} er nilpotent af klasse 0. En gruppe G {1} er nilpotent af klasse 1, hvis og kun hvis den er abelsk. En ikke-abelsk gruppe G er nilpotent af klasse 2 hvis og kun hvis G Z(G). (Overvej dette!) (8F) Sætning: Antag at G er nilpotent. (1) Enhver undergruppe af G er nilpotent. (2) Hvis N G, erg/n nilpotent. Bevis: (1) Lad U G være undergruppe. Fra definitionen fås umiddelbart at L i (U) L i (G) for alle i 1 (induktion efter i). Da G er nilpotent, så må L m (G) =1foretm 1. Og så er også L m (U) ={1}. (2) Det er let at se fra definitionen, at L i (G/N) =L i (G)N/N for alle i 1. SåhvisL m (G) =1, må også L m (G/N) = 1, og dermed er G/N nilpotent. (8G) Bemærkning: Hvis G = S 3, N = A 3, såerbåde G/N og N abelske (og altså nilpotente), men G er ikke nilpotent. (L n (G) =A 3 for n 2.) Så gruppen S 3 er opløselig, men ikke nilpotent. (8H) Sætning: Antag at G er nilpotent, og at H G er en undergruppe G. SåerH N G (H). Bevis: Antag at L m (G) ={1}. DaL 1 (G) =G og H G, eksisterer der et i, 1 i m 1således at L i+1 (G) H, menl i (G) H. Såer [L i (G),H] [L i (G),G]=L i+1 (G) H. 6

7 Men inklusionen [L i (G),H] H betyder netop, at L i (G) N G (H). (Overvej dette!) Da L i (G) H, fås N G (H) H. (8I) Sætning: Hvis G og H er nilpotente, så erg H igen nilpotent. Bevis: Det er let at se ved induktion efter i, at L i (G H) L i (G) L i (H) for i 1. Heraf fås resultatet. Bemærkning: En endelig p-gruppe er nilpotent. Dette følger fra den kendsgerning, at enhver endelig p-gruppe {1} har et centrum {1}. (Sesætning (9D) i disse noter). (8J) Sætning: For en endelig gruppe G er følgende betingelser ækvivalente: (1) G er nilpotent. (2) For enhver undergruppe H G er N G (H) H. (3) For alle primtal p har G en normal p-sylow gruppe. (4) G er et direkte produkt af sine Sylow grupper. Bevis:(1) (2). Brug (8H). (2) (3). Lad P Syl p (G). Sæt H = N G (P ). Ifølge (1F) er H = N G (H), så fra antagelsen (2) følger, at H = G, altså P G. (3) (4). Hvis p q er primtal og P Syl p (G), Q Syl q (G), så er [P, Q] P Q = {1}, dap G, Q G. Dermed er elementerne i P og Q ombyttelige. Da ethvert element på entydig måde kan skrives som et produkt af ombyttelige elementer af primtalspotensorden (se bemærkning nedenfor), fås (4). (4) (1) følger fra bemærkningen ovenfor og (8I). Bemærkning: Antag at g G, g = mn hvor (m, n) =1. Skriv1=km + ln, hvork, l Z. Såerg = g km g ln,hvorg km har orden n og g ln har orden m. Hvis g = xy, x = n, y = m og xy = yx, såerg km = x km y km = x km, da y km =(y m ) k =1. Dermederg km x 1 = x km 1 = x ln =(x n ) l =1,da x n =1. Altsåfås g km x 1 = 1 eller x = g km. Analogt ses, at y = g ln. 7

8 I starten af dette kapitel omtaltes Frattini gruppen Φ(G) af en gruppe. Fra(8B)og(8J)fås (8K) Sætning: Lad G være endelig. Så erφ(g) en nilpotent og karakteristisk undergruppe af G. Til sidst betragter vi Fitting undergruppen af en endelig gruppe G. I resten af kapitlet betragtes altså kunendelige grupper. (8L) Lemma: Antag, at H og K er normale nilpotente undergrupper af gruppen G. Såerogså HK en normal nilpotent undergruppe af G. Bevis: Deterklart,atHK G. Lad p være et primtal, P 1 Syl p (H), P 2 Syl p (K). Ifølge (8J) er P 1 H, så ifølge en af bemærkningerne i (1C), er P 1 charh. Vifår P 1 charh HK,så P 1 HK. Analogt er P 2 HK,så P 1 P 2 HK. Men det ses let, at P 1 P 2 Syl p (HK). Dermed har HK alle Sylowgrupper normale, så HK er nilpotent ifølge (8J). (8M) Sætning: Lad F (G) = H H G, H nilpotent. SåerF (G) en karakteristisk nilpotent undergruppe af G, som indeholder alle nilpotente normale undergrupper af G. F (G) kaldes Fitting gruppen for G. Bevis: Hvis H G er nilpotent og α Aut(G), så erα(h) G og α(h) H nilpotent. Dermed er F (G)charG, ifølge (1C). At F (G) ernilpotentfås let fra (8L). Den næste sætning kan synes at være meget teknisk, men den er nyttig i forskellige sammenhænge: (8N) Sætning: Lad M Max(G). SætL = x G xmx 1, således at L er den største normale undergruppe af G indeholdt i M. SætG = G/L, oglad F = F (G). Hvis F 1, så gælder følgende: (1) F er en minimal normal undergruppe i G. (2) F er en elementær abelsk p-gruppe. (3) C G (F )=F. (4) F M =1(hvor M = M/L). 8

9 (5) G : M = p n for et passende n. Bevis: Vi antager, at F 1, således at F er en normal nilpotent undergruppe 1iG. Derforerogså Z(F ) {1}. Ladp Z(F ) og sæt P = {x Z(F ) x p = 1}. Vi har P char Z(F ), da elementerne i P permuteres ved automorfier af Z(F ). P er abelsk da P Z(F ), og er derfor en elementærabelsk p-gruppe. Vi får {1} P char Z(F ) char F = F (G) char G. Da P G, erp M en undergruppe af G som indeholder M Max(G). Men P M: Hvis nemlig P M, såerp s urbillede i G (kaldet P )ennormal undergruppe i G, som er indeholdt i M. Da L er den største normale undergruppe i G indeholdt i M fås P L, ogdermedp = P/L = {1}, en modstrid. Da P M og M er maksimal i G, fås G = P M. Heraf fås (5) ved hjælp af (2A). Sæt C := C G (P ). Da P Z(F )fås F C. Da P G, erc G så C M M. Da P centraliserer C, og dermed også C M, erp N G (C M). Vi får C M G, dag = P M. Urbilledet af C M i G er en normal undergruppe af G, indeholdt i M. Som før fås C M = {1}. Men P F C, ogdapm = G, fås P M = F M = C M = G. Da P M F M C M = {1} fås fra (2A), at P = F = C = G : M!AltsåP = F = C. DaP er elementær abelsk og F = C fås (1) og (2). Da C = F fås (3) og (4). (8O) Korollar: Hvis G er en opløselig gruppe og M Max(P ), såer G : M en primtalspotens. Bevis: Lad L = x G xmx 1 være som i (8N). Da G er opløselig, er G = G/L opløselig. Dermed er F (G) {1}, idet f.eks. en minimal normal undergruppe i G jo er abelsk, og dermed nilpotent (jfr. (1D)). Derfor gælder (1) (5) i (8N) i denne situation. Ifølge (5) er G : M en primtalspotens. Den tekniske sætning (8N) spiller også en rolle i det følgende interessante resultat, som beskriver sammenhænge mellem Frattini-gruppen og Fittinggruppen i en endelig gruppe: (8P) Sætning: Lad G være endelig. Sæt Φ=Φ(G), F = F (G). Der gælder (1) [F, F] Φ F. (2) F/Φ=F (G/Φ). 9

10 Bevis: Da Φ G og Φ er nilpotent ((8K)) fås, at Φ F. For at vise at [F, F] ΦvælgesM Max(G), og vi sætter L = x G xmx 1 som i(8n).daxmx 1 Max(G) for alle x G, måvihaveφ L ifølge definitionen af Φ. Sæt G = G/L og F (G) = K/L, hvorså K G er urbilledet af F (G) ig. Vi har F K: Ifølge en isomorfisætning er F/F L = FL/L. DerforerFL/L en normal nilpotent undergruppe i G, daf/f L er nilpotent ifølge (8F) (2). Vi får at FL/L K/L, altså F K. Ifølge (8N) er K/L abelsk (også hvisf (G) = 1, dvs. K = L!) Da FL/L K/L er FL/L abelsk; altså er[f, F] [FL,FL] L, (se (6A)). Dette gælder for alle gennemsnit L af konjugerede maksimale undergrupper: Lad M 1,M 2,,M t være et repræsentantsystem for G-konjugationsklasserne af maksimale undergrupper. Sæt L i = xm i x 1.SåerΦ=L 1 L 2 L t. x G Ifølge det ovenstående er [F, F] L i for alle i. Vi får [F, F] Φ. Hermed er (1) bevist. Sæt nu G = G/Φ ogf ( G) =H/Φ, hvor H er urbilledet af F ( G) ig. SåerF H fordi F/Φ (ifølge (8F)(2)) er en nilpotent normal undergruppe i G/Φ = G, altså F/Φ H/Φ. ForatviseinklusionenH F bevises at H er nilpotent. Lad P Syl p (H). Så erp Φ/Φ Syl p ( G), og derfor er P Φ/Φ G/Φ ifølge (8J), altså P Φ G. Da Φ H og P Syl p (H), fås P Syl p (P Φ). Ifølge Frattini argumentet (1E), er G = P ΦN G (P )= ΦPN G (P )=ΦN G (P )=N G (P ), da Φ består af ikke-frembringere, (8A). Altså erp G, og specielt P H. Vifår at H er nilpotent ifølge (8F), som ønsket. Vores sidste resultat i dette kapitel handler om opløselige grupper: (8Q) Sætning: Lad G være endelig og opløselig. Der gælder C G (F (G)) F (G). Bevis: Sæt F := F (G), C := C G (F ). Antag, at C F. Vi søger en modstrid. Vi har at Z(F )=C F C. Vælg en normalrække for G, som går gennem grupperne C og C F med (elementær-)abelske faktorer (jfr. (1D)), {1} = G t G t 1 G s+1 = C F G r = C G 1 = G. Da F 1 er nilpotent, er G s+1 = C F = Z(F ) {1}. DerforerG s G s+1. (Bemærk at s +1 > 1daellersG s+1 = G, en modstrid). Da G s /G s+1 er 10

11 abelsk, er [G s,g s ] G s+1 = Z(F ). Da yderligere G s G r = C = C G (F ) fås [[G s,g s ],G s ] [Z(F ),C G (F )] = {1}. Dermed er G s nilpotent, altså G s F = F (G). Vi får G s C F (da G s G r = C), hvilket er en modstrid. 11

12 9. Endelige p grupper G version I dette kapitel betragtes kun endelige grupper af p-potens orden (såkaldte p-grupper.) (9A) Sætning: Lad P være en p-gruppe, {1} N P.SåerN Z(P) {1}. Specielt er Z(P ) {1}. Bevis: Da N P, må N være en foreningsmængde af konjugationsklasser i P. Sålad{1} = K 1,K 2,,K r være de P konjugationsklasser, der er indeholdt i N. Hvisx i K i, sågælder K i = P : C P (x i ). Vivedat ( ) N = K 1 + K K r =1+ K K r. Hvis der for alle 2 i r gælder C P (x i ) P,såfås at p K i = P : C P (x i ) for alle i, 2 i r. Detbetyderifølge( ), at p N 1. Da p N, fordi N 1, er dette en modstrid. Der findes altså eti 1,så C P (x i )=P.Såer x i N Z(P )ogx i 1. (9B) Korollar: Hvis N P og N = p, såern Z(P ). (9C) Korollar: (1) Hvis P = p 2,såerP abelsk. (2) Hvis P er ikke abelsk, så gælderp 2 P : Z(P ). Bevis: (1)Ifølge(9A)erZ(P) 1,således at P/Z(P ) p. Dermed er P/Z(P ) cyklisk, så P = Z(P ) ifølge (6S). (2) følger også fra (6S). Vi har at P : Z(P ) 1,oghvis P : Z(P ) = p er P/Z(P ) cyklisk, en modstrid. (9D) Sætning: En p-gruppe er nilpotent. Bevis: Lad P 1væreenp-gruppe. Ifølge (9A) er Z 1 (P )=Z(P ) {1}. Hvis Z 1 (P ) P,erP/Z 1 (P ) {1} en p-gruppe. Ifølge (9A) er Z(P/Z 1 (P )) = Z 2 (P )/Z 1 (P ) 1, så Z 2 (P ) > Z 1 (P ). Hvis Z 2 (P ) = P, så er P nilpotent. Ellers fås Z 3 (P ) > Z 2 (P ), osv. Til sidst fås Z m (P )=P for et passende m 1. (9E) Korollar: Lad U P være en undergruppe i p-gruppen P. Der gælder U N P (U). 12

13 Bevis: Følgerfra(9D)og(8H). (9F) Sætning: Lad U = p a, U P. (1) Der eksisterer en undergruppe V i P som opfylder U V, V = p a+1. (2) Hvis U P, såkanogså V vælges som normal i P. Bevis: Lad Q = N P (U), således at U Q, U Q (ifølge (9E)). Vælg et element x af orden p i Z(Q/U). (x eksisterer ifølge (9A), da Q/U {1}). Urbilledet V af x i Q har egenskaberne U V, V : U = x = x = p, ogv Q da x Q = Q/U. Vi har altså V = V : U U = p U = p a+1 og U V,daV N P (U) = Q. Dette viser (1). Da vi endvidere har V Q, ses, at hvis U P, såmå Q = P og dermed V P, hvilket viser (2). (9G) Korollar: Hvis P = p n indeholder P en (normal) undergruppe N med N = p a for 1 a n. (9H) Korollar: Lad M P, P = p n. Der gælder M maksimal undergruppe i P M = p n 1. Hvis M er maksimal i P,såerM P. Bevis: er triviel. følger umiddelbart af (9F) (1). Det sidste udsagn følger fra det første og (9E). Lad os nu betragte Frattini gruppen Φ(P )afg (jfr. Kap. 8). Max(P ) betegner igen mængden af maksimale undergrupper i P. (9I) Sætning: Faktorgruppen P/Φ(P ) er en elementær abelsk p gruppe. Bevis: Hvis M Max(P ), så erp/m = Z p ifølge (9H). Derfor gælder det specielt, at og (i) P M 13

14 (ii) For alle x P er x p M (idet x = xm har orden 1 eller p i G/M). Da (i) og (ii) gælder for alle M Max(P )fås fra definitionen af Φ(P )= M, at M Max(P ) (iii) P Φ(P ) (iv) For alle x P er x p Φ(P ). Så viser (iii), at P/Φ(P ) er abelsk (jfr. (6A)), og (iv) viser, at der for alle x P/Φ(P )gælderx p =1. HermederP/Φ(P )elementærabelsk. (9J) Sætning: Lad x 1,,x k P. Med den ovenstående notation gælder x 1,,x k = P x 1,, x k = P, hvor x i er billedet af x i i Frattini faktorgruppen P = P/Φ(P ). Bevis: er trivielt opfyldt. : Antag x 1,, x k = P.Sæt U := x 1,,x k, Φ(P ) P. Vi påstår, at U = P.Hvisx P, så kan vi ifølge antagelsen og (9I) skrive dvs. x = x 1 a1 x k a k hvor 0 a i p 1, x = x 1 a 1 xk a k eller, at u := x(x 1 a1 x k a k ) 1 Φ(P ). Men så er x = x 1 a1 x k a k u x 1,,x k, Φ(P ) = U. Vi har vist P = x 1,,x k, Φ(P ). Fra (8A) fås så P = x 1,,x k,som ønsket. (9K) Sætning: (Burnside) Antag, at P :Φ(P ) = p r. (i) Ethvert frembringersæt for P indeholder mindst r elementer. 14

15 (ii) Et frembringersæt for P med s elementer kan udtyndes til et frembringersæt for P med r elementer (ved at udelade nogle af de s elementer). (iii) Specielt har P altså et (minimalt) frembringersæt med r elementer. Bevis: Vi har brug for (9J) og lidt lineær algebra! P/Φ(P )erenelementær abelsk gruppe af orden p r, og kan altså betragtes som et vektorrum af dimension r over legemet Z p med p elementer. (Jfr (6P)). Hvis x 1,,x s = P, såer x 1,, x s = P,ogdermed{x 1,, x s } en frembringermængde for vektorrummet P. Derfor indeholder den mindst r = dimp elementer. Dette viser (i). (ii) følger fra udtyndingssætningen for vektorrum og (9J), og så er (iii) triviel. 15