Semantikk Egenskaper ved predikatlogikk Naturlig deduksjon INF3170 / INF4171. Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon.

Transkript

1 INF3170 / INF4171 Predikatlogikk: Semantikk og naturlig deduksjon Andreas Nakkerud 3. september 2015

2 Eksempel Gitt en similaritetstype 0, 2; 1; 2 bygger vi en struktur (modell) hvor A = {c 1, c 2, a, b}, R 1, R 2, F 1, {c 1, c 2 }, R 1 = { } R 2 = { c 1, a, c 1, b } F 1 = { c 1, a, c 2, c 1, a, b, b, a } Siden R 1 er 0-ær er den en av de to relasjonene på, nemlig eller { }. Det er vanlig å la { } være den sanne 0-ære relasjonen og den usanne.

3 Eksempel Vi har P 1 (( x 1 )(( x 2 )P 2 (x 1, x 2 )))) [[P 1 ]] A = 1 [[(( x 1 )(( x 2 )P 2 (x 1, x 2 ))))]] A = 0. Det siste fordi a, d P2 A = R 2 uansett hva d er. Siden [[P 1 ]] A > [[(( x 1 )(( x 2 )P 2 (x 1, x 2 ))))]] A har vi at hele formelen er usann i A.

4 Eksempel (( x 1 )P 2 (x 1, f 1 (x 1 ))) Siden [[f 1 (c 1 )]] A = a har vi at [[P 2 (x 1, f 1 (x 1 ))[c 1 /x 1 ]]] A = 1, og dermed er formelen sann i A, fordi c 1, a R 2

5 Likhet, = Vi tar likhet som et eksempel, selvom vi ikke skal gå nærmere inn på likhet videre. La t 1 og t 2 være termer. Vi sier at A = t 1 =t 2 hviss [[t 1 ]] A = [[t 2 ]] A. (( x 1 )(( x 2 )x 1 =f 1 (x 2 ))) Formelen er usann i A, fordi det ikke finnes noen d slik at F (d) = c 2. Med andre ord er følgende formel sann: (( x 1 ) (f 1 (x 1 ) =c 2 ))

6 Aksiomer Vi ser igjen på (( x 1 )(( x 2 )x 1 =f 1 (x 2 ))). Kan vi lage en struktur hvor denne er sann? Hvis dette er den eneste formelen har vi similaritetstype ; 1; 0. Vi lager strukturen B = {a, b, c}, F, {}, hvor F = { a, b, b, c, c, a }. Her er det slik at B = (( x 1 )(( x 2 )x 1 =f 1 (x 2 ))).

7 Eksempler R 1 er en transitiv relasjon: x 1 x 2 x 3 (P 1 (x 1, x 2 ) P 1 (x 2, x 3 ) P 1 (x 1, x 3 )). F 1 er en surjektiv funksjon: x 1 x 2 (x 1 =f 1 (x 2 )). (symbol ) er en antisymmetrisk relasjon: x 1 x 2 ((x 1 x 2 ) (x 2 x 1 ) (x 1 =x 2 )). + (symbol +) er en kommutativ, binær operator: x 1 x 2 ((x 1 +x 2 ) =(x 2 +x 1 )).

8 Notasjon Symbolspråk: Predikatsymboler P i, funksjonssymboler f i, variabler x i og konstanter a i, c i. Meta- (struktur-)språk: Relasjoner R i, funksjoner F i, konstanter (elementer) a i, c i.

9 Semantisk konsekvens-lemma Lemma Dersom vi begrenser oss til setninger har vi at (i) A = φ 1 φ 2 A = φ 1 og A = φ 2, (ii) A = φ 1 φ 2 A = φ 1 eller A = φ 2, (iii) A = φ 1 A = φ 1, (iv) A = φ 1 φ 2 (A = φ 1 A = φ 2 ), (v) A = φ 1 φ 2 (A = φ 1 A = φ 2 ), (vi) A = xφ 1 A = φ 1 [a/x] for alle a A, (vii) A = xφ 1 A = φ 1 [a/x] for minst én a A.

10 De Morgans lover Theorem (i) = xφ x φ, (ii) = xφ x φ, (iii) = xφ x φ, (iv) = xφ x φ. Bevis for (i): Vi skal vise at A = xφ(x, a) x φ(x, a), hvor a = a 1,..., a k, for et vilkårlig utvalg a 1,..., a k A. Vi vet at A = xφ(x, a) A = xφ(x, a). Dette er ekvivalent med at det ikke for alle b A er slik at A = φ(b, a), som er ekvivalent med at det finnes en b A slik at A = φ(b, a), som er ekvivalent med A = x φ(x, a).

11 Kvantorrekkefølge Theorem (i) = x yφ y xφ, (ii) = x yφ y xφ, (iii) = xφ φ hvis x FV (φ), (iv) = xφ φ hvis x FV (φ). Bevis for (i): Vi må vise at = x yφ = y xφ. Alta = x yφ, da er det for alle A slik at for alle a A : A = xφ[a/y]. Fra definisjonen av substitusjon følger det at A = ( xφ)[a/y], og dermed at A = y xφ. Siden A var vilkårlig valgt følger det at = y xφ.

12 Distribusjonslover Theorem (i) = x(φ 1 φ 2 ) xφ 1 xφ 2, (ii) = x(φ 1 φ 2 ) xφ 1 xφ 2, (iii) = x(φ 1 (x) φ 2 ) xφ 1 (x) φ 2 hvis x FV (φ 2 ), (iv) = x(φ 1 (x) φ 2 ) xφ 1 (x) φ 2 hvis x FV (φ 2 ). Merk at ikke distribuerer over og at ikke distribuerer over. Gitt en struktur P, la K(x) stå for at x er en kvinne, og M(x) stå for at x er en mann, da er det slik at P = x(k(x) M(x)), men det er kommer an på domenet hva P sier om xk(x) xm(x)

13 Navnebytte for bundene variabler Theorem Hvis x, y er frie for z i φ og x, y FV (φ), da er det slik at = xφ[x/z] yφ[y/z], = xφ[x/z] yφ[y/z] Beviset benytter at dersom z FV (φ), og z er fri for x i φ, så er (φ[z/x])[a/z] = φ[a/x], som betyr at A = xφ[x/z] A = φ[a/z] for en a A A = yφ[y/z]. Corollary Vi kan fritt bytte navn på bundene variable.

14 Prenex normalform Definisjon En formlen φ er på prenex normalform dersom er bygget opp av en rekke (0 eller flere) kvantorer etterfulgt av en åpen formel. Eksempel: x y(p(x) R(y). Kan også skrives xp(x) yr(y), men det er ikke prenex normalform. Theorem Alle formler er ekvivalente med en formel på prenex normalform.

15 Naturlig deduksjon: -regler φ(x) xφ(x) I xφ(x) φ(t) E I I krever vi at x ikke forekommer fri i en åpen antakelse i utledningen av φ(x). I E lrever vi at t er fri for x i φ.

16 Eksempel [P(x)] 1 I xp(x) I 1 P(x) xp(x) I x(p(x) xp(x)) E P(a) xp(x) Den øverste anvendelsen av I bryter betingelsen. På den måten kan vi konkludere noe som ikke er sant. For å se at formelen ikke er sann kan vi igjen bruke eksemplet med kvinner og menn, og sørge for at domenet innholder både kvinner og menn. Det at et bestemt individ har egenskapen P betyr ikke nødvendigvis at alle har den.

17 Eksempel [ x y(p(x) P(y))] 1 E y(p(y) P(y)) x y(p(x) P(y)) y(p(y) P(y)) I 1 Anvendelsen av E bryter betingelsen. y(p(y) P(y)) er en kontradiksjon, men det er ikke x y(p(x) P(y)), så vi har bevist en setning som er falsifiserbar.

18 -relasjonen Vi kan også utvide naturlig deduksjon gjennom -relasjonen: (i) Γ φ(x) Γ xφx hvis x FV (ψ) for alle ψ Γ, (ii) Γ xφ(x) Γ φ(t) hvis t er fri for x i φ.

19 Utvidelse av = Definisjon La Γ {σ} FORM og la {x i1, x i2,...} være mengden av frie variabler i formlene i Γ {σ}. Dersom a er en sekvens med elementer a 1, a 2,... (muligens med gjentakelser) fra A, da er Γ( a) mengden vi får ved å samtidig erstatte alle x ij i formlene i Γ med a j. (For Γ = {φ} skriver vi φ( a).) Vi definerer (i) A = Γ( a) hvis A = φ for alle φ Γ( a), (ii) Γ = σ hvis (A = Γ( a) A = σ( a)) for alle A og a.

20 Sunnhet Lemma Γ σ Γ = σ (Sunnhet) Vi må vise at I og E ikke lar oss bevise noe som ikke er sant. Vi har dekket de andre konnektivene tidligere.

21 Sunnhet: I D φ(x) xφ(x) Induksjonshypotese: Γ = φ(x), og x FV (Γ). Det vil si at A = Γ(a) A = φ(x)(a) for alle A og a, hvor a A p. Vi lister x som den første frie variablen i φ, og lar a = a 1, a for en vilkårlig a 1 A. Siden x FV (Γ) har vi at A = Γ(a ) A = (φ(a 1 ))(a ). (Vi erstatter variabler med konstanter, så rekkefølgen betyr ingenting.) Siden a 1 var vilkårlig, har vi at A = Γ(a ) A = ( xφ(x))(a ), så Γ = xφ(x).

22 Før neste del av bevist, merk at dersom s og t er frie for x og y i φ, og x FV (s), så (φ[t/x])[s/y] = (φ[s/y])[t[s/y]/x] Altså, ved først å sette inn t for x, og så s for y, får vi samme resultat som dersom vi gjør substitusjonen i motsatt rekkefølge, så lenge vi setter inn s for y i t, dersom y forekommer i t. Bevis ved induksjon over φ.

23 Sunnhet: E D xφ(x) φ(t) Induksjonshypotese: Γ = xφ(x). Det vil si at A = Γ(a) A = xφ(x)(a) for alle A og a. Anta at A = xφ(x). Det følger at A = φ(b)(a) for alle b A. Vi kan for eksmpel la b være t[a/z], slik at A = (φ(x)[a/z])[t[a/z]/x]. Det følger at A = (φ(t))(a). Vi kan konkludere med at Γ = φ(t).

24 Eksistenskvantoren Lemma Vi lar xφ(x) være en forkortelse for x φ(x). Da er det slik at (i) φ(t) xφ(x) hvis t er fri for x i φ, (ii) Γ, φ(x) ψ Γ, xφ(x) ψ hvis x FV (Γ {ψ}).