Oppsummering MAT111 H17

Transkript

1 Oppsummering MAT111 H17 Andreas Leopold Knutsen, 22-23/11/ november 2017

2 Hensikt Hensikten med denne oppsummeringen er både å gi en oversikt over og trekke linjer mellom ulike deler av pensum og å hjelpe dere i eksamensforberedelsene. Viktig: Å forberede seg til eksamen=å lære seg og forstå (mest mulig av) pensum i kurset, og bruke oppgaver dere har fått i løpet av semesteret som støtte i dette Bruk spesielt oppgavene gitt på settene hver uke utenfor boken (merket G. og S.) og de fire obligatoriske innleveringene. Notasjon i teksten: OII:3c refererer til Oppgave 3c i Oblig. innl. II. 36:S.1b refererer til Oppgave S.1b i Oppgavesett uke :G.2a refererer til Oppgave G.2a i Oppgavesett uke 38. * bak en oppgave betyr at oppgaven står under Mer dybde

3 Matematisk induksjon Marg i 2.3, se også folk.uib.no/st00895/mat111-h17/induksjon-2017.pdf Brukes til å bevise påstander som involverer heltall (ikke annet!) OI:2b; 34:S.3,G.2,G.10 Eks. summeformler ( 5.1) OI:2a; 34:G.1, G.6 n-te deriverte av funksjoner (spesielt viktig for å finne nte ordens Taylorpolynomer). Viktig å kunne håndtere n!. 39:G.2; ,16,18 i lærebok I MAT111-pensum dukker induksjon opp i utledningen av derivasjonsregel for sum av funksjoner (etter T. 2 i 2.3) og i beviset for Taylors teorem (T. 12 i 4.10). Vær obs på føring: la det være klart hvor induksjonshypotesen brukes. Man antar påstanden for n 1 og bruker antagelsen for å vise påstanden for n.

4 Komplekse tall C (App. I) Definisjon z = x + iy, regneregler, enkle ligninger, avmerking i det komplekse plan (OBS: fortegnene på x og y bestemmer kvadranten) OI:1acf; 34:S.1a,S.2a,G.3a,G.4ac,G.5,G.7-9 Polarform z = r(cos θ + i sin θ) = re iθ og multiplikasjon z 1 z 2 = [r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] [r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )). Gjør det lett å regne ut potenser: z n = r n (cos(nθ 1 ) + i sin(nθ 1 )) OI:1ab; 34:S.1b,G.4b

5 Komplekse tall C (forts.) Finne n-te røtter av et tall c C, dvs. løse z n = c (ved å bruke polarform), se også folk.uib.no/st00895/mat111-h17/komplekserotter.pdf OI:1d; 34:S.1c,G.3b,G.4c Ikke bland inn komplekse tall med mindre det står eksplisitt oppgitt i oppgaven eller dere faktoriserer polynomer. (Resten av kurset omhandler reelle funksjoner av én reell variabel.)

6 Faktorisering av polynomer og polynomdivisjon ( P.6) Faktorteoremet (T.1 i P.6) både over R og over C: r rot i polynomet P (x r) faktor i P. OI:1e ++ P Betyr at x r = Q = nytt polynom. Vi kan bestemme Q ved polynomdivisjon. OI:1e ++ Fundamentalteoremet i algebra (T.2 i App.II): Over C kan et polynom P(x) faktoriseres i lineære faktorer: P(x) = K(x r 1 ) (x r n ), der r 1,..., r n C er (de komplekse) røttene til P og K C er en konstant. OI:1e; P i lærebok Over R kan P faktoriseres i lineære og kvadratiske faktorer (tekst etter T.1 i P.6). OI:1e, 34:G.7 Konsekvens brukt ofte i kalkulus: et (reellt) polynom av grad n har høyst n (reelle) nullpunkter OI:5b

7 Faktorisering av polynomer og polynomdivisjon (forts.) er rasjonal funksjon, dvs. P, Q er polynomer, av grad q og p hhv., og q p, kan vi ved polynomdivisjon finne: Hvis Q(x) P(x) Q(x) P(x) = T (x) + Q 1(x) P(x), der T =polynom av grad q p, og Q 1 =polynom av grad< p. Dette er nyttig f.eks.: ved funksjonsdrøfting: siden Q 1(x) limx ± = 0, vil Q(x) P(x) P(x) T (x) når x ±. (Vi sier at T (x) er en asymptotefunksjon til Q(x) P(x) ) ( 4.6) i lærebok fordi Q(x) P(x) dx = T (x) dx + Q 1(x) P(x) dx, hvor T (x) dx er lett. For å finne Q 1(x) P(x) dx faktoriserer vi P i lineære og kvadratiske faktorer og bruker delbrøksoppspalting ( 6.2). 46:G.1(a1); 47:G.4a

8 Faktorisering av polynomer og polynomdivisjon-annen bruk ɛ δ-oppgaver lim x a f (x) = L med f polynom eller rasjonal funksjon: faktoriserer ut x a fra f (x) L. OI:4; 35:G.1 Grenser av kvotienter f (x) g(x) der vi faktoriserer ut samme faktor i f (x) og g(x) og forkorter. OI:3a; 36:G.2a; 41:G.1a,G.2a

9 ɛ δ definisjon av grenser, 1.5 Def. lim x a f (x) = L betyr at det til enhver ɛ > 0 finnes en δ > 0 (som kan avhenge av ɛ) slik at ( ) f (x) L < ɛ når 0 < x a < δ. Bruk av definisjon på enkle funksjoner. (Som oftest: faktorisér ut x a fra f (x) L ) Fokusér på typen lim x a f (x) = L. O.I:4, 35:G.1-3, 41:G.7d, 47:G.7b Vær obs på føring! Gitt ɛ > 0, så skal man finne δ > 0 slik at ( ) er oppfylt. Dette skal gjøres for de oppgitte f,a,l

10 ɛ δ definisjon av grenser, 1.5 (forts.) Bruk av definisjon til å vise teoretiske resultater (som grensesetningene T.2 i 1.2, skviseteorem T.4 i ), gjerne i kombinasjon med definisjon av kontinuitet (T.7 i 1.4) OI:7; 39:G.6c ; 44:G i lærebok Bruk av definisjon til å vise at en grense ikke eksisterer: lim x 0 sin ( ) 1 x eller limx sin x (litt for vanskelig for eksamen, hvor en intuitiv forklaring vil holde) OII:1b; 37:G.1a Bruk av definisjon til å avgjøre grenser og kontinuitet av mer kompliserte funksjoner (for vanskelig for eksamen) 36:G.7,G.9.

11 Grenseverdier: teknikker Grensesetningene (T. 2 i 1.2), også for x ± og ensidige grenser. Husk muligheten å forkorte felles faktorer i teller og nevner. OI:3a; 36:G.2a; 41:G.1a,G.2a Skviseteoremet (T. 4 i 1.2), også for x ± og ensidige grenser. Brukes typisk når en faktor svinger men er begrenset, som x sin ( ) ( ) 1 x når x 0 (eller (x 1) sin 1 x 1 når x 1) og sin x x når x. OI:3e; OIII:2c; 36:G.8 ; 37:G.1abc,G.2(i)(ii); 41:G.7c lim f (x) = L lim f (x) = lim f (x) = L (T. 1 i 1.2) x a x a x a + 36:G.2b,G.3a, 37:G.4 x ± : isolér { høyeste potens av x. NB: Husk fortegn: x 2 x, x = x =. OI:3cd; 36:S.1 x, x f (x) ± når teller en konstant 0 og nevner 0 med konstant fortegn OI:3b; OIII:2c; ,21-22 i lærebok

12 Grenseverdier: teknikker (forts.) l Hôpitals regler (både når x a og x ±, og for ensidige grenser). 4.3 (husk betingelsene og at man noen ganger må man bruke reglene flere ganger på samme grense) OIII:2ab; OIV:1bc; 41:S.1-2,G.1bc,G.2b,G.4c,G.7a,G.8-10 ; 43:S.1,G.3,G.6a ; 46:G.3a Kjente grenser (T. 5 i. 3.4): Hvem vinner av e x, x a, ln x? lim x x a ln x = 0, lim = 0, lim ex x x a x x a e x = 0, OII:4b; ,5, ,40 i lærebok sin x Kjent grense (T. 8 i 2.5): lim = 1 x 0 x (Alle disse kan også løses ved l Hôpitals regler) lim x a ln x = 0. x 0 +

13 Grenseverdier: teknikker (forts.) Husk: muligheten å forkorte, forenkle, sette på felles brøkstrek, f.eks. for å omforme til [0/0] eller [ / ]-uttrykk der man kan bruke l Hôpital. Noen ganger lønner det seg imidlertid ikke å sette på felles brøkstrek. 41:G.2b,G.4c; ,23 i lærebok Husk: for å beregne lim f (x) g(x), skriv om som f (x) g(x) = e ln (f (x)g(x) ) = e g(x) ln f (x), regn ut lim g(x) ln f (x) og bruk at lim e g(x) ln f (x) = e lim g(x) ln f (x) siden e x er kontinuerlig (T.7 i 1.4) ,32 i lærebok

14 Grenseverdier: bruk Avgjøre om f er kont. i a ved å avgjøre om lim x a f (x) = f (a), spesielt når f skifter uttrykk i a. OI:6a; OII:1b; OIII:2a; OIV:1b; 36:G.2b,G.8 ; 37:G.1b,G.2(i)(ii),G.4; 39:S.1; 41:S.1-2,G.1b,G.2c; 43:S.1,G.6a ; 44:G.1a; 46:G.3a Avgjøre om f er derivérbar i a (og evt. regne ut f (a)) ved å f (a+h) f (a) studere grensen lim h 0 h (def. av derivérbarhet), spesielt når f skifter uttrykk i a. OI:6b; OIII:2b; OIV:1c; 36:G.2c,G.3b,G.8 ; 37:G.1d,G.2,G.4; 39:S.1; 40:G.8 ; 41:S.1-2,G.1c,G.4c; 43;S.1; 44:G.5a Beregning av uegentlige integraler 46:G.2c,G.3d,G.7 ; 47:G.4c,G.5b

15 Grenseverdier: bruk (forts.) Mange eksempler i funksjonsdrøfting: Finne asymptoter OIII:2c; 41:G.6a; Avgjøre eksistens av globale ekstremalverdier, skissere graf OII:4bf; 41:G.4c,G.6bc; 42:G.7cd; 44:G.1b-c; 46:G.3b Finne verdimengde (kombinert med skjæringssetn. for kont. funk.) OII:4bd; 41:G.6e I et anvendt problem: Hva skjer når tiden t? 45:S.1d,G.3,G.12c ; 46:G.4b

16 Kontinuitet-basisresultater 1.4 Definisjon kont. i punkt a: lim x a f (x) = f (a) OI:6a; OII:1b; OIII:2a; OIV:1b; 36:G.2b,G.8 ; 37:G.1b,G.2(i)(ii); 39:S.1; 41:S.1-2,G.1b,G.2c; 43:S.1,G.6a ; 44:G.1a; 46:G.3a f kont. i intervall/definisjonsmengde betyr f kont. i alle punkter i intervallet/definisjonsmengden og f kont. betyr f kont. i alle punkt i sin def.mengde 41:G.2c T.7 i 1.4: lim f (g(x)) = f (lim(g(x)) hvis f kont. i L = lim g(x). Viser at sammensetninger av kont. funksjoner er kont. x er kont. (lett ved def.!) Trigonometriske funksjoner er kont. (T.7 i 2.5: sin x og cos x) f (t) dt er kont. hvis f er det Integralfunksjoner x a (Fund.teoremet 5.5), spesielt er ln x = x 1 dt t kont ( 3.3)

17 Kontinuitet-basisresultater (forts.) T.6-7 i 1.4: kombinasjoner av kont. funksjoner (ved aritmetiske regler som ±,, /, røtter, absoluttverdi og sammensetninger) er kontinuerlige. Inverse funksjoner til kont. funksjoner er kont. (39:G.6c, står dessverre ikke eksplisitt i boken). Spesielt er exp x = e x (er invers til ln x) og alle inverse trigonometriske funksjoner kont. Hyperbolske funksjoner og deres inverse 3.6, og a x = e x ln a og log a x = ln x ln a ( 3.2-3), er kont. h(x) g(x) f (t) dt er kont. hvis f, g, h er kont. (sammensetning av kont. funk.)

18 Dirichlets funksjon: diskontinuerlig overalt! f (x) = { 1, x rasjonal; 0, x irrasjonal. Kan vise (med ɛ δ) at lim x a f (x) ikke eksisterer for noen a. Dette viser at f er diskontinuerlig i alle punkter. (Ikke eksamensaktuelt) 36:G.7 Dette er også et eksempel på en funksjon som ikke er integrérbar på noe intervall (ikke eksamensaktuelt). 43:G.5

19 Funksjon som er diskont. i de rasjonale tall og kont. i de irrasjonale tall g(x) = { 1/q, om x = p/q er en fullt forkortet heltallsbrøk; 0, x irrasjonal, definert på (0, 1), kalt Thomaes funksjon, popcorn-funksjonen, eller Stars over Babylon. Kan vise (med ɛ δ) at lim x a g(x) = 0 for alle a. Dermed er g(x) er kontinuerlig i alle irrasjonale tall og diskontinuerlig i alle rasjonale tall i definisjonsmengden. (Ikke eksamensaktuelt) 36:G.9

20 Kontinuitet: Skjæringssetningen/Mellomverdisetningen (IVT, T.9 i 1.4) f kont. på lukket begrenset [a, b] = for enhver d mellom f (a) og f (b) finnes c [a, b] s.a. f (c) = d (dvs. f antar alle verdier mellom f (a) og f (b))

21 Kontinuitet: Skjæringssetningen/Mellomverdisetningen (IVT, T.9 i 1.4) f kont. på lukket begrenset [a, b] = for enhver s mellom f (a) og f (b) finnes c [a, b] s.a. f (c) = d (dvs. f antar alle verdier mellom f (a) og f (b)) Geometrisk: grafen til en kontinuerlig funksjon er sammenhengende på intervaller. Bruk: finne verdimengde til f (x). OII:4d; Kap1:Ch.Probl.8 i lærebok; 41:G.6e Bruk: vise at f har nullpunkt i [a, b] (f (a) og f (b) har motsatt fortegn). OIII:2c; 40:G.2a;G.5a; 41:G.6d; 45:G.7 Lignende: vise at ligning f (x) = g(x) (med f og g kont.!) har løsning ved å bruke skjæringssetn. på h(x) = f (x) g(x). Ekvivalent: vise at grafene til f og g skjærer hverandre. OI:5a; OIII:1a; 36:G.5 ; 38:G.1,G.4(2); 40:S.1a; 41:G.4d; G.7c

22 Kontinuitet: Skjæringssetningen/Mellomverdisetningen/IVT (forts.) Anvendte oppgaver 36:G.4,G.6 ; Brukes i bevis, som f.eks. for sekantsetningen, og i teoretiske spørsmål 36:G.5 ; 37:G.6 ; i lærebok

23 Kontinuitet: Ekstremalverditeoremet/Max-Min (T.8 i 1.4) f kont. på lukket begrenset [a, b] = finnes p, q [a, b] slik at f (p) f (x) f (q) for alle x [a, b] (dvs. f oppnår maks. og min. (og er dermed begrenset).) Bruk: begrunne at maks. og min. forekommer 38:G.7b; 41:G.3b og faktisk finne dem, ved å sammenligne verdiene blant kandidatene endepunkter, kritiske punkter, singulære punkter (T.6 i 4.4). 41:S.2d,S.3; i lærebok Bruk: har at f (x) max{ f (p), f (q) } (altså f er begrenset), som kan være nyttig å bruke i mange tilfeller (eks. estim. av restledd i Taylors formel, feilestim. i num. integr.) OII:3 ++

24 Kontinuitet: Integrérbarhet (T.2 i 5.4) f kont. på lukket begrenset [a, b] = f integrérbar på [a, b] (Mer senere)

25 Derivérbarhet-basisresultater f (x+h) f (x) Def f derivérbar i x dersom lim h 0 h eksisterer. Da definerer vi den deriverte f (x) til å være denne grensen. Geometrisk tolking: betyr at grafen til f har en tangentlinje (=grensen til sekantlinjene) i (x, f (x)) med endelig stigning, som er f (x). OI:5c OBS Husk hvordan man finner ligning til en linje med gitt stigning i et punkt OII:2bc; 36:G.1; 42:G.11 ; 46:G.9

26 Derivérbarhet-basisresultater (forts.) f (x+h) f (x) Dersom grensen lim h 0 h ikke eksisterer, men er eller, har grafen til f en vertikal tangentlinje i (x, f (x)). f (x+h) f (x) Dersom grensen lim h 0 h ikke eksisterer, og er heller ikke eller, har grafen til f ingen tangentlinje i (x, f (x)) ( grafen har et knekkpunkt )

27 Derivérbarhet-basisresultater (forts.) Må kunne bruke def. av derivert, spesielt i tilfeller der f skifter uttrykk i et punkt OI:6b; OIII:2b; OIV:1c; 36:G.2c,G.3b,G.8 ; 37:G.1d,G.2,G.4; 39:S.1; 40:G.8 ; 41:S.1-2,G.1c,G.4c; 43;S.1; 44:G.5a eller i mer teoretiske betraktninger 38:G.8, 39:G.7, 44:G.4. Viktig (T.1 i 2.3): f deriv. i x f kont. i x. Motsatt gjelder ikke: OII:3; 38:G.7a

28 Derivérbarhet-basisresultater (forts.) Derivasjonsregler i 2.3-6, 3.3,5-6, spesielt Kjerneregel ( 2.4) OII:1a,4a; OIV:1a ++++ Derivasjonsregel for invers funksjon: dersom f 1 er invers funksjon til f og f (f 1 (x)) 0, da er d dx f 1 (x) = 1 f (f 1 (x)) (litt gjemt i en boks i 3.1). OBS: merk at x dukker opp til venstre, mens f 1 (x) dukker opp til høyre. Hvis f.eks. f (0) = 1, er (f 1 ) 1 (1) = f (f 1 (1)) = 1 f (0) OII:4e; 41:G.10 ; i lærebok For å beregne d dx f (x)g(x), skriv om som f (x) g(x) = e ln (f (x)g(x) ) = e g(x) ln f (x) og bruk kjerneregel. 43:G.2(ii); ,48,61 i lærebok

29 Derivérbarhet-basisresultater (forts.) Fund.teoremet (T. 5 i 5.5): d OIV:6a dx x a f (t) dt = f (x) for f kont. Husk: kombinasjon med kjerneregel for å beregne mer generelt ( d h(x) f (t) dt = d h(x) ) g(x) f (t) dt f (t) dt. dx dx g(x) (Kjerner g(x) og h(x)) OIV:1a; 43:G.2(i),G.4a,G.6b ; 47:G.7h a a

30 Derivérbarhet: Kontinuerlig ingensteds derivérbar funksjon Weierstrass-funksjonen (ikke eksamensaktuelt!), kontinuerlig overalt, men ikke derivérbar i noe punkt (MAT211). Se også en.wikipedia.org/wiki/weierstrassfunction

31 Derivérbarhet: Implisitt derivasjon 2.9 Ligning med to størrelser, eks. x og y som beskriver kurve i planet. Betrakter den ene, f.eks. y, som funksjon av den andre (gitt implisitt, fordi vi ikke har et eksplisitt uttrykk y(x) =uttrykk i x). Å derivere implisitt betyr at vi deriverer begge sidene av ligningen mhp x, og må derfor bruke kjerneregel der y dukker opp. OII:2a; 37:G.3; 40:G.7a; 42:G.6,G.8a Kan f.eks. brukes til å finne stigningen (og dermed ligningen) til tangenten til en kurve i planet i et bestemt punkt, siden dy dx angir stigningen til tangenten. OII:2bc; 37:G.3; 40:G.7a; 42:G.6a Brukes til å finne derivert til inverse funksjoner ( 3.3, 3.6), ved å bruke y = f (x) x = f 1 (y). Kan også brukes til å finne høyere ordens deriverte og dermed Taylorpolynomer uten å ha et eksplisitt uttrykk for funksjonen. 42:G.6b,G.8c ; 46:G.8

32 Derivérbarhet: Implisitt derivasjon (forts.) Noen ganger har vi en ligning med to størrelser, si x og y, der begge er funksjoner av en tredje størrelse, si t ( tiden i praktiske problemer). Når vi deriverer ligningen mhp t, får vi en ligning som involverer dx dt, dy dt, x(t) og y(t). Ofte praktiske problemstilinger ( relaterte rater 4.1): To avstander x(t) og y(t) (eller en vinkel) som er avhengige av tiden og relatert til hverandre med en ligning. (Husk trigonometriske betraktninger) Volum av vann i vannkar V (h) er funksjon av vannhøyde h, som igjen er funksjon av tiden t. Ofte kombinert med rotasjonslegemer. OIII:5b; OIV:6a; 40:G.1,G.3,G.6; 45:G.5; 47:S.5b

33 Derivérb.: Sekantsetn./Middelverdisetn. (MVT, T ) f kont. på [a, b], deriv. på (a, b) = finnes c (a, b) slik at f (c) = f (b) f (a) b a Geometrisk tolkning: finnes punkt c der tangentlinjen til grafen har samme stigning (nemlig f (c)) som sekantlinjen f (b) f (a) mellom (a, f (a)) og (b, f (b)) (nemlig b a ). Praktisk tolkning: har man kjørt med gjennomsnittsfart v, så har man på ett eller annet tidspunkt kjørt med (momentan)fart v. 38:G.4(1)

34 Derivérbarhet: Sekantsetning/Middelverdisetning (forts) f kont. på [a, b], deriv. på (a, b) = finnes c (a, b) slik at f (c) = f (b) f (a) b a Rolles teorem er spesialtilfellet med f (a) = f (b), som gir f (c) = 0 for en c (a, b). 38:G.2 Middelverdisetn. for integraler (T. 4 i. 5.4) er en variant vi trenger i utledningen av Fundamentalteoremet: f kont. på [a, b] = finnes c [a, b] slik at b a f (t) dt = (b a)f (c) Den generaliserte sekantsetningen (T. 16 i. 2.8) bruker vi for utledningen av l Hôpital.

35 Konsekvenser av sekantsetning: bestemme monotoni Avgjøre om en derivérbar funksjon er voksende/avtagende på et intervall I. (T ) La J være I bortsett fra eventuelle endepunkt (J er det indre av I ). f > 0 på J f strengt voksende på I ; f < 0 på J f strengt avtagende på I ; Brukes ofte for å klassifisere ekstremalverdier (maks eller min?) OIII:3ab,5a; 41:S.2d,S.3,G.3b,G.4a,G.6b; 44:G.1ab Viktig at f > 0 (hhv. < 0) holder på et helt intervall og ikke bare i ett punkt: at f (a) > 0 i ett punkt a medfører ikke at f er strengt voksende i noen omegn om a. OII:1cde; i læreboken Motsatt ved def. av derivert: f strengt voksende (hhv. strengt avtagende) på I f 0 (hhv. 0) på J. OII:1c

36 Konsekvenser av sekantsetn.: bestemme monotoni (forts.) Avgjøre om en deriv. funksjon er konstant på et intervall I. (T ) La J være I bortsett fra eventuelle endepunkt (J er det indre av I ). f = 0 på J f konstant på I ; 44:G.3 ; i lærebok Konsekvens: to antideriverte til f (dvs. F s.a. F = f ) på et intervall er like opp til en konstant (og er årsaken til konstanten C som alltid dukker opp når vi finner ubestemte integraler). Vi bruker notasjonen f (x) dx for en generell antiderivert til f på et intervall og kaller det det ubestemte integralet. Husk at Fundamentalteoremet (T ) sier at enhver kontinuerlig funksjon f definert på et intervall I har en antiderivert på I, nemlig arealfunksjonen F (x) = x a f (t) dt, for en hvilken som helst a I. (Forskjellige valg av a gir forskjellige antideriverte, like opp til en konstant.) Men det er ikke alltid en slik antiderivert kan skrives ved hjelp av vanlige funksjoner.

37 Konsekvenser av (bevis) sekantsetning: finne maks/min Viktig T.14 i 2.8: f derivérbar i åpent intervall I med lokal maks/min i p I f (p) = 0. Viktig konsekvens T.6 i 4.4: Eventuelle (globale og lokale) ekstremalverdier kan forekomme kun i eventuelle endepunkter i def. mengden, kritiske/stasjonære punkter (der f = 0), singulære punkter (der f ikke eksisterer). OIII:3c,5a; 41:S.2d,S.3,G.4a; 44;G.1ab Kombinér eventuelt med Ekstremalverditeoremet som garanterer at maks og min forekommer (nødvendigvis i noen av punktene ovenfor) når f er kont. på lukket, begrenset intervall.

38 Andre anvendelser av sekantsetning/rolles teorem Vise ulikheter: Hvis f K i et intervall I, har man f (a) f (b) K b a for alle a, b I. OII:3; 38:G.5; 41:G.7b Dette siste, når K < 1, er nyttig for å vise at betingelse (ii) i Fikspunktteoremet (T. 1 i 4.2) er oppfylt OIII:1g; 40:S.2c,G.4 Maks. antall nullpunkter: Rolle sier at mellom to nullpunkter til f, finnes et kritisk punkt. Dette kan brukes til å begrense antall nullpunkter (alt. til funksjonsdrøfting) OI:5(b); OII:1b; 38:S.1(1),S.2,G.1,G.7c,G.9 ; 40:G.5a Anvendte spørsmål som involverer strekning og fart OIII:5c; 38:G.4(1),G.10 Nyttig i mange teoretiske spørsmål OII:3; 38:G.8-9 ; 39:G.7 ; 43:G.6

39 Taylorpolynomer ( ) Taylorpolynom av orden n til f om punktet x = a er P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) n k! (forutsetter at alle deriverte ovenfor eksisterer). OIII:4a; 42:S.1a,G.2a,G.4a,G.5b,G.7e,G.8c,G.9 ; 46:G.8 ; 47:S.3ab,G.7e; 44:S.2 Dette er det entydige polynomet som oppfyller at de første n deriverte i a er lik de første n deriverte til f i a. Taylorpolynomet av orden 1 kalles også den lineære tilnærmingen til f i a (kalt L(x) i. 4.9), og er ligningen til tangenten til grafen til f i (a, f (a)). For å beregne P n (x) må vi altså derivere f n ganger, og dersom n er vilkårlig, må vi finne en formel for den nte deriverte f (n) (x), vanligvis ved induksjon.

40 Taylors formel med restledd ( ) Taylors teorem (T. 12 i 4.10): f (x) = P n (x) + E n (x) der E n (x) = f (n+1) (s) (n + 1)! (x a)n+1 for en s mellom x og a. 42:S.1a,G.2a,G.4b Sier: f (x) P n (x) med feil E n (x). 42:S.1b,G.2a,G.4a Ved å begrense f (n+1) (s) (for alle s mellom x og a), kan vi begrense E n (x) og dermed gi et overslag over feilen og mer presist angi et intervall der f (x) ligger uttrykt ved P n (x). To tilfeller er vanlig: x kan være et spesifikt tall (f.eks. ønsker vi å tilnærme 2 eller ln 2). x kan være varierende, innenfor et intervall (f.eks. ønsker vi å begrense ln x eller x mellom to enklere funksjoner). I begge tilfellene gir den spesifikke verdien til x eller intervallet x ligger i opplysning om hvilket intervall s varierer i. OIII:4bc; 42:S.1b,G.2a,G.4ab,G.5c,G.9 ; 44:S.2; 47:S.3ab Eks. Finne n slik at feilen er liten nok i lærebok

41 Entydighet av Taylorpolynomer T. 13 i 4.10: Taylorpolynomet P n (x) om x = a er det eneste polynomet av grad n som oppfyller at f (x) P n (x) K (x a) n+1 for en konstant K > 0 i en omegn om a. Kan brukes til å beregne nye Taylorpolynomer vha gamle og beregne grenser (slutten av 4.10), men dette har vi ikke gjort noe av i dette kurset. Merk at jeg har unngått å bruke formuleringer vha Big-O-notasjon fra slutten av 4.10, men har heller formulert vha ulikheter som i definisjonen av Big-O-notasjon.

42 Funksjonsdrøfting, For en oversikt, se folk.uib.no/st00895/mat111-h17/funksjonsdrofting-handout.pdf OII:4bf; OIII:3; 41:S.2,S.3,G.3,G.4,G.5a,G.6; 42:G.7; 44:G.1; 46:G.3,G.11a ; 47:G.7a Avgjøre monotoniegenskaper (voksende/avtagende) Finne lokale og globale maks/min, se ovenfor. (EP,KP,SP!) Avgjøre krumning (vha. dobbeltderivert) Finne mest mulig informasjon om graf, eks. asymptoter, grenser mot ±, grenser mot punkt der funksjonen ikke er kontinuerlig eller definert. Husk at symmetrier kan gjøre betraktningene enklere! OII:3

43 Funksjonsdrøfting, (forts.) Ofte ikke egen oppgave, men del av andre (eks. ligningsløsning=finne antall nullpunkt til funksjon; studie av restledd i Taylors formel; vurdering av fortegn på feil i Newtons metode og trapésregelen, estimering av feil i numerisk integrasjon) OI:5b; OIII:1b,1d,4b; 38:S.1(1),S.2; 40:S.1a,G.2a; 41:G.6d; 45:G.7a; 47:G.7c Kan være et praktisk Maks/Min-problem ( 4.8). Viktig å begrunne at verdien man finner er maks/min (kan være min mens man leter etter maks), husk å sjekke evt. endepunkter i definisjonsområdet. OIII:5a; 42:S.2,G.1,G.3,G ; 47:G.11a

44 Inverse funksjoner f med definisjonsmengde D(f ) er én-til-én hvis x 1 x 2 D(f ) f (x 1 ) f (x 2 ) (ekvivalent: x 1, x 2 D(f ) med f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 ). (Geometrisk: horisontale linjer skjærer graf til f i høyst ett punkt) For en slik f kan vi definere den inverse funksjon f 1 ved f 1 (y) = den entydige x D(f ) slik at f (x) = y for alle y V (f ) (verdimengden til f ), dvs. ( ) f 1 (y) = x f (x) = y (*) sier også: f er den inverse til f 1, m.a.o. ( f 1) 1 = f (*) sier også: f (f 1 (y)) = y og f 1 (f (x)) = x sammensetning av funksjon med sin invers er identiteten Eks ln e x = x og e ln x = x 39:G.1

45 Inverse funksjoner (forts.) Egenskapen ( ) f 1 (y) = x f (x) = y bruker vi ofte: f.eks. ln x = y e y = x, log10 x = y 10 y = x x = a sin θ x a = sin θ θ = ( ) sin 1 x a når vi substituerer i integraler ( 6.3) Når vi velger å integrere i y-retning for å beregne arealer og volumer og skriver ligningene til kurvene som grafer til funksjoner av y OIV:4,6

46 Inverse funksjoner: eksempler , 3.5 e x = exp(x), x R er invers til ln x, x (0, ) a x = e x ln a, x R er invers til log a x, x (0, ) (a > 0) sin 1 (x), x [ 1, 1] er invers til sin x, x [ π 2, π 2 ] tan 1 (x), x R er invers til tan x, x ( π 2, π 2 ) Husk de deriverte av de to siste, som gir oss nye antideriverte: d ( x ) 1 dx sin 1 = a a2 x = dx ( 2 a2 x = x ) 2 sin 1 + C a d ( x ) a dx tan 1 = a a 2 + x 2 = dx a 2 + x 2 = 1 ( x ) a tan 1 + C a

47 Inverse funksjoner: egenskaper f og f 1 har ombyttede definisjons- og verdimengder OII:4d; 41:G.6e,G.10 Grafene til f og f 1 (med samme variabel x) er speilbilder av hverandre om linjen x = y OII:4f; 41:G.6e Gir intuitiv forklaring på at inverse funksjoner til kont. funksjoner er kont. (39:G.6c, står ikke eksplisitt i boken).

48 Inverse funksjoner: egenskaper (forts.) Derivasjonsregel for invers funksjon: dersom f 1 er invers funksjon til f og f (f 1 (x)) 0, da er d dx f 1 (x) = 1 f (f 1 (x)) (litt gjemt i en boks i 3.1). OBS: merk at x dukker opp til venstre, mens f 1 (x) dukker opp til høyre. Hvis f.eks. f (0) = 1, er (f 1 ) 1 (1) = f (f 1 (1)) = 1 f (0) OII:4e; 41:G.10 ; i lærebok

49 Å vise at en invers eksisterer = å vise én-til-én (evt. ikke) Vis algebraisk at f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x ,11,21,23 i bok Ofte vanskelig, men ofte lett å bruke motsatt vei, dvs. finne x 1 x 2 med f (x 1 ) = f (x 2 ), som viser at f ikke er én-til-én. Vis at f er én-til-én ved å vise at f er strengt voksende eller strengt avtagende (NB: derivert-testen gjelder bare intervallvis) OII:4c; 41:G.5b,G.6e,G.10 ; 43:G.4a (Merk at på intervaller er f én-til-én f enten strengt voks. eller strengt. avt.) 39:G.6ab ; 43:G.4b f deriv. med f 0 overalt i et intervall I finnes ved Sekantsetning/Rolle ingen x 1 x 2 slik at f (x 1 ) = f (x 2 ). Altså er f én-til-én OII:4c; 43:G.4a Noen (få) ganger kan man finne f 1 eksplisitt ved å løse y = f (x) med hensyn på x og få ut x = g(y). Da er g = f 1 per definisjon. OIV:6(a); 41:G.5b,G.6e; 3.1.9,11,21,23 i bok

50 Løsninger på ligninger/nullpunkter til funksjoner Omformer man en ligning til f (x) = 0, er løsningene på ligningene lik nullpunktene til f. Er f kontinuerlig, kan man vise eksistens av løsning ved skjæringssetning og man kan lokalisere løsningen i et intervall [a, b] ved å vise at f (a) og f (b) har motsatt fortegn. OI:5a; OIII:1a,2c; 38:S.1,G.1,G.4; 40:S.1,G.2a,G.5a,G.7b; 41:G.4d,G.6d; 47:G.7c; 45:G.7a Er f derivérbar, kan man drøfte f (finne hvor f er voksende og avtagende, og bruke sunn fornuft) for å angi maks antall løsninger. Man kan også bruke Rolles teorem direkte, som sier at mellom to nullpunkter må den deriverte være null i minst ett punkt. OIII:1b,2c; 38:S.1,S.2,G.1,G.4b; 40:S.1a,G.2a,G.5a; 41:G.4d,G.6d; 45:G.7a; 47:G.7c

51 Løsninger på ligninger/nullpunkter til funksjoner (forts.) Merk: Noen ganger er det å avgjøre om en ligning har en løsning en del av et annet spørsmål: sjekke om en funksjon har vertikale asymptoter (har nevner nullpunkter?) OIII:2c sjekke om en kurve i planet gitt ved en ligning F (x, y) = 0 skjærer f.eks. x-aksen (har F (x, 0) = 0 noen løsninger?) 40:G.7b Merk: Å avgjøre om en løsning finnes eller hvor mange løsninger finnes, er ikke det samme som å finne tilnærmede verdier på løsningen(e).

52 Løsning på ligning form f (x) = 0: Newtons metode 4.2 Newtons metode x n+1 = x n f (xn) f (x n, ved å starte i et punkt x 0, kan brukes til å finne tilnærmede verdier til et nullpunkt til f OIII:1cde; 40:S.1b,G.2b,G.5b,G.7b; 42:G.4c; 45:G.7c; 47:G.7d Krumning og monotoni til graf avgjør om den tilnærmede løsningen er for stor eller for liten i forhold til den riktige verdien av nullpunktet. OIII:1d; 40:S.1b,G.2b; 42:G.4c Se folk.uib.no/st00895/mat111-h17/newton-fpi-handout.pdf Feilestimeringsteoremet T.2 i 4.2 har vi ikke brukt i kurset. Når vi har iterert nok ganger til at følgen x n har stabilisert seg, kan vi igjen bruke skjæringssetningen til å avgjøre om den tilnærmede løsningen er korrekt med et visst antall desimaler: Å hevde f.eks. at nullpunktet er med 4 desimalers nøyaktighet, er det samme som å hevde at nullpunktet ligger i intervallet [ , ), og dette kan vi igjen verifisere med skjæringssetningen. Boken og løsningsforslag på tidligere eksamensoppgaver er litt late på dette punktet, se heller igjen folk.uib.no/st00895/mat111-h17/newton-fpi-handout.pdf OIII:1e; 40:G.5b,G.7b; 45:G.7c

53 Løsning på ligning form f (x) = x: Fikspunktiterasjon 4.2 Omformer man en ligning til f (x) = x, er løsningene på ligningene lik fikspunktene til f. OIII:1f; 40:S.2a Da kan man bruke Fikspunktiterasjon x n+1 = f (x n ), ved å starte i et punkt x 0, for å finne en tilnærmet verdi på en løsning. 40:S.2b Fikspunktteoremet T.1 i 4.2 garanterer (under visse betingelser) både at løsningen finnes og er entydig, og at følgen {x n } i Fikspunktiterasjonen konvergerer mot løsningen, dvs. x n kommer så nær vi vil den virkelige løsningen bare n er stor nok. OIII:1g; 40:S.2c,G.4 Merk: betingelse (ii) i Fikspunktteoremet kan sjekkes vha Sekantsetningen hvis f er derivérbar med f K for en K < 1, se folk.uib.no/st00895/mat111-h17/newton-fpi-handout.pdf Merk også (samme side) at Sekantsetningen viser at iterasjonen ikke konvergerer dersom vi er i intervaller der f 1. OIII:1g; 40:S.2c,G.4

54 Riemannsummer og egenskaper bestemt integral ( 5.2-4) Definisjon og beregning av (enkle) øvre og nedre Riemannsummer n i=1 f (c i) x i ( 5.3). 43:G.5 ; 5.3.7,9 i bok Definisjon av det bestemte integralet b a f (x) dx som grense av øvre og nedre Riemannsummer. Vi sier at f er integrérbar på [a, b] når denne grensen eksisterer. (Detaljer gis i MAT112 og bygger på kompletthet av R og er derfor ikke eksamensaktuelt i MAT111. Det er f.eks. ikke aktuelt å spørre om en grense av n i=1 f (c i) x i når n eller gi teoretiske oppgaver som involverer definisjon av bestemt integral) 44:G.2

55 Riemannsummer og egenskaper bestemt integral (forts.) Geometrisk tolkning av b a f (x) dx som arealet mellom grafen til f på [a, b] og x-aksen, telt negativt der f < 0 eller hvis b < a 44:G.1d, ++ Basisegenskaper til bestemt integral som følger av denne geometriske tolkningen eller fra definisjonen via Riemannsummer ( 5.4): f.eks. a a f (x) dx = 0, c a f (x) dx = b a f (x) dx + c b f (x) dx 5.4.9,13 i lærebok ++ Viktig: T.2 i 5.4 (bevis i MAT112) f kont. på lukket begrenset [a, b] = f integrérbar på [a, b] Ikke-integrérbare funksjoner må derfor være diskontinuerlige, og det kan vises at de må være det i mange punkt, som f.eks. Dirichlets funksjon ovenfor (ikke eksamensaktuelt, mer i MAT112). 43:G.5

56 Fundamentalteoremet i kalkulus (T. 5 i 5.5), del I Funksjoner på formen F (x) = x a f (t) dt er kontinuerlige og derivérbare med F (x) = f (x), på intervall I der f er kontinuerlig og slik at a I.

57 Fundamentalteoremet i kalkulus, del I (forts.) Sier mer generelt at sammensetninger ( ) F (x) = = h(x) g(x) h(x) a f (t) dt = f (t) dt h(x) a g(x) a a f (t) dt + f (t) dt g(x) f (t) dt er kontinuerlige på I (når f, g, h er det og a I ). ( ) pluss kjerneregel (med kjerner g(x) og h(x)) gir: d dx h(x) g(x) f (t) dt = f (h(x))h (x) f (g(x))g (x). OIV:1a,5c,6a; 43:G.2(i),G.4a; 47:G.7h Kan derfor funksjonsdrøfte, finne Taylorpolynomer av (osv.) funksjoner på formen F (x) som ovenfor, siden vi kan beregne F (x). 43:G.1,G.4a,G.6b ; 44:S.2,G.3 ;

58 Fundamentalteoremet i kalkulus, del I (forts.) Husk varianter med kombinasjoner av andre funksjoner, f.eks. 1 h(x) f (t) dt, kombinasjon med l Hôpitals regler. x g(x) OIV:1bc; 43:S.1,G.3 Merk også areal- og volumoppgaver der man må derivére uttrykk gitt med integraler: forsøker man å beregne integralet først og derivére etterpå, klarer man det gjerne ikke! OIV:6a; 45:G.5

59 Fundamentalteoremet i kalkulus (T. 5 i 5.5), del II Bestemte integraler til kontinuerlige funksjoner kan beregnes vha antideriverte: finn hvilken som helst F slik at F (x) = f (x) på [a, b], da er b f (x) dx = F (b) F (a). a OIV:3-4; 44:S.1; 46:G.2b,G.9b ++ Husk: alle slike F er like opptil å addere en konstant C, og vi skriver dem som f (x) dx = F (x) + C ( ubestemt integral eller generell antiderivert ) Alle kontinuerlige f på [a, b] har en antiderivert på [a, b], nemlig x c f (t) dt for en hvilken som helst c [a, b] ved fundamentalteoremets del I, men ikke alle f har en elementær antiderivert, dvs. en antiderivert som kan uttrykkes vha kjente funksjoner. Dette gjelder f.eks. e ±x2, cos(±x 2 ), sin(±x 2 )... For slike funksjoner må bestemte integraler regnes ut vha approksimasjoner (Trapésmetoden, Simpsons metode). Men ikke gjør det med mindre dere blir bedt om det.

60 Integrasjons/antideriveringsteknikker 5.6, Se oversikten på folk.uib.no/st00895/mat111-h17/integrasjon.html Substitusjon 5.6, 6.3: Tenk enkelt, gjenkjenn deriverte av uttrykk i integranden (da er uttrykket en god kandidat til u) og prøv deg gjerne frem med flere forsøk. Husk at man ikke bare substituerer inn u for et utrykk i integranden, men også differensialet etter regelen du = du dx dx. Inverse substitusjoner er også substitusjoner. OIV:2-4; 44:S.1a,G.1d; 45:G.7b; 46:G.1(a2),G.3d; ++ Delvis integrasjon 6.1: brukes gjerne når integranden er et produkt der den ene faktoren forenkles ved derivasjon og den andre ikke blir mye verre ved integrasjon. OIV:2; 45:S.1ab; 46:G.2b,G.9b ; 47:G.4b ++ Prosedyre for rasjonale funksjoner 6.2: polynomdivisjon, delbrøksoppspalting og fullføring av kvadrat. Se folk.uib.no/st00895/mat111-h17/intrasjfn-handout.pdf 46:G.1(a1),G.4a; 47:G.4a, G.10a

61 Integrasjons/antideriveringsteknikker (forts.) Man må ofte kombinere flere av teknikkene. Husk fullføring av kvadrat for å omforme ax 2 + bx + c til Au 2 + B. Eksamen vil ikke inneholde oppgaver som krever triks eller geniale substitusjoner, i så fall vil hint bli gitt. (F.eks. vil inverse substitusjoner av typen x = a sin θ osv. bli gitt som hint.) Husk elementære antideriverte, dvs. dem vi kjenner fordi vi har lært den deriverte av en funksjon Eks dx = tan 1 x + C eller dx = 1 1+x 2 a 2 +x 2 a tan 1 x a + C. Null poeng for å slå opp i permen i læreboken eller bruke og tilpasse et eksempel fra læreboken. Integraler skal utledes vha elementære antideriverte og teknikkene dere har lært. Unntak er helt opplagte substitusjonsintegraler som f.eks. xe x 2 dx = 1 2 ex2 + C eller x 2 cos ( x 3) = 1 3 sin ( x 3) + C.

62 Uegentlige integraler ( 6.5) To typer R a f (x) dx = lim R a f (x) dx b a f (x) dx = lim b c a + c f (x) dx (når f ikke def. i a) Å beregne disse betyr egentlig bare å først finne et bestemt integral og så ta en grense (som ikke trenger eksistere). 46:G.2c,G.3d,G.7 ; 47:G.1b,G.4c,G.5b Alle uegentlige integraler a dx 0 x og dx p a x for forskjellige p er p kjent (T. 2 i 6.5); disse trenger vi imidlertid ikke å huske, vi kan utlede dem når det trengs. Noen ganger er vi kun interessert i å vite om integralet konvergerer (=grensen finnes) eller divergerer mot (grensen er ), og sammenligner med en kjent funksjon, gjerne 1/x p ( Sammenligningsteoremet T.3 i 6.5) 46:G.1b; 47:G.7i; ,31,35 i lærebok

63 Arealer ( 5.7) Areal av område i planet avgrenset av grafer/kurver ved bestemt integral (bruk gjerne infinitesimale arealelementer istedenfor å pugge uttrykk). Viktig å kunne finne skjæringspunkter mellom kurver. OIV:4a; 44:S.1; 46:G.2a Ofte kan det være lurt å integrere i y-retning. OIV:4a

64 Volumer ( 7.1) Volum av rotasjonslegemet som oppstår når et område i planet roteres om x- eller y-aksen: skivemetoden eller sylinderskallmetoden (bruk gjerne infinitesimale volumelementer istedenfor å pugge uttrykk). OIV:4bc,6; 45:G.5,G.6a,G.7b,G.9 ; 47:G.4c,G.5a,G.6,G.8a,G.9

65 Volumer ( 7.1) Igjen kan det ofte være lurt å integrere i y-retning Eks Vanntank med vannhøyde h. OIV:4bc; 45:G.5,G.6a

66 Arealer og volumer (forts.) Noen volumoppgaver kan ha en anvendt vri, som å beregne volum av vann i en tank V (h) som funksjon av vannhøyden h, og regne ut relasjonen mellom endringsraten volum og vannhøyde mhp tiden t: dv dt ( relaterte rater, husk kjerneregel, og å bruke fundamentalteoremet slik at man ikke trenger løse integralet!) OIV:6a; 45:G.5,G.6,G.9; 47:S.5,G.6,G.8 Noen områder kan være ubegrenset og uttrykkene man ender opp med er derfor uegentlige integraler (som kan konvergere eller divergere). 47:G.4c,G.5b For Gabriels horn/torricellis trompet, se curvebank.calstatela.edu/torricelli/torricelli.htm = dv dh dh dt

67 Differensialligninger og startverdiproblemer ( 7.9) To typer elementære : y (x) = f (x) y(x) = f (x) dx ( 2.10); 38:G.3,G.6; 39:G.5 y (x) = ky(x) y(x) = Ce kx (. 3.4). OII:5a; 39:G.3,G.4-5 ; 40:G.8 ; 45:G.4a To typer generaliseringer i 7.9, med to løsningsmetoder: Separable (husk evt. konstante løsninger!) OIV:5ac,6b; 45:S.2b,G.1,G.3,G.5,G.6b,G.8, G ; 46:G.4a,G.5; 47:S.4a; 7.9.4,6 i lærebok Første ordens lineære løses ved å gange ligningen med integrerende faktor e µ(x) slik at den ene siden i ligningen blir en derivert. (Kan også bruke løsningsformelen i boks direkte) OIV:5b; 45:S.1c,G.2b,G.4c; 47:G.10b; ,18 i lærebok Kanskje må man omforme ligningen slik at den får ønsket form. OII:5a; OIV:5b; 47:G.10b

68 Differensialligninger og startverdiproblemer (forts.) De generelle løsningene vil inneholde en konstant C på hvert intervall de er definert (pga. antiderivasjon i ett eller annet trinn; det er viktig å sette inn C i riktig trinn!). Konstanten C er ikke nødvendigvis den samme i alle intervallene Startverdiproblem betyr at man i tillegg har oppgitt en funksjonsverdi i et punkt, dvs. y(a) = y 0, slik at man kan bestemme C (i et intervall). Løsningen er gyldig i det største intervallet som inneholder a der y(x) er definert og derivérbar. OII:5; OIV:5a; 38:G.3a,G.6; 39:G.3; 45:S.1cd,S2,G.1-4,G.8,G Variant: får oppgitt lim x a ± y(x) = y 0 OIV:5b; 47.G.10b Startverdiproblemet kan være utkledd som en integralligning, dvs. en ligning med en funksjon og et integral: derivér og bruk fundamentalteoremets del I for å få ut en diffligning og sett inn en naturlig verdi i ligningen som gjør at det bestemte integralet er 0 for å få en startverdi. OIV:5c; i lærebok

69 Differensialligninger og startverdiproblemer (forts.) Noen ganger må man kunne sette opp diffligningen når man får opplyst f.eks. at en endringsrate er proporsjonal med noe. (Eks Torricellis lov, Newtons avkjølingslov) Dette vil (som oftest) involvere en ytterligere konstant K som vil dukke opp i løsningen i tillegg til integrasjonskonstanten C. Da trenger man to startverdier for å bestemme begge konstantene. OII:5; OIV:6; 39:G.3,G.4-5 ; 45:S.1cd,S.2,G.1-4,G.8,G ; 46:G.4-5,G.6 Oppfølgingsspørsmål knyttet til løsningen: Hva skjer med populasjonen når tiden går (mot )?, Når er vanntanken tom? OII:5b; OIV:6b; 38:G.3b; 39:G.3,G.4-5 ; 45:S.1d,S.2b,G.1,G.2b,G.3,G.8,G.11,G ; 46:G.4b,G.5 47:S.4c En diffligning/startverdiproblem kan også være teoretisk formulert vha. egenskaper til en funksjon, som man da skal finne 40:G.7 ; 44:G.4 ; 45:G.10

70 Numerisk integrasjon Må benyttes når vi ikke klarer å finne en elementær antiderivert til en integrand f, dvs. en antiderivert som kan uttrykkes vha kjente funksjoner. Dette gjelder f.eks. e ±x2, cos(±x 2 ), sin(±x 2 ). For slike funksjoner må det bestemte integralet regnes ut vha approksimasjoner. Tre metoder i MAT111, alle starter med å dele opp [a, b] i n like store delintervaller av bredde h = b a n : Midtpunktregelen (er Riemannsummen f (ci ) x i = f (c i )h der c i er midtpunktet i hvert delintervall [x i 1, x i ]) Trapésregelen: tilnærmer f med en lineær funksjon gjennom endepunktene på hvert delintervall og den tilnærmede verdien er da sum av arealer av trapeser. Krumningen til f avgjør om den tilnærmede verdien blir for stor eller for liten. 47:S.2,S.4b,G.3,G.7g,G.11b Simpsons regel: tilnærmer f med en kvadratisk funksjon gjennom endepunktene på hvert par av delintervall og den tilnærmede verdien er da sum av arealer under parabler. 47:S.1,G.2c,G.4,G.5c

71 Numerisk integrasjon (forts.) Hver metode kommer med estimater på feil ved tilnærmingen, som avhenger av en øvre skranke på en høyere derivert til f (som man da må finne) og antall delintervaller n man benytter. 47:S.1bc,S.2,S.3c,G.2bc,G.7f,G.11b Numeriske metoder kan også brukes når vi ikke har et uttrykk for funksjonen f, men kun et endelig antall verdier av f, f.eks. målinger i en mer anvendt situasjon 47:G.1