OppsummeringMAT111 H16

Transkript

1 OppsummeringMAT111 H16 Andreas Leopold Knutsen, 29/11/ november 2016

2 Hensikt Hensikten med denne oppsummeringen er både å gi en oversikt over og trekke linjer mellom ulike deler av pensum og å hjelpe dere i eksamensforberedelsene. Viktig: Å forberede seg til eksamen=å lære seg og forstå (mest mulig av) pensum i kurset, og bruke oppgaver dere har fått i løpet av semesteret som støtte i dette Bruk spesielt oppgavene gitt på settene hver uke utenfor boken og de tre obligatoriske innleveringene. Notasjon i teksten: OII:3c refererer til Oppgave 3c i Oblig. innl. II. 36:S.1b refererer til Oppgave S.1b i Oppgavesett uke :G.2a refererer til Oppgave G.2a i Oppgavesett uke 38. * bak en oppgave betyr at oppgaven står under Mer dybde

3 Matematisk induksjon Marg i Ÿ2.3, se også folk.uib.no/st00895/mat111-h16/induksjon-2016.pdf Nyttig for å bevise påstander som involverer heltall 34:S.3,G.6,G.10 Eks. summeformler (Ÿ5.1) OI:2a; 34:G.3 n-te deriverte av funksjoner (spesielt viktig for å nne nte ordens Taylorpolynomer). Viktig å kunne håndtere n!. OIII:2d; 36:G.1; 39:G.2 I delen av boken som er pensum i MAT111 dukker induksjon opp i utledningen av derivasjonsregel for sum av funksjoner (etter T. 2 i Ÿ2.3) og i beviset for Taylors teorem (T. 12 i Ÿ4.10). Vær obs på føring: la det være klart hvor induksjonshypotesen brukes.

4 Komplekse tall C (App. I) Denisjon z = x + iy, regneregler, enkle ligninger, avmerking i det komplekse plan (OBS: fortegnene på x og y bestemmer kvadranten) OI:1acf; 34:S.1a,S.2a,G.1a,G.5,G.8,G.9 Polarform z = r(cos θ + i sin θ) = re iθ og multiplikasjon z 1 z 2 = [r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] [r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )). Gjør det lett å regne ut potenser: z n = r n (cos(nθ 1 ) + i sin(nθ 1 )) OI:1ab; 34:S.1b

5 Komplekse tall C (forts.) Finne n-te røtter, dvs. løse z n = c, for en c C. OI:1d; 34:S.1c,G.1b,G.2 Ikke bland inn komplekse tall med mindre det står eksplisitt oppgitt i oppgaven. (Resten av kurset omhandler reelle funksjoner av en reell variabel.)

6 Faktorisering av polynomer og polynomdivisjon (ŸP.6) Faktorteoremet (T.1 i P.6)både over R og over C: r rot i polynomet P (x r) faktor i P. OI:1e ++ P Betyr at = Q = nytt polynom. Vi kan bestemme Q ved x r polynomdivisjon. OI:1e ++ Fundamentalteoremet i algebra (T.2 i App.II): Over C kan et polynom P(x) faktoriseres i lineære faktorer: P(x) = K(x r 1 ) (x r n ), der r 1,..., r n C er (de komplekse) røttene til P og K C er en konstant. OI:5b Over R kan P faktoriseres i lineære og kvadratiske faktorer (tekst etter T.1 i P.6). 34:G.7

7 Faktorisering av polynomer og polynomdivisjon (forts.) Hvis Q(x) P(x) er rasjonal funksjon, dvs. P, Q er polynomer, av grad q og p hhv., og q p, kan vi ved polynomdivisjon nne: Q(x) P(x) = T (x) + Q 1(x) P(x), der T =polynom av grad q p, og Q 1 =polynom av grad< p. Dette er nyttig f.eks.: Q ved funksjonsdrøfting: siden lim 1(x) x ± = 0, vil Q(x) P(x) P(x) T (x) når x ±. (Vi sier at T (x) er en asymptotefunksjon til Q(x) P(x) ) (Ÿ4.6) Q(x) fordi P(x) dx = T (x) dx + Q 1(x) P(x) dx, hvor T (x) dx er Q lett. For å nne 1(x) P(x) dx faktoriserer vi P i lineære og kvadratiske faktorer og bruker delbrøksoppspalting (Ÿ6.2). 46:G.1(a1),G.3a,G.5a(ii); 47:G.1a

8 Faktorisering av polynomer og polynomdivisjon-annen bruk ɛ δ-oppgaver lim x a f (x) = L med f polynom eller rasjonal funksjon: faktoriserer ut x a fra f (x) L. OI:4; 35:G.1 Grenser av kvotienter f (x) g(x) f (x) og g(x) og forkorter. der vi faktoriserer ut samme faktor i OI:3a; 36:G.2a; 41:G.1a,G.4a

9 ɛ δ denisjon av grenser, Ÿ1.5 Se også folk.uib.no/st00895/mat111-h16/notat-grenserogkont.pdf Bruk av denisjon på enkle funksjoner. Vær obs på føring! Obl.I:4, 35:G.1-2, 43:G.2d, 47:G.8b Bruk av denisjon til å vise at en grense ikke eksisterer: lim x 0 cos ( ) 1 x eller limx cos x (intuitiv forklaring vil også gi uttelling) Obl.I:3d; 37:G.1a Bruk av denisjon til å vise teoretiske resultater (som grensesetningene T.2 i Ÿ1.2, skviseteorem T.4 i Ÿ1.2...), gjerne i kombinasjon med denisjon av kontinuitet (T. 7 i Ÿ1.4) Obl.I:6; 37:G.5 ; 39:G.7c ; 44:G.7. Bruk av denisjon til å avgjøre kontinuitet av mer kompliserte funksjoner (for vanskelig for eksamen) 36:G.6,G.8. Fokusér på lim f (x) = L. x a

10 Grenseverdier: teknikker Grensesetningene (T. 2 i Ÿ1.2), også for x ± og ensidige grenser. Husk muligheten å forkorte felles faktorer i teller og nevner. OI:3a; 36:G.2a; 41:G.1a,G.4a Skviseteoremet (T. 4 i Ÿ1.2), også for x ± og ensidige grenser. Brukes typisk når en faktor svinger men er begrenset, som x sin ( ) 1 x når x 0 og sin x når x. x OI:3e,7d-f; OII:6e; 37:G1abc,G.2(i)(ii); 43:G.2c x ± : isolér { høyeste potens av x. NB: Husk fortegn: x, x x 2 = x =. OI:3bc,7def; 36:S.1 x, x l'hôpitals regler (både når x a og x ±, og for ensidige grenser) Ÿ. 4.3 (husk betingelsene og å begrunne bruk; merk: noen ganger må man bruke dem ere ganger på samme grense) OII:6; OIII:3b; 41:G.1b,G.4b,G.5c,G.7,G.8, 43:G.2a

11 Grenseverdier: teknikker (forts.) Omskrive uttrykk vha Taylorpolynom og restledd (slutten av Ÿ4.10), men dette har vi ikke gjort noe særlig av i dette kurset. Eks bruke at cos x = 1 x2 + x4 2 4! + E 4(x) til å regne ut: cos x 1 + x2 2 lim x 0 x 4 ( ) 1 = lim x 0 4! + E 4(x) = 1 x 4 4! ved å vise at lim x 0 E 4 (x) x 4 = 0. Kjente grenser (T. 5 i Ÿ. 3.4): Hvem vinner av e x, x a, ln x? lim x OII:6d x a = 0, lim x e x ln x Kjent grense (T. 8 i Ÿ2.5): lim x 0 x a = 0, lim x x a e x = 0, sin x (Alle disse kan også løses ved l'hôpitals regler) x = 1 OII:6a lim x a ln x = 0. x 0 +

12 Grenseverdier: teknikker (forts.) Husk: muligheten å forkorte, forenkle, sette på felles brøkstrek, f.eks. for å omforme til [0/0] eller [ / ]-uttrykk der man kan bruke l'hôpital. 41:G.1b,G.5c Husk: for å beregne lim f (x) g(x), skriv om som f (x) g(x) = e ln (f (x)g(x) ) = e g(x) ln f (x), regn ut lim g(x) ln f (x) og bruk at lim e g(x) ln f (x) = e lim g(x) ln f (x) siden e x er kontinuerlig (T.7 i Ÿ1.4). OII:6d Merk: kombinasjon med Fundamentalteoremet i kalkulus, grenseverdier som involverer integralfunksjoner. x f (t) dt 0 Eks lim x 0. OIII:3b; 44:S.2,G.3,G.6 x

13 Grenseverdier: bruk Vise at f er kont. i a ved å vise lim x a f (x) = f (a), spesielt når f har delt uttrykk i a. OI:7d,7f; OII:6a; 36:G.7 ; 37:G.1b,G.2(i)(ii); 39:S.1; 41:S.1a,G.1c,G.4b; 44:G.5a,G.6a ; 46:G.4a Variant: vise at f har en kontinuerlig utvidelse til a ved å vise at lim x a + f (x) eller lim x a f (x) eksisterer. 36:G.2b Avgjøre om f er derivérbar i a (og evt. regne ut f (a)) ved å f (a+h) f (a) studere grensen lim h 0 (def. av derivérbarhet), h spesielt når f har delt uttrykk i a. OI:7e; OII:6c; 36:G.2c,G.7 ; 37:G.1d,G.2d; 38:G.7; 39:S.1; 40:g.6 ; 41:S.1a,G.4c; 44:G.5a Beregning av uegentlige integraler 46:G.2c,G.3b,G.4d,G.9 ; 47:G.1c,G.2b

14 Grenseverdier: bruk (forts.) Finne asymptoter (vertikal, horisontal, skrå) OII:6d,7e-f; 41:G.6a ++ Beregning av grenser for å avgjøre eksistens av globale ekstremalverdier når funksjonen ikke er kontinuerlig på et lukket, begrenset intervall, eller for å kunne skissere grafen OI:7g; OII:7c; 41:S.2,G.5c,G.6bc; 43:G.1c,d; 44:G.5b-c; 46:G.4b Beregning av grenser for å avgjøre verdimengde (kombinert med skjæringssetn. for kont. funk.) OII:1e Vurdering av løsning av anvendt startverdiproblem når tiden t 45:S.1d,G.3,G.8; 46:G.6b

15 Kontinuitet-basisresultater Ÿ1.4 Denisjon kont. i punkt lim x a f (x) = f (a) (se ovenfor) Denisjon kont. i intervall/denisjonsmengde (kont. i alle punkt i intervallet/denisjonsmengden) Husk: f kont. betyr f kont. i alle punkt i sin def.mengde OI:7ab T.7 i Ÿ1.4: lim f (g(x)) = f (lim(g(x)) hvis f kont. i L = lim g(x). Viser at sammensetninger av kont. funksjoner er kont. x er kont. (lett ved def.!) Trigonometriske funksjoner er kont. (T.7 i Ÿ2.5: sin x og cos x) Integralfunksjoner x a f (t) dt er kont. hvis f er det (Fund.teoremet Ÿ5.5), spesielt er ln x = x dt kont (Ÿ3.3) 1 t Inverse funksjoner til kont. funksjoner er kont. (47:G.7c, står dessverre ikke eksplisitt i boken). Spesielt er exp x = e x (er invers til ln x) og alle inverse trigonometriske funksjoner kont.

16 Kontinuitet-basisresultater (forts.) T.6-7 i Ÿ1.4: kombinasjoner av kont. funksjoner (ved aritmetiske regler som ±,, /, røtter, absoluttverdi og sammensetninger) er kontinuerlige. OI:7b; 41:G.1c Hyperbolske funksjoner og deres inverse Ÿ3.6, og a x = e x ln a og log a x = ln x (Ÿ3.2-3), er kont. ln a h(x) g(x) f (t) dt er kont. hvis f, g, h er kont. (sammensetning av kont. funk.)

17 Dirichlets funksjon: diskontinuerlig overalt! f (x) = { 1, x rasjonal; 0, x irrasjonal. Rasjonale og irrasjonale tall ligger tett på tallinjen, dvs. at i ethvert intervall, uansett hvor lite det er, vil det nnes både rasjonale og irrasjonale tall. Sammen med ɛ δ denisjonen gir dette at lim x a f (x) ikke eksisterer for noen a. (Går også an å resonnere intuitivt!) Dette viser at f er diskontinuerlig i alle punkt. 36:G.6 Dette er også et eksempel på en funksjon som ikke er integrérbar på noe intervall (ikke eksamensaktuelt). 43:G.4

18 Funksjon som er diskont. i Q og kont. i R \ Q g(x) = { 1/q, om x = p/q er en fullt forkortet heltallsbrøk; 0, x irrasjonal, denert på (0, 1), kalt Thomaes funksjon, popcorn-funksjonen, eller Stars over Babylon. Kan vise (ved ɛ δ-denisjonen) at lim x a g(x) = 0 for alle a. Dermed er g(x) er kontinuerlig i alle irrasjonale tall og diskontinuerlig i alle rasjonale tall i denisjonsmengden. (Ikke eksamensaktuelt) 36:,G.8

19 Kontinuitet: Skjæringssetningen/IVT (T.9 i Ÿ1.4) f kont. på lukket begrenset [a, b] = f antar alle verdier mellom f (a) og f (b). Geometrisk: grafen til en kontinuerlig funksjon er sammenhengende på intervaller. Bruk: nne verdimengde til f (x). OII:1e; Kap1:Ch.Probl.8 ; 41:G.6e Bruk: vise at f har nullpunkt i [a, b] (f (a) og f (b) har motsatt fortegn). S.1(1); 40:G.2a;G.5a; 47:G.11 Lignende bruk: vise at ligning f (x) = g(x) (med f og g kont.!) har løsning ved å bruke skjæringssetning på h(x) = f (x) g(x). Ekvivalent formulering: vise at grafene til f og g skjærer hverandre. OI:5a; OII:5a; OIII:7c; 36:G.3,G.4,G.5 Lignende bruk: vise at f har et kspunkt (def.: punkt x der f (x) = x) ved å bruke skjæringssetning på g(x) = f (x) x. OI:5cde

20 Kontinuitet: Skjæringssetningen/IVT (forts.) Anvendte oppgaver OI:5e; 36:G.3; Brukes i bevis, som f.eks. for sekantsetningen, og i teoretiske spørsmål 36:G.4 ; 39:G.6 ; i lærebok

21 Kontinuitet: Ekstremalverditeoremet/Max-Min (T.8 i Ÿ1.4) f kont. på lukket begrenset [a, b] = nnes p, q [a, b] slik at 43:G.3b f (p) f (x) f (q) for alle x [a, b] (dvs. f oppnår maks. og min. (og er dermed begrenset).) Bruk: kan nne maks. og min. til f på [a, b] ved å sammenligne verdiene til f i endepunktene a og b, kritiske/stasjonære punkt (der f = 0) og singulære punkt (der f ikke eksisterer), siden disse er de eneste punktene der maks og min kan forekomme (T.6 i Ÿ4.4) og Ekstremalverditeoremet garanterer at maks og min forekommer. 41:S.1d,G.2 Bruk: begrunne at maks. og min. forekommer (evt. nne dem) ved å restrisere def.mengden til et lukket, begrenset intervall og studere verdiene utenfor intervallet OI:7g; 41:S.2 Bruk: har at f (x) max{ f (p), f (q) } (altså f er begrenset), som kan være nyttig å bruke i mange tilfeller (eks. estim. av restledd i Taylors formel, feilestim. i num. integr.)

22 Kontinuitet: Integrérbarhet (T.2 i Ÿ5.4) f kont. på lukket begrenset [a, b] = f integrérbar på [a, b] (Mer senere)

23 Kontinuitet: ellers Flere andre resultater som krever kontinuitet av en funksjon (f.eks. Sekantsetningen).

24 Derivérbarhet-basisresultater Ÿ2.1-6 f (a+h) f (a) Def f derivérbar i a dersom lim h 0 eksisterer. Da h denerer vi den deriverte f (a) til å være denne grensen. Geometrisk tolking: betyr at grafen til f har en tangentlinje (=grensen til sekantlinjene) i (a, f (a)) med endelig stigning, som er f (a). OBS Husk hvordan man nner ligning til en linje med gitt stigning i et punkt (og også ligning for linje gjennom to punkt)). OI:8bc,9; 42:G.10 ; 46:G.11

25 Derivérbarhet-basisresultater (forts.) f (a+h) f (a) Dersom grensen lim h 0 ikke eksisterer, men er h eller, har grafen til f en vertikal tangentlinje i (a, f (a)). f (a+h) f (a) Dersom grensen lim h 0 ikke eksisterer, og er heller h ikke eller, har grafen til f ingen tangentlinje i (a, f (a)) (vi ser at grafen har et knekkpunkt)

26 Derivérbarhet-basisresultater (forts.) Må kunne bruke def. av derivert, spesielt i tilfeller der f har delt uttrykk i et punkt eller i mer teoretiske betraktninger (se ovenfor); 38:G.7. Viktig (T.1 i Ÿ2.3): f deriv. i a f kont. i a. Motsatt gjelder ikke. OI:7f; OII:3a; 43:6.3a

27 Derivérbarhet-basisresultater (forts.) Derivasjonsregler i Ÿ2.3-6, Ÿ3.3,5-6, spesielt Kjerneregel (Ÿ2.4) Derivasjonsregel for invers funksjon: dersom f 1 er invers funksjon til f og f (f 1 (x)) 0, da er d f 1 1 (x) = dx f (f 1 (x)) (litt gjemt i en boks i Ÿ3.1). OII:7g; 41:G.9 Fund.teoremet (T. 5 i Ÿ5.5): d dx x a f (t) dt = f (x) for f kont. Husk: kombinasjon med kjerneregel for å beregne mer generelt ( d h(x) f (t) dt = d h(x) ) g(x) f (t) dt f (t) dt. dx dx g(x) OIII:3a; 44:G.1,G.2(i),G.4a,G.6b,G.8 ; 47:S.3,G.7,G.8h Husk: for å beregne d dx f (x)g(x), skriv om som f (x) g(x) = e ln (f (x)g(x) ) = e g(x) ln f (x) og bruk kjerneregel. 44:G.2(ii) a a

28 Derivérbarhet: Kontinuerlig ingensteds derivérbar funksjon Weierstrass-funksjonen (ikke eksamensaktuelt!), kontinuerlig overalt, men ikke derivérbar i noe punkt (MAT211). Se også en.wikipedia.org/wiki/weierstrassfunction

29 Derivérbarhet: Implisitt derivasjon Ÿ2.9 Ligning med to størrelser, eks. x og y som beskriver kurve i planet. Betrakter den ene, f.eks. y, som funksjon av den andre (gitt implisitt, fordi vi ikke har et eksplisitt uttrykk y(x) =uttrykk i x). Å derivere implisitt betyr at vi deriverer begge sidene av ligningen mhp x, og må derfor bruke kjerneregel der y dukker opp. OI:8ab; OIII:8b; 37:G.3; 42:G.7 Kan f.eks. brukes til å nne stigningen (og dermed ligningen) til tangenten til en kurve i planet i et bestemt punkt, siden dy dx angir stigningen til tangenten. OI:8cd,9; 37:G.3; 42:G.6a Brukes til å nne derivert til inverse funksjoner (Ÿ3.3, 3.6), ved å bruke y = f (x) x = f 1 (y). Kan også brukes til å nne høyere ordens deriverte og taylorpolynomer uten å ha et eksplisitt uttrykk for funksjonen. 42:G.6b,G.7c ; 46:G.10

30 Derivérbarhet: Implisitt derivasjon (forts.) Noen ganger har vi en ligning med to størrelser, si x og y, der begge er funksjoner av en tredje størrelse, si t (tiden i praktiske problemer). Når vi deriverer ligningen mhp t må vi bruke kjerneregel både på x(t) og y(t) og får en ligning som involverer dx, x(t) og y(t)., dy dt dt Ofte praktiske problemstilinger (relaterte rater Ÿ4.1): Volum av vann i vannkar V (h) er funksjon av vannhøyde h, som igjen er funksjon av tiden t. Ofte kombinert med rotasjonslegemer. To avstander x(t) og y(t) (eller en vinkel) som er avhengige av tiden og relatert til hverandre med en ligning. Husk: trigonometriske betraktninger, fart som derivert av strekning, akselerasjon som derivert av fart osv. (Strekning, fart og akselerasjon er eneste fysikk som forventes at dere kan på eksamen) OII:4a; OIII:8ab, 40:G.1,G.3; 47:S.4b,G.7,G.10b

31 Derivérbarhet: Sekantsetning (MVT T. 11 i Ÿ2.8) f kont. på [a, b], deriv. på (a, b) = nnes c (a, b) slik at f f (b) f (a) (c) = b a Geometrisk tolkning: nnes punkt c der tangentlinjen til grafen har samme stigning (nemlig f (c)) som sekantlinjen f (b) f (a) b a ). mellom (a, f (a)) og (b, f (b)) (nemlig Praktisk tolkning: har man kjørt med gjennomsnittsfart v, så har man på ett eller annet tidspunkt kjørt med (momentan)fart v. OII:4b; 38:G.1,G.9

32 Derivérbarhet: Sekantsetning (forts) f kont. på [a, b], deriv. på (a, b) = nnes c (a, b) slik at f (c) = f (b) f (a) b a Rolles teorem er spesialtilfellet med f (a) = f (b), som gir f (c) = 0 for en c (a, b). 38:G.4 Sekantsetningen for integraler (T. 4 i Ÿ. 5.4) (som vi trenger i utledningen av Fundamentalteoremet) behøver vi ikke gå rundt og huske, siden den er en direkte konsekvens av Fund.teoremet og den vanlige sekantsetningen på F (x) = x f (t) dt: a f (c) FT = F (c) SS = F (b) F (a) b a = b a f (t) dt a f (t) a = b a b a f (t) dt. b a Den generaliserte sekantsetningen (T. 16 i Ÿ. 2.8) bruker vi for utledningen av l'hôpital og er heller ikke noe vi går rundt og husker, siden den kan lett utledes av den vanlige sekantsetn.

33 Konsekvenser av sekantsetning: bestemme monotoni Avgjøre om en deriv. funksjon er voksende/avtagende eller konstant på et intervall I. La J være I bortsett fra eventuelle endepunkt (J er det indre av I ). f > 0 på J f voksende på I ; f = 0 på J f konstant på I ; f < 0 på J f avtagende på I ; Brukes ofte for å klassisere ekstremalverdier (maks eller min?) OII:7b; OIII:3a; 38:G.7; 41:S.1d,S.2,G.2b,G.3a,G.5aG.6b; 44:G.8 Midterste punkt gir at to antideriverte til f (dvs. F s.a. F = f ) på et intervall er like opp til en konstant (og er årsaken til konstanten C som alltid dukker opp når vi nner ubestemte integraler). Vi bruker notasjonen f (x) dx for en generell antiderivert til f på et intervall og kaller det det ubestemte integralet. Husk også bruk på funksjoner av typen x h(x) g(x) OIII:3a; 44:G.4a,G.8 a f (t) dt (eller f (t) dt) vha Fundamentalteoremet (pluss kjerneregel).

34 Konsekvenser av (bevis) sekantsetning: nne maks/min Viktig T.14 i Ÿ2.8: f deriv. i åpent intervall I med lokal maks/min i p I f (p) = 0. Viktig konsekvens T.6 i Ÿ4.4: Eventuelle (globale og lokale) ektremalverdier kan forekomme kun i eventuelle endepunkter, kritiske/stasjonære punkt (der f = 0) og singulære punkt (der f ikke eksisterer). Kombinér eventuelt med Ekstremalverditeoremet som garanterer at maks og min forekommer når f er kont. på lukket, begrenset intervall). OI:7g; 41:S.1d,S.2,G.2

35 Andre anvendelser av sekantsetning Vise ulikheter: Hvis f K i et intervall I, har man f (a) f (b) K b a for alle a, b I. 38:G.3; 43:G.2b; 41:S.1d,S.2,G.2 Dette siste, når K < 1, er nyttig for å vise at betingelse (ii) i Fikspunktteoremet (T. 1 i Ÿ4.2) er oppfylt OII:5g; 40:S.2c,G.4 Anvendte spørsmål som involverer strekning og fart OII:4b; 38:G.1,G.9 Nyttig i mange teoretiske spørsmål OII:3b; 38:G.8 ; 43:G.3c,G.5-7

36 PS: Om sekantsetning Grunnen til at den ikke nevnes i VGS er at monotonitet forklares med en spansk en, nemlig at hvis den deriverte er positiv (hhv. negativ) i et punkt, så vil funksjonen automatisk være voksende (hhv. avtagende) i et intervall rundt punktet (se neste side), som ikke er riktig (med mindre f er kontinuerlig i punktet). Moteks { x + 2x 2 sin ( ) 1 x, x 0; f (x) = 0, x = 0 oppfyller f (0) = 1 (bruk def. av derivert) men f er ikke voksende i noe intervall rundt 0. 38:G.10

37

38 Taylorpolynomer (Ÿ ) Taylorpolynom av orden n til f om punktet x = a er P n (x) = n k=0 f (k) (a) (x a) n k! (forutsetter at alle deriverte ovenfor eksisterer). 42:S.1a,G.2a,G.4a,G.5b,G.6b,G.7c ; 43;G.1e; 46:G.10 ; 47:G.8e,S.3 Dette er det entydige polynomet som oppfyller at de første n deriverte i a er lik de første n deriverte til f i a. Taylorpolynomet av orden 1 kalles også den lineære tilnærmingen til f i a (kalt L(x) i Ÿ. 4.9), og er ligningen til tangenten til grafen til f i (a, f (a)). For å beregne P n (x) må vi altså derivere n ganger, og dersom n er vilkårlig, må vi nne en formel for den nte deriverte f (n) (x) ved induksjon. OIII:2d

39 Taylors formel med restledd (Ÿ ) Taylors teorem (T. 12 i Ÿ4.10): f (x) = P n (x) + E n (x) der E n (x) = f (n+1) (s) (n + 1)! (x a)n+1 for en s mellom x og a. 42:S.1a,G.2a Sier: f (x) P n (x) med feil E n (x). OIII:2a; 42:S.1b,G.2a,G.4a Ved å begrense f (n+1) (s) (for alle s mellom x og a), kan vi begrense E n (x) og dermed gi et overslag over feilen og mer presist angi et intervall der f (x) ligger uttrykt ved P n (x). OIII:1b,2bcf; 42:S.1b,G.2a,G.4ab,G.5c,G.8 ; 43:G.1e; 47:S.3 F.eks. nne n slik at feilen er liten nok OIII:2e

40 Taylors formel med restledd (eks på begrensning) Eks: ( ) Husk at E n(x) = f (n+1) (s) (x a) n+1 for en s mellom x og a (n+1)! a < x og at x b (f.eks. x = b og vi ønsker å approksimere f (b)). a < s < x b. Anta at vi nner Anta at Da er m f (n+1) (s) M for alle s (a, b), da vil (ved å multiplisere med (x a)n+1 (n+1)! ): ( ) m (n + 1)! (x M a)n+1 E n(x) (n + 1)! (x a)n+1, for alle x [a, b] og (ved å addere P n(x) og bruke at f (x) = P n(x) + E n(x)): ( ) P m n(x)+ (n + 1)! (x a)n+1 f (x) P M n(x)+ (n + 1)! (x a)n+1, for alle x [a, b] OIII:1b; 42:G.2a,G.4b,G.5c PS Hvis x < a må vi passe på at (x a) n+1 < 0 når n er odde, slik at ulikhetene blir snudd i (*)-(**).

41 Entydighet av Taylopolynomer (**) sammen med lignende utregning i tilfellet x < a sier også at E n (x) = f (x) P n (x) K (x a) n+1 for en konstant K > 0 i et intervall rundt a. Dette er helt spesielt for Taylorpolynomer: T. 13 i Ÿ4.10: Taylorpolynomet P n (x) om x = a er det eneste polynomet av grad n som oppfyller at f (x) P n (x) K (x a) n+1 for en konstant K > 0 i et intervall rundt a. Kan brukes til å beregne nye Taylorpolynomer vha gamle og beregne grenser (slutten av Ÿ4.10), men dette har vi ikke gjort noe særlig av i dette kurset. Merk at jeg unngår å bruke formuleringer vha Big-O-notasjon fra slutten av Ÿ4.10, men formulerer heller vha ulikheter som i denisjonen av Big-O-notasjon.

42 Funksjonsdrøfting, Ÿ For en oversikt, se folk.uib.no/st00895/mat111-h16/funksjonsdrofting-handout.pdf OII:7; OIII:3a; 41:S.1,S.2,G.3a,G.5,G.6; 43:G.1; 44:G.5abc; 46:G.4bc,G.11a ; 47:G.8a Avgjøre monotoniegenskaper (voksende/avtagende) Finne lokale og globale maks/min, se ovenfor. (EP,KP,SP!) Avgjøre krumning (vha. dobbeltderivert) Finne mest mulig informasjon om graf, eks. asymptoter, grenser mot ±, grenser mot punkt der funksjonen ikke er kontinuerlig eller denert. Ofte ikke egen oppgave, men del av andre (eks. ligningsløsning=nne nullpunkt til funksjon; studie av restledd i Taylors formel; vurdering av fortegn på feil i Newtons metode og trapesregelen) OII:5bdgh; OIII:7c ++ Kan være et praktisk Maks/Min-problem (Ÿ4.8). Viktig å begrunne at verdien man nner er maks/min (kan være min mens man leter etter maks), husk å sjekke endepunkter i denisjonsområdet. OIII:1a; 42:S.2,G.1,G.3,G.9,G.10 ; 47:G.13a

43 Inverse funksjoner f med denisjonsmengde D(f ) er én-til-én hvis x 1 x 2 D(f ) f (x 1 ) f (x 2 ) (ekvivalent: x 1, x 2 D(f ) med f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 ). (Geometrisk: horisontale linjer snitter grafen til f i høyst ett punkt) For en slik f kan vi denere den inverse funksjon f 1 ved f 1 (y) = den entydige x D(f ) slik at f (x) = y for alle y V (f ) (verdimengden til f ), dvs. ( ) f 1 (y) = x f (x) = y (*) sier også: f er den inverse til f 1, m.a.o. ( f 1) 1 = f (*) sier også: f (f 1 (y)) = y og f 1 (f (x)) = x sammensetning av funksjon med sin invers er identiteten Eks ln e x = x og e ln x = x 39:G.1

44 Inverse funksjoner (forts.) Egenskapen ( ) f 1 (y) = x f (x) = y bruker vi ofte: f.eks. ln x = y e y = x eller log 10 x = y 10 y = x eller ) x = a sin θ x a = sin θ θ = sin 1 ( x a når vi substituerer i integraler (Ÿ6.3)

45 Inverse funksjoner: andre egenskaper f og f 1 har ombyttede denisjons- og verdimengder OII:1e; 41:G.6e,G.9 Grafene til f og f 1 (med samme variabel x) er speilbilder av hverandre om linjen x = y 41:G.6e Gir intuitiv forklaring på at inverse funksjoner til kont. funksjoner er kont. (47:G.7c, står ikke eksplisitt i boken). Derivasjonsregel: dersom f (f 1 (x)) 0, da er d f 1 1 (x) = (litt gjemt i en boks i Ÿ3.1). dx f (f 1 (x)) OII:7g; 41:G.9

46 Å vise at en invers eksisterer = å vise én-til-én (evt. ikke) Vis algebraisk at f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Ofte vanskelig, men lett å avkrefte, dvs. nne x 1 x 2 med f (x 1 ) = f (x 2 ), som viser at f ikke er én-til-én. OII:1 Vis at f er én-til-én ved å vise at f er voksende eller avtagende (NB: derivert-testen gjelder bare intervallvis) OII:1,7g; 39:G.7a ; 41:G.3b,G.6e; 44:G.4b f deriv. med f 0 overalt i et intervall I nnes ved Sekantsetning/Rolle ingen x 1 x 2 slik at f (x 1 ) = f (x 2 ) f er én-til-én Noen (få) ganger kan man nne f 1 eksplisitt ved å løse y = f (x) med hensyn på x og få ut x = g(y). Da er g = f 1 per denisjon. Eks y = x x = y 1+x 1 y 41:G.3b,G.6e

47 Løsninger på ligninger/nullpunkt til funksjoner Omformer man en ligning til f (x) = 0, er løsningene på ligningene lik nullpunktene til f. Er f kontinuerlig, kan man vise eksistens av løsning ved skjæringssetning og man kan lokalisere løsningen i et intervall [a, b] ved å vise at f (a) og f (b) har motsatt fortegn. OI:5a; OII:5a; OIII:7c; 38:S.1,G.1,G.2; 40:S.1,G.2a,G.5a; 41:G.5d,G.6d; 47:G.8c,G.11a Er f derivérbar, kan man drøfte f (nne hvor f er voksende og avtagende) for å angi maks antall løsninger. (Ofte må man kombinere med sunn fornuft, f.eks. vil f (x) = 1 2 x + sin x variere mellom å være voksende og avtagende, men det er lett å se at den ikke har nullpunkter på (0, ).) Man kan også bruke Rolles teorem direkte, som sier at mellom to nullpunkter må den deriverte være null i minst ett punkt. OII:5b; OIII:7c; 38:S.1,S.2,G.1,G.2; 40:S.1a,G.2a,G.5a; 41:G.5d,G.6d; 47:G.8c,G.11a

48 Løsning på ligninger form f (x) = 0: Newtons metode Ÿ4.2 Newtons metode x n+1 = x n f (xn) f (x n, ved å starte i et punkt x 0, kan brukes til å nne tilnærmede verdier til et nullpunkt til f OII:5c; OIII:7d; 40:S.1b,G.2b,G.5b; 42:G.4c; 47:G.8c,G.11c Ved å tenke på hvordan metoden fungerer geometrisk, kan man avgjøre om den tilnærmede løsningen er for stor eller for liten i forhold til den riktige verdien av nullpunktet. (Krumning og monotoni til graf.) OII:5d; 40:S.1b,G.2b Se folk.uib.no/st00895/mat111-h16/newton0.html Feilestimeringsteoremet T.2 i Ÿ4.2 har vi ikke brukt i kurset. Når vi har iterert nok ganger til at følgen x n har stabilisert seg, kan vi igjen bruke skjæringssetningen til å avgjøre om den tilnærmede løsningen er korrekt med et visst antall desimaler. Boken og løsningsforslag på tidligere eksamensoppgaver er litt late på dette punktet, se heller igjen folk.uib.no/st00895/mat111-h16/newton0.html OIII:7d; 40:G.5b; 47:G.11c

49 Løsning på ligninger form f (x) = x: Fikspunktiterasjon Ÿ4.2 Omformer man en ligning til f (x) = x, er løsningene på ligningene lik kspunktene til f. OII:5e; 40:S.2a Da kan man bruke Fikspunktiterasjon x n+1 = f (x n ), ved å starte i et punkt x 0, for å nne en tilnærmet verdi på en løsning. OII:5f; OIII:7d; 40:S.2b Fikspunktteoremet T.1 i Ÿ4.2 garanterer (under visse betingelser) både at løsningen nnes og er entydig, og at følgen {x n } i Fikspunktiterasjonen konvergerer mot løsningen, dvs. x n kommer så nær vi vil den virkelige løsningen bare n er stor nok. OII:5g; 40:S.2c,G.4 Merk: betingelse (ii) i Fikspunktteoremet kan sjekkes vha Sekantsetningen hvis f er derivérbar med f K for en K < 1, se folk.uib.no/st00895/mat111-h16/fikspunktiterasjon.html Merk også (samme side) at Sekantsetningen viser at iterasjonen ikke konvergerer dersom vi er i intervaller der f 1. OII:5gh; 40:S.2c,G.4

50 Riemannsummer og egenskaper til bestemt integral (Ÿ5.2-4) Denisjon og beregning av (enkle) Riemannsummer n i=1 f (c i) x i (Ÿ5.3). Spesielt øvre og nedre Riemannsummer. 43:S.1,G.4 ; 44:G.7 Denisjon av det bestemte integralet b f (x) dx som grense a av øvre og nedre Riemannsummer. Vi sier at f er integrérbar på [a, b] når denne grensen eksisterer. (Detaljer gis i MAT112 og bygger på kompletthet av R og er derfor ikke eksamensaktuelt i MAT111. Det er f.eks. ikke aktuelt å spørre om en grense av n i=1 f (c i) x i når n eller gi teoretiske oppgaver som involverer denisjon av bestemt integral) NB: Man trenger ikke beregne bestemte integraler med Riemannsummer på eksamen med mindre man blir eksplisitt bedt om det: bruk andre metoder!

51 Riemannsummer og egenskaper til bestemt integral (forts.) Geometrisk tolkning av b a f (x) dx som arealet mellom grafen til f på [a, b] og x-aksen, telt negativt der f < 0 eller hvis b < a Basisegenskaper til bestemt integral som følger av denne geometriske tolkningen (Ÿ5.4): f.eks. a f (x) dx = 0, c f (x) dx = b f (x) dx + c f (x) dx OIII:5b a a b Viktig: T.2 i Ÿ5.4 (bevis i MAT112) f kont. på lukket begrenset [a, b] = f integrérbar på [a, b] Ikke-integrérbare funksjoner må derfor være diskontinuerlige, og det kan vises at de må være det i mange punkt, som f.eks. Dirichlets funksjon ovenfor (ikke eksamensaktuelt). 43:G.4 Sekantsetningen/MVT for integraler (T. 4 i Ÿ. 5.4) (som vi trenger i utledningen av Fundamentalteoremet) behøver vi ikke gå rundt og huske, siden den er en konsekvens av Fund.teoremet og den vanlige sekantsetn. (se tidligere slide) a

52 Fundamentalteoremet i kalkulus (T. 5 i Ÿ5.5), del I Funksjoner på formen F (x) = x a f (t) dt er kontinuerlige og derivérbare med F (x) = f (x), på intervall I der f er kontinuerlig og slik at a I.

53 Fundamentalteoremet i kalkulus, del I (forts.) Sier mer generelt at sammensetninger ( ) F (x) = = h(x) g(x) h(x) a f (t) dt = f (t) dt h(x) a g(x) a a f (t) dt + f (t) dt g(x) f (t) dt er kontinuerlige på I (når f, g, h er det og a I ). For å nne d h(x) dx g(x) f (t) dt omskriv som (*) og bruk kjerneregel (med kjerner g(x) og h(x)) pluss fundamentalteorem. 44:G.2(i); 47:G.7,G.8h Kan derfor funksjonsdrøfte, nne Taylorpolynomer av (osv.) funksjoner på formen F (x) som ovenfor, siden vi kan beregne F (x). OIII:3a; 44:G.1,G.4a,G.6b,G.8 ; 47:S.3,G.7

54 Fundamentalteoremet i kalkulus, del I (forts.) Husk varianter med kombinasjoner av andre funksjoner, f.eks. 1 h(x) x g(x) OIII:3b; 44:S.2,G.3 f (t) dt, kombinasjon med l'hôpitals regler. Merk også areal- og volumoppgaver der man må derivére uttrykk gitt med integraler (f.eks. for å nne maks/min): forsøker man å beregne integralet først og derivére etterpå, klarer man det ikke! Eks Finn a s.a. A(a) = 3a e x2 dx er a maks. OIII:5c; 47:G.7

55 Fundamentalteoremet i kalkulus (T. 5 i Ÿ5.5), del II Bestemte integraler til kontinuerlige funksjoner kan beregnes vha antideriverte: nn hvilken som helst F slik at F (x) = f (x) på [a, b b], da er f (x) dx = F (b) F (a). OIII:5d; 47:G.5a ++ a Husk: alle slike F er like opptil å addere en konstant C, og vi skriver dem som f (x) dx = F (x) + C (ubestemt integral eller generell antiderivert) Alle kontinuerlige f på [a, b] har en antiderivert på [a, b], nemlig x f (t) dt for en hvilken som helst c [a, b] ved c fundamentalteoremets del I, men ikke alle f har en elementær antiderivert, dvs. en antiderivert som kan uttrykkes vha kjente funksjoner. Dette gjelder f.eks. e x2 og cos(x 2 ). For slike funksjoner må det bestemte integralet regnes ut vha approksimasjoner (Trapesmetoden, Simpsons metode). Men ikke gjør det med mindre dere blir bedt om det.

56 Integrasjons/antideriveringsteknikker Ÿ5.6, Se oversikten på folk.uib.no/st00895/mat111-h16/integrasjon.html Substitusjon Ÿ5.6, 6.3: Tenk enkelt, gjenkjenn deriverte av uttrykk i integranden. Inverse substitusjoner er også substitusjoner. OIII:4,5d,6ab; 46:G.1(a2),G.3b,G.5a(i); 47:G.1c,G.11b Delvis integrasjon Ÿ6.1: brukes gjerne når integranden er et produkt der den ene faktoren forenkles ved derivasjon og den andre ikke blir mye verre ved integrasjon. OIII:6abc,7b; 45:S.1ab; 46:G.2b,G.3c,G.11b ; 47:G.1b Prosedyre for rasjonale funksjoner Ÿ6.2: polynomdivisjon, delbrøksoppspalting og fullføring av kvadrat. Se folk.uib.no/st00895/mat111-h16/intrasjfn-handout.pdf 46:G.1(a1),G.3a,G.5a(ii); 47:G.1a

57 Integrasjons/antideriveringsteknikker (forts.) Man må ofte kombinere ere av teknikkene. Eksamen vil ikke inneholde oppgaver som krever geniale triks eller substitusjoner, i så fall vil hint bli gitt. (F.eks. vil inverse substitusjoner av typen x = a sin θ osv. bli gitt som hint.) Husk elementære antideriverte, dvs. dem vi kjenner fordi vi har lært den deriverte av en funksjon Eks dx = tan 1 1+x 2 x + C eller dx = 1 a 2 +x 2 a tan 1 x + C. a Null poeng for å slå opp i permen i læreboken eller bruke og tilpasse et eksempel fra læreboken. Integraler skal utledes vha elementære antideriverte og teknikkene dere har lært. Unntak er helt opplagte substitusjonsintegraler som f.eks. xe x 2 dx = 1 2 ex2 + C eller x 2 cos ( x 3) = 1 sin ( x 3) + C. 3

58 Uegentlige integraler (Ÿ6.5) To typer R f (x) dx = lim a R f (x) dx a b a f (x) dx = lim c a + b c f (x) dx (når f ikke def. i a) Å beregne disse betyr egentlig bare å først nne et bestemt integral og så ta en grense (som ikke trenger eksistere). 46:G.2c,G.3b,6.4d,G.9 ; 47:G.1b,G.2b Alle uegentlige integraler av 1 for forskjellige p er kjent x p (T. 2 i Ÿ6.5); disse trenger vi imidlertid ikke å huske, vi kan utlede dem når det trengs. Noen ganger er vi kun interessert i å vite om integralet konvergerer (=grensen nnes) eller divergerer mot (grensen er ), og sammenligner med en kjent funksjon, gjerne 1/x p (Sammenligningsteoremet T.3 i Ÿ6.5) 46:G.1b,G.5b; 47:G.8 Et uegentlig integral kan være svar på anvendt problem (arbeid for å separere eller føre partikler sammen, men ikke eksamensaktuelt å kunne fysikk!) 46:G.9

59 Arealer (Ÿ5.7) og volumer (Ÿ7.1) Finne uttrykk for areal i planet avgrenset av grafer/kurver ved bestemt integral (bruk innitesimale arealelementer istedenfor å pugge uttrykk). Viktig å kunne nne snittpunkt mellom kurver. OIII:5ac; 44:S.1;G.5d; 46:G.2a Ofte kan det være lurt å integrere i y-retning. OIII:5a

60 Arealer og volumer (forts) Finne uttrykk for volumet av rotasjonslegemet som oppstår når et område i planet roteres om x- eller y-aksen (bruk innitesimale volumelementer istedenfor å pugge uttrykk). 47:S.4a,G.2,G.6,G.9a,G.10a,G.11b,G.12 Igjen kan det ofte være lurt å integrere i y-retning.

61 Arealer og volumer (forts.) Noen volumoppgaver kan ha en anvendt vri, som å beregne volum av vann i en tank V (h) som funksjon av vannhøyden h, og regne ut relasjonen mellom endringsraten volum og vannhøyde mhp tiden t: dv = dv dt dh kjerneregel!) 47:S.4b,G.6,G.7,G.9,G.10b dh dt (relaterte rater, husk Noen områder kan være ubegrenset og uttrykkene man ender opp med er derfor uegentlige integraler (som kan konvergere eller divergere). 47:G.1c,G.2b Se curvebank.calstatela.edu/torricelli/torricelli.htm for Gabriels horn/torricellis trompet

62 Dierensialligninger og startverdiproblemer (Ÿ7.9) To typer elementære: y (x) = f (x) y(x) = f (x) dx (Ÿ2.10); 38:G.5,G.6; 39:G.5 y (x) = ky(x) y(x) = Ce kx (Ÿ. 3.4). OII:2a; 39:G.3,G.4 ; 40:G.6 ; 45:G.2a To typer generaliseringer i Ÿ7.9, med to løsningsmetoder: Separable (husk evt. konstante løsninger!) OIII:6b,8d; 45:S.2b,G.3,G.5,G.6,G.7,G.8 ; 46:G.6a,G.7; 47:G.10b Første ordens lineæreløses ved å gange ligningen med integrerende faktor e µ(x) slik at den ene siden i ligningen blir en derivert. (Kan også bruke løsningsformelen i boks direkte) OIII:6c,7b; 45:S.1c,G.2c,G.4 Vær obs på at man kanskje må omforme ligningen slik at den får ønsket form, muligens med en substitusjon, som kan føre til tilleggsbegrensninger på x (eller y(x)). (Eventuelle substitusjoner vil bli oppgitt på eksamen) Strengt tatt bør man etterpå undersøke spesielt om y oppfyller diigningen i punkt der ligningen er denert, men prosedyren ikke fungerer (pga. f.eks. deling på x).

63 Dierensialligninger og startverdiproblemer (forts.) De generelle løsningene vil inneholde en konstant C (pga. antiderivasjon; merk at C 'en i løsning på 1. ordens lineære kommer ganget med e µ(x) ) Startverdiproblem betyr at man i tillegg har oppgitt en funksjonsverdi i et punkt, dvs. y(a) = y 0, slik at man kan bestemme C (i et intervall). Løsningen er gyldig i det største intervallet som inneholder a der y(x) er denert og derivérbar. OIII:6b,8d; 38:G.5a,G.6 Variant: får oppgitt lim x a ± y(x) = y 0, f.eks. når løsningen (pga. ligningen) ikke er denert i a men kun i et åpent intervall på den ene siden av a. OIII:6c Husk også at startverdiproblemet kan være utkledd som en integralligning, dvs. en ligning med en funksjon og et integral: derivér og bruk fundamentalteoremets del I for å få ut en diigning og sett inn en naturlig verdi i ligningen som gjør at integralet er 0 for å få en startverdi. OIII:6d

64 Dierensialligninger og startverdiproblemer (forts.) Oppgaver kan være anvendt formulert: man må kunne sette opp diigningen når man får opplyst f.eks. at en endringsrate er proporsjonal med noe. Dette vil (som oftest) involvere en ytterligere konstant K som vil dukke opp i løsningen i tillegg til integrasjonskonstanten C. Da trenger man to startverdier for å bestemme begge konstantene. OII:2b; OIII:7abc,8; 45:S.1c,S.2,G.2,G.3,G.4a,G.5,G.7,G.8ab ; 46:G.7 Oppfølgingsspørsmål knyttet til løsningen: Hva skjer med populasjonen når tiden går (mot )?, Når er vanntanken tom?, Hvor mange hvaler kan man drepe i året uten å utrydde bestanden? OII:2b; OIII:8e; 38:G.5b; 39:G.3,G.4,G.5 ; 45:S.1d,S.2b,G.3,G.4b,G.5,G.7,G.8c ; 46:G.6b,G.7 47:G.10b En diigning/startverdiproblem kan også være teoretisk formulert vha. egenskaper til en funksjon, som man da skal nne 40:G.6 ; 45:G.6 ; 46:G.8

65 Numerisk integrasjon Ÿ6.6-7 Må benyttes når vi ikke klarer å nne en elementær antiderivert til en integrand f, dvs. en antiderivert som kan uttrykkes vha kjente funksjoner. Dette gjelder f.eks. e x2 og cos(x 2 ). For slike funksjoner må det bestemte integralet regnes ut vha approksimasjoner. Tre metoder i MAT111: Midtpunktregelen (er Riemannsummen f (c i ) x i der c i er midtpunktet i hvert delintervall [x i 1, x i ]) Trapesregelen (tilnærmer f med en lineær funksjon gjennom endepunktene på hvert delintervall og gir derfor eksakt verdi hvis f er en lineær funksjon). Krumningen til f avgjør om den tilnærmede verdien blir for stor eller for liten. 47:S.2,G.3,G.8g,G.13b Simpsons regel (tilnærmer f med en kvadratisk funksjon gjennom endepunktene på hvert delintervall og gir derfor eksakt verdi hvis f er en kvadratisk funksjon-faktisk også hvis f er tredjegradspolynom!). 47:S.1,G.4,G.5c

66 Numerisk integrasjon (forts.) Hver metode kommer med estimater på feil ved tilnærmingen, som avhenger av høyere deriverte til f og antall delintervaller n man benytter. Klarer man å begrense de aktuelle deriverte, så klarer man f.eks. å svare på hvor stor n må (minst) være for å garantere en liten nok feil ved tilnærmingen. 47:S.1bc,S.2,G.5bc,G.8f,G.13b Numeriske metoder kan også brukes når vi ikke har et uttrykk for funksjonen f, men kun et endelig antall verdier, f.eks. målinger i en mer anvendt situasjon 47:G.4 Ikke bruk disse metodene på eksamen med mindre dere blir bedt om det!

67 All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy

68 All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy.

69 All work and no play makes Jack a dull boy All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy. All work and no play makes Jack a dull boy.

70 ALLWORKANDNOPLAYMAKESJACKADULLBOY Theorem All work and no play makes Jack a dull boy. Theorem All work and no play makes Jack a dull boy. Theorem All work and no play makes Jack a dull boy. Theorem All work and no play makes Jack a dull boy. Theorem All work and no play makes Jack a dull boy. Theorem All work and no play makes Jack a dull boy. Theorem All work and no play makes Jack a dull boy.