OVERSIKT MATEMATIKKLÆRERENS UNDERVISNINGSKUNNSKAP RENT PRAKTISK Profesjonskonferansen, 10.09.15 Larvik Janne Fauskanger Litt om teorien bak «undervisningskunnskap i matematikk» (UKM) UKM, rent praktisk Noen glimt fra vår forskning ved UiS For referanser/kopier av artiklene: http://ukm-stavanger.info INNLEDENDE DISKUSJON: UKM I GJELDENDE RETNINGSLINJER Hvordan vil dere beskrive lærerarbeidet i matematikk? Hva er noen sentrale deler av dette lærerarbeidet? Hva må dere kunne for å gjennomføre arbeidet? [ ] utvikle undervisningskunnskap i matematikk. Dette innebærer at de må ha en solid og reflektert forståelse for den matematikken elevene skal lære og hvordan denne utvikles videre på de neste trinnene i utdanningssystemet. Videre kreves matematikkfaglig kunnskap som er særegen for lærerprofesjonen. Slik kunnskap omfatter, i tillegg til selv å kunne gjennomføre og forstå matematiske prosesser og argumenter, også å kunne analysere slike som foreslås av andre med tanke på å vurdere deres holdbarhet og eventuelle potensial. Undervisningskunnskap innebærer også å ha didaktisk kompetanse som gjør at studentene kan sette seg inn i elevenes perspektiv og læringsprosesser, og gjennom variasjon og tilpasning kunne tilrettelegge matematikkundervisning for elever med ulike behov og med ulik kulturell og sosial bakgrunn på en slik måte at matematikk framstår som et meningsfullt fag for alle elever (Kunnskapsdepartementet, 010, s. 33, min utheving). EPISODE 1 Karen er lærer i. klasse. Elevene arbeider med addisjonsoppgaver hvor summen blir tosifret. Karen observerer at enkelte elever i klassen skriver de tosifrede tallene «speilvendt». Oda skriver på følgende måte: Karen lurer på hvordan hun skal angripe dette. Hun bestemmer seg for å samle inn alle elevenes arbeidsbøker for å få en oversikt over hvilke elever som «speilvender» den tosifra summen. Når Karen går gjennom arbeidsbøkene ser hun at en annen elev, Per, har skrevet følgende i sin arbeidsbok når han skulle finne ut hvor mange tær det er på fire føtter: EPISODE 1 FORTS. Per har regnet ut hvor mange tær det blir på fire føtter, og har skrevet 5 + 5 + 5 + 5 = 0 Tenk over spørsmålene under og diskuter dem med «naboen»: Hvordan tenker elevene som «speilvender» svarene og skriver 41, 81 og 0 i stedet for 14, 18 og 0 på oppgavene under? 3 + 11 = 41 9 + 9 = 81 3 + 11 = 41 5 + 5 + 5 + 5 = 0 9 + 9 = 81 Hva er det elevene forstår og ikke forstår? Handler dette om symbol, tall og/eller siffer? Hvordan vil du møte disse elevene om du var Karen? 1
EPISODE KAN KUNNSKAP NØDVENDIG I EPISODE MÅLES OG STUDERES? HVORDAN VILLE DA EN OPPGAVE SE UT? Lise, som er lærer i en 5. klasse, ba elevene sine om å finne tallet på den tomme linja i følgende oppgave: 8 + 15 = + 9 Hun observerte at ikke alle elevene kom fram til det korrekte tallet 14. En elev skrev 3, mens en annen skrev 3. Disse svarene følger vanlige feilmønstre, og Lise var forberedt på at de kunne dukke opp som mulige elevsvar. Hun hadde også planlagt hvordan hun eventuelt kunne hjelpe elever som kom fram til disse svarene. 8 + 15 = + 9 Matematisk problematisk Ikke matematisk problematisk Tenk over spørsmålene under og diskuter dem med «naboen». Hvordan tenker elevene som får svarene 3 og 3? Hva er det elevene forstår og ikke forstår? Hvordan kan Lise vite at disse feilsvarene vil forekomme? Hvilken kunnskap er det Lise baserer sine antagelser på? Hvordan vil du som lærer møte elevene som svarer 3 og 3, og vil du møte dem på samme måte? Hvilken type oppgaver ville du eksempelvis gi dem? Hvilke spørsmål ville du stilt? 14 + 5 = 19 + 5 = 4 + 5 = 10 7 = 3 + 9 = + 6 = 8 6 = + 7 = + 5 = 16 EN GOD START: RELASJONSTEGN I 1. KLASSE (FRA LÆREVERKET MATEMATIKK SE MATEMATIKKLANDET.NO) UKM MED FOKUS PÅ PROFESJONELL PRAKSIS Profesjon profesjonell kunnskap og profesjonsspråk (jf. Lortie, 1975) I UKM ligger en underliggende forståelse for undervisning som «a plausible conception of professional practice» (Hoover, Mosvold, & Fauskanger, 014) Ball og kollegaer (008) har foreslått slike «conceptions», basert på analyser av lærerarbeidet LÆRERARBEIDET I MATEMATIKK «The work of teaching mathematics» «By work of teaching, we mean the core tasks that teachers must execute to help pupils learn» (Ball & Forzani, 009, p. 497) Det handler derfor ikke bare om det arbeidet en gjør i undervisningen, men om alt undervisningsrelatert arbeid lærere gjør UTFORDRINGER I LÆRERARBEIDET Gjennom sine analyser av praksis forsøker Ball og kollegaer å dekomponere «the work of teaching» i konrete «tasks of teaching» Disse utfordringene i lærerarbeidet kan ses på som selve kjernen i den praksisbaserte teorien om UKM UKM-items har blitt utviklet for å operasjonalisere disse utfordringene i konkrete undervisningskontekster
BALL, THAMES OG PHELPS (008) SIN LISTE: Hvilke «tasks of teaching mathematics» mener dere er mest sentrale? Er det noen utfordringer dere mener mangler fra lista? UKM lærere har behov for i møte med undervisningsarbeidets utfordringer presentere matematiske ideer respondere på elevenes «hvorfor»-spørsmål finne eksempler for å få fram et bestemt matematisk poeng være klar over hva som involveres når en bestemt framstilling tas i bruk knytte representasjoner til underliggende ideer og til andre representasjoner knytte emnet en underviser i, til emner fra tidligere år eller til kommende emner forklare matematiske mål og hensikter til foreldre/foresatte vurdere og tilpasse det matematiske innholdet i lærebøker endre oppgaver slik at de blir mer eller mindre utfordrende forklare om elevenes påstander er rimelige (ofte raskt) gi, eller evaluere, matematiske forklaringer velge og utvikle gode definisjoner bruke matematisk notasjon og språk, og bedømme bruken stille fruktbare matematiske spørsmål velge ut hensiktsmessige representasjoner undersøke likheter EN UTFORDRING: Å FORSTÅ ELEVERS TENKNING Her er elevsvarsvar på en oppgave: Diskuter to og to: Hvilket barn er du helt enig med? Hvilket barn er du helt uenig med? Hvem svarer riktig og hvem svarer galt? For de som ikke har riktig svar. Hva kan årsaken til at de svarer feil være, og hvordan vil du veilede eleven videre? EPISODE 3 I en arbeidsøkt med fokus på likninger skal elevene til Per løse likningen 7x + 11 = 5. Per observerer at flere av elevene løser likninger uten å bruke likhetstegnet riktig, og en av elevene løser likningen på følgende måte: 7x + 11 = 5 = 7x = 14 = x = Per, som er fersk lærer i klassen, er overrasket over at dette forekommer i 7. klasse. Tenk over spørsmålene under, og diskuter dem med «naboen» Hvordan tenker elevene som får svaret x = på denne måten? Hva er det elevene forstår og ikke forstår? Hvordan kunne Per ha forutsatt at denne typen feil bruk av likhetstegnet kan forekomme? Hvordan vil du som lærer møte elevene med en slik utregning? EPISODE 4 Mens han rettet en prøve, oppdaget Oskar at flere av elevene strevde med brøkregning knyttet til en eller flere av de fire regneartene. Særlig la han merke til at flere elever gjorde feil når de skulle multiplisere to brøker. En av oppgavene handlet om multiplikasjon av brøker med lik nevner, og flere av elevene løste denne på følgende måte: 9 7 9 = 14 9 På en annen oppgave hvor de skulle multiplisere to brøker med ulik nevner, hadde mange av de samme elevene gjort følgende: 3 1 = 4 6 3 6 = 1 6 Tenk over spørsmålene under, og diskuter dem med «naboen». Hva er det disse elevene har tenkt? Hvordan vil du som lærer møte elever som har slike svar? Kan du illustrere regnestykkene ved å tegne en figur? Hvilken kunnskap trenger du som lærer for å kunne hjelpe elevene å forstå multiplikasjon av brøk? MODELL FOR UKM UTVIKLET UT FRA «EPISODER» ALLMENN FAGKUNNSKAP Episode 1 å kunne utføre addisjonene 3 + 11 og 9 + 9 Episode å vite hvilket tall som må legges til 9 for å få det samme som 8 + 15, eller å fylle inn riktig tall på den tomme linja i oppgaven: 8 + 15 = + 9. Episode 3 å kunne metoder for å løse likninger, for så å finne løsningen til 7x + 11 = 5 Episode 4 å finne svaret på disse to: 9 7 9 3 1 3
ALLMENN FAGKUNNSKAP FORTS. Subtraksjon som eksempel Regn ut: Kanskje slik: Eller slik: ALLMENN FAGKUNNSKAP I HODET Halvering og fordobling: dobles halveres halveres dobles 4 18 = 8 9 = 7 14 3 = 7 6 = 4 Diskuter: Hvordan regner du selv? Elever du har møtt? Hva er viktig lærerkunnskap relater til elevers regneutvikling? Eller kanskje på denne måten: 7 ned 7 ned 307 168 = 300 161 = 139 Spesielt når det ene tallet er 5: 344 5 = 17 10 = 170 5 568 = 10 84 = 840 Prøv selv: Ofte vil man bruke regelen flere ganger etter hverandre. 157 0 5 146 164 0,5,5 64 MULTIPLIKASJON EG KAN MULTIPLISERA.. Du kan alltid dele den ene faktoren med et tall og gange den andre med det samme tallet. Bevis: c a a b a b ( b c) c c Bruk regelen på følgende regnestykker: f.eks. 7 3 60 0,7 0,05 100 9 9 6 7 5 1 Lærerens kunnskaper mer enn å multiplisere? Hva mer? Matematikkfaglig? Metodisk/didaktisk? Om elevene? Andre ting? To og to: Lag en liste! KOMMUTATIVITET VIKTIG! 1 1 1 1 3 1 4 1 5 1 3 4 5 3 1 3 3 3 3 4 3 5 4 1 4 4 3 4 4 4 5 5 1 5 5 3 5 4 5 5 6 1 6 6 3 6 4 6 5 7 1 7 7 3 7 4 7 5 8 1 8 8 3 8 4 8 5 9 1 9 9 3 9 4 9 5 10 1 10 10 3 10 4 10 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 6 7 8 9 10 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10 4 6 4 7 4 8 4 9 4 10 5 6 5 7 5 8 5 9 5 10 6 6 6 7 6 8 6 9 6 10 7 6 7 7 7 8 7 9 7 10 8 6 8 7 8 8 8 9 8 10 9 6 9 7 9 8 9 9 9 10 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 Hvordan jobbe med kommutativitet? Kommutativitet (a b = b a) - sørger for at antall regnestykker nesten halveres! NOEN GANGER ER ENKLERE ENN ANDRE 1 3 4 5 6 7 8 9 10 4 6 8 10 1 14 16 18 0 3 6 9 1 15 18 1 4 7 30 4 8 1 16 0 4 8 3 36 40 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 6 1 18 4 30 36 4 48 54 60 7 14 1 8 35 4 49 56 63 70 8 16 4 3 40 48 56 64 7 80 9 18 7 36 45 54 63 7 81 90 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 1-gangen: ikke noe problem -gangen: doble 5-gangen: fint mønster, lett å telle 5 og 5. 9-gangen: her oppstår et spesielt mønster 10-gangen: enkel Husk å fokusere på at f.eks. 4 10 = 40 fordi de fire enerne bytter verdi til fire tiere, ikke at vi føyer til en null! Hvis du kan disse, er det kun 5 gangestykker som gjenstår. 0 av disse er kommutative par (f.eks. 6 3 = 6 3). 1 1 1 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 3 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10 4 1 4 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 4 10 5 1 5 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5 10 6 1 6 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 6 10 7 1 7 7 3 7 4 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 7 10 8 1 8 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 9 8 10 9 1 9 9 3 9 4 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 9 10 10 1 10 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 4
SPESIALISERT FAGKUNNSKAP 1 Episode 4 3 1 = 4 6 3 6 = 1 6 SPESIALISERT FAGKUNNSKAP Tenk deg at elevene dine arbeider med multiplikasjon av store tall. Blant elevarbeidene, ser du at noen elever som har gått på skole i andre land enn Norge bruker følgende metoder: Elevene trenger en forklaring på hvorfor det ikke blir riktig å finne felles nevner og multiplisere tellerne ved multiplikasjon av brøk en forklaring som inkluderer ulike representasjoner Hvordan møter du elevene og hvilken kunnskap krever det av deg? HORISONTKUNNSKAP 1 HORISONTKUNNSKAP Eksponensiell vekst noe for småskoletrinnet? Maria: Jeg vet at bitene ikke ser like store ut, men de skal være det du kan bare flytte linjene slik at bitene blir like store. Kontinuerlige funksjoner og middelverditeoremet viktig kunnskap for lærere på småskoletrinnet? KUNNSKAP OM FAGLIG INNHOLD OG ELEVER Episode : 8 + 15 = + 9 å kunne analysere elevenes matematiske feil og å vite at 3 og 3 kan dukke opp som svar i tillegg til 14 forstå bakgrunnen for at feil svar oppstår være i stand til å se verdien av ufullstendige begrunnelser hvor elevene gjerne bruker hverdagsspråk i stedet for mer korrekte matematiske formuleringer å forstå hvorfor 3 og 3 er vanlige elevsvar, hvilke misoppfatninger av likhetstegnet de bygger på dyp forståelse for likhetstegnet for å kunne forutse elevers misoppfatninger av dette tegnet som et «nå kommer svaret»-tegn (Kieran, 1981) diagnostisk kompetanse er av avgjørende betydning for lærere (Prediger, 010) læreren må vite hvilke oppgaver som kan falle lett eller vanskelig for elevene KUNNSKAP OM FAGLIG INNHOLD OG ELEVER Episode 3: 7x + 11 = 5 kunnskap om hvilke typer problemer elevene kan møte når de løser lineære likninger likninger på formen (1) ax + b = c kan løses ved en aritmetisk tenkemåte likninger på formen () ax + b = cx + d krever en mer algebraisk tilnærming å la elever arbeide med likhetstegnet med en algebraisk tilnærming gjør denne overgangen mellom aritmetikk og algebra mindre problematisk for elevene (Carraher & Schliemann, 007) lærere trenger kunnskap om at elever må beherske et mer abstrakt variabelbegrep (Selvik, Rinvold, & Høines, 1999) 5
KUNNSKAP OM FAGLIG INNHOLD OG UNDERVISNING LÆREPLANKUNNSKAP å ha matematisk kunnskap for å kunne planlegge og gjennomføre undervisning Handler om mer enn gjeldende læreplaner for grunnskole og lærerutdanninger: Episode : 8 + 15 = + 9 hva en som lærer kan gjøre i undervisningssammenheng for å hjelpe elever som svarer 3 og 3 i stedet for 14 Episode 3: 7x + 11 = 5 å starte med en likning på denne formen (ax + b = c) før en går over til å arbeide med likninger på formen (ax + b = cx + d) vertikal og lateral læreplankunnskap (Shulman, 1986) lærebøker og andre læremidler Også lærerutdanningens planer? Episode 4 brøk å kunne vurdere fordeler og ulemper med de ulike representasjoner EPISODE 5 EPISODE 6 I en 8. klasse har elevene arbeidet med å løse andregradslikningen x = 6x. En elev sier at x = 3 er en løsning. Læreren ber eleven om å forklare hvordan han kom fram til det svaret. Eleven svarer da: «Først delte jeg med på begge sider og fikk x = 3x. Så delte jeg med x på begge sider og fikk at x var 3» Tenk over spørsmålene under, og diskuter dem med «naboen». Hvordan vil du som lærer møte elevene som svarer at x = 3 er løsningen? Hva er det eleven forstår og ikke forstår? Hvilken kunnskap trenger du som lærer for å kunne ha en diskusjon som gjør at eleven i denne episoden forstår at hans resonnement har svakheter? Mens han rettet en prøve, oppdaget Oskar at flere av elevene i hans 9.-klasse strevde med brøkregning. Oskar bestemte seg for å gi elevene sine noen repetisjonsoppgaver i den neste matematikktimen. En av oppgavene involverte divisjon av to brøker, og i læreboka står det at: 3 1 3 : 4 4 En av elevene spør da: «Hvorfor er det slik?» Oskar bestemmer seg for å notere ned alle spørsmålene som kommer fra elevene, for å ta dem opp samlet mot slutten av arbeidsøkten. Tenk over spørsmålene under, og diskuter dem med «naboen». Hvordan vil du forklare lærebokas påstand? Er den riktig? Alltid? Kan du forklare dette på flere måter? Hvilken kunnskap trenger du som lærer for å kunne svare på spørsmålet fra eleven? DRONNINGENS BLOMSTERBED EN SITE «EPISODE» DRONNINGENS BLOMSTERBED, ALGEBRAISK GENERALISERING Dronningen vil gjerne anlegge blomsterbed i en lang rad som vist på skissen. Hun trenger 14 steinheller til 3 bed. Hvor mange heller må hun ha til 5 bed, til 10,? Finn en regel hun kan bruke uansett hvor mange bed hun vil ha! Elevsvar: Seks for det første, så fire og fire så langt du vil. Fire og fire og fire helt til du er ferdig og så to til slutt. 6 + 4 (antall bed 1) 4 antall bed + La n stå for antall bed. 6 + 4 (n - 1) 4 n + Diskuter: Her har vi to mulige formler. Kan begge være riktige, da? 6
DRONNINGENS BLOMSTERBED I. KLASSE Et nytt problem? (Hva kan nå generell regel være?) BYGGE ELLER TEGNE?? Konklusjon fra. klasselærerne: Planlegg godt HVA elevene skal bruke tiden på. OPPSUMMERING I. KLASSE: BLOMSTERBEDET I 7. KLASSE NOEN EKSEMPLER 1 3 VÅR EGEN FORSKNING OM UKM OVERSETTELSE OG TILPASNING Oversettelse og tilpasning av UKM-oppgaver Utfordringer med måling (utvidet bruk av UKM-oppgaver) UKM og oppfatninger «Tasks of teaching» og kulturelle perspektiver UKM og Matematikkens historie 7
UTFORDRINGER MED MÅLING UKM OG OPPFATNINGER KULTURELLE PERSPEKTIVER VED UTFORDRINGER UKM OG MATEMATIKKENS HISTORIE OPPGAVE PÅ VEI HJEM Noen lærere på Profesjonskonferansen er trette etter en økt med matematisk arbeid. De bestemmer seg derfor for å gå innom kantina. Der kjøper de kaffe til 5 kr per kopp og liten sjokolade til 9 kr per stykk. Alle bestiller det samme, og til sammen måtte de betale 133 kr. Hvor mange kopper kaffe drakk hver student? Diskuter ulike framgangsmåter/strategier Hint: 133 kan bare deles på 7 og 19 LITTERATUR BRUK I FORELESNINGEN Ball, D.L., Thames, M.H., & Phelps, G. (008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389 407. Ball, D.L., & Cohen, D.K. (1999). Developing practice, developing practitioners: Toward a practice-based theory of professional development. In Darling-Hammond L. & Skyes L. G. (Eds.), Teaching as the learning profession: Handbook of policy and practice (pp. 3 3). Francisco, CA: Jossey-Bass. Ball, D.L., & Forzani, F. (009). The work of teaching and the challenge for teacher education. Journal of Teacher Education, 60(5), 497-511. Carraher, D.W., & Schliemann, A.D. (007). Early algebra and algebraic reasoning. In Lester F. K. (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 669-705). Charlotte: Information Age Publishing. Creswell, J.W. (014). Research design. Qualitative, quantitative, & mixed methods approaches (4 ed.). Los Angeles, CA: Sage Publishers. Fauskanger, J., Bjuland, R., & Mosvold, R. (010). "Eg kan jo multiplikasjon, men ka ska eg gjørr?" - det utfordrende undervisningsarbeidet i matematikk. In Løkensgard Hoel T., Engvik G. & Hanssen B. (Eds.), Ny som lærer sjansespill og samspill (pp. 99 114). Trondheim: Tapir akademisk forlag. Fives, H., & Buehl, M.M. (008). What do teachers believe? Developing a framework for examining beliefs about teachers knowledge and ability. Contemporary Educational Psychology, 33(), 134 176. Hoover, M., Mosvold, R., & Fauskanger, J. (014). Common tasks of teaching as a resource for measuring professional content knowledge internationally. Nordic Studies in Mathematics Education, 19(3-4), 7 0. Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 1(3), 317-36. Lortie, D. C. (1975). Schoolteacher: A sociological study. Chicago: University of Chicago Press. Niss, M. (010). What is quality in a PhD dissertation in mathematics education? Nordic Studies in Mathematics Education, 15(1), 5 3. Prediger, S. (010). How to develop mathematics-for-teaching and for understanding: the case of meanings of the equal sign. Journal of Mathematics Teacher Education, 13(1), 73-93. Rangnes, T. (007). Vekst og grafer tilgjengelig her: http://www.caspar.no/tangenten/007/rangnes407.pdf. Selvik, B. K, Rinvold, R., & Høines, M. J. (1999). Matematiske sammenhenger: Algebra og funksjonslære. Bergen: Caspar Forlag. Silverman, D. (013). Doing qualitative research: A practical handbook (4 ed.). London: Sage publications Ltd. Shulman, L.S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(), 4 14. Noen av slidsene i presentasjonen er laget av/i samarbeid med gode kollegaer ved UiS. 8