ADRIAN STAN Dreptul de copyright: Crte downlodtă de pe site-ul www.mteinfo.ro nu pote fi pulictă pe un lt site şi nu pote fi folosită în scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului
Referenţi ştiinţifici: Prof. gr. I Mânzlă Iorgu - inspector de mtemtică Inspectortul Şcolr Judeţen Buzău Prof. gr. I Stnciu Neculi director Grupul Şcolr Tehnic Sf. Mc. SAVA, Berc
BREVIAR TEORETIC DIVIZIBILITATE Relţi de diviziilitte: (su ) c N respectiv Z stfel încât c. ( se divide cu ) su ( este diviziil cu ) su ( divide pe ) Proprietăţi: *., Z., Z *., c c,, Z 4. d,d d su d - * 5.,,, Z 6. d d c 7. d, d d, dcă şi sunt prime între ele. Descompunere în fctori primi: k n p p p... p k N Numărul divizorilor lui n N este: N ( )( )... ( k ). Numărul divizorilor lui n Z este: N N Numere prime Numim număr prim orice număr nturl mi mre decât, cre re numi divizori improprii-dică pe şi pe el însuşi. Criterii de diviziilitte:
Criteriul de diviziilitte cu Un număr este diviziil cu dcă ultim s cifră este pră. Numerele cre sunt diviziile cu se numesc numere pre. Criteriul de diviziilitte cu 5 Un număr este diviziil cu 5 dcă ultim s cifră este 0 su 5. Criteriul de diviziilitte cu 4 Un număr este diviziil cu 4, dcă numărul formt de ultimele sle cifre este diviziil cu 4. Criteriul de diviziilitte cu 8 Un număr este diviziil cu 8, tunci când n umărul formt de ultimele sle cifre este diviziil cu 8. Criteriul de diviziilitte cu 5 Un număr este diviziil cu 5, dcă numărul formt de ultimele sle cifre este diviziil cu 5, dică dcă ultimele sle cifre sunt:00;5;50; 75. Criteriul de diviziilitte cu 5 Un număr este diviziil cu 5, dcă numărul formt de ultimele sle cifre este diviziil cu 5. Criteriul de diviziilitte cu o putere lui 0 Un număr este diviziil cu o putere lui 0, dcă ultimele sle n cifre sunt zerouri. Criteriul de diviziilitte cu Un nr.este diviziil cu, dcă sum cifrelor sle este un număr diviziil cu. Criteriul de diviziilitte cu 9 Un număr este diviziil cu 9, dc sum cifrelor sle este diviziilă cu 9. Criteriul de diviziilitte cu 6 Un număr este diviziil cu 6, dcă este diviziil cu şi cu. Criteriul de diviziilitte cu 5 Un număr este diviziil cu 5, dcă este diviziil cu 5 si cu. Criteriul de diviziilitte cu Un număr este diviziil cu, dcă diferenţ dintre sum cifrelor situte pe locurile impre si sum cifrelor situte pe locurile pre este un număr diviziil cu. Teorem împărţirii cu rest în N. 4
Fie, N q, r N,0 r. î q r, 0 Cel mi mre divizor comun l numerelor şi (c.m.m.d.c) su (,) este cel mi mre număr l cre se împrt exct si si şi este dt de produsul fctorilor comuni, luţi l putere ce mi mică. ) (;)d <> dx', dx', (';') ) (;)d <> d/ si d/, oricre r fi d'.î. d'/ si d'/> d'/d Cel mi mic multiplu comun l numerelor si (c.m.m.m.c.) su [,] este cel mi mic număr cre se împrte exct şi l şi l şi este dt de produsul fctorilor comuni şi necomuni luţi l putere ce mi mre. )[;]m <> mxm', mxm' )[;]m <> /m si /m, oricre r fi m',.i. /m' si /m'>m'/m Relţi dintre c.m.m.m.c şi c.m.m.d.c [,] (,) Dcă p şi q sunt prime tunci n m p si q sunt prime. MULŢIMI. OPERAŢII CU MULŢIMI N { 0,,,,..... n,... } N * N \ { 0} Z... n,...,,,0,,,,..., n,... Z * Z \ { 0} { }, Z, 0 Q * Q \ R \ Q n n 0 nu este ptrt perfect R Q ( R \ Q) (, ). Q { 0} Fie A şi B două mulţimi. Atunci: 5
A B x x A su x B. Reuniune mulţimilor. A B x x A si x B. Intersecţi mulţimilor. A \ B x x A si x B. Diferenţ mulţimilor. AxB ( x, y) x A si y B. Produsul crtezin. Definiţie: Se numeşte crdinl l unei mulţimi finite, numărul de elemente pe cre-l re cest. Principiul includerii şi excluderii: crd(a B) crd (A) crd(b) crd (A B). Definiţie: Se numeşte sumulţime l unei mulţimi A, orice mulţime formtă cu elementele lui A. Numărul tuturor sumulţimilor unei mulţimi cu n elemente este n. FRACŢII Frcţie: Se numeşte frcţie, o expresie de form, 0 unde se numeşte numărător ir se numeşte numitor. Frcţie suunitră: Frcţi, 0 se numeşte frcţie suunitră dcă < su. Frcţie echiunitră: Frcţi, 0 se numeşte frcţie echiunitră dcă su. 6
Frcţie suprunitră: Frcţi, 0 se numeşte frcţie suprunitră dcă > su c Frcţii echivlente: Două frcţii si se numesc echivlente şi d scriem c d c. d A mplific o frcţie cu un număr nturl, diferit de 0, însemnă înmulţi tât numărătorul cât şi numitorul, cu cel număr. m, 0, m 0. m A simplific o frcţie cu un număr nturl, diferit de 0, însemnă împărţi tât numărătorul, cât şi numitorul l cel număr. : m, 0, m 0. : m Frcţie ireductiilă: Frcţi, 0 se numeşte ireductiilă, dcă nu se mi pote simplific dică c.m.m.d.c(,). Comprre frcţiilor: c c c c d c c d Număr rţionl : Se numeşte număr rţionl, numărul reprezentt prin frcţi şi tote frcţiile echivlente cu cest.; Operţii cu numere frcţionre: Pentru dun su scăde numere frcţionre reprezentte prin numitori diferiţi se duc frcţiile l 7
8 celşi numitor prin mplificre fiecărei frcţii cu câtul dintre c.m.m.m.c l numitorilor şi numitorul frcţiei respective. c c ; d c d c ; c d d c : ; 0 ; n m n m ; n m n m : ; m n n m ; Introducere unui întreg în frcţie: c c c ; Frcţii zecimle: - Frcţii zecimle: finite: { },5;,45;,5;0,45;... 0 Trnsformre frcţiilor zecimle în frcţii ordinre: ; 00, ; 0, c c - frcţii zecimle -periodice: { },();,(5);,(4)... Trnsformre frcţiilor zecimle periodice în frcţii ordinre: ; 99 ),( ; 9 ),( c c ; 990 ) (, ; 90 ) (, cd cd c c Scriere în z zece: d c cd 0 0 0 -cifr miilor; -cifr sutelor; c-cifr zecilor; d-cifr unităţilor; 0.00 0.0 0. 0 0 0 0 0, g f e g f e efg -cifr unităţilor, e-cifr zecimilor; f-cifr sutimilor; g-cifr miimilor.
Aflre unei frcţii dintr-un număr : c c c din x x ; din ; d d d Procente: Un rport în cre numitorul este 00, se numeşte rport procentul si se noteză de form p p p 0 ; (su 0 p 00 00 ) p 0 0 din x x ; p 0 0 din 00 p su p 00 00 Operţii cu frcţii zecimle: L dunre su scădere frcţiilor zecimle finite, numerele treuie şezte stfel încât virgul să fie su virgulă. L înmulţire cu 0, 00, 000 unei frcţii zecimle finite se deplseză virgul spre drept cu,, cifre. L împărţire cu 0,00,000, unei frcţii zecimle finite se deplseză virgul spre stâng cu,, cifre. L înmulţire frcţiilor zecimle finite, efectuăm înmulţire oişnuită după cre punem virgul de l drept spre stâng după un număr de zecimle egl cu numărul de cifre zecimle le celor două numere; L împărţire frcţiilor zecimle finite se vor înmulţii mele numere cu puteri le lui 0 stfel încât să împărţim numere fără virgulă. 9
0 Ultim cifră unui număr Proporţii: Eglitte două rporte se numeşte proporţie: Propriette fundmentlă proporţiilor: c d d c Proporţii derivte: d c d c d d c d ± ± ± ±, d c m d c m : : c c d m c m m d c m : : c c d m c m d c m d c m : : U(c n ) n4k n4k n4k n4k n n 4 8 6 n 9 7 4 n 4 6 4 6 5 n 5 5 5 5 6 n 6 6 6 6 7 n 7 9 8 n 8 4 6 9 n 9 9 ) ( ) ( n n c U c U
Sir de rporte egle: Mărimile (,,,..., n ) şi (,,..., n ) sunt direct proporţionle n... n Mărimile (,,,..., n ) şi (,,..., n ) sunt invers proporţionle... n Proilităţi Proilitte relizării unui eveniment este dt de rportul dintre numărul czurilor fvorile relizării evenimentului şi numărul czurilor egl posiile. n Modulul numerelor rele Proprietăţi: def, 0 0, 0, 0. 0, R ;. 0, 0 ;., R ; 4., ± ; 5. ; 6. 0 n n 7. x, x R, n N x ±,, R 8. 9. ± ;, R
0. x, x ±, 0 ;. x, x [, ], 0 ;. mx (, ),, R ; min (, ). x, x [, ] [, ], 0 ; 4. ± ±... ± n... n, in R. Puteri cu exponent întreg Fie R, n Z n def... n fctori Fie, R,, 0, m, n Z *... 4. o ; ( ) m n m n n mn ;0 m ; n n n n 0; 5. 6. 7. 8. ( m m n ) n n n n m n n n m n. 9., n pr (-) n 0., n impr n n
Proprietăţile rdiclilor Fie, R. 0,.., 0 n n 4. ( ) 5. ± ± unde ²-k². (formul rdiclilor duli) 6. Dcă N k 7. 8. 9. x y xy 0. x ± y ( x ± y) x x., y, 0 y y n n n. ( ) n x x m. Fie R \ Q. Atunci Q m n 0 n 4. Dcă m, n Q şi nu e pătrt perfect şi m n 0 m n 0 5. Dcă, N şi Q N, N 6. Dcă şi nu sunt pătrte perfecte Q
7. Dcă Q, şi α, β Q.î. α β Q Q, Q Q 8. Dcă,.î. R \ Q ± R \ Q şi R \ Q 9. Dcă Q şi R \ Q R \ Q şi R \ Q Rţionlizări x x x x, x x( ), x x( ) Medii x y Medi ritmetică m * Medi geometrică m g x y, x, y R p x q y Medi pondertă m p ; p, q N * ponderile p q xy * Medi rmonică m h, x, y R x y x y 4
ECUAŢII x 0 x x, 0. x x ±, 0. ; ± x x c 0 x, 0. 4c 0 x, 0 x ±. [] x x [, ) x. 6. PROCENTE 4c p p % din N N 00 p Rportul se numeşte rport procentul ir p se numeşte 00 procent. Aflre unui număr când cunoştem p% din el. p 00 din x x. 00 p Aflre rportului procentul: Cât l sută reprezintă numărul din N? 00 p % din N p. N S p n D. Doând oţinută prin depunere l ncă unei 00 sume S de ni pe o periodă de n luni cu procentul p l doândei nule cordte de ncă. 5
CALCUL ALGEBRIC Reguli de clcul în R. ( ) ;. ( ) ;. ()(- - ; c c c 5*. ( ) ; 6*. ( ) ; 7*. ( )( ) ; 8*. ( )( ). 4. ( ) c Descompuneri în fctori. Metod fctorului comun c-d(c-d) xyyy(xy)(xy)(xy)(). Utilizre formulelor de clcul prescurtt () - (-) c cc(c) - (-)() Rporte de numere rele reprezentte prin litere c Amplificre, c, c 0 : c Simplificre, : c, c 0 6
7 Adunre su scădere 0, ± ± c c Înmulţire 0,, d d c d c Împărţire 0,, : d c c d d c Putere cu exponent nturl * 0,, ) ( N n n n n Putere cu exponent întreg negtiv * 0,,, N n n n.
FUNCŢII Sistem de xe ortogonle Definiţie: Se numeşte funcţie, un triplet de form (A,B,f), unde A se numeşte domeniu de definiţie (mulţime de unde funcţi i vlori), B se numeşte codomeniu (mulţime vlorilor funcţiei), ir f se numeşte lege de corespondenţă(fce c fiecărui element din A să-i corespundă un unic element din B). Notţie: f:a B Imgine funcţiei este mulţime Im f{ y B y f ( x), x A} 8
Exemplu: f(x)x Grficul unei funcţii f:a B este mulţime G f x, f ( x) x A A. {( ) } B Condiţi c un punct M(,) să prţină grficului lui f. M (, ) G f f ( ). Reprezentre grfică: f: R R, f(x)x grficul este o dreptă; f ( x) not y yx OX : y 0 x A(,0) OY : x 0 y B(0, ) 9
f: I R, unde I este un intervl; dcă I este mărginit, tunci grficul este un segment ir dcă I este nemărginit l un cpăt şi mărginit l celăllt tunci grficul este o semidreptă. f:a R, unde A este o mulţime finită de puncte tunci grficul lui f este tot o mulţime finită de puncte. Condiţi c trei puncte A(x,y ), B(x,y ), C(x,y ) să fie colinire: - se determină funcţi f(x)x, l cărui grfic este determint de două puncte şi se verifică dcă şi cel de-l treile punct prţine grficului lui f; - cu jutorul lungimilor distnţelor dintre puncte, se verifică dcă lungime segmentului cel mi mre este eglă cu sum lungimilor celorllte două segmente. UNITĂŢI DE MĂSURĂ Multiplii şi sumultiplii metrului- unităţi de măsură pentru lungime km hm dm m dm cm mm Multiplii metrului Sumultiplii metrului Multiplii şi sumultiplii m - unităţi de lungime pentru rie km hm dm m dm cm mm Multiplii metrului pătrt Sumultiplii metrului h hm 0000m r 00m 0
Multiplii şi sumultiplii m -unităţi de măsură pentru volum km hm dm m dm cm mm Multiplii metrului cu Sumultiplii metrului Multiplii şi sumultiplii litrului- unităţi de măsură pentru cpcitte kl hl dl l dl cl ml Multiplii litrului Sumultiplii litrului dm l Multiplii şi sumultiplii grmului- unităţi de măsură pentru msă kg hg dg g dg cg mg Multiplii grmului Sumultiplii grmului q00kg t 000kg Unităţi de măsură pentru timp min60 s h 60 min600s zi 4 h n 65 zile su 66 zile(n isect) deceniu 0 ni; secol 00 ni; mileniu 000 ni.
UNGHIURI Def. Două unghiuri proprii se numesc opuse l vârf dcă lturile lor formeză două perechi de semidrepte opuse. Def. Două unghiuri se numesc complementre dcă sum măsurilor lor este de 90º şi se numesc suplementre dcă sum măsurilor lor este de 80º. Def. Două drepte din celşi pln cre nu u nici un punct comun se numesc drepte prlele. Postultul lui Euclid: Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură dreptă prlelă l drept dtă. Def 4. Două drepte concurente sunt perpendiculre dcă unul din unghiurile cre se formeză în jurul punctului lor comun este de 90º. Def 5. Două drepte prlele intersectte de o secntă formeză : - unghiuri lterne interne congruente: 4 cu 6, cu 5; - unghiuri lterne externe congruente: cu 7, cu 8; - unghiuri corespondente congruente: 4 cu 8, cu 7, cu 6, cu 5; - unghiuri interne su externe de ceeşi prte secntei suplementre: cu 4, cu 8, 4 cu 5, 5 cu 8.
Def 6. Se numeşte unghi scuţit, unghiul cărui măsură este mi mică de 90º. Def 7. Se numeşte unghi otuz, unghiul cărui măsură este mi mre de 90º. Def 8. Se numeşte unghi nul, unghiul cărui măsură este de 0º. Def 9. Se numeşte unghi lungit, unghiul cu semidreptele în prelungire şi cu măsur de 80º. Teorem. Sum măsurilor unghiurilor în jurul unui punct din pln este de 60º. Teorem. Sum măsurilor unghiurilor în jurul unui punct pe o dreptă este de 80º. Def 0. Două unghiuri se numesc congruente dcă u ceeşi măsură. Def. Două unghiuri se numesc dicente dcă u vârful comun şi o ltură comună sitută în interiorul unghiului formt de celellte două lturi le unghiurilor.
Triunghiul. Linii importnte în triunghi. Ari triunghiului: A ABC A ABC unde A ABC BC AD p( p )( p )( p c) AB AC BC p (semiperimetru) AB AC sin Aˆ Înălţime este segmentul de dreptă ce uneşte vârful triunghiului cu piciorul perpendiculrei dusă din vârf pe ltur opusă; Intersecţi înălţimilor este un punct ce se numeşte ortocentru. Medin este segmentul de dreptă ce uneşte vârful triunghiului cu mijlocul lturii opuse; intersecţi medinelor este un punct ce se numeşte centru de greutte cre se flă l o treime fţă de ză şi două treimi fţă de vârf. 4
Lungime medinei în funcţie de lturi: ( AB AC ) BC AM. 4 Medin împrte un triunghi în două triunghiuri echivlente, cre u ceeşi rie: A ABM A AMC Bisectore este segmentul de dreptă ce împrte unghiul triunghiului în două unghiuri congruente. Intersecţi înălţimilor se noteză cu I şi se numeşte centrul cercului înscris în triunghi. Orice punct flt pe isectore unghiului se flă l eglă distnţă de lturile unghiului. Meditore lturii unui triunghi este drept perpendiculră pe ltur triunghiului exct prin mijlocul ei. Intersecţi meditorelor se noteză cu O şi se numeşte centul cercului circumscris triunghiului. Orice punct flt pe meditore lturii unui triunghi se flă l eglă distnţă de cpetele segmentului. Lini mijlocie în triunghi este segmentul de dreptă ce uneşte mijlocele două lturi le triunghiului; Lini mijlocie este prlelă cu z şi jumătte din e. Teorem liniei mijlocii: MN-linie mijlocie MN BC, MN BC 5
Teorem reciprocă supr liniei mijlocii: Dcă AM MB şi MN BC AN NC, MN Dcă MN este linie mijlocie în triunghi tunci mijlocele înălţimii, isectorei şi medinei prţin liniei mijlocii; Metod triunghiurilor congruente: Pentru răt că două segmente su două unghiuri sunt congruente treuie rătt că triunghiurile din cre fc prte sunt congruente. Czurile de congruenţă le triunghiurilor orecre: I. L.U.L. II. U.L.U III. L.L.L. IV. L.U.U Czurile de congruenţă le triunghiurilor dreptunghice: I. ctetă-ctetă II. ctetă-ipotenuză III. ipotenuză-unghi scuţit IV. ctetă-unghi scuţit BC 6
ASEMĂNAREA TRIUNGHIURILIR Definiţie: Trei su mi multe drepte prlele se numesc echidistnte dcă sunt situte l distnţe egle. Teorem prlelelor echidistnte: Dcă mi multe drepte prlele determină pe o secntă segmente congruente, tunci ele determină pe orice ltă secntă segmente congruente. d d d... d n şi A A A A A A 4...A n- A n B B B B B B 4...B n- B n A A A An B B B Bn Definiţie: Prin rportul două segmente, se înţelege rportul lungimilor lor, exprimte cu ceeşi unitte de măsură. Definiţie: Segmentele AB, BC, AC sunt proporţionle cu segmentele A B, B C, A C dcă între lungimile lor există o relţie de AB BC AC proporţionlitte de form:. A' B' B' C' A' C' Teorem lui Thles: O prlelă dusă l un din lturile unui triunghi determină pe celellte două lturi su pe prelungirile lor segmente proporţionle. AM AN AM AN MB NC MN BC su su ( * ) AB AC MB NC AB AC 7
Teorem prlelelor neechidistnte: Mi multe drepte prlele determină pe două secnte segmente proporţionle. BD AB Teorem isectorei: B AD ˆ DAC ˆ. DC AC c Dcă BC, AC, ABc, tunci BD, CD, c c c AD [( c) ] - lungime isectorei ( c) Teorem reciprocă lui Thles: Dcă o dreptă determină pe lturile unui triunghi segmente proporţionle, tunci e este prlelă cu ce de trei ltură triunghiului. AM AN AM AN MB NC Dcă su su tunci AB AC MB NC AB AC MN BC. Definiţie: Două triunghiuri se numesc semene dcă u tote lturile proporţionle şi unghiurile congruente. 8
A M B C N P Δ ABC ~ Aˆ Mˆ, Bˆ Nˆ, Cˆ Pˆ ΔMNP AB AC BC MN MP NP Teorem fundmentlă semănării: O prlelă l un din lturile unui triunghi formeză cu celellte lturi su cu prelungirile lor un triunghi semene cu cel dt. MN BC Δ AMN ~ Δ ABC. Criteriile de semănre triunghiurilor. Aˆ Mˆ si Bˆ Nˆ Δ ABC ~ Δ MNP (u.u) AB AC si Aˆ Mˆ ΔABC ~ Δ MNP (l.u.l) MN MP AB AC BC ΔABC ~ Δ MNP (l.l.l) MN MP NP Proprietăţi le semănării triunghiurilor:. Δ ABC ~ Δ ABC.(Reflexivitte relţiei de semănre). Δ ABC ~ Δ AMN ΔAMN ~ Δ ABC.(Simetri). Δ ABC ~ Δ AMN, Δ AMN ~ Δ PQR ΔABC ~ Δ PQR.(Trnzitivitte) 9
4. Două triunghiuri isoscele sunt semene u o pereche de unghiuri congruente; 5. Două triunghiuri echilterle sunt semene întodeun; 6. Două triunghiuri dreptunghice sunt semene u o pereche de unghiuri scuţite congruente; 7. Două triunghiuri cu lturile respectiv prlele sunt semene; 8. Două triunghiuri cu lturile respectiv perpendiculre sunt smene; 9. Dcă două triunghiuri sunt semene tunci rportul de semănre l lturilor este egl cu: - rportul medinelor; - rportul isectorelor; - rportul înălţimilor; - rportul rzelor cercurilor înscrise; - rportul rzelor cercurilor circumscrise; 0. Rportul riilor două triunghiuri semene este egl cu pătrtul rportului de semănre l lturilor. 0
RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGIUL DREPTUNGHIC Formul distnţei dintre punctele A(x,y ), B(x,y ): AB ( x x ) ( y y ) Teorem lui Pitgor. Într-un triunghi dreptunghic, sum pătrtelor ctetelor este eglă cu pătrtul ipotenuzei. BC AB AC ; Teorem reciprocă lui Pitgor: Dcă într-un triunghi, sum pătrtelor două lturi este eglă cu pătrtul celei de- trei lturi, tunci triunghiul este dreptunghic. Dcă BC AB AC m ( Aˆ) 90 0
Teorem înălţimii: Înălţime corespunzătore ipotenuzei este medi geometrică proiecţiilor ctetelor pe ipotenuză. Teorem II- înălţimii: AD AD BD DC AB AC BC. Teorem ctetei: Ctet este medi geometrică dintre ipotenuză şi proiecţi ctetei pe ipotenuză. AB BC BD ; AC BC CD Teorem unghiului de 0 0 : Ctet opusă unghiului de 0 0 este jumătte din ipotenuză. Dcă 0 BC m ( Cˆ) 0 AB ; Teorem unghiului de 5 0 : Înălţime corespunzărore ipotenuzei într-un triunghi dreptungic cu un unghi de 5 0 este un sfert din ipotenuză. 0 BC Dcă m ( Cˆ) 5 AD 4 Teorem medinei într-un triunghi dreptunghic: Medin într-un triunghi dreptunghic este jumătte din ipotenuză; BC AM medină AM. În orice triunghi dreptunghic re loc relţi: sin α cos α Ari triunghiului dreptunghic: BC AD AB AC A ABC su
Rporte constnte în triunghiul dreptunghic: sin C ˆ α 0 0 45 0 60 0 AB BC AC cos C ˆ BC AB tg Cˆ AC ctg Cˆ AC AB Teorem cosinusului: c -ccosa
Teorem lui Pitgor generliztă: AB BC AC -BC.DC 0 m ( Cˆ) 90 AB BC AC BC.DC 0 m ( Cˆ) 90 AC AB BC -BC.BD 0 m ( Bˆ) 90 AC AB BC BC.BD m ( Bˆ) 90 0 Distnţ de l un punct M(x 0,y 0 ) l o dreptă de ecuţie: xyc0; x0 y0 c d( M, d) 4
PATRULATERE DEFINIŢIE. Se numeşte ptrulter convex ptrulterul în cre segmentul determint de oricre două puncte le lui este interior ptulterului. PARALELOGRAMUL Definiţie: Se numeşte prlelogrm, ptulterul convex cre re lturile opuse prlele. Teoreme:. Un ptrulter este prlelogrm dcă şi numi dcă lturile opuse sunt congruente două câte două.. Un ptrulter este prlelogrm dcă şi numi oricre două unghiuri opuse sunt congruente şi oricre două unghiuri consecutive sunt suplementre.. Un ptrulter este prlelogrm dcă şi numi dcă digonlele se înjumătăţesc. 4. Un ptrulter este prlelogrm dcă şi numi dcă două lturi opuse sunt prlele şi congruente. 5. Un ptrulter este prlelogrm dcă şi numi dcă oricre două unghiuri consecutive sunt suplementre. 5
Ari prlelogrmului: A ABCD BC AE A ABCD AC BD sinα A ABCD AB BC sin( ABˆ C) DREPTUNGHIUL Definiţie: Se numeşte dreptunghi, prlelogrmul cu un unghi drept. Proprietăţi: Într-un dreptunghi, tote unghiurile sunt de 90 0. Într-un dreptunghi, digonlele sunt congruente. Teoremă: Dcă un prlelogrm re digonlele congruente, tunci el este dreptunghi. Ari dreptunghiului: A ABCD AB BC 6
ROMBUL Definiţie: Se numeşte rom, prlelogrmul cre re două lturi consecutive congruente. Teoremă:. Un ptrulter este rom dcă şi numi dcă re tote lturile congruente.. Un prlelogrm se numeşte rom dcă şi numi dcă re digonlele perpendiculre.. Un prlelogrm se numeşte rom dcă şi numi dcă o digonlă este isectore unui unghi. Ari romului: A ABCD mică. D d, unde D este digonl mre ir d este digonl 7
PĂTRATUL Definiţie: Se numeşte pătrt, prlelogrmul cre este şi rom şi dreptunghi. Proprietăţi:. Tote unghiurile pătrtului sunt drepte.. Digonlele sunt isectorele unghiurilor păttului.. Digonlele sunt perpendiculre şi congruente. Ari pătrtului: A ABCD l TRAPEZUL Definiţie: Se numeşte trpez, ptrulterul cre re două lturi opuse prlele, ir celellte lturi neprlele. Proprietăţi.. Ptrulterul ABCD este trpez isoscel dcă şi numi dcă Aˆ Dˆ si Bˆ Cˆ.. Ptrulterul ABCD este trpez isoscel dcă şi numi dcă digonlele sunt congruente. 8
Ari trpezului: ( B ) h A ABCD, unde B este z mre, este z mică, ir h este înălţime trpezului. B Lini mijlocie: MN ; B PQ 9
CERCUL. Elemente în cerc Definiţii: Se numeşte cerc de centru O şi rză r şi scriem C(O,r) mulţime tuturor punctelor din pln situte l distnţ r fţă de punctul O. C ( O, r ) { M OM r, r R } Segmentul cre uneşte două puncte de pe cerc se numeşte cordă; Cord cre trece prin centrul cercului se numeşte dimetru, ir cpetele dimetrului se numesc puncte dimetrl opuse. Porţiune dintr-un cerc determintă de două puncte distincte le cercului se numeşte rc de cerc. Dcă extremităţile unui rc sunt dimetrl opuse, tunci rcul se numeşte semicerc. Se numeşte interiorul cercului, mulţime punctelor flte fţă de centru l distnţe mi mici decât rz cercului, ir exteriorul cercului reprezintă mulţime punctelor situte fţă de centru l distnţe mi mri decât rz cercului. Mulţime punctelor cercului C(O,r) reunită cu interiorul cercului se numeşte disc de centru O şi rză r: D(o,r). Se numeşte unghi l centru, unghiul cu vârful în centrul unui cerc. Măsur în grde unui rc este eglă cu măsur unghiului l centru corespunzător. 40
m ( ADB ) m( AOˆ B) Măsur în grde unui semicerc este de 80 0, ir unui cerc este de 60 0. 80 0... π rd 0 x π x 0...y rd y 0 80 Se numeşte sector de cerc, o porţiune dintr-un cerc cuprinsă între două rze le sle şi rcul pe cre îl suîntind. Se numesc rce congruente, rcele cre u ceeşi măsură. Teoreme:. Într-un cerc, rcelor congruente le corespund corde congruente şi reciproc. AB CD [ AB] [ CD]. Într-un cerc, dimetrul perpendiculr pe o cordă trece prin mijlocul rcului suîntins de cordă.. Două corde le unui cerc sunt congruente dcă şi numi dcă sunt egl depărtte de centru. [ AB ] [ CD] d( O, AB) d( O, CD). 4. Dcă două corde le unui cerc sunt prlele, tunci rcele cuprinse între ele sunt congruente. 4
. Poziţiile reltive le unei drepte fţă de un cerc. ) h dreptă secntă d ( O, h) r ) h dreptă tngentă d ( O, h) r c) h dreptă exterioră d ( O, h) r Tngente dintr-un punct exterior l un cerc. Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce două tngente şi numi două l cerc;. PT PT' ;. PO este isectore unghiului TPT ; 4. PO este meditore segmentului TT 5. Măsur unui unghi cu vârful pe cerc, cre re un din lturi secntă şi celltă tngentă l cerc, este jumătte din măsur rcului cuprins între lturile sle. 4
Unghiul înscris în cerc Se numeşte unghi înscris în cerc, unghiul cu vârful pe cerc le cărui lturi includ două corde le cercului. ˆ m( BC) m( BAC) ; m( BOC ˆ ) m( BC) m( BPD ˆ ) m( BD) m( AC) ˆ m( AC) m( BD) m( APC) 4
. Poziţiile reltive le două cercuri ) cercuri secnte r-r <OO <rr, r>r ) cercuri tngente interiore OO r-r, r>r c) cercuri exteriore OO >rr d) cercuri tngente exteriore OO rr e) cercuri concentrice u celşi centru f) cercuri interiore OO <r-r, r>r 4.Triunghi înscris în cerc. Ptrulter înscris în cerc Definiţii: Cercul cre conţine cele trei vârfuri le unui triunghi se numeşte cercul circumscris triunghiului. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie meditorelor triunghiului. 44
Ptrulterul cu vârfurile pe cerc se numeşte ptrulter înscris în cerc(ptrulter inscriptiil). Teoremă:. Într-un ptrulter înscris în cerc, digonlele formeză cu lturile opuse perechi de unghiuri congruente.. Unghiurile opuse le unui ptrulter înscris în cerc sunt suplementre. Rz cercului circumscris unui triunghi în funcţie de ri triunghiului şi de lturile sle este: c R 4S 5. Poligone regulte înscrise în cerc. Definiţie: Un poligon se numeşte regult dcă este convex, re tote lturile congruente şi tote unghiurile congruente. Distnţ de l centrul poligonului regult l oricre dintre lturile sle se numeşte potem poligonului (). 45
Perimetrul poligonului regult cu n lturi este ltur poligonului; Ari poligonului regult cu n lturi este potem ; Măsur unui unghi este Triunghiul echilterl u n 0 ( ) 80 n A P n l unde l este P, unde este l R h R su l Ari triunghiului. A 4 Pătrtul l 4 R ; R 4 L 46
Hexgonul regult l 6 6 A R; R 6l 4 Un ptrulter ABCD este inscriptiil dcă unghiul dintre o digonlă s şi o ltură este egl cu unghiul dintre celltă digonlă şi ltur opusă, su dcă două unghiuri opuse fc 80 0. Un triunghi este circumscris unui cerc su un cerc este înscris în triunghi dcă distnţele de l centrul cercului l tote cele trei lturi sunt egle. Rz cercului înscris într-un triunghi în funcţie de ri triunghiului şi de semiperimetrul triunghiului. S c r unde p,,,c sunt lturile triunghiului. p 47
6. Lungime cercului. Ari cercului Lungime cercului: l c π R Ari cercului: A π R Lungime rcului de cerc AMB: u π R l AMB 0 80 ur Ari sector de cerc AOB: u R A AOB π 0 60 ur 48
Elemente de geometrie în spţiu Cp I. PUNCTE, DREPTE, PLANE. RELAŢII ÎNTRE PUNCTE, DREPTE ŞI PLANE Noţiunile fundmentle le geometriei sunt:punctul,drept, plnul, distnţ şi măsur unghiurilor. Definiţie: Se numeşte xiomă un devăr simplu mtemtic cre nu se demonstreză deorece se verifică în ntură. Axiome:.Spţiul este o mulţime infinită de puncte.. Dreptele şi plnele sunt sumulţimi le spţiului.. Orice pln conţine cel puţin trei puncte necolinire (nu sunt situte pe ceeşi dreptă) 4. Există ptru puncte cre nu prţin celuişi pln (necoplnre). 5. Prin orice două puncte distincte trece o singură dreptă. 6. Prin orice trei puncte necolinire trece un singur pln. Definiţie: O dreptă este inclusă într-un pln dcă orice punct l dreptei prţine plnului. Teorem. Dcă două puncte distincte le unei drepte prţin unui pln tunci drept este inclusă în cel pln. Teorem. Dcă două plne u un punct comun tunci ele u o dreptă comună.. DETERMINAREA PLANULUI Conform xiomei 6 trei puncte necolinire determină un pln, în plus următorele teoreme ne indică lte situţii de determinre plnului. Teorem. O dreptă şi un punct exterior ei determină un pln. Teorem. Două drepte prlele determină un pln. Teorem. Două drepte concurente determină un pln. 49
A* fig fig fig. CORPURI GEOMETRICE Definiţie: Corpurile geometrice se definesc c fiind mulţime tuturor punctelor, dreptelor şi plnelor din spţiul cu trei dimensiuni cre se găseşte în interiorul unei suprfeţe închise, inclusiv punctele, dreptele şi porţiunile de pln cre se găsesc pe cestă suprfţă. Mulţime tuturor punctelor din spţiu cre se găsesc în interiorul suprfeţei corpului se numeşte volumul corpului. POLIEDRE Definiţie: Corpurile mărginite numi de suprfeţe plne se numesc poliedre. Poligonele plne cre mărginesc poliedrul se numesc feţe(lterle), segmentele comune feţelor se numesc muchii şi cpetele cestor segmente, vârfuri. 4. POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ DREPTE ÎN SPAŢIU Definiţie: Se numesc drepte coplnre, dreptele cre sunt situte în celşi pln. În cz contrr se numesc drepte necoplnre. Două drepte coplnre pot fi:. prlele (nu u nici un punct în comun).. concurente u un singur punct în comun).. identice (mulţime punctelor lor coincid) 50
Axiom prlelelor: Printr-un punct exterior unei drepte se pote duce cel mult o prlelă l drept dtă. Teorem 4.: Două drepte distincte din spţiu, prlele cu o trei sunt prlele între ele. 5. POZIŢIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FAŢĂ DE UN PLAN Definiţie: O dreptă este prlelă cu un pln dcă drept şi plnul nu u puncte comune. Definiţie: O dreptă este secntă unui pln dcă drept re un singur punct comun cu plnul. Definiţie: O dreptă este inclusă în pln dcă orice punct l ei prţine plnului. Teorem 5.: O dreptă prlelă cu o dreptă din pln este prlelă cu plnul su conţinută în el. 5
6. POZIŢIILE RELATIVE A DOUĂ PLANE Plnele pot fi de trei feluri: prlele (dică nu u nici un punct comun), secnte( dică u în comun o dreptă după cre se intersecteză) su identice( mulţime punctelor lor coincid). OBSERVATII:. O dreptă prlelă cu un pln nu este nepărt prlelă cu orice dreptă din pln.. Două drepte prlele cu un pln nu sunt nepărt prlele între ele.. Două drepte situte în plne prlele nu sunt nepărt prlele. 4. Două plne, prlele cu o dreptă, nu sunt nepărt prlele între ele. 7. TEOREME DE PARALELISM Teorem 7. Dcă o dreptă d este prlelă cu un pln α şi conţinută întrun pln β cre se intersecteză după o dreptă g, tunci d şi g sunt prlele. Teorem 7. Dându-se două plne prlele, orice dreptă dintr-un pln este prlelă cu l doile pln. Teorem 7. Dcă două plne prlele sunt tăite de un l treile pln tunci dreptele de intersecţie sunt prlele. Următore teoremă stileşte când două plne sunt prlele. 5
Teorem 7.4 Dcă un pln conţine două drepte concurente prlele cu un lt pln tunci cele două plne sunt prlele. Teorem 7.5 ( Trnzitivitte relţiei de prlelism îmtre plne). Două plne distincte prlele cu un l treile pln sunt prlele între ele. Teorem 7.6 Două plne prlele determină pe două segmente prlele pe cre le intersecteză segmente congruente. Teorem 7.7 (Teorem lui Thles în spţiu) Mi multe plne prlele determină pe două drepte orecre p cre le intersecteză segmente respectiv proporţionle. 8. UNGHIUL A DOUĂ DREPTE ÎN SPAŢIU Definiţie: Două unghiuri se numesc suplementre dcă sum măsurilor lor este de 80 şi se numesc complementre dcă sum măsurilor lor este de 90. Teorem 8. Două unghiuri din celşi pln su din plne diferite cu lturile respectiv prlele sunt congruente su suplementre. Unghiuri congruente respectiv suplementre în celşipln Unghiuri congruente respectiv suplementre în plne diferite 5
Definiţie: Prin unghiul două drepte în spţiu se înţelege unghiul de măsură mi mică su cel mult eglă cu 90 cu vârful în orice punct l spţiului formt prin ducere de prlele l dreptele dte prin cel punct. Oservţii:. De oicei, vârful unghiului două drepte din spţiu se i pe un din drepte.. Dcă dreptele sunt prlele, tunci ele formeză un unghi de 0.. Dcă dreptele sunt concurente tunci ele formeză un unghi pln 9. DREAPTA PERPENDICULARĂ PE UN PLAN Definiţie: Două drepte din spţiu( concurente su necoplnre) cre formeză între ele un unghi drept se numesc drepte perpendiculre. 54
Definiţie: Se numeşte dreptă perpendiculră pe un pln, drept cre este perpendiculră pe orice dreptă din pln. Teorem 9. (Criteriul de perpendiculritte.) Dcă o dreptă este perpendiculră pe două drepte concurente dintr-un pln tunci e este perpendiculră pe pln. Teorem 9. Dintr-un punct exterior se pote duce pe un pln o perpendiculră şi numi un. Teorem 9. Două drepte distincte perpendiculre pe un celşi pln sunt prlele între ele. Teorem 9.4 Printr-un punct se pote duce un pln şi numi unul perpendiculr pe o dreptă dtă. Definiţie: Prin distnţ dintre două puncte din spţiu se înţelege lungime segmentului determint de cele două puncte. Lungime digonlei cuului: D Lungime digonlei prlelipipedului dreptunghic D c Definiţie: Distnţ dintre un punct şi un pln este lungime segmentului determint de punct şi de pln pe perpendiculr dusă din cel punct pe pln. A B 55
Definiţie: Distnţ dintre două plne prlele este lungime segmentului determint de cele două plne pe o perpendiculră comună. A B 0. SECŢIUNI PARALELE CU BAZA ÎN POLIEDRE Definiţie: A secţion o prismă cu un pln prlel cu z însemnă intersect feţele lterle cu un pln prlel cu z. Secţiune rezulttă este un poligon semene cu cel de l ză chir mi mult este congruent cu cest. În urm secţionării se formeză două prisme de celşi tip cu prism iniţilă. Definiţie: Se numeşte trunchi de pirmidă corpul geometric oţinut prin secţionre unei pirmide cu un pln prlel cu z, situt între ză şi plnul de secţiune. Oservţie:Clsificre trunchiurilor de pirmidă se fce după numărul de lturi le poligonului de l ză (triunghiulre, ptrultere,hexgonle), după ntur poligonului de l ză(regult, neregult) şi după felul cum sunt feţele lterle(trpeze isoscele su nu trunchi drept su olic). 56
Definiţie: Distnţ dintre zele trunchiului se numeşte înălţime trunchiului. E pote fi clcultă c diferenţ dintre înălţime pirmidei din cre provine trunchiul şi înălţime pirmidei noi formte. CORPURI ASEMENEA. RAPORTUL DE ASEMĂNARE. În urm secţionării unei pirmide cu un pln prlel cu z se oţine o pirmidă de celşi vârf cu z în plnul de secţiune semene cu pirmid iniţilă. Definiţie: Rportul două segmente omologe corespunzător unei perechi de corpuri semene se numeşte rportul de semănre. Definiţie: Rportul riilor două suprfeţe omologe corespunzător unei perechi de pirmide semene este egl cu pătrtul rportului de semănre.. SECŢIUNI AXIALE ÎN CORPURILE CARE ADMIT AXĂ DE SIMETRIE Definiţie: Două puncte Aşi B sunt simetrice fţă de un punct O, dcă O este mijlocul segmentului AB. Definiţie: Un punct O este centru de simetrie l unei figuri plne dcă orice punct l figurii re simetric fţă de O tot un punct l figurii. Definiţie: O figură geometrică plnă dmite o xă de simetrie d dcă orice punct l figurii re simetric fţă de drept d tot un punct l figurii. Ax de simetrie unui corp este drept fţă de cre punctele unui corp sunt simetrice. Ax de simetrie unei pirmide regulte este drept ce trece prin vârful pirmidei şi centrul zei. 57
Ax de simetrie unei prisme drepte şi unui trunchi este drept ce trece prin centrele zelor. Definiţie: Se numeşte secţiune xilă unui corp, poligonul oţinut prin secţionre printr-un pln cre conţine x de simetrie corpului. Oservţie: Secţiunile xile în poliedre sunt vriile c formă, ir în corpurile de rotţie sunt congruente. L prisme, plnele cre conţin digonlele se numesc secţiuni digonle( su pln digonl). Cp II PERPENDICULARITATE ÎN SPAŢIU. Proiecţii de puncte, drepte şi segmente pe un pln Definiţie. Se numeşte proiecţie unui punct pe un pln, piciorul perpendiculrei duse din cel punct pe un pln. Definiţie: Se numeşte proiecţie unei figuri geometrice pe un pln mulţime proiecţiilor punctelor celei figuri pe pln. Teorem. Proiecţi unei drepte pe un pln este o drept su un punct. 58
Teorem. Proiecţi unui segment pe un pln este un segment su un punct. Teorem.. Proiecţi mijlocului unui segment pe un pln su dreptă este mijlocul proiecţiei celui segment pe plnul dt su pe drept dtă.. Unghiul unei drepte cu un pln Definiţie: Unghiul unei drepte cu un pln este unghiul făcut de dreptă cu proiecţi ei pe pln. 59
Teorem.. Unghiul unei drepte cu un pln este cel mi mic dintre unghiurile formte de ce dreptă cu o dreptă orecre plnului. Teorem.. Lungime proiecţiei unui segment pe un pln este eglă cu lungime segmentului înmulţit cu cosinusul unghiului formt de drept suport segmentului cu plnul. A B AB.cos u Teorem.. Ari proiecţiei unei figuri pe un pln este eglă cu ri figurii dte înmulţit cu cosinusul unghiului făcut de figură cu plnul. Ari A B C Ari A B C cos u 4. Diedru. Unghi pln corespunzător unui diedru. Definiţie: Se numeşte diedru reuniune două semiplne cre u ceeşi frontieră. Definiţie: Se numeşte unghi pln corespunzător unghiului diedru, unghiul formt de două semidrepte conţinute în feţele diedrului, şi perpendiculre pe muchi diedrului în celşi punct. Teorem 4.. Orice două unghiuri plne corespunzătore diedrului u ceeşi măsură. 60
Definiţie: Măsur unui diedru este măsur unui unghi pln corespunzător diedrului. Definiţie: Măsur unghiului dintre două plne secnte este ce mi mică dintre măsurile diedrelor formte de ceste plne şi este eglă cu măsur unghiului formt de două drepte perpendiculre respectiv pe plnele dte. 5. Plne perpendiculre Definiţie: Două plne se numesc perpendiculre dcă unul dintre diedrele determinte de ele re măsur de 90º. Teorem5. Două plne secnte sunt perpendiculre dcă şi numi dcă unul dintre plne conţine o dreptă perpendiculră pe celăllt pln. Teorem5. Dcă două plne sunt perpendiculre, proiecţi pe unul dintre plne oricărui punct din celăllt pln prţine dreptei de intersecţie plnelor. 6. Teorem celor trei perpendiculre. Teorem celor trei perpendiculre: Dcă o dreptă d este perpendiculră pe un pln şi prin piciorul ei ducem o perpendiculră f pe o dreptă g din cel pln, tunci drept determintă de un punct de pe d şi de intersecţi celor două drepte din pln, este perpendiculră pe drept g. Prim reciprocă T. C.. P: Dcă dintr-un punct exterior unui pln ducem perpendiculr pe un pln şi perpendiculr pe o dreptă din pln, tunci drept ce uneşte piciorele celor două perpendiculre este perpendiculră pe drept dtă din pln. 6
A dou reciprocă T.C.:P: Dcă într-un punct l unei drepte dintr-un pln se duc două drepte perpendiculre pe e, prim exterioră plnului şi dou conţinută în pln tunci perpendiculr dintr-un punct l primei drepte pe ce de- dou este perpendiculră pe pln. POLIEDRE ŞI CORPURI ROTUNDE PRISMA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ A A l t V A P A l h A h PRISMA PATRULATERĂ REGULATĂ 6
6 h A V A A A h P A l t l CUBUL muchi cuului 6 4 V A A D t l PARALELIPIPEDUL DREPTUNGHIC,,c dimensiunile prlelipipedului c V c c A c c A c D t l
64 TETRAEDRUL REGULAT l ltur tetredrului 4 4 4 6 l V l A l A l h t l PIRAMIDA REGULATĂ h A V A A A P A l t p l
65 TRUNCHIUL DE PIRAMIDĂ REGULATĂ ) ( ) ( B B B l t t B l A A A A h V A A A A P P A CORPURI ROTUNDE CILINDRUL CIRCULAR DREPT H R V R G RG A RG A t l ) ( π π π
66 CONUL CIRCULAR DREPT ) ( R H G H R V R G R A RG A t l π π π TRUNCHIUL DE CON CIRCULAR DREPT ) ( ) ( ) ( ) ( r R h G r R r R h V r R r R G A r R G A t l π π π π π
SFERA A 4 π R V 4 π R 67
PROBLEME ENUNTURI SI REZOLVARI CLASA A V A. O veveriţă duce lune l vizuină în 4 minute, Ştiind că e fuge fără lune cu m/s şi cu lune cu m/s, flţi distnţ de l lun l vizuină. Rezolvre: Timpul cât fuge veveriţ este dt de rportul dintre lungime drumului şi vitez cu cre fuge: Aşdr, fie d distnţ de l lun l vizuină; Atunci d d 5d 4 60 840 d 008m. 6. Să se determine 007- zecimlă frcţiei 7. Rezolvre: 7 0,(6); Rezultă că 007- zecimlă este 6.. Să se fle n є N din eglitte: n -4(44.4 007 ) n 007 Rezolvre : 4 4 4... 4. Din prope în prope,rezultă n 4 008 n 406, rezultă n008. 4. Să se determine nє ; n<0, stfel încât 9n 4 є n Rezolvre: Pentru n si n9 > 9n 4 є n 68
5. Să se rte că N4 4n.5 n. 4n 8n.5 n. 4n este diviziil cu 006 n N * Rezolvre: N(4 4 ) n 4 ( 4 ) n (5 ) n 5 ( 8 ) n (5 ) n ( 4 ) n 8n 4n 5 n ( 4 5 ) (0 ) 8n 4n 5 n 006 006 6. Să se rte că numărul N005 007 006 008 007 005 008 006 nu e pătrt perfect. Rezolvre : Evident u (005 007 ) 5 u (006 008 ) 6 u (007 005 4 *50 ) u (7 ) u (7 ) 7 u (008 006 ) u (8 006 ) 4 u (N) u (5674) N nu e pătrt perfect. 7. Să se fle ultim cifră numărului N 006 006 006 005 006 006 006 Rezolvre : u ( 006 ) u ( 006 ) 4 u ( 006 ) 9 u (4 006 ) 6 u (5 006 ) 5 u (6 006 ) 6 u (7 006 ) 9 u (8 006 ) 4 u (9 006 ) u (0 006 ) 0 Ultim cifră primelor zece numere este 5 u (N) 5 * 400 4 9 6 5 6 69
0 u (N). 8. S se determine numărul nturl, pentru cre: 7 7 9 79 Rezolvre: Relţi dt este echivlent cu: 6 7 ( ) 0 0 Pentru 7 9 0 9. S se rte c numrul: N 007 008 (.006 ) este cuul unui număr nturl. Rezolvre: N 007 008 ( 006 007 ) : 007 008 006 007 007 [ ( 007 ) ( 007- )] 007 ( 007 ) 007 0. S se compre numerele: A006 007 007 006 si B006 006 007 007 Rezolvre: 006005, 007006 A006 006 006 007 006 006 006 005 006 006 007 006 B006 006 007 007 006 006 006 006 007 006 007 006 Cum 005<006 si 006 006 <007 006 >A<B 70
. Se consider numerele 4, 4, 4,... 00 99 4 99,... )S se determine 007. )S se compre numerele 00 cu 50 Rezolvre: Se oserv c pentru orice număr nturl n, vem n n- 4 n- 4 > ) 007 4 007 ) 00 4 00 00 ( 4 ) 50 50 ( ) 50 cum 4 < > 00 < 50. Să se rezolve ecuţi: x-004 x-005 x-006 x-007 9-5 9 7 9 7 9 007 Rezolvre : Ecuti dtă este echivlentă cu: 9 x-007 ( 75 9-8 9²9³)007> 9 x-007 9 > 9 x- 007 9 > x-007>x008. Clculţi câtul şi restul împrţirii numărului 9 7 007 l 7 005 Rezolvre : DI CR R<I 9 7 007 (7) 7 005 7 7. 7 005 49 7 005 (4) 7 005 49 7 005 (7 ) 7 005 49 7 005 7 7 005 7 005 49 7 005 > >9 7 007 (749) 7 005 7 005 Câtul este 0 005 Restul este 7. 7
4. Găsiţi tote numerele nturle pătrte perfecte mi mici decât 007 cre l împărţire cu 45 du restul 6. Rezolvre : Fie n un număr nturl. Rezultă (conform T imprtiri cu rest) că n²45 c6, n²<007 >9 (5c4)<007>5c4 5c4 treuie s fie ptrt perfect >5c4 {² ;² ;7² ;8² ;² ;² ;}cum n²² (5c4)>n² {6² ;9² ;² ;4² ;6² ;9²} 5. Împărţind numărul 85 l un numr nturl se oţine restul 5.Aflţi împărţitorul. Rezolvre: DI CR R<I 85X C5>85-5X C cum70 5 7 si R<X dică X>5 >X pote fi 7 su 74 su 5 785 su 5 770 Aşdr împărţitorul prţine mulţimi{7,4,85,70}. 6. S se rte că nu există nici un număr nturl n stfel încât 007 007 7 n 007 Rezolvre : 007 007-0077 n nu pote fi devărt pentru nici un număr nturl n deorece ultim cifră lui (007 007-007)este U(007 007 ) -76 ; U(7 007 ) ; - 76, în timp ce U(7 n ) pote fi 7,9,,su,în nici un cz 6. 7. Dcă c c 64, unde,,c sunt cifre în z 0 tunci sum c este eglă cu.; Rezolvre: c c 64 (c) 4 c4. 7
8. Aflţi numărul nturl n pentru cre 4 n 4 n 4 n 4 n 56 Rezolvre : Este evident c 4 n 4 n 4 n 4 n 4. 4 n 4 n n 56 8. Deci se otine c n8, dic n. 9. Dcă 6 8 7 007 tunci 7. Rezolvre: 000600807000007, rezultă 786007 (), Pentru şi 8 se verifică relţi dtă. 0. Să se rte că numărul n (007 007-007)(006 006-006)(005 005-005) este diviziil cu 00. Rezolvre: Ultim cifră numărului din prim prnteză este 6, celui din dou prnteză este 0, şi celui din trei prnteză este 0, rezultă produsul n re ultimele două cifre 00 şi cum 007 007-007 este diviziil cu rezultă că n este diviziil cu 00.. Să se rte că numărul 57...005007 este pătrt perfect. Rezolvre: Notăm cu s sum 57...005007 S şi tot cu s sum 00700500...S, după ce dunăm sumele rezultă c 008008...008 S rezultă S008.004:004. n. Să se rte că numărul N 4 pătrt perfect, oricre r fi n nturl. Rezolvre: n n 5 n 4 n 4 N 5 5 5 n 5 n 4 5 n e 7
n n 4 n n 5 (5 4) ( 5 ) pătrt perfect. cee ce însemnă că este. Să se determine vlore numărului nturl stfel încât numărul N4. să fie pătrt perfect. Rezolvre: Pentru 5 se oţine N 48. 4. O personă împlineşte în nul 007 o vârstă eglă cu dulul sumei cifrelor nului de nştere. Aflţi vârst personei şi nul când s- născut. Rezolvre: 9xy(9xy)007 965(965)007. Aşdr x6 şi y5. 5. Să se determine numerele de form ştiind că 7 :. Rezolvre: 7(0)0(000): 7790 07 ;. 6. Sum ptruzeci şi două de numere nturle nenule este 900. Arătţi că există printre ceste numere cel puţin două egle. Rezolvre: Dcă considerăm primele 4 de numere nturle consecutive tunci 4...4 (4.4):90, şdr putem ve în loc de 4 pe. 74
7. Într-o încăpere sunt scune cu trei respectiv ptru piciore. Ştiind că s-u folosit 40 de piciore metlice pentru scune, să se spună câte scune cu trei respectiv ptru piciore s-u făcut. Rezolvre: Presupunem că l scunele cre u câte ptru piciore le rupem un picior în ş fel încât să vem numi scune cu trei piciore, în totl un număr de de piciore. Aşdr din 40 scădem şi oţinem 7 dică cele 7 piciore rupte provin tot de l tâte scune cu ptru piciore. În rest scunele cu trei piciore sunt în număr de -74. 8. ) Să se rte că numărul N66 6 6 4...6 00 este diviziil cu 7; 005 ) Să se fle ultim cifră lui 007 N. Rezolvre: ) N6(6)6 (6)...6 99 (6) este diviziil cu 7; ) u(n)u(007 005 )u(n)u(7 005 )u(n)0. 9. Determinţi numărul nturl x din eglitte: 0 5 4 5 ) [( ) : 8 ( 9 ) ]: x. 6 7 ) [ 5 5 : (5 ) 5 ] x 0 0 0... 000 5 5 5 5 Rezolvre: ) ( 4) : x x ( 4) : x 4. ) 505 x 0( 4... 00) 505 x 0 (00 0) : Rezultă: x00. 0. Să se determine numărul nturl n stfel încât n n 4 4 007. n n Rezolvre: 75
76 007 5 5 007 007 007 n n n n n n n n. Să se rte că pentru m, n N, frcţi 8 8 7 n n m m se simplifică cu 0. Rezolvre: 8 7 56 6 8 8 7 n m n n m m. Cum ultim cifră numărătorului şi numitorului este 0, rezultă că frcţi se simplifică cu 0.. Să se determine numerele nturle n stfel încât frcţi 5 n n n să se simplifice cu 5. Rezolvre: Fie 5 n² si 5 n³ n²5 > 5 (n³ n²5)-(n²) >5 n² Atunci n pote fi de form 5K, 5K, 5K,5K, 5K4 Se oservă că numi pentru n 5k se oţine că frcţi dtă se pote simplific cu 5 deorece: (5K) ³ M 5 8 5.. Să se determine numărul nturl n stfel încât frcţi. 5 N n n Rezolvre: { }. 4,5,7 4 4 5 n n N n n n n
4. Într-o urnă sunt 6 ile le, 8 ile roşii şi ile negre. Cre este cel mi mic număr de extrgeri pe cre-l putem fce stfel încât să fim siguri că m extrs cel puţin 5 ile de ceeşi culore. Rezolvre: Presupunnd c extrgerile se fc în ş mod încât de fiecre dtă extrgem o ilă de culore diferită de ce extrsă nterior(ex. lă, roşie, negră), după stfel de cicluri de câte 4 ile de culori diferite, deci după extrgeri, ce de- zece extrgere ne v duce 5 ile cre vor ve ceeşi culore. Deci numărul minim este. 5. Să se rte că numărul n în z zece se pote scrie c un produs de două numere nturle consecutive. Rezolvre: n*0 4 (0 4 )(0 4 - )(9999)(.)() *4 6. Să se rte că numărul : 6057 N 007 perfect. 006 007 este pătrt Rezolvre : 77
... 006 007 007 007 007 6057 006 007 006 - - 007 006 007 806 007 9 N 7. Să se rezolve ecuţi : xy x - 4y 007 Rezolvre : Ecuţi dtă este echivlentă cu (x-4) (y) 00 x-4 şi y00 x5, y00 su x-400 şi y x007, y0 su x-4 - şi y -00 x, y -004 su x-4-00 şi y - x- -999, y - 78
ALGEBRA CLASA A VI A. Numerele,,c verifică simultn condiţiile: ) medi ritmetică numerelor,,c este 0,4() ),,c sunt direct proporţionle cu 0,(), 0,0(), 0,00(). Să se fle,,c. Rezolvre: 7 c 90 0 c c 0 0,() 0,0() 0,00() 9 90 900 0; 00; c000. n 6. Să se determine restul împărţirii lui 4 l. Rezolvre: n n 6 (5 ) ( 5 k ) 5 k k k 4 4 4 (4 ) 4 04 4 (0 ) 4 Rezultă că restul împărţirii este 4. Oservţie: Întodeun, un număr de form () n v fi un multiplu de l cre se dugă. 007 x. Aflţi x Q din proporţi:. 004 4 0,5 Rezolvre: Se rescrie 4 004 c putere lui, se fc simplificrile si rezult x. 4. Să se determine numerele întregi x,y dcă x xy-x-y. Rezolvre: 79
Ecuţi dtă este echivlentă cu (xy)(x-) xy şi x- x5, y-4; xy şi x- x, y-; xy- şi x-- x-,y0; xy- şi x-- x,y-4. 5. Să se rezolve în numere nturle, ecuţi: xy-5xy-. Rezolvre: xy-5xy- xy-xy-5 x(y-)y- y 8 ( y ) 8 x N, y y y y y D y- y4; x0; y-- y; x4; y- y5; x; y-- y; x. 6. Să se determine Z stfel încât Z Rezolvre:. ( ) 4 4 4( ) 8 4 Z D {,,, } - > - - > - > - 80
- > 9. x 7. Să se rezolve în Z ecuţi:. y x Rezolvre: xy 9 6y ( x 6) y 9 y x-6 şi y9 x7,y9 x-6- şi y-9 x5,y-9 x-69 şi y x5,y x-6-9 şi y- x-,y- x-6 şi y x9,y x-6- şi y- x,y- 8. S se clculeze :... 4 006 007 Rezolvre : Sum dtă este eglă cu... 4 006 006 007 007 S- folosit formul : n n. n( n ) n( n ) n n 007 9. Să se determine numerele întregi pozitive si cre stisfc condiţiile 65 si câtul împărţirii lui l este 0. Rezolvre: 8
8 0r, 0 r < 65> 0r65 > r 5 > r este diviziil cu > rx> (x) 5 > x5> x, deorece rx< > r > 4 > 5. 0. Să se determine mulţime Ζ Z x x x A 4 Rezolvre : { },,, 4 D x x Z x x x x x x x 4 x x 5 x x.. Să se rezolve în N ecuţi: 9 64 8 4 z y x Rezolvre: Cum : 6 6 6 6 6 6 6 z y x z y x 0 6 6 0 6 0 6 6 6 < z z y y x x z, 6 < x 6 < y
. Să se rezolve în numere întregi pozitive ecuţi : x5y 89. Rezolvre: Cum x şi 89 se divid cu > 5y e diviziil cu > y > x5*9 89 : > x5 6 > x > 5 6 : > 5 >, 0 > x6, y0, > x, y6.. Să se determine numerele întregi pozitive si cre stisfc condiţiile 65 si câtul împărţirii lui l este 0. Rezolvre: 0r, 0 r < 65> 0r65 > r 5 > r este diviziil cu > rx> (x) 5 > x5> x, deorece rx< > r > 4 > 5. 4. ) Să se clculeze sum A... ) Să se rte că A este diviziil cu 9 c) Să se clculeze B... Rezolvre : 007 007 ) A 9 (999999 99 9) 0 0 0 0 A... 9 9 9 007 9 8
(0 0... 0 9 (...090) 9 00 007 007) (...0 007) 9 ) Cum sum cifrelor din cre este compus A este 00 09006 cre este diviziil cu 9 A 9 c) B A (...090 ) 008 007 GEOMETRIE. Măsur unui unghi l unui triunghi isoscel este de 0 0. ) Măsurile celorllte două unghiuri sunt de ; ) Sum măsurilor tuturor unghiurilor exteriore triunghiului este de..; c) Măsur unghiului formt de isectore unghiului de 0 0 cu ltur opusă este de.; Rezolvre: ) Celellte două unghiuri sunt oligtoriu de 5 0 ; ) Pentru fiecre unghi l triunghiului există două unghiuri exteriore congruente prin urmre sum măsurilor tuturor unghiurilor exteriore triunghiului este de 60 0 70 0. c) 80 0 -(55 0 5 0 )90 0. 84
. În dreptunghiul ABCD cu AB0 cm şi BC 8 cm se i un punct M pe AB şi N pe BC stfel încât AM este de trei ori mi mic decât NC şi NC este de două ori mi mre decât BN. Să se fle ri triunghiului MND. Rezolvre: Din dtele prolemei, rezultă NCAM şi NCBN Cum BC8, rezultă NC şi AM4. Aşdr A MND A ABCD -A MBD - A NCD -A AMD 6-4-7-684.. În triunghiul ABC se i D un punct pe ltur BC stfel încât AD este congruent cu DC. Dcă perimetrul lui ABC este de 46 cm şi l lui ABD este de 0 cm se cere lungime lui AC. Rezolvre: AC P ABC -P ABD 46-06 cm. 4. În prlelogrmul ABCD se i pe digonl AC punctele E şi F stfel încât AEEFFC. Să se rte că ptrulterul BEDF este prlelogrm şi că A ABCD A BEDF. Rezolvre. 85
Din congruenţ triunghiurilor ABE şi DFC (L.U.L), rezultă BE şi DF sunt prlele şi congruente, rezultă BEDF prlelogrm. A ABCD 6A BEF A BEDF 5. Fie ABCD un trpez vând zele AD, şi BC, cu BC>AD şi AD0cm. Prlel prin A l CD intersecteză BC în E. Ştiind că perimetrul triunghiului ABE este 4 să se fle perimetrul trpezului. Rezolvre: Cum AE este congruent cu DC, rezultă că perimetrul trpezului este P ABCD P ABE AD4044 cm. 6. Fie ABCD un prlelogrm cu AB8 cm şi cu m( Bˆ )50 0. Se cere măsur unghiului A şi distnţ de l B l AD. Dcă AD cm, flţi ri prlelogrmului. Rezolvre: 86
Cum m( Bˆ )50 0, rezultă că unghiul A re 0 0 ir BE, unde E este piciorul perpendiculrei dusă din B pe AD este jumătte din AB. Rezultă BE este de 4 cm. A ABCD AD*BE*448cm. 7. În romul ABCD se duc DP AB şi BQ CD. Ştiind că măsur unghiului A este de 60 0 să se rte că: ) triunghiul ABD este echilterl; ) ptrulterul BPDQ este dreptunghi; c) să se fle cât l sută reprezintă ri ptrulterului BPDQ din ri lui ABCD. Rezolvre: Triunghiul ABD este isoscel cu un unghi de 60 0, rezultă că triunghiul ABD este echilterl. Ptrulterul BPDQ este dreptunghi deorece re două lturi opuse prlele şi congruente. Cum măsur unghiului A este de 60 0, tunci măsur unghiului ADP este de 0 0 ceece însemnă că AP este jumătte din AD. Cum AB este congruent cu AD şi DP AB chir în mijlocul lui AB, rezultă A ABCD 4A APD. Rezultă, A BPDQ 50%A ABCD. 8) În ptrulterul ABCD, AC este perpendiculră cu BD c în figur lăturtă. Dcă ACcm şi BD8cm să se fle ri lui ABCD. C 87