KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Matematikk. EMNENUMMER: REA42/REA42F EKSAMENSDATO: Mandag 9. august 2 KLASSE: Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.
Eksamen i Matematikk. Mandag 9. august 2 Hvert bokstavpunkt teller likt ved bedømmelsen, oppgaver uten bokstavpunkter teller som et bokstavpunkt. Oppgave Regn ut grensen lim x 2 x 3 2x 2 + x 2 x 2 4 Deriver funksjonen gitt ved f(x) =ln ( 3x 2 +4 ) c ) Regn ut integralet ln 2 x e x dx Oppgave 2 En funksjon f er gitt ved formelen f(x) =x 3 9x 2 +5x +5 Finn lokale maksimums og minimumspunkter for f. Forklar kort hvordan vi kan vite at likningen f(x) = har nøyaktig en reell rot mellom x =ogx =5. Finn denne roten tilnærmet ved hjelp av en skisse av grafen. (Gi svaret med en desimal. Noe slingringsmonn i nøyaktigheten aksepteres hvis figuren i prinsippet er god nok.) Oppgave 3 En funksjon f er gitt ved f(x) = +x 2 D f = R Forklar hvorfor grafen til f i sin helhet ligger over x aksen. Et flatestykke F er avgrenset av x aksen, y aksen, linja x = og grafen til f. Regn ut arealet av F. c ) Finn volumet av det rotasjonslegemet som framkommer når flatestykket F roteres om y aksen.
Eksamen i Matematikk. Mandag 9. august 2 2 Oppgave 4 En bonde skal lage en innhegning til hønene. Den ene avgrensninga er låveveggen, mens han har 2 meter gjerde til disposisjon for å lage de to sidene. Han har bestemt seg for å lage innhegningen som en rettvinklet trekant, med den rette vinkelen inn mot låveveggen. Låveveggen utgjør da den ene kateten. Lengden av den andre kateten, som er en del av gjerdet, betegnes med x, som antydet i figuren: x A Låve a) Arealet A til innhegningen er en funksjon av x. Vis at funksjonsuttrykket er gitt ved formelen A(x) =x 36 6x og angi definisjonsområdet for denne funksjonen. Hvor stor må hanvelgex for at innhegningen skal bli så stor som mulig?. Oppgave 5 La G være grafen til funksjonen gitt ved formelen f(x) = 2 3 x x (x ) tegnet i et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter. Vi tenker oss et lite legeme beveger seg langs denne grafen. Legemets banefart er v(t). Tidspunktet t = tilsvarer at legemet befinner seg i origo. Sammenhengen mellom banefarten v og buelengden s er v(t) = ds dt Gjør kort rede for at v(t) = +x(t) dx dt. Finn et eksplisitt uttrykk for x(t) om banefarten er konstant v(t) = meter per sekund. Lykke til.
Løsning, eksamen i Matematikk. Mandag 9. august 2 Oppgave Ved innsetting av x =2erbåde teller og nevner, så vi brukrer l Hopitals regel: lim x 2 x 3 2x 2 + x 2 x 2 4 = ( ) L Hopital 3x 2 4x + = lim = 3 22 4 2+ = 5 x 2x 2 2 4 Kjerneregelen med kjerne u =3x 2 +4ogu =6x gir f (x) = u 6x = 6x 3x 2 +4 c ) Det ubetemte integralet kan først regnes ut, ved delvis integrasjon uv dx = uv u vdx, med u = x og dermed u =,ogv = e x,ogdermedv = e x : xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + C Det bestemte integralet er dermed ln 2 xe x dx =[xe x e x ] ln 2 =ln2e ln 2 e ln 2 e + e =2ln2 2 +=ln(4) Oppgave 2 a) f (x) =3x 2 8x + 5, og finner nullpunktene for f : 3x 2 8x +5= x 2 6x +5= x = 6 ± 6 2 4 5 2 = 6 ± 4 2 Det vil si nullpunktene til den deriverte er x =ogx = 5, og disse er de eneste kandidater til max/min, siden funksjonen er deriverbar overalt, og definisjonsområdet er ubegrenset (da det ikke finnes endepunkter). For å avgjøre hva som er max. og min. kan f.eks. andrederivert testen brukes: f (x) =6x 8 f () = 6 8 < ogf (5) = 6 5 8 > Dette betyr at vi har lokalt maksimum for x =, og her er funksjonsverdien f() = 3 9 2 +5 +5=22. Vi har lokalt minimum for x =5, og her er funksjonsverdien f(5) = 5 3 9 5 2 +5 5+5= Siden f() > ogf(5) <, og funksjonen er kontinuerlig må den (ved skjæringssetningen) være lik for (minst) en x mellom og 5. Det kan ikke være flere nullpunkter, for da måtte funksjonen snudd fra avtagende til voksende og tilbake igjen. Dette ville gitt lokale ekstremalpunkter mellom og 5, men slike finnes ikke da x =ogx =5giralle ekstremalpunktene.
Løsning, eksamen i Matematikk. Mandag 9. august 2 2 Ved åbrukeatf() = 5, og at vi har max. i (, 22) og min. i (5, ) skulle vi ha nok informasjon til å tegne en brukbar skisse av grafen i området x 6: 2 2 3 4 5 6 x - Fra figuren kan vi lese av at skjæringspunktet er ved x =3.5. (Maple løsning gir 3.527744. Er figuren brukbart tegnet (først og fremst at maks. og min. stemmer) godtas svaret selv om det bommes med noen tideler.). Det er ikke fullgod løsning å forbinde maks og min med en rett linje, men det er betydelig bedre enn ingenting. Oppgave 3 c ) Siden x 2 er+x 2 >. Dermed er både teller og nevner i funksjonsuttrykket alltid større enn. Derfor er f(x) > for alle x. Integrerer funksjonen for å finne arealet: A = +x 2 dx = [ arctan(x)] =arctan() arctan() = π/4 =π/4 Ved sylinderskallmetoden finner vi at dette volumet er V y =2π xy dx =2π x +x 2 dx Dette integreres ved å substituere med nevneren: u = x 2 +, u =2x du/dx =2x du =2xdx 2 du = xdx. Grensene for u er + 2 =og+ 2 =2: V y =2π 2 2 u du = π [ln u ]2 = π(ln(2) ln()) = π ln(2) Oppgave 4 Siden x meter går med til den ene kateten blir det y =2 x meter igjen til den andre siden på gjerdet. Siden med lengde y utgjør hypotenusen i trekanten. La z være den delen av innhegningen som er låvevegg. Da har vi ved Pythagoras at x 2 + z 2 = y 2, som gir z 2 = y 2 x 2 =(2 x) 2 x 2 = 44 24x. Dermederz = 44 24x =2 36 6x.
Løsning, eksamen i Matematikk. Mandag 9. august 2 3 Arealet av denne trekanten er 2 xz = x 36 3x. Definisjonsområdetet er D A = { x x 6 }, siden maksimum halve gjerdet kan brukes på siden med lengde x, og vi ikke kan ha negative lengder på gjerdet. Deriverer funksjonen A, med produktregelen: A (x) = 36 6x + x d 36 6x dx Den gjenstående derivasjonen utføres med kjerneregelen, med u som ytre funksjon og u(x) =36 6x som kjerne: A (x) = 36 6x + x 2 u ( 6) = 3x 36 6x 36 6x Setter så på felles brøkstrek (ved å multiplisere første ledd med 36 6x i teller og nevner): A 36 6x 3x 36 9x (x) = = 36 6x 36 6x Denne deriverte er definert for hele definisjonsområdet unntatt endepunktet x =6.Siden funksjonener kontinuerlig på det lukkede intervallet [, 6] er dermed mulige maksimumsverdier endepunktene og der A (x) =. Endepunktene gir areal, som opplagt ikke kan være maksimum. Dermed må maksimum, som vi vet må finnes, være et punkt det A (x) =. Den eneste muligheten for at A (x) = er at telleren 36 9x er. Dette oppnås bare for en verdi, som dermed må gi maks. Dette er verdien x = 4 (meter). (Siden y da blir 2, det dobbelte av kateten x, er dette en 3 6 9 trekant) Oppgave 5 Siden v(t) = ds/dt har vi ved kjerneregelen Med denne grafen har vi ds dt = ds dx dx dt ds = +(y ) 2 dx ds = +xdx ds dx = +x Ved å sette inn x = x(t) får vi dermed v(t) = ds dt = ds dx dx dt = +x(t) dx dt Vi kan sette inn v(t) = i dette får vi en separabel differensiallikning for å finne x(t): = +x dx +xdx= dt dt Integrerer begge sider (venstresiden samme integral som i a oppgaven), og får 2 3 (x +) x +=t + C
Løsning, eksamen i Matematikk. Mandag 9. august 2 4 Ved å bruke initialbetingelsen x() = får vi 2 3 ( + ) +=+C C = 2 3. For åfåeteksplisitt uttrykk multipliserer vi først konstanten 2/3 overpåhøyresiden, og opphøyer begge sider i 2 3 for å fjerne eksponenten på venstre side: (x +) 3/2 = 3 2 (t + 2 3 ) x += ( 3 2 t + ) 2/3 x = ( 3 2 t + ) 2/3