rektange der den ene siden er ik radius og den andre siden ik have omkretsen av sirkeen. Areaet kan da finnes ved å mutipisere sidekantene, noe som gir: A = r πr = πr 2. Oppgave 3.41 a) Konstruer en trekant ABC der AB = 8,0 cm, A = 30º og B = 120º. Normaen fra B på AC skjærer AC i O. Hvor ang er OB? Begrunn svaret. b) Regn ut areaet av trekanten ABC. c) Trekanten ABC er en de av en firkant ABCD. AD tangerer en sirke om O med radius OB, og D=90º. Konstruer firkanten ABCD og skriv forkaring ti hee konstruksjonen. d) Ka tangeringspunktet E. Vis at trekantene AOE og ACD er formike. e) Regn ut CD. f) Sirkeen skjærer AB i F. Trekk FO. I trekanten ABO igger noe av areaet utenfor sirkeen. Hvor stort er dette areaet? g) Hvike geometriske steder er benyttet i oppgaven? 3.9 Symmetri Ordet symmetri betyr «samme må» og forteer noe om forhodet meom deene i en hehet. Vi finner symmetri i naturen, både innen botanikken i f. eks. bader og innen zooogien der hee dyrekroppen kan være symmetrisk. Symmetri viser seg også i krystaer, som ae sater er bygget opp av og innen partikkefysikken med partiker og antipartiker. Det ser også ut ti at symmetri er noe som mennesket gjerne uttrykker, noe man kan se fra barnetegninger ti kunst og utsmykning. I matematikk brukes også symmetri i fere sammenhenger, men i forbindese med geometri ska vi se på symmetri som en kongruensavbidning. Vi ska se på tre enke symmetrier, nemig speisymmetri, rotasjonssymmetri og paraeforskyvning. I tiegg ska vi se på sammensatte symmetrier. Speisymmetri Speisymmetri eer speiing om en inje vi si at et punkt P bir avbidet sik at det bir fyttet vinkerett på injen og ike angt på den andre siden. Er det en figur som består av mange punkter, får vi et speibide av figuren. Et sikt speibide kan konstrueres eer tegnes. Konstruksjonen består i å nedfee P x x P' Figur 3.57 80 GEOMETRI
normaer fra sentrae punkter på figuren på aksen (figur 3.59). Deretter måes avstanden fra hvert punkt ti speiet for så å avsette denne avstanden på den andre siden av speiingsaksen. Ved tegning kan man bruke en trekantinja med rett vinke for å tegne normaene og måe avstandene (se figurene under). En oppgave kan også være å betrakte en figur for å finne ut om det er speiingssymmetri i seve figuren. Dvs. om man Figur 3.58 P P' P x x P' Figur 3.59 Figur 3.60 kan tenke seg at man hoder et spei i figuren som viser figuren sik den er uten at speiet er der. Et eksempe kan være et kvadrat, som har 4 sike speiingsinjer (stipet). Figur 3.61 KAPITTEL 3 81
Oppgave 3.42 Finn tisvarende speiingsinjer i føgende figurer: Figur 3.62 Figur 3.63 Oppgave 3.43 Ved å betrakte omgivesene vi man finne mye speisymmetri. For å kunne bruke dette overfor eever på uike trinn i grunnskoen, bør man på forhånd ha tenkt gjennom dette sev. Lag oppgaver som kan brukes på uike trinn der eevene ska finne speisymmetri i omgivesene og tenk gjennom hvike svar dere kan forvente. 82 GEOMETRI
Rotasjon Vi ska rotere et punkt S om et rotasjonssenter P. Rotasjonsvinkeen er v. Vi finner «biedpunktet» S ike angt unna symmetrisenteret P som S. Vinkeen SPS er v. Positiv rotasjonsvinke er rettet mot urviserne. Er det en figur som består av mange v punkter, vi hvert punkt i figuren roteres om X rotasjonssenteret. En rotasjon kan tegnes eer konstrueres på tisvarende måte som speiing om inje. S' Siden det ikke er muig å konstruere ae Figur 3.64 vinker med passer og inja, vi det være en begrensning for hvike rotasjoner det er muig å konstruere. Når rotasjonssymmentri ska beskrives, må det oppyses om to ting: 1. Rotasjonssenteret 2. Rotasjonsvinkeen. På samme måte som for speiing om en inje, vi det være en oppgave å finne ut om det er rotasjonssymmetri i en figur. Dvs. hvis figuren roteres om et rotasjonssentrum et bestemt anta grader, vi den se uforandret ut. S P Eksempe: Kvadrat. Rotasjon 90º om rotasjonssenteret S vi gi en uforandret figur. Vi får det samme resutatet hvis rotasjonen er 180º, 270º eer 360º. Den vanigste måten å oppgi dette på er å oppgi rotasjonssenteret og å si at vi kan rotere 4 ganger, eer nevne den minste rotasjonsvinkeen, nemig 90º. x S Figur 3.65 Oppgave 3.44 a) Tegn en bokstav. Merk av et punkt på bokstaven eer utenfor denne. Roter bokstaven 90 grader om det avmerkede punktet. b) Noen bokstaver er rotasjonssymmetriske; dvs. de har et rotasjonssenter som gjør at en rotasjon om dette punktet fører ti at bokstaven ser uforandret ut. Finn 3 sike bokstaver. Rotasjonsvinkeen ska være større enn 0 og mindre enn 360 grader. KAPITTEL 3 83
Oppgave 3.45 Hvike symmetrier, speiing om inje og/eer rotasjon har føgende figurer? Tegn inn eventuee speiingsinjer og rotasjonssentrum og oppgi hvor stor rotasjonsvinkeen er. Figur 3.66 Figur 3.67 84 GEOMETRI
Oppgave 3.46 Hvis man ser i æreverk for grunnskoen, står det i noen av dem om rotasjon om et punkt, eer punktspeiing. Dette er det samme som rotasjon 180º. Finn et æreverk som omtaer rotasjon om punkt og kontroer om det som står her er riktig. Hvordan bir en punktspeiing konstruert? Paraeforskyvning Paraeforskyvning kan konstrueres ved å C paraeforskyve ae punktene i en figur ike angt. Dette er forsøkt gjort i figur 3.68 ved at forskyvningen av B ti B er oppgitt og det er satt av tisvarende avstand fra A, markert ved en bue. Avstanden meom A og B bir også behodt, sik A' B' at avstanden AB bir satt av fra B med en bue. Buene treffer hverandre i A. C konstrueres på tisvarende måte. A Figur 3.68 B Å paraeforskyve et punkt en bestemt engde og retning, kan symboiseres ved en pi. En sik pi kan kaes en vektor. Ae punktene i figuren ska da forfyttes så angt som piens engde og føge piens retning. Når mange punkter som utgjør en figur bir paraeforskøvet sik, får vi et mønster som man ofte finner igjen på tapeter, gardiner, border eer annet. Figur 3.69 KAPITTEL 3 85
Oppgave 3.47 Se på mønstrene under. Hvike symmetrier finnes? Tegn inn symmetriinjer og symmetrisentrum og angi rotasjonsvinke. Tegn også inn pier som viser paraeforskyvning. Figur 3.70 Figur 3.71 Oppgave 3.48 Ta for deg en mønsterstrikket genser, en brodert duk e.. Beskriv mønsteret ved hjep av symmetriavbidningene. 86 GEOMETRI
Oppgave 3.49 Mange probemer i geometrien øses ved å bruke symmetri. Løsningen igger ofte i at en trekker nye injer på figuren som gjør at en får fram symmetrier i den. a) Trekk en rett inje. Merk av to punkter på samme side av, A og B. Finn punktet X på injen sik at avstanden AX+XB bir kortest muig. (konkretisering: tenk på injen som bidet av en bekk. Du står i A og hesten er tjoret i B. Du ska ned ti even (X) og hente vann ti hesten. b) Tegn et rektange. Det ska forestie et bijardbord. Tegn to kuer A og B. Merk dem av som to punkter på bordet. A ska treffe B etter å ha truffet to av veggene rundt bordet. Finn banen ti A. Vink: du bruker setningen om innfasvinke = utfasvinke. c) En ny ev. Tegn to paraee bredder. Et punkt A i terrenget på den ene siden av even, og et punkt B i terrenget på den andre siden. Over even ska det bygges en bro (oddrett på evebreddene) sik at den samede avstanden fra A ti B bir kortest muig. Hvor egger du broen? d) Hvordan konstruerer du et trapes med passer og inja dersom de fire sidene i trapeset er oppgitt? e) Hvordan konstruerer du et trapes når engden av de paraee sidene og de to diagonaene er oppgitt? f) Tegn to sirker som skjærer hverandre i to punkter A og B. Sirkene behøver ikke ha samme radius. Gjennom A ska du nå konstruere en rett inje som skjærer begge sirkene. Linjen ska videre ha den egenskapen at de to kordene som dannes, en i hver sirke, bir ike ange. Vink: Spei de to sirkene om punktet A. Ta et steg tibake og se på figuren du har fått. Oppgave 3.50 (oppgaven er gitt som tentamen grunneggende kvartårskurs matematikk Bergen Lærerhøgskoe 1991) 1. Tegn en reguær femkant med sider 5 cm. Den ska tegnes så nøyaktig som muig. Forkar og begrunn hvordan du gikk fram med å tegne den. 2. Beskriv femkantens symmetrier. Trekk diagonaene, og skriv opp størresen på de vinkene du finner. (Dette ska skrives opp utenfor figuren.) Har du sett femkanten bi brukt som mønsterenhet noe sted? 3. Beregn areaet av femkanten. Hvike informasjoner må en ha for å beregne fateinnhodet? Kan du kare å age en forme for fateinnhodet? KAPITTEL 3 87
4. Femkanten du har aget ska nå være mode for grunnrisset av et hus som er under bygging. Bestem en måestokk som passer ti tegningen du aerede har aget. Hvor stort area er nå husets grunnfate på? 5. Vi ska undersøke taket på huset. Dersom vi ser på taket i fugeperspektiv, atså rett ovenfra, ser vi at takets toppunkt igger i sentrum av grunnfaten. Videre består taket av fem kongruente trekanter. For enkehets skyd sier vi at taket ikke har takutstikk. Byggherren er kar over at takstein er dyrt og at takareaet bestemmes av takvinkeen han veger. Det er denne sammenhengen vi ber deg undersøke. Veg uike takvinker og beregn takareaet som vinkeen bestemmer. Tips: Det kan være urt å kippe ut en femkant og age en mode av et tak. Figur 3.72 Kombinasjoner av symmetrier: En kombinasjon av speiing og paraeforskyvning angs speiet har fått et eget navn, dette kaes: gidespeiing. Eksempe T Figur 3.73 Trekanten T speies om injen og paraeforskyves ti posisjonen T. Det har ingen betydning i hviken rekkeføge vi foretar speiingen og paraeforskyvningen. Kontroer sev at dette stemmer. oooooo T ' 88 GEOMETRI
To paraeforskyvninger kan erstattes av en paraeforskyvning som er vektorsummen av de to. Vektorsummen kan tegnes ved å tegne en pi som viser hver paraeforskyvning. Man vi få vektorsummen ved å tegne den andre pien fra der den første sutter som på figur 3.74. Disse to paraeforskyvningene som er merket 1 og 2, kan erstattes av en ny vektor, merket 3, som starter der vektor 1 starter og sutter der vektor 2 sutter. T Figur 3.74 1 3 T ' 2 Oppgave 3.51 To speiinger om paraee spei. Tegn en figur og to paraee speiingsinjer som på figuren. Tegn eer konstruer de trekantene du får ved å speie først om speiet og deretter speiet m. Sett bokstaver på hjørnene av figurene du får. Legg merke ti bokstavrekkeføgen etter speiingene. C A B m Figur 3.75 Hviken symmetrioperasjon kan resutatet av de to speiingene erstattes av? Prøv å gjøre det samme, men utfør speiingen i motsatt rekkeføge; dvs. spei om speiet m først og deretter om speiet. Lag en ny figur som du passerer meom speiene. Utfør speiingene som over. Hva bir resutatene nå? Kan de speiingene om to spei som er utført nå erstattes av en symmetrioperasjon? Hviken betydning har avstanden meom speiene? KAPITTEL 3 89
Oppgave 3.52 To speiinger om to spei som ikke er paraee. Tegn en figur med to spei som skjærer hverandre og en trekant som på figuren under. C A B m Figur 3.76 Konstruer eer tegn resutatet av først en speiing om speiet og deretter spei den trekanten du får om m. a) Hviken annen symmetrioperasjon kan denne dobbete speiingen erstattes av? b) Hva bir resutatet hvis du bytter om rekkeføgen av speiingene? c) Hvis figuren (trekanten) passeres meom speiene før speiingene bir foretatt. Hva bir resutatet da? d) Hviken betydning har vinkeen meom de to speiene? Hva bir bokstavrekkeføgen etter speiingene? Oppgave 3.53 Kan du se deg sev sik andre ser deg? Hvis du ser deg sev i et spei, vi du se deg «speivendt». Speibidet viser at høyre og venstre de av deg er byttet om, men opp og ned er behodt. Hvorfor er det sik? Hvis du hoder to spei ved siden av hverandre kan du se et bide av deg sev som ikke er speivendt i hvert av speiene. Hvis du hoder en angside av speiene sammen, og gjør vinkeen meom speiene stadig mindre, vi det dukke opp nye speibider av deg sev. Beskriv hva du ser. Hvordan går ysstråene fra øynene dine inn i speiene når du ser de nye speibidene? Lag tegning og forkar. Oppgave 3.54 To personer, A og B står midtveis angs hver sin vegg i et rom med med spei angs en av veggene som i figur 3.77. Vi antar at rommet har en kvadratisk form. 90 GEOMETRI
a) Hvor vi A se speibidet av B? b) Hvis veggene er 4,0 m ange, hvor angt unna A er B i speibidet? c) Hvis det er spei angs fere vegger. Hvike speibider kan de se da? spei A oooooo B Figur 3.77 To rotasjoner med samme rotasjonssentrum kan erstattes av en rotasjon med summen av vinkene som rotasjonsvinke. På figuren ved siden av har trekanten bitt rotert en vinke u om P og deretter en vinke v også om det samme punktet P. Disse to rotasjonene kan erstattes av en rotasjon en vinke u+v. P v u Figur 3.78 3.10 Trigonometri Ordet trigonometri kommer av trigonon som betyr trekant og metri som betyr måing. Trigonometri brukes i sammenheng med beregning av sider og vinker i trekanter. Sinus I figur 3.79 er trekantene ABC, ADE og AFG formike, siden vinke A er fees og BC, DE og FG er paraee. Lengden AB=BD=DF, da vi AD=2AB og AF=3AB. Pga. formikheten vi da tisvarende DE=2BC og FG=3BC; AE=2AC og AG=3AC. Hvis vi kaer BC=k og AC=h, vi tisvarende DE=2k og FG=3k; AE=2h og AG=3h. Med utgangspunkt i vinke A, vi motstående katet dividert med hypotenusen i trekanten hee tiden gi samme ta: Dvs.: BC AC = DE FG AE = AG fordi: k 2k 3k h = = 2h 3h KAPITTEL 3 91