Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter i allmennlærerutdanning

Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter i allmennlærerutdanning Ole Enge og Anita Valenta Bakgrunnen for denne artikkelen er vårt arbeid med det obligatoriske matematikkfaget i allmennlærerutdanningen. Vi analyserer studentenes arbeid med, og opplevelse av, det første praksisoppdraget i studiet deres. Oppdraget var å føre en samtale med en liten gruppe elever om et matematisk problem og observere og drøfte elevenes tankegang. Vi er interessert i hvordan og i hvilken grad studentene tar i bruk det vi har jobbet med i undervisningen når de er i en praksissituasjon. Å finne ut noe om dette kan gi en bedre forståelse av hvordan ulike elementer av matematikklærerkompetansen utvikles under studentenes utdanning, gjennom undervisning på høgskolen og i praksisoppdrag. Et annet interessant spørsmål er hvilke elementer av matematikklærerkompetansen som studentene er bevisste på så tidlig i utdanningen, og hva det er de selv mener de trenger for å bli matematikklærere. Det har betydning for vår undervisning hva studentene har behov for og opplever som relevant i undervisningen. Hvilke elementer av matematikklærerkompetansen må vi prøve å gjøre mer synlige for studentene? Ole Enge ALT, Høgskolen i Sør-Trøndelag ole.enge@hist.no Anita Valenta ALT, Høgskolen i Sør-Trøndelag anita.valenta@hist.no Nøkkelord: allmennlærerutdanning, matematikklærerkompetanse, praksisoppdrag, matematisk samtale, multiplikativ tenking Innledning og bakgrunn Det ligger i naturen til læreryrket at lærerkompetansen ikke kan utvikles bare ved en høgskole, men at nærheten til praksis er et nødvendig element. Ideelt sett kan en tenke seg at det å situere læring av teori i praksissituasjoner vil gjøre undervisningen mer relevant for studentene, og deres lærer- Enge, O., & Valenta, A. (2010). Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter i allmennlærerutdanning. Tidsskriftet FoU i praksis, 4 (3), 61 77. 61

FoU i praksis nr. 3 2010 kompetanse forblir i så fall ikke bare «kunnskap om», men noe de klarer å bruke. Dessuten vil studentenes lærerkompetanse gjøre det lettere for dem å definere sin rolle som lærer, og de vil oppleve gode situasjoner med elevene som de kan bygge på videre i sin utvikling som lærere. Ser vi spesielt på kompetanse for å undervise i matematikk, fremhever McDuffie, Drake og Herbel-Eisenmann (2008, s. 247) to kritiske momenter i utdanningen av matematikklærere: 1 Å knytte teori til praksis ved å situere læring av teori til praksissituasjoner der det er behov for den. 2 Å utvikle kompetanse i matematikk som er spesiell for lærere. Disse to punktene er tett sammenflettet, og flere undersøkelser peker på betydningen av nærhet til praksis i utvikling av kompetansen til en matematikklærer (se f.eks. Empson & Jacobs, 2008; Nicol, 1999; Zaslavsky, Chapman, & Leikin, 2003). Ett argument for å ha praksisoppdrag er at teori er relevant i både planleggingen, gjennomføringen og analysen av slike oppdrag. Et annet argument er at studentene kan utvikle en vane til å lære av praksis, noe som er en forutsetning for videre utvikling som matematikklærer. Ebby (2000) ser spesielt på det siste elementet, og hun argumenterer for at det må arbeides bevisst i lærerutdanningen med å hjelpe lærerstudenter til å utvikle en vane og evne til å lære fra egen undervisning. Etter sju ukers undervisning på høyskolen, gjennomførte våre studenter et oppdrag i praksis. Denne artikkelen baserer seg på rapporter som de skrev i etterkant av dette oppdraget. Rapportene tar utgangspunkt i matematiske samtaler de hadde med elever på mellomtrinnet. Studentene skulle i tillegg observere og reflektere over barns tankemønstre, løsningsstrategier og språk i matematikk, nærmere bestemt innen multiplikativ tenking. Vi ser i større grad på sammenhengen mellom undervisningen i fagstudiet og praksisoppdraget enn det er gjort i undersøkelsene nevnt ovenfor. Spesielt ser vi på hvordan vår måte å arbeide med matematikklærerkompetansen i undervisningen på, blir reflektert i studentenes arbeid med praksisoppdraget, og hvordan ulike elementer av denne kompetansen blir tatt i bruk. I tillegg er vi interessert i hva studentene på dette stadiet tenker om hva de trenger for å bli kompetente matematikklærere. En bedre forståelse for dette vil være svært viktig for oss i vårt videre arbeid med studentene. Elementene av matematikklærerkompetansen som studentene er bevisste på, kjenner igjen, tar i bruk og/eller sier de trenger å utvikle seg mer i, vil oppleves som mer relevante i vår undervisning. Elementer som studentene er mindre bevisste på, i mindre grad tar i bruk og ikke etterlyser, vil være mer krevende å arbeide med i undervisningen. 62

Ole Enge og Anita Valenta: Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter Teori Hva er det unike med lærerkompetanse i matematikk? En rekke internasjonale studier har sett på hva slik kompetanse innebærer. En pioner i dette arbeidet er Lee S. Shulman. Hans arbeid (Shulman, 1986) danner utgangspunkt for flere senere undersøkelser der Deborah L. Ball og hennes medarbeidere har vært sentrale (se f.eks. Ball & Bass, 2003; Ball, Lubiensky, & Mewborn, 2001; Ball, Thames, & Phelps, 2008). Ball og Bass (2003) innfører begrepet «mathematical knowledge for teaching» (MKT) som et overordnet begrep for å beskrive hvilken kompetanse som er nødvendig for å undervise i matematikk. Vi vil referere til dette begrepet som matematikklærerkompetanse. Ball et al. (2008) analyserer hva arbeidet til en matematikklærer går ut på, og hva slags kunnskap og kompetanse som trengs til de ulike oppgavene, og de utdyper videre de ulike elementene i MKT. De identifiserer fire hovedelementer: 1 Generell matematikkunnskap (Common Content Knowledge, CCK) 2 Spesialisert matematikkunnskap (Specialized Content Knowledge, SCK) 3 Kunnskap om matematikk og elever (Knowledge of Content and Students, KCS) og 4 Kunnskap om matematikk og undervisning (Knowledge of Content and Teaching, KCT) Generell matematikkunnskap defineres som matematikkunnskap som brukes ikke bare av lærere, men også av andre som jobber med matematikk. Det innebærer å kunne løse et matematisk problem, avgjøre om et elevsvar er riktig eller feil, om notasjonen som eleven/læreboka bruker er riktig, og om eleven bruker begreper/definisjoner/fremgangsmåter riktig. Dette er et viktig element i matematikklærerkompetansen, men er samtidig kunnskap som også mange andre som jobber med matematikk, har. Spesialisert matematikkunnskap, derimot, er matematikkunnskap som er spesiell for matematikklærere, og som ikke er nødvendig å ha for andre enn dem. Det innbærer blant annet å kunne identifisere viktige matematiske ideer og muligheter som en oppgave kan gi. Videre vil det å være bevisst ulike måter å fremstille en matematisk operasjon eller idé på, fordeler og ulemper ved bruk av ulike representasjoner, og forklaringer og argumenteringer være en del av dette elementet av MKT. Kunnskap om matematikk og elever defineres som lærerkunnskap om hvordan det kan tenkes at elevene tenker, hva de kan finne utfordrende, hvilke oppgaver som kan tenkes å virke interessante og motiverende, og om en oppgave vil være lett eller vanskelig. Videre innebærer denne kunnskapen å kunne høre og tolke elevenes innspill og å ha kunnskap om vanlige forestillinger og misoppfatninger blant elevene innenfor et gitt matematisk 63

FoU i praksis nr. 3 2010 tema. Det er altså et tett samspill mellom matematisk forståelse (CCK og SCK) og inngående kunnskap om elever og deres matematiske tenking. Kunnskap om matematikk og undervisning er matematikkunnskap som brukes i planlegging av undervisning. Denne kunnskapen kommer til syne i valget av eksempler og aktiviteter som legger til rette for utvikling av en dypere forståelse for det gitte matematiske innholdet, i vurderingen av fordeler og ulemper med en gitt representasjon, oppgave eller fremgangsmåte, og i det å vite hvilke spørsmål som er produktive i arbeidet med en gitt oppgave. Denne kunnskapen er dermed nært knyttet til matematisk forståelse og forståelsen for didaktiske aspekter som påvirker læring av matematikk. I tillegg til disse fire elementene ser Ball et al. (2008) på kunnskap om læreplaner og kunnskap om hvordan de matematiske emnene fra læreplanen er relatert, og hvordan de utvikles videre i elevers utdanning, som en del av MKT. De fire hovedelementene er tett sammenflettet og fanger kompleksiteten i arbeidet til en matematikklærer. Elementene gjenspeiles i hvordan en tenker om utdanning av matematikklærere, der kompleksiteten fremheves, og kompetansene ikke dekomponeres i matematikk for seg selv på den ene siden og i elever og undervisning for seg selv på den andre siden. Derfor har vi vektlagt denne måten å se på matematikklærerkompetansen både i vårt arbeid med studentene og i denne studien. Undervisning og oppdrag Vi var to lærere som var sammen om planleggingen og gjennomføringen av all undervisning på dette kurset, med i alt 52 studenter. Til vanlig var studentgruppa delt i to, men noen ganger var hele klassen samlet til felles undervisning. Studentene hadde en firetimersøkt per uke i perioden frem til oppdraget. Undervisningen før praksisoppdraget var konsentrert om to temaer: observasjon og kommunikasjon i matematikk, og multiplikativ tenking med vekt på resonnering og argumentasjon. Star og Strickland (2008) påpeker at studenter i liten grad legger merke til det matematiske innholdet i praksisepisoder. Observasjoner av det matematiske innholdet kan for eksempel være hvilken oppgave elevene i episoden arbeidet med, hvilke eksempler som ble brukt, eller hvordan et gitt begrep ble omtalt i klassen. I undervisningen arbeidet vi systematisk med observasjon for å hjelpe studentene til å utvikle sine evner til å fange kompleksiteten i matematiske praksissituasjoner. Vi så på videoer med klasseromssituasjoner og diskuterte dem. I tillegg gjennomførte studentene egne observasjonsoppdrag i praksis. 64

Ole Enge og Anita Valenta: Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter Studentene skulle ha en samtale med elevene som en del av praksisoppdraget, og gjennom disse samtalene skulle de finne ut hvordan elevene tenkte under arbeidet med en oppgave. Moyer og Milewicz (2002) viser at slike samtaler ofte kan gå i retning av å sjekke ut om elevene kan løse oppgaven, eller de utvikler seg til at studentene forklarer til elevene hva de skal gjøre, og hvordan de kan tenke. For at studentene skulle være bevisst på dette og være bedre rustet til oppdraget, ble det i forkant av oppdraget arbeidet med analyser av ulike samtaler mellom lærer og elev ut fra spørsmålet om hvor godt egnet disse samtalene var for å få innblikk i elevenes tankegang. Topaze-effekten (Brousseau, 1997, s. 25), et lukket kommunikasjonsmønster mellom lærer og elev(er) der spørsmål blir utformet slik at det faglige innholdet gradvis forenkles til det blir trivielt, var også et tema for undervisningen. Det matematiske temaet i starten av kurset var multiplikativ tenking. Med utgangspunkt i arbeidet til Lo, Grant og Flowers (2008) ble det i undervisningen lagt vekt på resonnering og argumentasjon ved utvikling av strategier for multiplikasjon. En typisk oppgave kunne være «Hvordan kan du finne ut hvor mye 26 18 er hvis du vet hva 25 20 er?». Mens Lo et al. (2008) har mest fokus på at studentene utvikler evne til resonnering og argumentering, fremhever Fosnot og Dolk (2001) betydningen av å ha et bilde eller en tankemodell å støtte seg på i arbeidet med et matematisk problem, og de skiller mellom tankemodeller og strategier. For eksempel: Når en skal regne ut 12 3, kan en bruke strategien med å dele opp 12 i 10 + 2 og multiplisere ledd for ledd. En tankemodell er derimot en kontekst, et bilde eller et redskap, som gjør at en vet at det er mulig å bruke en bestemt strategi. Et slikt bilde i tilknytning til dette eksemplet kan være at man tenker på 12 poser med 3 ting i hver pose og ser først på 10 av posene for så å legge til de 2 siste. I eksemplet med 12 3 er løsningsstrategiene hos de fleste automatisert, mens ved 26 18 er det vanskeligere å finne en løsning uten å ta i bruk tankemodeller. Ett av målene i kurset var at studentene selv skulle oppleve nytten av å ha et slikt bilde (i dette tilfellet det å tenke multiplikasjon som like grupper, eller gjennom en arealmodell), slik at de kunne forstå betydningen av å hjelpe elever i utviklingen av slike tankemodeller. Praksisoppdraget var et av studentenes første strukturerte møter med elevene. Før dette hadde de kun gjennomført observasjonsoppdrag der de ikke skulle være aktive deltakere. Hver praksisgruppe, som bestod av to fire studenter, skulle samtale med en gruppe på to tre elever som arbeidet med oppgaver innenfor multiplikativ tenking. I rapporten som gruppa skrev i etterkant av gjennomføringen, skulle deler av samtalen gjengis i sin helhet, og studentene skulle drøfte elevenes løsningsstrategier og måter å tenke på. Videre skulle studentene reflektere over egen rolle i samtalen, og over deres opplevelse av situasjonen. Hver studentgruppe skulle velge én eller to oppgaver fra en felles liste av oppgaver. Gruppa skulle i fellesskap drøfte det 65

FoU i praksis nr. 3 2010 faglige innholdet i oppgaven(e), tilpasse oppgaven(e) til sine elever og finne en passende måte å presentere oppgaven(e) på. En av oppgavene studentene kunne velge mellom, oppgave 1 nedenfor, var hentet fra Lampert (2001). Oppgave 2 tar utgangspunkt i Lampert-oppgaven og var også med på lista over oppgaver som kunne brukes i praksisoppdraget. Lignende oppgaver ble brukt i undervisningen for å vise hvordan ulike modeller for multiplikasjon kan styrke forståelsen for operasjonen, og bidra til at man kan finne og argumentere for ulike sammenhenger. For eksempel kan en i oppgavene ovenfor se at når størrelsen på posene/gruppene dobles, må antallet poser/grupper halveres. Konteksten i oppgavene er slik at det er nærliggende å bruke tankemodellen «like grupper» for å løse den. Det å lage en tegning av posene ville dermed ha vært et nyttig tips å gi til de elevene som ikke kom i gang med oppgaven. Et slikt tips reduserer ikke det faglige innholdet i oppgaven, det fremhever et redskap i arbeidet med oppgaven og med matematikk mer generelt. Interessante spørsmål som kan knyttes til oppdraget, er blant annet om elevene tar i bruk tegninger eller konkreter, hvilke løsningsstrategier de bruker, eller om de for eksempel legger merke til dobling/halvering. Videre kan det være interessant å drøfte hvordan elevene argumenterer for sine strategier, og om de for eksempel bruker konteksten i sin argumentasjon. I forbindelse med kommunikasjonen mellom studenter og elever ga oppdraget en mulighet for studentene til å øve seg på å lede en matematisk samtale og på å lytte til det elever sier. Samtidig, siden studentene skulle skrive ned dialogene med elevene, hadde de i etterkant en mulighet til å se nærmere på egen rolle i samtalen. 66

Ole Enge og Anita Valenta: Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter Metode Empiri Datamaterialet for studien er rapporter fra det nevnte praksisoppdraget, og i denne artikkelen bruker vi rapportene til de studentene som brukte oppgaven til Lampert (2001), enten i originalutgaven, oppgave 1, eller som poser med klinkekuler i oppgave 2. Det var ni praksisgrupper, totalt 22 studenter, som arbeidet med enten oppgave 1 eller 2 med sine elever. Vårt datagrunnlag er elleve rapporter fra praksisoppdraget. Ett av kravene til rapporten var at den skulle inneholde konkrete utdrag av samtalene med elevene. Fire av studentgruppene brukte lydopptak i registreringen av samtalene, tre brukte videoopptak, og fire brukte løpende logg (dvs. at en student fører samtalen, mens de øvrige noterer). Vår studie kan betraktes som utviklingsforskning (Gravemeijer, 1994). Vi har en deltakende rolle i forskningen, og den bidrar til utvikling av vår undervisning. Det at vi har en deltakende rolle, gjør at vi kjenner konteksten godt vi har planlagt og gjennomført undervisningen og vi har planlagt praksisoppdraget. Dermed kan vi utvikle analyseverktøy som reflekterer vår undervisning og målene for praksisoppdraget. Vi kjenner diskursen i klassen, noe som gjør at vi kan ta hensyn til dette i analysen av rapportene. På den annen side kan dette, og vår kjennskap til studentene, føre til at vi overtolker rapportene. Vi var klar over denne utfordringen alle rapportene ble lest og kodet separat av hver av oss, før vi sammenlignet og diskuterte resultatene. Analysemetode De fire hovedelementene av matematikklærerkunnskap definert av Ball et al. (2008), ble brukt som analyseverktøy under lesingen. Hvert av elementene av MKT relateres til praksisoppdraget og graderes som beskrevet i tabellen på neste side. 67

FoU i praksis nr. 3 2010 Tabell 1 Lav Nokså lav Nokså høy Høy CCK SCK KCS KCT Studentene klarer ikke å løse oppgaven selv, de klarer ikke å si om et svar er riktig eller ikke, og har problemer med begreper/notasjon. Studentene reflekterer ikke over verken det faglige innholdet i oppgaven eller ulike muligheter å arbeide med oppgaven på som lærer. Målet med oppgaven er å komme frem til et riktig svar. Studentene viser lite forståelse for elevenes vansker/innspill/måter å tenke på under arbeidet med oppgaven, og er heller ikke oppmerksomme på eller interessert i disse (verken under samtalen eller i drøftingen). Ledende samtale, rettet mot et svar, og de har ingen utdypende spørsmål. Studentene reflekterer ikke over undervisningen. Studentene har store problemer med å løse oppgaven, og de har problemer med å bruke begreper/notasjon riktig. Det matematiske innholdet i oppgaven drøftes ikke direkte, men i samtalene/ drøftingene ser vi at studentene er interessert i mer enn et svar. Studentene viser noe kunnskap om løsningsstrategier og tankemodeller, f.eks. til sammenhenger innen multiplikativ tenking. Studentene drøfter elevinnspill, men drøftingen er hovedsakelig en beskrivelse. De viser noe forståelse for vansker elevene har. Studentene stiller spørsmål til elevene om hvordan de har kommet frem til svaret, uten at de går videre med det. De har noen tilbakeblikk på egen rolle i episoden, og noe drøfting av undervisning av matematikk generelt. Studentene løser oppgaven stort sett korrekt, klarer å skille riktige og uriktige svar. De har noen problemer med bruk av begreper/ notasjon. Det matematiske innholdet i oppgaven drøftes delvis. Studentene viser noe kunnskap om løsningsstrategier og tankemodeller, og en delvis forståelse for mulighetene som ligger i oppgaven. Det er mangelfull forståelse for hvordan ulike løsningsstrategier kan knyttes til mulighetene i oppgaven. Studentene viser dypere forståelse for vansker elevene har. Elevinnspill drøftes, f.eks. en elevs evne til å lage en kontekst til oppgaven eller forklare for en medelev. De drøfter om elevene gjennomfører regningen instrumentelt eller med forståelse. Men diskusjonene er generelle og i liten grad knyttet til den konkrete oppgaven. Studentene stiller flere utdypende spørsmål, diskusjonen tar hensyn til innspill fra elevene. Men diskusjonen legger i liten grad til rette for utvikling av en dypere matematisk forståelse. Undervisning i matematikk drøftes nokså generelt. Studentene analyserer til en viss grad sin egen rolle. Studentene løser oppgaven korrekt, og klarer å skille riktige og uriktige svar. Ingen problemer med bruk av begreper/ notasjon. Studentene er klar over ulike løsningsstrategier og tankemodeller som det åpnes for i oppgaven. De ser betydningen av disse i utviklingen av forståelse for multiplikative strukturer. De viser f.eks. til sammenhengen mellom halvering og dobling. Studentene tenker gjennom mulige måter elever kan løse oppgaven på, og hvilke vansker elever kan ha med oppgaven. De legger merke til og tolker elevinnspill (i dialogen og/ eller i drøftingen). De drøfter de ulike tankemodellene og fremgangsmåtene til elevene, og sammenligner disse. Studentene gir produktive tips, stiller utfordrende matematiske spørsmål som går i dybden, og stopper opp ved elevinnspill som kan være viktige for matematisk forståelse. Undervisning i matematikk drøftes, tett knyttet til oppgaven. Studentene analyserer sin egen rolle. 68

Ole Enge og Anita Valenta: Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter I tillegg ser vi på hvilke behov studentene uttrykker hva de mener at de bør arbeide mer med og få mer kompetanse i. Behovene relateres til elementene i matematikklærerkompetansen. Analyse I tabellen nedenfor gir vi en oversikt over resultatet av analysen av alle rapportene. En stjerne (*) betyr at studentgruppa har uttrykt et behov for mer kompetanse i den aktuelle komponenten. En nærmere analyse innenfor hvert av elementene av matematikklærerkompetanse følger. Tabell 2 Gruppe CCK SCK KCS KCT A Høy Nokså lav Nokså lav * Nokså høy * B Høy Lav Nokså lav Nokså lav * C Høy Nokså lav Nokså lav Nokså lav * D Høy Lav Nokså lav * Nokså lav * E Høy Nokså lav Nokså høy Nokså lav * F Høy Lav Lav * Nokså lav G Høy Lav Nokså høy * Nokså lav * H Høy Lav Nokså lav Nokså lav * I Høy Nokså lav Nokså høy Nokså høy * J Høy Lav Nokså lav * Lav * K Høy Lav Nokså lav Nokså lav * Generell matematikkunnskap (CCK) Det er et felles trekk i alle rapportene at studentene ikke skriver ned sine egne løsningsforslag. Studentenes CCK er dermed analysert gjennom deres samtaler med elevene og indirekte i teksten ellers. I samtalene bekreftes elevenes korrekte svar, studentene skriver om elever som fort løste oppgaven og var flinke. I de tilfellene der elever gir ufullstendige eller gale svar, blir dette kommentert. Sju av gruppene (A, B, G, H, I, J og K) sier at elevene ikke kommer i gang med oppgaven, og studentene kommer da med tips. I rapport A, der elevene jobber med oppgave 2, skriver studentene: «Etter at elevene har lest oppgaven opp til flere ganger og enda står fast og ser ut til å ikke komme noen vei, foreslår Kari (student) derfor å dele oppgaven i to 69

FoU i praksis nr. 3 2010 deloppgaver.» Seks av disse sju gruppene gir et slikt tips. Elevene ledes da til først å se på den ene siden (finne antall klinkekuler totalt), og så på den andre (dele antallet på 12 for å finne antall poser som trenges). Det er bare gruppe I som ber elevene om å prøve å tegne som en hjelp til å komme i gang. Studentgruppe C har elever som uoppfordret begynner å tegne poser, og slå dem sammen. Elevene har ikke problem med å løse oppgaven, men studentene er mest opptatt av om elevene kan finne ut totalt antall klinkekuler. Innspillene viser at det å dele oppgaven i to, gange på den ene siden og så dele totalen med tallet fra den andre siden, er studentenes måte å løse oppgaven på. De resterende fire gruppene er mer tilbaketrukne i dialogene, og vi kan ikke si noe om hvordan de selv ville ha løst oppgaven. Spesialisert matematikkunnskap (SCK) Det er få som skriver noe om hva som er det matematiske innholdet i oppgaven. Gruppe B skriver at «oppgaven gikk ut på å sette inn tall i en ligning med grupper uten gitt enhetsbenevning». Andre studenter (gruppe E, G og I) nevner at oppgaven er en multiplikasjonsoppgave, mens resten av gruppene ikke beskriver oppgaven. De faglige målene og mulighetene i oppgaven drøftes ikke direkte i noen av rapportene, så også her baseres analysen på dialogene og studentenes drøftinger. I gruppe A er det studenten Kari som leder en samtale om oppgave 2 med tre elever (en gutt og to jenter), og gruppa gjengir følgende dialog i sin rapport: (1) Kari (student): La oss dele oppgaven her nå, vi tar denne delen først. (2) Jente 1: Da blir det 60 klinkekuler! (3) Jente 2: Hvordan fant du ut det? (4) Jente 1: Hallo!?! 10 gange 6 er 60! (5) Jente 2: Ååå, da skjønner jeg! (6) Kari: Da må dere skrive ned det. (7) Kari: La oss lese videre. Grepet med å dele oppgaven i to fører til en endring i det matematiske innholdet i oppgaven, ved at mulighetene i oppgaven reduseres. For eksempel vil sammenhengen mellom dobbelt så store og halvparten så mange poser bli mindre synlig. Ved å dele oppgaven i to kan elevenes tanker styres til at oppgaven først er å multiplisere for å finne totalt antall, og så å dividere på 12. Studentene reflekterer ikke over dette grepet i rapporten, utover det at de skriver at «med en gang det ble foreslått å dele oppgaven i to gikk det straks mye bedre». De utdyper ikke hva «mye bedre» betyr, men vi oppfat- 70

Ole Enge og Anita Valenta: Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter ter det slik at de mener at elevene ikke lenger sto fast. Etter at elevene har kommet frem til antall klinkekuler, avsluttes denne delen av samtalen. Videre i samtalen diskuterer de antall poser (med plass til 12) som trengs for å romme 60 klinkekuler, og da foreslår en av jentene strategien «12 + 12 er 24, 24 + 24 er 48 + 12 er 60», mens gutten foreslår «60: 12». Kari etterlyser mer enn et kort svar fra jenta. Hun ber henne gjenta sin løsningsstrategi og skrive den ned, men går ikke videre på innspillet til gutten. Studentene legger merke til at elevene ikke skriver ned det jente 1 sier, men at alle tre skriver 60: 12 = 5: «[V]i så og hørte at de to andre løste det på en helt annen måte, selv om alle tre skrev 60: 12 = 5 til svar.» Studentene skriver at det er grunnen til at de dreier samtalen inn på ulike løsningsstrategier: (18) Kari: Hvilken måte syns dere er enklest? (19) Jente 2: Ehh? Jeg syns egentlig den med deling. (20) Gutt 1: Men hvordan skal vi gjøre det? (Gutt 1 var den første som skrev 60: 12, selv om han ikke klarte å regne det ut.) (21) Jente 1: Men hvordan skal vi gjøre det? (22) Jente 2: Nei, vi tar 6, og så blir det bare det! (23) Jente 1: Men hvordan skal vi gjøre det? (24) Jente 2: Jeg vet egentlig ikke. (25) Kari: Har dere lært hvordan dere regner ut det? (Dette kan de ikke helt svare på, kanskje de ikke skjønner hva jeg mener) (26) Kari: Har dere lært hvordan dere setter opp et delestykke og så regner ut? (27) Jente 2: Nei! Kari ser på «deling» som en metode (linje 18), og både hun og elevene likestiller deling med det å gjennomføre selve operasjonen på en spesiell måte (linje 25 og 26). Selv om elevene skriver 60: 12 = 5, ser verken elevene eller studenten at elevene egentlig vet hvordan 60: 12 kan regnes ut, og at de har gjort det. Om guttens innspill med divisjon skriver studentene: «Gutt 1 gikk rett på 60: 12, selv om han ikke visste hvordan han skulle regne det ut.» I deler av dialogen etterspør studentene mer enn bare et svar, og de diskuterer med elevene om ulike løsningsstrategier. Studentene vet at oppgaven handler om mer enn bare å komme frem til et svar, og at en diskusjon om ulike løsningsstrategier kan være viktig her. Denne diskusjonen blir 71

FoU i praksis nr. 3 2010 imidlertid ikke brukt til å utforske muligheter i oppgaven eller ulike løsningsstrategier i divisjon. Selv om gruppa uttrykker at det er viktig med flere fremgangsmåter, fremstår derfor denne forståelsen som nokså generell. Gruppe A er en av gruppene som viser nokså lav SCK. I rapportene som betegnes med lav SCK, er det tydelig at målet med oppgaven er å komme frem til et svar. I samtalene stilles det få utdypende spørsmål, og de avsluttes idet elevene er kommet frem til et (rett) svar. Verken innholdet eller ulike måter å tenke på i arbeidet vies noe oppmerksomhet. Gruppe J beskriver samtalen med en elev på følgende måte: Eleven tenkte en stund, og sa deretter at det skulle bli 4 poser. Vi fikk henne til å prøve ut teorien ved å sette inn klinkekulene i de fire posene, men hun fant fort ut at det ikke stemte. Da prøvde hun med 5 poser. Hun tegnet de 5 posene og plasserte en og en klinkekule i hver pose til det ble 60 klinkekuler til sammen. Denne eleven brukte vesentlig mye mer tid på oppgaven enn de andre elevene gjorde. Det virket egentlig som at eleven ikke skjønte oppgaven i det hele tatt. Denne episoden drøftes ikke mer i rapporten. Det er svært lave resultater innenfor spesialisert matematikkunnskap for alle gruppene, og ingen uttrykker et behov for mer kunnskap av denne typen. Kunnskap om matematikk og elever (KCS) I alle rapportene, bortsett fra rapporten til gruppe F, diskuterer studentene elevinnspill, men de aller fleste er kun beskrivelser av episodene. Studentene i gruppe A går ikke bakom løsningsstrategiene til elevene, de spør ikke om hvordan elevene vet at en gitt operasjon eller strategi kan brukes, og de undres ikke på hvorfor gutten kommer frem til at operasjonen deling kan brukes for å finne svaret i denne oppgaven. De sidestiller det å beskrive hva en gjør, med det å forklare hvordan en tenker. De skriver i rapporten at: «En av elevene skilte seg tidlig ut, hun var den som tok de fleste oppgavene raskt. Hun var også den som hadde best evne til å kommunisere matematisk med oss, ved å forklare det hun tenkte på en slik måte at man forstod det.» Det refereres her til utsagnet «Æ tok bare 12 + 12 er 24, 24 + 24 er 48 + 12 er 60.» Gjentatt addisjon er en løsningsstrategi en tankemodell er et bilde av situasjonen som gjør at man vet at den valgte strategien vil fungere. I dette tilfellet kan det tenkes et bilde av en pose som først fylles opp med 12 klinkekuler, så en pose til, og så videre til alle klinkekulene er i ulike poser. Gruppe A er et eksempel på en gruppe som betegnes med nokså lav KCS. 72

Ole Enge og Anita Valenta: Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter Gruppe E, G og I diskuterer i større grad enn de andre gruppene hva elevene har jobbet med i skolen tidligere, og hvordan det jobbes med matematikk ved den gitte skolen. Gruppe E skriver: Vårt inntrykk er at elevene har jobbet for lite med nettopp det å utrykke seg muntlig i faget. Da vi ber eleven om å forklare sin tankegang, sitter hun som et spørsmålstegn og ser forundret opp på oss: Hun er kanskje ikke vant til denne typen spørsmål? Analysen av det elevene sier og gjør, blir sett i forhold til det studentene vet om elevene og deres arbeid med matematikk. Den er i liten grad knyttet til det faglige innholdet og mulighetene i den gitte oppgaven. Det er flere studentgrupper som sier de trenger å utvikle bedre kompetanse innenfor KCS. Gruppe A, F og J skriver at manglende kjennskap til elevene har gjort at samtalene ikke ble så åpne og utforskende som de skulle ønske. De skriver derimot ikke konkret om hvordan manglende kjennskap har spilt en rolle, eller hvordan samtalen ville ha blitt bedre dersom de kjente elevene. Gruppe A skriver for eksempel: «Noe som burde vært gjort var at vi i gruppe løste oppgaven sammen på forhånd. Og på den måten kunne vært forberedt på hvilke svar/løsninger eleven kunne ha kommet med.» Studentene drøfter ikke dette videre, og de knytter det ikke til den konkrete oppgaven og samtalen. Gruppene D og G er mer konkrete og skriver at lesing av litteratur i etterkant av oppdraget har gjort dem oppmerksom på at det finnes flere løsningsstrategier enn de var klar over under gjennomføringen, og at kunnskap om dette ville gjort dem mer forberedt på at elevene kunne tenke forskjellig. Kunnskap om matematikk og undervisning (KCT) Alle studentgruppene prøver å stille utdypende spørsmål til elevene om hvordan de har kommet frem til et svar, og hvordan de har tenkt. Gruppe A går videre med innspill fra elevene og starter en diskusjon om ulike løsningsforslag. Det at studentene ikke skiller mellom en operasjon og en strategi, mellom en løsningsstrategi og tankemodellen bak denne, fører til at diskusjonen verken hjelper elevene eller studentene til å videreutvikle forståelsen for divisjon (linje 18 27). Samtalene i flere av rapportene (B, G, H, J og K) er mer styrt og mindre utforskende og utdypende enn hos gruppe A. For eksempel gjengir gruppe K denne samtalen: S2: Skal vi se, hvis du har 6 klinkekuler i hver pose, og det er 10 poser? 73

FoU i praksis nr. 3 2010 E1: Ehh hi, hi. S1: Vet du hva vi kan gjøre, vi kan bruke de her. (Viser brikkene) S2: Her har du 6 sånne (Legger ut 6 brikker sammen) S1: som ligger i en pose. S2: Så har du 10 sånne poser, ikke sant. (E1 sier ikke noe. Stille). Studentene skriver i sin drøfting at dette er en ledende samtale, og de sier at: «Våre observasjoner kunne som sagt ha vært bedre hvis vi hadde stilt flere utdypende spørsmål», men de analyserer ikke dypere det som skjedde i situasjonen. Av de sju gruppene som opplever at elevene ikke kommer i gang med oppgaven, er det seks som gir hint om å dele oppgaven i to. Gruppe I skiller seg ut ved at de tipser sine elever om å prøve å lage en tegning som illustrerer situasjonen. Dette er et produktivt tips som ikke reduserer det matematiske innholdet, og som kan være et steg i utvikling av tankemodellen «like poser» for multiplikasjon, samt et viktig redskap i arbeidet med matematikk generelt. Gruppe I skriver i rapporten at tipset fungerte bra, og at det er viktig å tegne i matematikk, men knytter ikke dette tettere til den gitte oppgaven. Gruppe I er et eksempel på en gruppe som viser nokså høy KCT. Alle grupper, bortsett fra gruppe F, skriver at de ikke er fornøyd med hvordan samtalene med elevene gikk, og de etterlyser mer kunnskap innenfor dette elementet av MKT. I sin refleksjon over samtalen med elevene skriver studentene i gruppe A: «For når man er midt i situasjoner tenker man ikke så nøye gjennom ordbruken sin, og det kan da komme mange upedagogiske utsagn. Den berømte fiskemetoden ble vel tatt i bruk hos oss også.» Med «fiskemetoden» mener de det å «fiske etter svar», noe som var klassens synonym for Topaze-effekten. Lignende refleksjoner finner vi også i andre rapporter. Gruppe J skriver: «Vi har også funnet ut at det er vanskelig å prøve å forklare og hjelpe en elev med en oppgave uten å røpe hvordan de skal gjøre det.» Behov for å være flinkere til å gi tips uten å gi svar, og til å stille mer åpne spørsmål, fremheves i flere av rapportene. Refleksjonene er generelle og ikke knyttet til den aktuelle oppgaven. Flere av studentgruppene (A, D, G og K) skriver at de tror de vil bli bedre til å føre en god matematisksamtale med elevene når de har mer erfaring som lærere, og/eller når de kjenner sine elever bedre. 74

Ole Enge og Anita Valenta: Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter Oppsummering I denne artikkelen har vi ønsket å finne ut hvilke elementer av MKT som studenter bruker eller etterlyser i praksisoppdrag. Studentene bruker sin generelle matematikkkunnskap (CCK), og i liten grad spesialisert matematikkunnskap (SCK). Manglende drøftinger av det faglige innholdet og mulighetene i oppgaven viser at de er lite bevisste på betydningen av SCK i en praksissituasjon. De er mer bevisste på kunnskap om matematikk og elever (KCS) og kunnskap om matematikk og undervisning (KCT). De er villige til å bruke åpne og undersøkende samtaler i matematikk og undersøkende matematikk generelt. Men de synes det er utfordrende å føre slike samtaler og ønsker å bli bedre i det. De ser at det finnes flere måter å tenke på under arbeidet med en oppgave, og at det kan være nyttig for læring av matematikk å diskutere disse måtene. Studentene er kritiske til egen rolle i episodene. En manglende drøfting av elementer i SCK gjør at refleksjonene om elever og undervisning blir nokså generelle, og de blir i liten grad knyttet til den aktuelle oppgaven. Det samme påpekes i flere internasjonale forskningsartikler (Santagata, Zannoni, & Stiegler, 2007; Star & Strickland, 2008) at det er en utfordring i arbeid med praksisoppdrag å få studentene til å se nytten og behovet for en analyse av det matematiske innholdet i en praksisepisode, og at det er et kritisk punkt i det å reflektere over og lære av praksis. Det virker som om dette er et kritisk punkt i utviklingen av matematikklærerkompetansen mer generelt. Bevissthet om det matematiske innholdet og muligheter i en oppgave er et nødvendig utgangspunkt for å kunne reflektere omkring for eksempel mulige lærerhandlinger eller muligheter for læring. Ingen av studentgruppene etterlyser bedre kompetanse innen SCK, så dette elementet er lite synlig for dem. Studentene uttrykker mest behov innen KCT, noe som kan tyde på at de er opptatt av seg selv som lærere. Det er naturlig så tidlig i utdanningen, og det er en oppgave for oss lærerutdannere å gjøre dem bevisste på at det å arbeide med SCK er en viktig forutsetning for god undervisning i matematikk. Det må jobbes mer med å fremheve spesialisert matematikkunnskap, og med å knytte elevers læring og undervisning til den. Å finne fremgangsmåter her vil være en viktig oppgave for oss som arbeider med å utdanne matematikklærere. 75

FoU i praksis nr. 3 2010 Litteratur Ball, D.L., & Bass, H. (2003). Toward a practice-based theory of mathematical knowledge for teaching. I E. Simmt & B. Davis (red.), Proceedings of the 2002 Annual Meeting of the Canadian Mathematics Education Study Group (s. 3 14). Edmonton, AB: CMESG/GCEDM. Ball, D.L., Lubienski, S.T., & Mewborn, D.S. (2001). Research on teaching mathematics: The unsolved problem of teachers mathematical knowledge. I V. Richardson (red.), Handbook of research on teaching (4. utg.) (s. 433 456). Washington, DC: American Educational Research Association. Ball, D., Thames, M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching. What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389 407. Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Ebby, C. (2000). Learning to teach mathematics differently: The interaction between coursework and fieldwork for preservice teachers. Journal of Mathematics Teacher Education, 3, 69 97. Empson, S.B., & Jacobs, V.R. (2008). Learning to listen to children s mathematics. I D. Tirosh & T. Wood (red.), The international handbook of teacher education (vol. 2, s. 267 282). Rotterdam: Sense Publishers. Fosnot, C., & Dolk, M. (2001). Young mathematicians at work. Constructing multiplication and division. Portsmouth, NH: Heinemann. Gravemeijer, K. (1994). Educational development and developmental research in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 25(5), 443 471. Lampert, M. (2001). Teaching problems and the problems of teaching. New Haven, CT: Yale University Press. Lo, J., Grant, T., & Flowers, J. (2008). Challenges in deepening prospective teachers understanding of multiplication through justification. Journal of Mathematics Teacher Education, 11, 5 22. McDuffie, A.R., Drake, C., & Herbel-Eisenmann, B. (2008). The elementary mathematics methods course: Three professors experiences, foci, and challenges. I B. Jaworski & T. Wood (red.), The international handbook of mathematics teacher education (vol. 4, s. 247 264). Rotterdam: Sense Publishers. Moyer, P., & Milewicz, E. (2002). Learning to question: Categories of questioning used by preservice teachers during diagnostic mathematics interviews, Journal of Mathematics Teacher Education, 5, 293 315. Nicol, C. (1999). Learning to teach mathematics: Questioning, listening, and responding. Educational Studies in Mathematics, 37, 45 66. Santagata, R., Zannoni, C., & Stiegler, J. (2007). The role of lesson analysis in pre-service teacher education. Journal of Mathematics Teacher Education, 10(2), 123 140. Shulman, L.S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), 4 14. Star, J., & Strickland, S. (2008). Learning to observe: Using video to improve preservice mathematics teachers ability to notice. Journal of Mathematics Teacher Education, 11(2), 107 125. Zaslavsky, O., Chapman, O., & Leikin, R. (2003). Professional development in mathematics education: Trends and tasks. I A.J. Bishop, M.A. Clemens, C. Keitel, J. Kilpatrick, & F.K.S. Leung (red.), Second international handbook of mathematics education (s. 877 917). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 76

Ole Enge og Anita Valenta: Utvikling av matematikklærerkompetansen hos studenter English summary: Development of mathematical knowledge for teaching This paper reports on our work with first year student teachers in an obligatory mathematics education course in teacher education. Student teachers conducted their first field work in mathematics after seven weeks of coursework. The assignment was to use curriculum material from the course in order to lead a discussion on a given mathematical problem with children. After the field work, student teachers wrote reports from the episode with children, and described and discussed the episode. We are analyzing the students reports in order to develop better understanding of how student teachers integrate coursework with field assignments in the process of developing their mathematics knowledge for teaching. In particular, we try to identify possible pitfalls in the process of integrating these two parts of teacher education. In addition, we are interested in what kind of needs for competence student teachers express in the reports, what they feel that they should do in order to be become more competent mathematics teachers. Implications for teacher educators are also discussed in the paper. Keywords: teacher education, mathematical knowledge for teaching, field assignment, communication in mathematics, multiplicative reasoning 77