DIMENSJONERING AV PLATER 1. ELASTISK STAVKNEKKING Stavelement med tverrlast q og konstant aksialkraft N Likevekt dv q x dx 0 vertikallikevekt ch e j e V dx dm N d 0 momentlikevekt Kombinert gir dette diff.ligningen for stavknekking d 4 qx k d k N dx 4 dx EI EI Løsning leddlagret søyle og q)x)=0 x ( ) Asin n x L N n EI cr L Vi er interessert i den laveste løsningen eller N N cr EI L EI 1 EI EI L L L cr k N j Randbetingelsene og variasjonen av N er ivaretatt av k N Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 1 av 30
. ELASTISK PLATEKNEKKING Skivekreftene N x, N y og N xy har en helning relativt til x-y planet og virker som en ekvivalent tverrkraft. Etter høyere ordens ledd er strøket qe N x N y N xy dx dy dxdy Første ledd er som for stavknekking Kombinasjon av likevektsligningene for plateelementet gir diff. ligningen for plateknekking F HG 4 1 N D N dx N dy x y xy dx dy N x, N y og N xy er foreskrevne membrankrefter (laster) I KJ Betrakter fritt opplagt rektangulær plate med N y =N xy =0 Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 av 30
Funksjonen xy (, ) Asin m x sin a n y b tilfredsstiller randbetingelsene. m er antall sinusbølger i x- retning og n er antall bølger i y-retning Tilfredsstiller også diff-ligningen dersom N x har verdien f xcr, N xcr, k E t t 1 1 b N x,cr er platens kritiske last (elastisk knekklast) b n k m a Avhenger av geometri og last a m b e E 1 1 t b Avhenger av geometri og material Vi søker den verdi av k σ som gir lavest kritiske verdi av N cr (Euler-lasten for platen). Må finne den kombinasjon av m og n som gir laveste kritisk last N cr Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 3 av 30
Eksempel: Fritt opplagt, rektangulær plate med aksiallast Antall sinusbølger i de to retninger i knekkmønsteret avhenger av spennviddeforholdet α=a/b Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 4 av 30
Knekktall for aksialbelastet plate med ulike randbetingelser Knekktall for momentbelastet plate Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 5 av 30
Knekktall for skjærbelastet plate Knekktall k τ k k 5,34 4 5,34 4 a b a b for 1 for 1 Generell løsning for kritisk spenning for plater f f cr cr k for normalspenninger k for skjærspenninger e e k σ og k τ bestemmes fra diagrammene. Løsningene overfor gjelder uansett forholdet a/b mellom platens sidekanter. Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 6 av 30
NS-EN 1993-1-5 Knekktall k for aksial- og momentbelastet plate (ψ=σ /σ 1 ; σ 1 > σ ) NB! Sidekantforholdet inngår ikke, og uttrykkene gjelder for lange plater (a/b>1). Men å skulle brukes i tverrsnittsklassifiseringen Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 7 av 30
3. OVERKRITISK KAPASITET AV PLATER Karakteristisk oppførsel av trykkpåkjente kompo-nenter Observasjon Plater har en utnyttbar overkritisk kapasitet Søylers overkritiske kapasitet kan ikke utnyttes Skall har ingen overkritisk kapasitet Spenninger i utknekket plate Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 8 av 30
von Kahrman teori Erstatter den virkelige plate med bredde b (med varieren-de spenning) med en modellplate med bredde b e (med konstant spenning), slik at platene har samme kapasitet. Bruddkriterium Modellplatens kapasitet er fullt utnyttet når dens kritiske spenning f b eller f xcr, xcr. e ej er lik flytespenningen f y. e f b k E t be 1 1 E t b b,, xcr e 1 1 b be xcr f b y e f b k f b. ebj er Eulerspenningen av den virkelige platen xcr,1 105 t 35 f y 807,6 f t b 35 f y y b fxcr, b k k 1 1 0,3 Relativ slankhet Må vite k σ (randbetingelsene og lastfordelingen på platen) for å beregne slankheten Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 9 av 30
p f b 1 f b t 8,4 k y xcr, Effektiv platebredde be b y fxcr, b 1 f p Forsøk viser at ρ bør justeres, og NS-EN 1993-1-5 gir Indre trykkelement (steg eller flens i kassetverrsnitt) 1,0 for p 0,673 p 0,0553 for p 0,673 1,0 3 0 p Ytre trykk element (utstikkende flens) 1,0 for p 0,873 p 0,188 1,0 for p 0,748 p Kapasitet av aksialbelastet plate N f b t f A f A xrd, d e d ceff, y c hvor A c er tverrsnittets (platens) trykkbelastede areal Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 10 av 30
Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 11 av 30
MOMENTBELASTET PLATE Observasjoner - trykkbelastede del av platen knekker ut - omlagring av spenninger i hele platen - nøytralaksen i det effektive tverrsnitt forskyves mot den strekkbelastede del Beregningsmessige forhold - slankheten p beregnes på basis av hele platens bredde - effektiv bredde b e beregnes på basis av trykk-sonens bredde b c - modellplatens bredde skal ikke krympes, men deler av platen fjernes - tverrsnittsparametrene (e, W, I) for den effektive plate må beregnes på nytt Effektive tverrsnittsdata for platebærer For et I-profil er det lett å utvikle de nødvendige tverrsnittsdata for det reduserte tverrsnitt Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 1 av 30
b b b e e1 e A t b b Ae A A e 1 b b b c e A A c e1 e e 3 1 e 1 c e I I A e t b b e Forutsetter fullt effektiv trykkflens A A EKSEMPLER Eksempel 1. Platefelt med N x =konstant Slankhetskontroll b 1000 67 4 4 0.81 34 Tverrsnittsklasse 4 t 15 Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 13 av 30
Slankhet p b p t 1 1000 1 8. 4 k 15 8. 40. 81 4 145. Reduksjonsfaktor p 0,055 1,450,055 31 0,58 1, 45 p Kapasitet f y N A 355 xkd.. c 0.58 15 1000 830 kn 1.1 M1 Linearisert knekklast N xcr. k k e E 1F1 H F I K HG t b. 171151000 56 kn x cr p I. 5F KJ 4 1 10 F H. I K H G 1 1 0 3 15 1000 I KJ 171 N/ mm For denne slankheten ( p 145. ) gir overkritisk teori 10.5% økning i kapasiteten. Eksempel. Momentbelastet platefelt b 1000 15 14 14 0.81 100 Tverrsnittsklasse 4 t 8 Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 14 av 30
e j e j k 7. 816. 9 1 9. 78 1 3. 9 p 1000 8 1 8. 40. 81 3. 9 111. 1,110,055 31 0,81 1,11 b 0,81500 405 mm ce be1 0,4405 16 mm be 0,6405 43 mm Tverrsnittsdata 500 405 8 760 mm A A 10008760 740 mm e e 1 5001643 760 30,5 mm 740 I e W 1 81000 8100030,5 1 8 500405 30,5 8000 59610 mm 1 1 760 min I e max 3 3 6 4 596106 6 3 1,1 10 mm z 50030,5 Overkritisk momentkapasitet M Rd, f d W min 1,1 355 1,1 10 6 = 361 knm Platens elastiske momentkapasitet (uten hensyn til knekking) M d 355 1 8 1000 49 1,1 6 knm Overkritisk kapasitet er 16 % lavere enn platens elastisk momentkapasitet Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 15 av 30
4 SKJÆRKNEKKING AV PLATER Skjærbelastede plater skal kontrolleres for knekking dersom h 7 For uavstivet steg t h t 31 k For avstivet steg =1.0 for S35 S460 =1.0 for høyere fasthet (NA) For større slankheter utnyttes platens overkritiske kapasitet, hvor platen (steget) bærer ved hjelp av en strekkfeltmekanisme. Strekkfeltdiagonal i aluminium platebærer Bærevirkning i skjærbelastet panel Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 16 av 30
Spenningen τ i en plate i skjær kan transformeres til hovedspenningene σ 1 og σ. Slanke plater knekker ut under trykkspenningen, og vil danne en strekkdiagonal i retning 1 Fagverksanalogi for platebærer med vertikalstivere Det er utviklet beregningsmodeller basert på strekkfeltteorien (Basler, Cardiff,mf) NS-EN 1993-1-5 har valgt ikke å legge strekkfeltteorien til grunn, men i stedet å benytte skjærknekkings-kurver. Kurvene er basert på forsøk og simuleringer. Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 17 av 30
Skjærkapasitet etter NS-EN 1993-1-5 Verifikasjon for skjærknekking hvor V Ed 3 1,0 V brd, f y V V V h brd, brd, bf, Rd t 3 M1 =1.0 for S35 S460 =1.0 for høyere fasthet Stegets bidrag er V b, Rd f y 3 M1 h t Reduksjonsfaktor χ for skjærknekking (stegets bidrag) Stiv endestiver Myk endestiver 0,83 0,83 1,08 0,83 0,83 1,08 1,37 0,7 Utforming av vertikal stivere 0,83 Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 18 av 30
Skjærknekkingskurver 1= Stiv endestiver = myk endestiver Knekktall for skjærknekking k 5,34 4 for a 1 b 4 k 5,34 for a 1 b Redusert slankhet f y 3 1 cr 076, f y cr Etter innsetting for k τ 1 86,4 h t Stivere ved opplegg (k =5.34) 1 37,4 k h t Stivere ved opplegg, pluss mellomliggende tverr- eller langsgående stivere Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 19 av 30
Flyteledd i flensene medfører plastisk arbeid i flensene under skjærdeformasjonen, som gir økt platebærerens skjærkapasitet. NS-EN 1993-1-1, avsnitt 5.4 gir info om flensenes bidrag. Dersom flensene allerede er utnyttet for opptak av moment, gir de ikke noe bidrag til skjærkapasiteten. Eksempel. Skjærkapasitet av platebærer 400 5 10 5 Sidekantforhold a 3000,07 1 h 1450 Knekktall k 1 1 5,34 4,0 5,344,0 6,7,07 Vil steget knekke? h t 1450 0,81 14531 k 31 6,7 5 10 1, Redusert slankhet 1 h 1 1450 1,91 37,4 t 37,40,81 6,7 10 k Antar myk endestiver 0,83 0,83 V 0,43 1,91 Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 0 av 30
Skjærkapasitet V d fy 355 Vh t 0,43 1450 10 117 kn 3 1,05 3 M1 Stiverne må også dimensjoneres Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 1 av 30
5. PUNKTLAST PÅ PLATERAND BEVEGELIGE LASTER. Opptrer f eks i form av hjultrykk på kranbjelker, og dimensjoneres etter elastisitetsteorien. Inelastisk dimensjonering gir gjentatt plastifisering og akumulering av plastiske tøyninger i overgang flens/steg. Spenninger i steg (EI f = 0) Spenninger: Pcos3 P cos 4 z r x cos sin sin cos x P P r x Psin cos P sin cos 3 xz r x Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 av 30
Singulariteten (for r=0) under lasten forsvinner dersom lasten har en endelig utbredelse, eller dersom man tar hensyn til flensens bøyestivhet. NS-EN 1993-6 Crane supporting structures Ok steg skal kontrolleres for den vertikale spenning z og sveisen skal kontrolleres for den lokale skjærspenning. Den maksimale lokal spenningen σ z i stegets overflate er gitt ved Fz z t l eff Må bestemme effektive lengde l eff Kranskinnen ligger direkte på overflensen l eff I 3,5 rf t 1 3 Kranskinnen er stivt festet til overflensen: I rf beregnes for kranskinnen og en medvirkende bredde b f av flensen b b d men b b eff fr r eff Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 3 av 30
Kranskinnen ligger løst på flensen I I I I I fr r f, eff,.arealmoment av flensen med effektiv breddeb.arealmoment av kranskinnen f eff f Dersom det benyttes elastisk plate (elastomer) med t>6 mm mellom skinne og flens kan l eff økes med 30% eff STAJONÆRE PUNKTLASTER Typiske lastsituasjoner. Aktuelle bruddformer Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 4 av 30
Dimensjoneringsmodell Ønsker å dekke alle bruddformer i en beregningsmodell, samt samme matematiske struktur på modellen som benyttet for stavknekking, vipping og plate med last i planet. Lastutbredelse og knekktall Type a Type b Type c Beregningsmodell Betrakter platestripe med bredde l y og tykkelse t som en leddlagret søyle med lengde h Kapasitetskontroll F Ed 1,0 F Rd Kapasiteten for uavstivet steg er gitt ved f y F Rd L t t = stegets tykkelse eff L eff = effektiv lengde M1 Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 5 av 30
Effektiv lengde i beregningsmodellen L eff l χ F = reduksjonsfaktor F y l y = punktlastens angrepslengde Reduksjonsfaktor for knekking under punktlast F 0,5 F Redusert slankhet F l t f F y y cr Kritisk last F cr (lineariserte knekklast, Eulerlast) 3 F 0,9 t cr k E F h Effektiv lastutbredelse Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 6 av 30
Effektiv lastbredde l y Hjelpestørrelser som tar hensyn til flens- og stegdimensjoner og flytespenninger: f b yf f m 1 f y t m 0,0h t f for F 0,5 m =0 for 0,5 F Lastsituasjon a) og b) y s f 1 l s t 1 m m l y avstand mellom tverrstivere Lastsituasjon c) m1 le e f t f ymin e f 1 k FEt e s fyh l t m l l t m m l s c Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 7 av 30
Eksempel Punktlast på platebærer 50 50 30 5 10 10 100 50 5 Antar avstand mellom vertikale stivere a=4,0 m Lastutbredelsestype a k F Kritisk last h 100 a 4000 6 6 6,18 3 3 F 0,9 0,9 6,13,1 105 10 cr k t F E 1160 kn h 1000 Effektiv lastbredde f b yf f m 50 1 5 f t 10 m y h 100 t f 30 0,0 0,0 3,0 s 5030 110 mm s 1 l s t 1 m m 110 301 5, 58 mm y s f Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 8 av 30
F lyt fy 5810355 3 1,33 0,5 F 116010 cr 0,5 F 0,38 1,0 1,33 l 0,3858 1 mm Leff F M1 y Kapasitet f y F 355 Rd Leff t 1 10 747 kn 1,05 Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 9 av 30
6. INTERAKSJON Interaksjon M, V og N Definerer utnyttelsesgradene M Ed 1 M Bøyning pl, Rd V Ed 3 V Skjær b, Rd Dersom 3 0 kan virkningen av V neglisjeres. For I-profiler og kassetverrsnitt kontrolleres interaksjon M&V etter ( 3 0 hvor M 1 1 1,0 f, Rd 1 M 3 pl, Rd M f, Rd M pl, Rd for 1 M M f, Rd pl, Rd Kapasitet av effektive flensarealer Kapasitet av effektive flensarealer + effektivt stegareal (uavhengig av tverrsnittsklasse) ) Interaksjonen skal kontrolleres i alle snitt som ligger i avstand større enn h / fra opplegg eller vertikalstiver. Dersom aksialkraft N Ed opptrer i tillegg reduseres M f,rd og M pl,rd iht bestemmelsene i NS-EN 1993-1-1. Interaksjon M, N og F Dersom punktlasten F virker på trykkflensen gjelder 0,8 1,4 1 Dimensjonering av plater NS-EN 1993-1-5 Per Kr. Larsen 14.11.008 30 av 30