B9 VERTIKALE AVSTIVNINGSSYSTEMER GEOMETRISKE AVVIK, KNEKKING, SLANKHET

Transkript

1 9.2.5 Slankhet og slankhetsgrenser Den geometriske slankheten defineres som λ = l 0 / i = l 0 / (I /A), det vil si l 0 = λ (I /A) der i er treghetsradien for urisset betongtverrsnitt (lineært elastisk). Teoretisk knekklast, eller Eulerlasten, kan da omskrives som: N E = (π 2 E I) / l 0 2 = (π 2 E I) / [λ (I /A)] 2 = (π 2 E A) / λ 2 Et rektangel har i = [(b h 3 / 12) / (b h)] = h / 3,464 = 0,289 h En sirkel har i = [(π Ø 4 / 64) / (π Ø 2 /4)] = Ø / 4 = 0,250 Ø For trykkstaver av armert (og uarmert) betong gir ikke oe fullgodt uttrykk for stavens virkelige slankhet. Dette skyldes at stivheten av et armert betongtverrsnitt varierer med aksialkraftnivå, krumning og armering (mengde, plassering, kvalitet). Dette er bakgrunnen for innføring av en normalisert slankhet, i EC2-1-1, punkt NA (1): = λ [n / (1 + 2 k a ω)] der n = N Ed / (f cd A c ) ω = (f yd A s ) / (f cd A c ) k a = (i s / i) 2 der i er treghetsradien for urisset betongtverrsnitt i s = I s /A s er treghetsradien for armeringen For et rektangulært tverrsnitt med symmetrisk armering: i s = [(A s /2) (h /2) 2 2 /A s ] = 0,5 h der h er avstand mellom armeringsstengene. For eksempel vil h = 0,85 h gi k a = [(0,5 0,85 h ) / (0,289 h)] 2 = 2,16 Nedre slankhetsgrense Etter EC2-1-1, punkt NA (1) kan det sees bort fra virkningen av 2. ordens lastvirkninger (altså en søyle kan betraktes som «kort») dersom,lim Det er ikke slik at man får en spesiell belønning dersom man konstruerer med,lim, standarden gir bare anledning til å sløyfe ledd som allerede er meget små. Dersom man anvender et dataprogram som kan ta hensyn til alle ledd, spiller det arbeidsmessig ingen rolle. Dersom det regnes for hånd, kan det spares en del arbeid om man på forhånd vet at man ligger under grensen. Den normaliserte slankheten vil få forskjellig verdi for hvert enkelt lasttilfelle for samme konstruksjon. Man er på den sikre siden om man bruker maksimumsverdien. Se etterfølgende dimensjoneringseksempler. Forskyvelige trykkstaver For trykkstaver med en ende som er forskyvelig (uavstivet, for eksempel en utkraget søyle) og for uforskyvelige staver med tverrlast er,lim = 13 A ϕ Under vanlige forhold kan man se bort fra krypeffekten og sette A ϕ = 1 EC2-1-1, punkt (4)] Da blir,lim = 13 Uforskyvelige trykkstaver For trykkstaver uten tverrlast og med ender som ikke er sideveis fritt forskyvelige, det vil si uforskyvelig (for eksempel søyler som er avstivet for hver etasje) eller delvis avstivet, er slankhetsgrensen 74

2 l EI N a) Enkelt søyle EI l β = 1,81 k E = 3,0 b) Delvis søyleramme Figur B 9.7. Knekkingsfaktorer for innspente søyler. β = 2 k E = (π/2) 2 k E = 2,47 N,lim = 13 (2 r m ) A ϕ hvor r m = M 01 / M 02 er forholdet mellom tallmessig minste og største 1. ordens stavendemoment. For en uforskyvelig søyle vil,lim ligge mellom 13 for en enkeltkrum søyle og 39 for en dobbeltkrum søyle med M 01 / M 02 = 1. Grunnen til at man får en høyere slankhetsgrense for en uforskyvelig søyle med en momentgradient, er at maksimalt 1. ordens og maksimalt 2. ordens moment ikke opptrer i samme snitt. Dette medfører at økende 2. ordens momenter kan dannes med økende momentgradient før maksimalt totalt moment overstiger maksimalt 1. ordens moment. Denne effekten avtar med avtagende tallmessig størrelse av maksimalt 1. ordens stavendemoment. Dette er grunnen til at r m skal settes lik 1,0, det vil si at det skal regnes med,lim = 13, dersom det største 1. ordens stavendemoment er mindre enn det som svarer tilnærmet til minsteeksentrisiteten. Dersom søylen har tverrbelastning mellom stavendene kan det godt tenkes at maksimalt 1. ordens moment opptrer i nærheten av maksimalt 2. ordens moment. Generelt skal derfor,lim = 13 benyttes. Øvre slankhetsgrense EC2-1-1 gir ikke øvre slankhetsgrenser som ikke skal overskrides. Blir trykkstaven svært slank, er det er risiko for stabilitetsbrudd (knekking). Ettersom det er nyttig med slike grenser, kan de fra NS 3473 \14\ benyttes. Med definisjonen av i EC2-1-1 bør normalisert og geometrisk slankhet tilfredsstille følgende: Normalisert slankhet: < 45 Geometrisk slankhet: λ < 80 (1 + 2 k a ω) EI N 1 N 2 l Global slankhet En bygningskonstruksjon vil nesten alltid bestå av noen vertikale avstivende elementer, og noen vertikale elementer som støtter seg til de avstivende elementene. Dersom man ønsker å slippe å kontrollere knekkingslasten til de avstivende elementene, må den globale slankheten beregnes. Dette er vist i figur B 9.7. Med utgangspunkt i den grunnleggende Eulerlasten (punkt 9.2.3) kan man omskrive: N E = (π 2 E I) / l 0 2 = (π 2 E I) / (β l) 2 = (π / β) 2 [(E I) / l 2 ] N E = k E [(E I) / l 2 ] der k E = (π / β) 2 eller β = π / k E Avstivende N 1 Avstivet N 2 ΣN = ΣN 1 + ΣN 2 Figur B 9.8. Global knekking. For vertikale skiver som avstiver leddede søyler, kan man sette opp formler tilsvarende figur B 9.7.b se figur B 9.8. N E = k E [Σ(E I) / l 2 ] β = π / k E Se tabell B 9.1. Dette er behandlet i EC2-1-1 tillegg H (informativt). I etasjebyggeri angis k E for fast innspente skiver (konstant stivhet, like etasjelaster). k E = 7,8 [n s / (n s + 1,6)] der n s er antall etasjer. Størrelsen på k E og β er vist i tabell B

3 Tabell B 9.1. Globale knekkingsfaktorer. Antall etasjer n s k E β 1 3,0 1,81 2 4,33 1,51 3 5,09 1,39 4 5,57 1,33 5 5,91 1,29 6 6,16 1,27 7 6,35 1,25 8 6,50 1,23 9 6,62 1, ,72 1,21 (figur B 9.7.b) Det kan ses bort fra 2. ordens effekter (global knekking) dersom de utgjør mindre enn 10 % av de samtidige opptredende 1. ordens virkninger. [EC2-1-1, punkt (6)] Med henvisning til figur B 9.8 betyr dette at ΣN 0,1 N E EC2-1-1, Tillegg H bruker andre betegnelser: ΣN = F V,Ed = den totale vertikale lasten (på avstivede og avstivende konstruksjoner) N E = F V,BB = den nominelle knekklasten for global bøying. E cd = E cm / γ ce der γ ce = 1,2 Urisset tverrsnitt har EI = 0,8 E cd I c Risset tverrsnitt har EI = 0,4 E cd I c ΣEI=summen av bøyestivheten til alle avstivende skiver i den betraktede retningen. Det kan tas hensyn til globale 2. ordens effekter ved å analysere konstruksjonen for fiktive, økte horisontale krefter, F H,Ed : F H,Ed = F H,0Ed / [1 (F V,Ed / F V,B )] der F H,0Ed er 1. ordens horisontalkraft fra vind, geometriske feil osv. F V,Ed er den totale vertikale lasten på avstivede og avstivende konstruksjonsdeler. F V,B er den nominelle globale knekklasten F V,BB Praktisk bruk av dette er vist i beregningseksempel B 9.2. Eksempel B 9.1. Beregning av horisontallast mot vertikalt avstivende skiver Bygningskonstruksjonen er vist på figur B 9.9. Egenvekter: Samme konstruksjon i alle etasjer: Egenvekt ferdig fugede dekkeelementer = 3,65 kn/m 2 20 mm avretting = 0,02 25 = 0,50 kn/m 2 Bjelker 200 / 400 = 0,20 0, / 18 = 0,32 kn/m 2 Søyler 300 / 400 = 0,30 0,40 3, / (36 18) = 0,25 kn/m 2 Egenlast dekker = 4,72 kn/m 2 Eventuelle andre egenlaster, som himling, tekniske installasjoner, lettvegger etc. må også inkluderes i den grad de ikke er forutsatt som en andel av nyttelasten. 76

4 Skive R Veggskive R 2,0 2,0 7,0 7,0 9,0 9,0 Avretting Hulldekke x 6,0 = 36,0 200 a) Plan c) Detalj x 3,0 = 21, Skive R b) Snitt d) Deling av hulldekker Figur B 9.9. Byggets hovedgeometri. Egenvekt veggskive: G = 0,2 3,0 21,0 25 = 315 kn I alt 6 skiver: ΣG = = 1890 kn Nyttelaster og snø: Det er samme nyttelast i alle etasjer = 3,0 kn/m 2 Snølast på tak = 2,0 kn/m 2 [EC1-1-3 inkludert formfaktor μ 1 = 0,8] Karakteristisk vertikallast på dekkene: Egenlast dekke over 1. etasje til dekke over 7. etasje: G = 4,72 18,0 36,0 = 3059 kn Egenlast veggskiver pr. etasje: G = 3,0 0,2 3, = 270 kn Total egenlast pr. etasje: G = = 3329 kn Nyttelast dekke over 1. etasje til dekke over 6. etasje: P = 3,0 18,0 36,0 = 1944 kn (uten etasjereduksjonsfaktor) Snølast dekke over 7. etasje (tak): S = 2,0 18,0 36,0 = 1296 kn Karakteristisk vertikallast på hele bygget: Egenlast: G = = kn Snølast: S = 1296 kn Nyttelast: Generell etasjereduksjonsfaktor på nyttelast: 77

5 α n = [2 + (n 2) Ψ 0 ] / n Her settes Ψ 0 = 0,7 (kontor) n = 6 fordi skiveinnspenningen ved fundamentet blir kritisk. α n = [2 + (6 2) 0,7] / 6 = 0,80 P = ,8 6 = 9331 kn Horisontale laster fra skjevstilling: Det henvises til punkt her. α h = 2 / l = 2 / 21 = 0,44 < 2 / 3, det vil si α h = 2 / 3 m = 18 søyler det vil si α m = [0,5 (1 + 1 / m)] = [0,5 (1 +1 / 18)] = 0,726 θ i = θ 0 α h α m = 0,005 0,667 0,726 = 0,0024, det vil si = 0,0024 N Vindlast mot langside: Med h = 21 m, d = 18 m og b = 36 m gir EC1-1-4, punkt 7.2, trykk på lo vegg og sug på le vegg, henholdsvis formfaktorer c pe,10 = 0,80 (trykk) og c pe,10 = 0,51 (sug). Det benyttes formfaktorverdier for lo og le side samtidig. Dette gir for h / d = 1,17 en korrelasjonsfaktor 0,86. Med vindhastighet v b,o = 22 m/s, terrengkategori III, z = 21 m gir EC1-1-4, figur V.1a): po = 700 N/mm 2 Karakteristisk vindlast: v = 0,700 (0,80 + 0,51) 0,86 = 0,788 kn/m 2 Karakteristisk vindlast på dekke over 1. til 6.etasje: W = 0,788 36,0 3,0 = 85 kn Karakteristisk vindlast på dekke over 7. etasje (tak): W = 0,788 36,0 3,0 / 2 = 42,5 kn Samlet karakteristisk vindlast mot hele bygget: W = 0,788 36,0 21,0 = 596 kn Vindlast mot kortside: Med h = 21 m, d = 36 m og b = 18 m gir EC1-1-4, punkt 7.2, trykk på lo vegg og sug på le vegg, henholdsvis formfaktorer c pe,10 = 0,75 (trykk) og c pe,10 = 0,39 (sug). Det benyttes forfaktorverdier for lo og le side samtidig. Dette gir for h / d = 0,58 en korrelasjonsfaktor 0,85. Med vindhastighet v b,o = 22 m/s, terrengkategori III, z = 21 m gir EC1-1-4, figur V.1a): po = 700 N/mm 2 Karakteristisk vindlast: v = 0,700 (0,75 + 0,39) 0,85 = 0,678 kn/m 2 Karakteristisk vindlast på dekke over 1. til 6.etasje: W = 0,678 18,0 3,0 = 36,6 kn Karakteristisk vindlast på dekke over 7. etasje (tak): W = 0,678 18,0 3,0 / 2 = 18,3 kn Samlet karakteristisk vindlast mot hele bygget: W = 0,678 18,0 21,0 = 256 kn Dimensjonerende laster: Når de vertikale avstivende skivene skal dimensjoneres, er det mange lastkombinasjoner som er aktuelle se punkt B 2.3 her og eksemplene C 13.3 og C Her antas at vind er dominerende variabel last, og at maksimum strekk i skiven oppnås med 1,0 G uten nyttelast og snø, og at maksimum trykk i skiven oppnås med 1,2 G pluss maksimum nyttelast og snø. 78

6 Vind mot langside og maksimum strekk: E d = 1,0 G + 1,5 W Vertikallast: N Ed = 1,0 G = 1, = kn Skjevstilling: = θ i N Ed = 0, = 56 kn = 1,5 W = 1,5 596 = 894 kn = = 950 kn Vind mot langside og maksimum trykk: E d = 1,2 G + 1,05 S + 1,05 P + 1,5 W Vertikallast: N Ed = 1, , , N Ed = = kn Skjevstilling: = 0, = 94 kn = 1,5 W = 1,5 596 = 894 kn = = 988 kn Vind mot kortside og maksimum strekk: Samme skjevstilling som på tvers: = 56 kn = 1,5 W = 1,5 256 = 384 kn = = 440 kn Vind mot kortside og maksimum trykk: Samme skjevstilling som på tvers: = 94 kn = 1,5 W = 1,5 256 = 384 kn = = 478 kn Konklusjon: Skjevstillingslasten er den samme i alle retninger. Vindlasten er tilnærmet proporsjonal med byggets bredde på tvers av vindretningen. I dette eksemplet utgjør skjevstillingslasten ca % av vindlasten på tvers av bygget, og ca % på langs av bygget. For å spare beregning av alle lastsituasjoner, er man på den sikre siden dersom man beregner skjevstillingslasten ut fra maksimum vertikale laster. Eksempel B 9.2. Beregning av horisontallast mot dekkeskiver Bygningskonstruksjon og lastgrunnlag er det samme som i eksempel B 9.1, men skjevstillingslastene mot dekkeskivene er ikke de samme som mot de vertikale avstivende skivene. Karakteristiske vindlaster er nøyaktig de samme som i eksempel B 9.1: Vindlast mot langside mot dekker: W = 85 kn Vindlast mot langside mot tak: W = 42,5 kn Vindlast mot kortside mot dekker: W = 36,6 kn Vindlast mot kortside mot tak: W = 18,3 kn Horisontale laster fra skjevstilling der θ i = 0,0024 (Eksempel B 9.1) Mot dekker: = θ i (N a +N b ) / 2 = 0,0012 (N a +N b ) [figur B 9.3.a.] Mot tak: = θ i N a = 0,0024 N a [figur B 9.3.b.] Det er mange lastkombinasjoner som kan være aktuelle, her sjekkes kun for maksimale vertikallaster og vindlaster. Sjekker bare fullt ut for vind mot langside, siden dette blir dimensjonerende for dekkeskiven. 79

7 Dekke over 1. etasje: 1) E d = 1,2 G + 1,05 S + 1,05 P + 1,5 W: Vertikallast i 1. etasje: G = = kn S = 1296 kn P = ,8 6 = 9331 kn (α n = 0,8) N b = 1, , , = kn Vertikallast i 2. etasje: G = = kn S = 1296 kn P = ,82 5 = 7970 kn (α n = 0,82) N a = 1, , , = kn Skjevstilling: = 0,0012 (N a + N b ) = 0,0012 ( ) = 87,4 kn = 1,5 W = 1,5 85 = 127,5 kn = 87, ,5 = 215 kn 2) E d = 1,2 G + 1,05 S + 1, 5 P + 0,9 W: N b = 1, , , = kn N a = 1, , , = kn Skjevstilling: = 0,0012 (N a + N b ) = 0,0012 ( ) = 101,5 kn = 0,9 85 = 76,5 kn = 101,5 + 76,5 = 178 kn < 215 kn Alternativ 1) med vind som dominerende variabel last, er dimensjonerende. Skjevstillingslasten blir mindre og mindre for hver etasje oppover. Viser her beregning av dekke over 6. etasje. Siden skjevstillingslasten er mye mindre, blir lasttilfelle 2) ikke kontrollert. Dekke over 6. etasje: 1) E d = 1,2 G + 1,05 S + 1,05 P + 1,5 W: Vertikallast i 6. etasje: G = = 6658 kn S = 1296 kn P = ,0 1 = 1944 kn (α n = 1,0) N b = 1, , , = kn Vertikallast i 7. etasje: G = = 3329 kn S = 1296 kn P = 0 N a = 1, , = 5440 kn Skjevstilling: = 0,0012 (N a + N b ) = 0,0012 ( ) = 20,2 kn = 1,5 W = 1,5 85 = 127,5 kn = 20, ,5 = 147,7 kn Takskive (dekke over 7. etasje): 1) E d = 1,2 G + 1,05 S + 1,5 W: N a = 1, , = 5440 kn Skjevstilling: = 0, = 13,1 kn = 1,5 W = 1,5 42,5 = 63,8 kn = 13,1 + 63,8 = 76,9 kn 2) E d = 1,2 G + 1,5 S + 0,9 W: N a = 1, , = 6023 kn Skjevstilling: = 0, = 14,5 kn = 0,9 42,5 = 38,3 kn = 14,5 + 38,3 = 52,8 kn < 76,9 kn 80

8 Konklusjon: For vind på tvers av bygget, utgjør skjevstillingslasten ca. 69 % av vindlasten for dekket over 1. etasje, synkende til 16 % for dekket over 6. etasje. Dette betyr at skjevstillingslasten har svært stor effekt på horisontallasten i de horisontale dekkeskivene, og det er alltid nederste etasje som får størst last (forutsatt at det er like etasjehøyder og like dekker). Samlet horisontallast H Ed = 215 kn for dekket over 1 etasje, synkende til H Ed = 147,7 kn for dekket over 6. etasje (lasttilfelle 1), tak H Ed = 76,9 kn, til sammen ΣH Ed 1165 kn for hele bygget. Sammenlignet med skjevstillingslasten for de vertikale skivene i eksempel B 9.1: H Ed = 988 kn for hele bygget. Årsaken til de økte lastene er at skjevstillingslastene øker for hver etasje nedover på grunn av at de er proporsjonale med de akkumulerte vertikale lastene. Beregning av horisontallaster mot de horisontale dekkeskivene må derfor gjøres for seg med andre laster enn for de vertikale skivene, med mindre man vil være konservativ og bruke eksempel B 9.2 også på de vertikale skivene. Kontroll av vind og skjevstilling på langs av bygget for dekket over 1. etasje: 1) Skjevstilling: = 87,4 kn (som på tvers) = 1,5 36,6 = 54,9 kn = 87,4 + 54,9 = 142,3 kn 2) Skjevstilling: = 101,5 kn = 1,05 36,6 = 38,4 kn = 101,5 + 38,4 = 139,9 kn Siden skjevstillingslasten er like stor på langs av bygget som på tvers, mens vindlasten er tilnærmet proporsjonal med byggets bredde på tvers av vindretningen, vil skjevstillingslasten her ofte bli større enn vindlasten. Knutepunkter Maksimum H Ed = 215 kn for hele dekkeskiven [Dekke over 1. etasje, lasttilfelle 1]. Tilhørende vertikal last fra dekket: N Ed = , ,8 1,05 = 4962 kn. Forenklet gir dette H Ed / N Ed = 215 / 4962 = 0,043. Dette er vesentlig mindre enn de minimumskreftene som anbefales på oppleggsender i del 3 her og del 2 i Bind C. Eksempel B 9.3. Beregning av global slankhet for typisk avstivende vertikalskive Bygningskonstruksjon og laster er det samme som i eksempel B 9.1. I dette eksemplet behandles skiver R (to stk) som er avstivende på langs av bygget. Lastkombinasjon for maksimalt trykk E d = 1,2 G + 1,05 S + 1,05 P + 1,5 W gir F V,Ed = N Ed = kn Skivebredde 3000 mm, skivetykkelse 200 mm. Fasthetsklasse B 35: E cd = E cm / γ ce = / 1,2 = 28,3 103 N/mm 2 E cd = 28, kn/m 2 I c = (1 / 12) (b h 3 ) = (1 / 12) (0,2 3 3 ) = 0,450 m 4 pr. skive. Skiven er beregnet med 2Ø32 i hver kant se neste eksempel. 81

9 Eksempel B 12.9 behandler den samme skiven med hensyn til utbøyninger og viser at skiven er risset i nedre del og urisset i øvre del. Dette tilsvarer omtrent 0,5 E cd I c her. ΣEI = 2 0,5 28, ,450 = 12, knm 2 k E = 6,35 for 7 etasjer [tabell B 9.1] Knekklasten F V,BB = N E = k E (ΣEI / l 2 ) = 6,35 [(12, ) / 21 2 ] F V,BB = kn F V,Ed / F V,BB = / = 0,213 > 0,10 Dette betyr altså at skiven skal dimensjoneres for 2. ordens effekter. Forøkningsfaktor av horisontale laster: 1 / [(1 F V,Ed ) / F V,BB ] = 1 / (1 0,213) = 1,27. Dette er en stor økning, og det anbefales heller å bruke dataprogram som gjør mer nøyaktige forskyvningsanalyser. Dersom man øker skivehøyden fra 3,0 m til 3,3 m og øker armeringsmengden slik at tverrsnittet blir nesten urisset, får vi her: F V,Ed / F V,BB < 0,10, og 2. ordens effekter kan sløyfes. Se også eksempel B 9.4 og C Eksempel B 9.4. Beregning av normalisert slankhet for typisk avstivende vertikal skive Dette er samme skive R som i eksempel B 9.3, men her beregnes slankheten for skiven alene uten virkning av øvrige vertikale laster se EC2-1-1, punkt NA (1), og punkt her. Lastflate for vertikallast på skiven: A = (7,0 + 2,0 / 2) 2,4 + 0,5 (2,0 + 7,0) 0,6 = 21,9 m 2 Lastkombinasjon for maksimalt trykk: E d = 1,2 G + 1,05 S + 1,05 P + 1,5 W Dimensjonerende dekkelast på plan 2 til 7: N Ed2-7 = [4,72 1,2 + 3,0 0,8 1,05] 21,9 = 179,2 kn Dimensjonerende dekkelast på tak: N E,tak = [4,72 1,2 + 2,0 1,05] 21,9 = 170,0 kn Dimensjonerende egenvekt veggskiver: G = 0,2 3,0 21,0 25 1,2 = 378 kn Total maksimal last: N Ed = 6 N Ed,2-7 + N Ed,tak + G = 6 179, = 1623 kn Betongen: Skivebredde 3000 mm, skivetykkelse 200 mm. Knekklengde l 0 = β l = 1,25 21 = 26,25 m [tabell B etasjer] Treghetsradien i = 0,289 h = 0,289 3 = 0,867 m Geometrisk slankhet λ = l 0 / i = 26,25 / 0,867 = 30,3 Fasthetsklasse B 35, f cd = 0,85 30 / 1,5 = 19,8 MPa [EC2-1-1, punkt 3.1.6] A c = ,8 /1000 = kn n = N Ed / (A c ) = 1623 / = 0,137 Armeringen: 2Ø32 i hver kant, det vil si 4 stk. for hele skiven. A s = 804 mm 2, B500NC, f yd = 500 / 1,15 = 435 MPa [EC2-1-1, punkt 3.2.7] Σ(A s f yd ) = / 1000 = 1399 kn 82

10 ω = Σ(A s f yd ) / (A c ) = 1399 / = 0,118 i s = 0,5 h 0,5 2,7 = 1,35 m, det vil si k a = (i s / i) 2 = (1,35 / 0,867) 2 k a = 2,425 Normalisert slankhet = λ [n / (1 + 2 k a ω)] = 30,3 [0,137 / ( ,425 0,118)] = 30,3 0,295 = 8,9 <,lim = 13 A Trykksone Skive Dersom skiven ikke støtter opp andre vertikale lastbærende elementer, kan man altså her se bort fra 2. ordens effekter. Generell vurdering av slankhetsgrense for avstivende skive: Utgangspunktet for beregning av normalisert slankhet er altså følgende uttrykk: l 0 = β l λ = l 0 / i = l 0 (12) / h = λ [n / (1 + 2 k a ω)] Disse uttrykkene kan bearbeides: λ = β l (12) / h = β l [ (12) (n)] / [h (1 + 2 k a ω)] <,lim = 13 l (n) / h < [13 (1 + 2 k a ω)] / [β (12)] = (3,75 / β) (1+2 k a ω) Gjennomregning av en del vanlige tilfeller viser at en normal nedre verdi for (3,75 / β) (1+2 k a ω) er ca. 3,0. Følgelig gir følgende formel en pekepinn om dimensjoner som gir normalisert slankhet mindre enn 13: l (n) / h 3 Formelen kan omformes til: h > 0,33 l n I dette eksemplet: h > 0, ,118 = 2,4 m Dersom skiven skal avstive mange andre vertikale lastbærende elementer slik som i første del av eksemplet her, bør skivestivheten økes. I eksempel B 9.4 må skivehøyden økes fra 3,0 m til ca. 3,3 m for å kunne sløyfe 2. ordens effekter med hensyn til global knekking. Dette tilsvarer ca.: h > 0,45 l n A Snitt A A Mulig knekkfigur I den forrige utgaven av Betongelementboken ble det anbefalt h > 0,4 l n. Se også eksempel B 12.9 med figur B og etterfølgende oppsummering med hensyn til vurdering av slankhet og utbøyninger. Slankhetsberegningen for skiven som er vist, omfattet bare bøyning om sterk akse, man må ikke glemme lokal knekkingskontroll om svak akse. Vanligvis vil man få en brukbar modell ved å betrakte trykksonen som en søyle, leddlagret på dekkene, se figur B Det vil ofte føre til at man ikke kan utnytte skiven som ekstrem bjelke, det vil si med svært liten trykksone med maksimale spenninger. Dette vil også i slike tilfeller være en urealistisk modell, noe man ser ved bruk av moment-krumnings diagrammer se dimensjoneringseksemplene i bindene B og C. Figur B Knekking av skivevegg om svak akse. 83

11 Eksempel B 9.5. Beregning av normalisert slankhet for en søyle Samme bygg som i eksempel B 9.1. Søyle i midtaksen undersøkes. Etasjefaktor på nyttelast α n = 0,8 Lastflate for vertikallast på søylen: A = 9,0 6,0 = 54 m 2 Maksimal normallast: N Ed = 1,2 G + 1,5 P + 1,05 S N Ed = (7 4,72 1, ,0 0,8 1,5 + 2,0 1,05) 54 = 3421 kn [tabell B 2.5, lasttilfelle 3] Kommentar: Søylen regnes uforskyvelig. Knekklengden kan reduseres ved å ta hensyn til kontinuitet av søylene ved etasjeskillerne. Betongen: Søyletverrsnitt: b / h = 300 / 400 mm. l = 3,0 m Søylene regnes leddlagret ved hver etasjeskiller: Knekklengdefaktor β = 1,00 l 0 = β l = 1,00 3,00 = 3,00 m Geometrisk slankhet λ = l 0 / (0,289 h) = 3,00 / (0,289 0,3) = 34,6 [eksempel B 9.1] Fasthetsklasse B 45, f cd = 0,85 45 / 1,5 = 25,5 MPa A c = ,5 / 1000 = 3060 kn n = N Ed / (A c ) = 3421 / 3060 = 1,118 Armeringen: 4Ø25 A s = 491 mm 2, B500NC, f yd = 500 / 1,15 = 435 MPa [EC2-1-1, punkt 3.1.6] [EC2-1-1, punkt 3.2.7] Σ(A s f yd ) = / 1000 = 854 kn ω = Σ(A s f yd ) / (A c ) = 854 / 3060 = 0,279 h 0,75 h som gir k a = [(0,5 0,75 h) / (0,289 h)] 2 = 1,68 [punkt her] Normalisert slankhet = λ [n / (1 + 2 k a ω)] = 34,6 [1,118 / ( ,68 0,279)] = 34,6 0,760 = 26,3 Dette gjelder søylen i 1. etasje. For å undersøke søylen i 7. etasje velges de samme dimensjoner, men fasthetsklassen reduseres til B30: N Ed = (4,72 1,2 + 2,0 1,5) 54 = 467 kn (kun snølast som variabel last) A c = (0,85 30 / 1,5) /1000 = 2040 kn n = 467 / 2040 = 0,229 ω = 854 / 2040 = 0,419 Normalisert slankhet = 34,6 [0,229 / ( ,68 0,419)] = 34,6 0,308 = 10,7 For en skive kan altså den normaliserte slankheten gjerne ligge under,lim = 13, men for en søyle vil den vanligvis alltid være større enn,lim = 13, og derfor kreve beregning av 2. ordens effekter. 84

12 85