Opplagring av stålbjelker i broer

Transkript

1 Opplagring av stålbjelker i broer Vegard Fossbakken Bygg- og miljøteknikk (-årig) Innlevert: desember 013 Hovedveileder: Arne Aalberg, KT orges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for konstruksjonsteknikk

2

3

4

5

6 ii

7 Sammendrag Ved beregningene av ei bru benyttes et stort spekter av beregningsmetoder og teori for å oppnå en tilfredsstillende sikkerhet til konstruksjonen. Det lønner seg også økonomisk å bruke ekstra resurser på dimensjonering, samt å finne gode konstruktive løsninger. Dette for å redusere kostnader med byggematerialer eller arbeidstid, men også for å oppnå brukervennlighet og lang levetid. I denne oppgaven er det sett nærmere på stålbjelker og problematikken tilknyttet til indre opplagerpunkt for ei stålbjelkebru med flere spenn. Geometri og lastsituasjon er valgt med utgangspunkt i Blakstadbrua på E39 i Gjemnes kommune. To tverrsnitt, A og B, er beregnet med og uten vertikal stiver. Tverrsnitt A som er likt med Blakstadbrua er i tverrsnittsklasse 3, mens tverrsnitt B har tynnere steg i tverrsnittsklasse 4. Det er utført numeriske simuleringer i elementprogrammet Abaqus som er sammenlignet med håndberegninger etter gjeldende standarder samt Statens vegvesens håndbøker. Komplett eksempel på håndberegninger av tverrsnittskontroll er vist i vedlegg 1. Beregninger og tilhørende teori er beskrevet i eget kapittel. umeriske simuleringer ble utført i to trinn. Første trinn var en knekkingssimulering hvor aktuelle knekkformer ble funnet. Andre trinn var en kapasitetsberegning som benyttet knekkformene i første trinn som formfeil. Et dekkende utvalg knekkformer ble benyttet og minst gunstige formfeil ble identifisert og benyttet i videre analyse. Kapasiteten til en modell med den minst gunstige knekkformen som formfeil sammenlignet med kapasiteten til en modell med 1. knekkform som formfeil hadde i alle tilfellene en differanse under %. Formfeilene ble alle gitt en maks utbøynings amplitude lik 10 mm, men forskjellige verdier av amplituden ble utprøvd for noen tilfeller. En matematisk helt rett konstruksjon belastet aksialt krever trolig større belastning før knekking opptrer enn en konstruksjon med skjevheter som gir eksentrisitetsmoment. Hvilken type form eller hvor eksakt verdi det er på amplituden som benyttes ser ut til å ha mindre betydning. Blakstadbrua (Tverrsnitt A med stiver) har i følge de numeriske simuleringene ca. 5 % større kapasitet enn funnet ved håndberegningene. Spenningsverdiene fra de numeriske simuleringene og fra håndberegningene viste en differanse hovedsakelig lik %. Resultatene viser også store likheter mellom interaksjonsformlene og spenningsberegningene med differanser mellom 0 % og 8 %. For denne oppgavens tilfeller viste det seg at en ved å tilfredsstille kravene i interaksjonsformlene i praksis også tar hensyn til elastisk kapasitet og iii

8 at det ikke oppstår store plastiske deformasjoner ved flytning eller brudd i konstruksjonen på grunn av gjentatt flytning i stålet. Om dette gjelder for andre tilfeller enn de beregnet i denne oppgaven er ikke belyst. Tverrsnitt B med stiver viste samme tendens som tverrsnitt A, men med ca. 30 % større kapasitet ved numerisk simulering enn ved håndberegnede interaksjonsformler og tilsvarende differanse i spenningsutnyttelse mellom 0 % og 16 %. Tverrsnitt A uten stiver gikk til brudd ved håndberegninger med ca. 130 % utnyttelse. Tilsvarende geometri og last førte ikke til brudd i FEM-simuleringen med utnyttelse under 95 %. Spenningsresultatene gav noe større differanser mellom simuleringer og håndberegninger med verdier under 40 %. Tverrsnitt B uten stiver viste samme tendens som tverrsnitt A men med større utnyttelse og med differanser under 54 %. Tendensen viser at forskjellene mellom numeriske simuleringer og håndberegninger øker noe ved økende utnyttelse av tverrsnittet, men at håndberegningene ved denne oppgavens tilfeller viser minimum 5 % lavere kapasitet enn FEM-simuleringene. De største forskjellene opptrer for spenninger i tverrsnitt uten stivere. Dette skyldes trolig store deformasjoner som gir omfordeling av krefter i FEM-modellene ved bruddbelastning. Resultatene viser i sin helhet mindre spredning enn det ble antatt at de skulle gjøre før simuleringene startet. Referanselasttilfellet med og uten aksiallast gav nesten like resultater med ca. 1 % differanse. Lasttilfellet med kun lagerlast gav noe større forskjeller (under 10 %) i forhold til de to andre lasttilfellene, men viste ingen klare tendenser. Bruddformene av FEM-modellene virket logiske og var lett gjenkjennelige med bruddformer beskrevet i litteraturen. iv

9 Summary During the calculation of a bridge it is necessary to use a wide range of computational methods and theory to achieve a satisfactory level of safety for the construction. It is also good for the economic in the long run to use more resources in the design. This is to reduce the construction cost and labour cost, but also to reduce future maintainers cost. In this thesis, it is examined the steelbeams and the challenges associated with the inner support for a steelgirderbridge with multiple spans. Geometry and load situation are selected based on Blakstadbrua on E39 in Gjemnes municipality. Two cross-sections, A and B, are designed with and without the vertical stiffener. Cross-section A which is equal to Blakstadbrua is a class 3 section, while section B has thinner web and is a class 4 section. It is performed numerical simulations in the finite element method program Abaqus witch is compared with hand calculations by current standards as well as guidelines from the orwegian Public Roads Administration. A complete example of hand calculations of design resistance verification is shown in Appendix 1. Design procedures and corresponding theory is described in separate chapters. umerical simulations were performed in two steps. The first step was a buckle analysis where appropriate buckling modes were found. The second step was a capacity analysis using buckling modes from the first steps as geometric imperfections. A wide range of buckling shapes was used and the least favourable geometric imperfections were identified and used in further analysis. The capacity of a model with the least favourable buckling shape as geometric imperfections when compared with the capacity of a model with 1 st buckling shape as geometric imperfections had in all cases a difference below %. The geometric imperfections were all given an amplitude equal to 10 mm, but different values were tested for some cases. A mathematical absolutely correct design loaded with an axial force probably require higher loads before buckling occurs than a structure with imperfections that provides eccentricity moment. Which type of form or the exact value of the amplitude which is used seems to be less important. Blakstadbrua (cross section A with stiffener) has according to the numerical simulations approximately 5 % more capacity than found by hand calculations. Stressvalues from the numerical simulations and from the hand calculations showed a difference mainly equal to %. The results also show great similarities between the interaction formulas and calculations of stress with differences between 0 % and 8 %. For cases in this thesis it revealed that by v

10 satisfying the requirements of the interaction formulas in practice it also satisfy the elastic capacity requirements and that there are no substantial plastic deformation or fracture of the structure due to repeated yielding of the steel. If this applies to cases other than those processed in this thesis is not considered. Cross-section B with stiffener showed the same tendency as the cross-section A, but with approximately 30 % greater capacity found by numerical simulation than by hand calculated interaction formulas. The corresponding stress utilization differs between 0 % and 16 %. Cross-section A without stiffener showed failure by hand calculations with approx. 130 % utilization. Similarly, geometry and load did not showed failure by FEM simulation with utilization below 95 %. Stressresults showed slightly greater differences between simulations and hand calculations with values below 40 %. Cross-section B without stiffener showed the same tendency as the cross-section A but with greater utilization and with differences below 54 %. The trend indicates that the differences between numerical simulations and hand calculations increases slightly with increasing utilization of the cross section, but the hand calculations in this thesis cases showing at least 5 % lower capacity than the FEM simulations. The largest differences occur for stresses in the cross-section without stiffeners. This is probably due to large deformations that provide redistribution of forces in the FEM models at failure load. The results differed less than assumed before the simulation started. Reference load case with and without axial forces gave almost the same results with approximately 1 % difference. The load case with only transverse forces gave somewhat larger differences (below 10 %) compared to the other two load cases, but showed no clear trends. Failure forms of the FEM models seemed logical and were easily recognizable from fracture types described in the literature. vi

11 Symboler A eff Effektivt areal redusert pga plateknekking og/eller shear lag [ ] A c,eff Effektivt areal av trykkflens redusert pga plateknekking [ ] E Elastisitetsmodul [/ ] e Aksialkraftens eksentrisitet [mm] f d Dimensjonerende spenning [/ ] F Ed Dimensjonerende punktlast [k] f y Flytespenning, flytegrense [/ ] f y,w Flytespenning for steg, flytegrense [/ ] f u Bruddspenning, strekkfasthet [/ ] I y. arealmoment om y akse [mm 4 ] M Ed Dimensjonerende moment [km] M f,rd Plastisk momentkapasitet av flensareal [km] M pl,rd Plastisk momentkapasitet [km] Ed Dimensjonerende aksialkraft [k] cr Kritisk kraft for knekking [k] t Tykkelse [mm] t w Tykkelse steg [mm] u Forskyvninger [mm] V Ed Dimensjonerende skærkraft [k] W y Tverrsnittsmodul (motstandsmoment) om y-aksen [mm 3 ] x, y, z aksebetegnelser, koordinater ormalspenning [/ ] Jevnføringsspenning ved von Mises flytekriterium [/ ] Flytespenningsforhold, Materialfaktorer for bruddformer Poisson-tall vii

12 viii

13 Tabeller Tabell 1 Sammenstilling krav til formfeil amplitude... 5 Tabell Stålverdier S 355 M/ML... 8 Tabell 3 von Mises spenninger ved Arc Length lik,004 for snitt A, refferanselast og knekkform nr Tabell 4 Et utvalg knekkformer med oppnådd LPF og differanse i % av minst gunstige LPF for alle modeller Tabell 5 Sammenstilling av utnyttelser i Abaqus og håndberegninger... 4 ix

14 x

15 Figurer Figur 1 Bøye og skivespenninger i plate... 4 Figur Knekkform og knekkfaktor for fritt opplagt rektangulær plate med enaksialt trykk Figur 3 Knekkfaktor for aksialbelastede plater med ulike randbetingelser Figur 4 Rektangulær plate med lineært varierende aksialkraft... 6 Figur 5 Knekkform for momentbelastet plate med sidekantforhold =a/b=, Figur 6 Typisk bruddform fremkalt av et dominerende bøyemoment [4] Figur 7 Typisk bruddform fremkalt av dominerende skjærkraft [4]... 1 Figur 8 Bjelkeutsnitt med krefter og todimensjonalt spenningsbilde for steg Figur 9 Typisk bruddform fremkalt av kombinasjon av bøyemoment og skjærkraft [4] Figur 10 Lastsituasjon referanseverdier i k og meter for Blakstadbrua... 0 Figur 11 Tverrsnitt A med stiver... Figur 1 Utdrag av arbeidstegning for stålbjelke med stiversystem, Blakstadbrua... 3 Figur 13 "Section Sketch" viser deler av modelleringen av tverrsnitt A med omriss av stiver i grått Figur 14 Grensebetingelser Abaqus modell... 6 Figur 15 Element inndeling tverrsnitt A med vertikal stiver... 7 Figur 16 Første knekkform for referansetilfelle med egenverdi lik, Figur 17 Andre knekkform for referansetilfellet med egenverdi lik, Figur 18 Tredje knekkform for referansetilfellet med egenverdi lik 3, Figur 19 Attende knekkform for referansetilfellet med egenverdi lik 4, Figur 0 ittende knekkform for referansetilfellet med egenverdi lik 4, Figur 1 Plott av LPF for Riks beregning av Snitt A med 19. knekkform prioritert... 3 Figur Fargeplott med de første opptredende flytetøyningene (PEEQMAX) i mest belastet del av godstykkelse, utdrag senter bjelke Figur 3 Plott av LPF for Riks beregning av Snitt A med 19. knekkform prioritert. Forstørret rundt flyte- og bruddpunkt Figur 4 Plastisk tøyning uttrykt med energi, ALLPD Figur 5 Deformasjonsbilde fra Riks med første knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1, Figur 6 Deformasjonsbilde fra Riks med andre knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1, xi

16 Figur 7 Deformasjonsbilde fra Riks med tredje knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1, Figur 8 Deformasjonsbilde fra Riks med attende knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1, Figur 9 Deformasjonsbilde fra Riks med nittende knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1, Figur 30 Bruddform Tverrsnitt A med referanselast, Ux Figur 31 Bruddform Tverrsnitt A med kun punktlast fra lager, Ux Figur 3 Bruddform Tverrsnitt A uten vertikalstiver, med referanselast, Ux Figur 33 Bruddform Tverrsnitt A uten vertikalstiver, kun med punktlast fra lager, Ux Figur 34 Bruddform Tverrsnitt B med referanselast, Ux Figur 35 Bruddform Tverrsnitt B uten aksiallast, Ux Figur 36 Bruddform Tverrsnitt B med kun punktlast fra lager, Ux Figur 37 Bruddform Tverrsnitt B uten vertikalstiver, med referanselast, Ux Figur 38 Bruddform Tverrsnitt B uten vertikalstiver, kun med punktlast fra lager, Ux xii

17 Innhold Forord... i Sammendrag... iii Summary... v Symboler... vii Tabeller... ix Figurer... xi 1 Innledning... 1 Bakgrunnsteori, Elastisk plateknekking Generelt Elastisk bøyning med last normalt på plateplan Differensialligning for plateknekking Plate med enaksialt trykk Plate med momentbelastning Skjærbelastede plater Plater med en-aksialt trykk og moment Elastisk knekking av plater med langsgående stivere Kapasitet av plater og stivere Generelt Effektivt tverrsnitt shear lag Kapasitet av aksial og momentbelastede plater Kapasitet av skjærbelastede plater Kapasitet av plater med punktlast på platerand Interaksjon mellom snittkrefter Flensindusert stegknekking Dimensjonering av stivere Belastning av brubjelke xiii

18 4.1 Reel situasjon og statisk analyse Isolering av utsnitt med tilhørende krefter FEM-simulering av utsnitt i Abaqus Generelt Geometri Statisk system og elementmodell Materialverdier Analysemetode i Abaqus Analyse av knekkformer Feilkilder Resultater Sammenstilling Tverrsnitt A med vertikalstiver Tverrsnitt A uten vertikalstiver Tverrsnitt B med vertikal stiver Tverrsnitt B uten vertikalstiver Vertikal deformasjon Konklusjon Referanser Vedlegg xiv

19 1 Innledning Ved beregningene av ei bru benyttes et stort spekter av beregningsmetoder og teori for å oppnå en tilfredsstillende sikkerhet til konstruksjonen. Det lønner seg også økonomisk å bruke ekstra resurser på dimensjonering, samt å finne gode konstruktive løsninger. Dette for å redusere kostnader med byggematerialer eller arbeidstid, men også for å oppnå brukervennlighet og lang levetid. I denne oppgaven er det sett nærmere på stålbjelker og problematikken tilknyttet til indre opplagerpunkt for ei stålbjelkebru med tre spenn. Geometri og lastsittuasjon er valgt med utgangspunkt i ei eksisterende bru nærmere bestemt Blakstadbrua på E39 i Gjemnes kommune. Her er det blant annet bjelke-effekter som bøyemoment om sterk akse, aksialkrefter og vertikale skjærkrefter som møter vertikale opplagerkrefter fra brulageret i en platebetraktning. Også andre krefter som torsjon, horisontale skjærkrefter og opplagerkrefter, samt moment om svak akse bør vurderes og holdes under kontroll men er valgt ikke å belyses nærmere. Det er i denne oppgaven lagt størst vekt på plateteori og mindre vekt på bjelketeori. For numerisk simulering er det etablert modeller i Finite Element Method (FEM) programmet Abaqus. Aktuelle analysemetoder er vurdert og beskrives. Resultater fra FEM-simuleringen sammenlignes med resultater fra beregningsreglene i gjeldende standarder. 1

20

21 Bakgrunnsteori, Elastisk plateknekking.1 Generelt Hele kapittel er utdrag fra eller delvis omskriving av P. K. Larsen [1]. Elastisk bøyning med last normalt på plateplan Forutsetninger for teorien er at materialet er elastisk og at det følger Hookes lov. Det forutsettes også at man har en plan spenningstilstand ( : 0, 0, 0 og at man benytter Bernoulli-aviers hypotese (plane tverrsnitt forblir plane) for å beskrive sammenhengen mellom forskyvninger og tøyninger. Deformasjoner er små, platens tykkelse er konstant og tøyninger i platens middelplan kan neglisjeres. Timoshenko og Woinowsky-Krieger presenterer utledninger av platers differensialligninger uttrykt ved moment, M, eller nedbøyning, w. Platestivheten D er gitt ved 11 En entydig løsning for differensialligningen krever at det foreskrives to randbetingelser (forskyvning, rotasjon eller spenningsresultant) på hver av platens render. Analytisk løsning finnes kun for noen få plategeometrier, randbetingelser og belastninger. For noen praktiske tilfeller eksisterer det løsninger på tabellarisk form. For uregelmessige geometrier er numeriske løsninger basert på elementmetode helt dominerende i praksis. Ligningene danner likevel grunnlaget for utviklingen av teorien for plateknekking..3 Differensialligning for plateknekking Dersom en belaster en plate med skivekrefter (membrankrefter, x, y, xy ) oppstår det gjevnt fordelte skivespenninger over platetykkelsen som vist på Figur 1 b). Platen blir ustabil ved kritisk kraft. En infinitesimal forskyvning w, gir stabilitetsbetingelsen som igjen gir likevektsligninger i deformert tilstand. 3

22 I deformert tilstand gir membrankreftene en komponent i z-retning av eksentrisiteten som må medtas i likevektsligningen for denne retningen. Dette er linken til bøyespenningene (platebøyning), som vist på Figur 1 a), og differensialligningene uttrykt ved moment og nedbøyning. En får da differensialligning for plateknekking 1.4 Plate med enaksialt trykk Figur 1 Bøye og skivespenninger i plate For en rektangulær plate fritt opplagt langs alle render, og belastet med en konstant skivekraft x i x-retning, kan differensialligningen forenkles til: 0 Randbetingelsene er gitt ved M x =0 og w=0 for x={0,a} samt M y =0 og w=0 for y={0,b}. Randbetingelsene er tilfredsstilt for forskyvningsfunksjonen wx, y w sin mπx a 4 sin nπy b Som innsatt i differensialligningen og løst for x kan den elastiske knekkspenningen skrives som hvor σ,, t π E k 11ν t b k σ

23 k m b a n a m b σ er en basis knekkspenning avhengig av materialet (E, ν) og platens slankhet (b/t). k er knekkfaktoren som ivaretar platens randbetingelser og fordeling av de ytre laster. Mest interessant er den laveste kritiske spenningen som en finner ved n=1, altså knekking i en sinushalvbølge i y-retning og m=a/b halvbølger for sidekantforhold lik heltall, se Figur og Figur 3. For rektangulære, fritt opplagte plater med enaksialt trykk kan en for alle praktiske formål sette k 4 for α 1 k α for α 1 Det største avviket fås for m=1 og α hvor avviket er 1,5 %. Figur Knekkform og knekkfaktor for fritt opplagt rektangulær plate med enaksialt trykk. 5

24 Figur 3 Knekkfaktor for aksialbelastede plater med ulike randbetingelser. For å øke platens kritiske spenning kan en øke platens tykkelse eller legge inn stivere. Dersom en legger stivere i y-retning (tverrstivere) må disse være stive og stå så tett at platen oppfører seg som om α1. Dette krever mange stivere og er uøkonomisk. En eller flere langsgående stivere (i x-retning) tvinger platen til å knekke i flere halvbølger i y-retning, dvs n > 1, noe som øker k. Dette er ofte mere økonomisk og stiverne kan da også bidra i å bære aksialkraften..5 Plate med momentbelastning Figur 4 Rektangulær plate med lineært varierende aksialkraft Figur 4 viser en rektangulær, fritt opplagt plate belastet med en lineært varierende aksialkraft, x. 1 6

25 Eller som momentresultant 1 6 Platens differensialligning blir i dette tilfellet 1 0 En kan ved bruk av prinsippet om minimum potensiell energi (PMPE) finne en tilnærmet løsning. oe tilsvarende som ved enaksielt jevnt trykk kan en finne at platen knekker ut i a/0,7b halvbølger i x-retning, med halvbølgelengde 0,7b (se Figur 5) og tilhørende knekkfaktor 4,98 som avviker 4,5 % fra eksakt løsning k 3,9. For den fritt opplagte platen kan knekkfaktoren tilnærmet settes lik k 3,9 for α k 15,87, 8,6α for α Figur 5 Knekkform for momentbelastet plate med sidekantforhold =a/b=,8..6 Skjærbelastede plater oe tilsvarende for aksialbelastet plate kan en fra skjerkraften, τ,, t 7 k σ via PMPE på en kvadratisk plate, finne knekkfaktoren k 11,1. En nøyaktigere løsning fås ved å ta med flere ledd i utbøyningsformelen, og det kan vises at løsningen konvergerer mot k 9,34 for en kvadratisk plate.

26 Knekkfaktoren for fritt opplagte, skjærbelastede plater er tilnærmet gitt ved k, 4 for α 1 k 5,34 for α 1.7 Plater med en-aksialt trykk og moment Kombinasjonen av enaksialt trykk og moment opptrer relativt ofte, og tabell 8.1 gir løsninger for knekktallet k for noen aktuelle kombinasjoner. En regner her på sikker side med at for eksempel steget i et I-profil er fritt opplagt på alle fire sidene, mens en utstikkende flens har en fri kant og resterende tre kanter er leddet. Dette er en vanlig antagelse også i praktisk design..8 Elastisk knekking av plater med langsgående stivere Som nevnt i avsnitt.4 så er langsgående stivere mest økonomisk riktig. En stiver har areal A s og. arealmoment I s for bøyning ut av planet. En stiver med lav stivhet vil deformeres sammen med platen som knekker, men vil bidra til den potensielle energien ved beregninger av den kritiske spenningen. Dersom stiverens stivhet EI s overgår en grenseverdi forblir stiveren rett og platefeltet på begge sidene av stiveren oppfører seg som to separate platefelt med null forskyvning ved stiveren. I prosjekteringsreglene skilles det mellom plater med en eller to stivere, og plater med tre eller flere stivere. I det første tilfellet bestemmes kritisk last ved å betrakte stiverne som diskrete søyler på elastisk underlag, mens teorien for knekking av ortotrope plater benyttes for å bestemme kritisk kraft i det siste tilfelle. Ortotrope plater har ulike egenskaper i tre ortogonale retninger og vil ikke bli behandlet i denne oppgaven. For plater med en eller to identiske stivere betraktes platefeltet som en samling av diskrete trykkstaver på elastisk underlag, hvor staven består av stiveren pluss medvirkende bredde av platen. Den kritiske kraft for den elastiske understøttede stiveren er gitt av følgende ligninger., k for, for Stivheten k w skyldes platens bøyestivhet i tverretning. 8

27 3 Kapasitet av plater og stivere 3.1 Generelt Stålkonstruksjoner for bruer i regi av Statens vegvesen skal i følge Håndbok 185 [6] punkt prosjekteres iht. Eurokode 3, Del [7] og Eurokode 4, Del [8]. Håndbok 185 [6] stiller ingen begrensninger mht. øvrige krav i Eurokodene men er ment som hjelp for å finne relevante krav. Ved dimensjonering og kontroll av grensetilstander kan det i følge Håndbok 185 [6] punkt tas hensyn til elastoplastisk oppførsel ved bestemmelse av lastvirkning og motstand for bruddgrensetilstanden og ulykkesgrensetilstanden. For bruddgrensetilstanden forutsetter dette at det ikke oppstår store plastiske deformasjoner ved flytning eller brudd i konstruksjonen på grunn av gjentatt flytning i stålet. Knekking eller andre ikke-lineære ustabiliteter må tas hensyn til i beregningen. Kapittel 3 beskriver blant annet kapasitetsberegninger av stålbjelke med vertikalstiver over indre opplager. Vedlegg 1 viser aktuelle utregninger i bruddgrensetilstand for tverrsnitt B med referanselasttilfelle. Lastsittuasjoner og tverrsnittsgeometri beskrives nærmere i henholdsvis kapittel 4. og Effektivt tverrsnitt shear lag Mobiliseringsgraden av brede flenser reduseres på grunn av skjærtøyning ved belastning av tverrsnittet. Det vil si at spenningene fra bjelkekrefter synker i verdi fra punkt rett ved steget og mot fri kant av flensene for I-profil. Dette kalles shear lag og tas hensyn til ved bruddgrensetilstands beregninger ved å redusere flensbredden med en faktor som i følge Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt 3. er definert som 1 for 0.0 for for 0.7 Hvor For område over indre støtte er L e =0.5(L 1 +L ) hvor L 1 og L er de tilhørende feltlengdene. 9

28 , for tverrsnittsklasse 4 En ser at ved fult effektivt tverrsnitt i klasse 1 3 blir 1,0. Dersom det er langsgående stivere benyttes, som også blir lik 1,0 dersom det ikke er langsgående stivere. 1 er arealet av langsgående stivere innenfor bredden av utstikkende flensen på en side av steget til et I-profil. Her er t lik tykkelsen av flensen. Shear lag i flenser kan neglisjeres ved tverrsnittskontroll dersom /50. Ved globalanalyser skal effektiv bredde av flensutstikk være den minste av virkelig bredde og L/8 for fritt opplagte bjelker i følge Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt.. Det vil si at shear lag ikke vil gi redusert flenstverrsnitt i globalanalysen for de fleste stålbjelkebruene med I- bjelker. 3.3 Kapasitet av aksial og momentbelastede plater Kapasiteten til enkelte aksialbelastede plater kan være større enn ved den kritiske spenningen nevnt i kapittel.4 og kalles da overkritisk spenning eller overkritisk kapasitet. Platens kritiske kapasitet er uttrykt som trykkarealet multiplisert med en kritisk ikke lineært fordelt spenning som i snitt over platen er mindre en f y. Teorien om den overkritiske kapasiteten tar utgangspunkt i å redusere trykkarealet med reduksjonsfaktoren og at f y kan oppnås over hele det reduserte tverrsnittet, [1]. Figur 6 viser typisk bruddform fremkalt av et dominerende bøyemoment [4] hvor trykk flens og trykkbelastet del av steget bøyes ut i en knekkform. Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt 4.4 med Tabell 4.1 og 4. tar for seg utregning og beskrivelser av effektivt areal for henholdsvis indre og utstikkende trykkelementer med lineært varierende spenningsfordeling. For flenselementer i I-profiler skal spenningsfordelingen som benyttes som input i tabellen, bestemmes av tverrsnittets fulle areal. For stegelementer derimot beregnes spenningene på basis av trykkflensens effektive areal redusert for plateknekking og shear lag og med stegets fulle areal. Dette betyr at det må utføres flere sett med spenningsberegninger under beregningen av tverrsnittsverdiene. 10

29 Moment- og aksialkapasitet for elementer i tverrsnittsklasse 3 kan bestemmes ved å regne de tilhørende lineært varierende spenningene over tverrsnittet. Spenningen skal i det mest utsatte punkt ikke overstige dimensjonerende flytespenning, f d. Elementer i tverrsnittsklasse 4 regnes på tilsvarende måte bortsett fra at normalspenninger kun regnes med det gjenstående effektive arealet. Figur 6 Typisk bruddform fremkalt av et dominerende bøyemoment [4] 3.4 Kapasitet av skjærbelastede plater Skjærbelastede plater med slankhet h w /t som er større enn for et uavstivet tilfelle eller som er større enn for et avstivet tilfelle, skal i følge Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt 5.1 sjekkes for skjærknekking. Skjærknekkingskoeffisienten, uttrykkes som følger for for 1 1 er her avstanden mellom vertikale stivere, h w er steghøyden og er et eventuelt bidrag fra en langsgående stiver. En ser at for store avstander mellom vertikalstiverne og for uten langsgående stivere, går mot Formel for endres ved bruk av en eller to langsgående stivere og samtidig vertikale stivere som står så tette at forholdet a/h w < 3. Overkritisk skjærkapasitet bestemmes med et bidrag fra steget, V bw.rd, og et bidrag fra flensene, V bf.rd, men skal i sin helhet ikke overstige stegets plastiske skjærkapasitet multiplisert med 1. for s355 stål. Flensenes skjærbidrag regnes ut fra flensenes kapasitet redusert av momentutnyttelse og redusert med en faktor som gjør at bidraget minker ved stor avstand mellom vertikalstiverne og ved relativt kraftige flenser i forhold til steget. Stegets skjærbidrag tilsvarer dets plastiske skjærkapasitet redusert med en knekkingsfaktor,, som i 11

30 denne oppgavens tilfeller er valgt for myke endestivere etter Eurokode 3, Del 1-5 [3] tabell for, med, ved bruk av stivere. En ser at slankheten øker med høyere steg og tynnere godstykkelse t, som igjen reduserer knekkingsfaktoren og stegets bidrag til skjærkapasiteten. Designmodellen i Eurokode 3, Del 1-5 [3] tar utgangspunkt i metoden om rotert strekkfelt, men er justert etter forsøksdata [1]. Denne oppgaven går ikke i dybden på dette, men det nevnes at metoden tar utgangspunkt i at spenningsfeltet i steget omlagres når steget knekker ut på grunn av skjærkrefter i plateplanet. En slik knekkform er karakteristisk med at steget knekker i en langstrakt diagonal form opp mot overflensen rett over opplager mens flensene danner flyteledd og tillater stegets høydeendring, som vist på Figur 7. Figur 7 Typisk bruddform fremkalt av dominerende skjærkraft [4] 3.5 Kapasitet av plater med punktlast på platerand Platens bæreevne med punktlast på platerand er avhengig av stegets slankhet h/t, og man kan identifisere tre bruddformer [1]. For små slankheter plastifiseres steget lokalt i område under lasten. For middels slanke steg knekker steget «globalt». Og knekkmønsteret omfatter det meste av steget. 1

31 Store slankheter fører til en lokal foldingsmekanisme (crippling) umiddelbart under lasten, mens resten av steget forblir tilnærmet udeformert. Reglene i Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt 6 om konsentrerte laster, er basert på en modell som betrakter punktlasten jevnt fordelt over en platestripe med effektiv lengde L eff. Dette gir dimensjoneringsbetingelsen Hvor L y er effektiv lastlengde på steg bestemt av lastens utbredelse gjennom flensen påvirket av dens motstand mot bøyningsdeformasjon ved brudd. er en reduksjonsfaktor for lokal knekking av steget. tar hensyn til at platestripen kan knekke som en søyle mellom platebærerens flenser. [1] hvor er relativ slankhet definert ved, Den kritiske kraften F cr er gitt ved 0,9 Knekkfaktoren k f = 6+ (h w /a)^ velges for lastsituasjonstype (a) i figur 6.1 [3] som beskriver en punktlast på flens hvor lasten er i likevekt med skjærkreftene i steget. Verdien a er vist som lengden mellom vertikale stivere. 3.6 Interaksjon mellom snittkrefter For tverrsnitt i tverrsnittsklasse 3 kan interaksjon mellom moment, aksialkraft og skjærkraft kontrolleres ved hjelp av von Mises flytekriterium, [1] kapittel I en todimensjonal spenningstilstand vil flytning inntre når spenningskomponentene, g i det mest påkjente punkt tilfredsstiller kriteriet 13

32 3 Spenningskomponentenes lokasjon er vist på Figur 8. En ser at fra lageret er gunstig for et punkt på steget rett over lageret når den opptrer i kombinasjon med fra bjelkekreftene og begge spenningskomponentene har likt fortegn. For steget blir langsgående aksialspenning utregnet ved,, Hvor I z er. arealmoment til bjelke om horisontal tverrakse mens y er vertikalavstand fra tverrsnittets tyngdepunkt til aktuelt sted på steget. A er tverrsnittets areal. Vertikal aksialspenning regnes ut ved, Hvor A bs er horisontalt areal av steg og stiver med utstrekning tilsvarende 45 graders trykkspredning fra lageret og gjennom flensen. Skjærspenning utregnes ved, Hvor er 1. arealmoment om horisontal tverrakse. Aktuelle tverrsnittskrefter med tilhørende spenningsfordeling for bjelkesteg er vist på Figur 8. Figur 8 Bjelkeutsnitt med krefter og todimensjonalt spenningsbilde for steg For platebærere i tverrsnittsklasse 4 påkjent av moment og aksialkraft påvises kapasiteten ved 14

33 ,, 1,0,, For interaksjonsformel over, og spenningsberegning ved spesielle behov, bør en i følge Eurokode 3, Del 1-1 [] punkt ta hensyn til skjærkapasitet med utnyttelse over 50 % eller ved skjærknekking. Dette kan gjøres ved å redusere flytegrensen for moment- og aksialkappasitetene i skjærarealet: hvor 1 1. Her benyttes plastisk skjærkapasitet V pl.rd, og det står ikke at en kan benytte overkritisk skjærkapasitet selv om kontrollen skal benyttes i tilfeller ved skjærknekking. For platebærere påkjent av moment og skjærkraft definerer Eurokode 3, Del 1-5 [3] videre utnyttelsesgraden: 1,0 1.0,, 1,, 1 1,0 for,, Her reduseres stegets bidrag til momentkapasiteten pga av opptredende skjærkraft. Aksialkraftkapasiteten inngår ikke i slik den gjør i og er dermed ikke fult dekkende for situasjoner med aksialkraft. For 0,5 neglisjeres interaksjonen. For platebærere belastet med en konsentrert last F Ed på trykkflensen ivaretas interaksjonen mellom punktlast, moment og aksialkraft ved η 0,8 η 1,4 hvor η For denne interaksjonsformelen med punktlast på steg, står det ikke noe i Eurokode 3, Del 1-5 [3] om at kan inneholde reduksjon av flytegrense for samtidig å ta hensyn til skjærkraftutnyttelse. Dermed er ikke denne formelen heller fullt dekkende. Men i de fleste 15

34 tilfeller av opplagerpunkter for bruer benyttes vertikale stivere og en unngår dermed problematikken med å forhindre steget i å knekke ut på grunn av punktlast på steg. Design of Plated Structures [11] kapittel.7.5 presenterer følgende interaksjonsformel for skjærkraft og punktlast på steg: 1, 1,0 Denne formelen er foreløpig ikke inkludert i Eurokode 3, Del 1-5 [3] og heller ikke i tilhørende asjonalt tillegg A. Interaksjonsformelen er derfor ikke benyttet videre i denne oppgaven. Figur 9 viser typisk bruddform fremkalt av kombinasjon av bøyemoment og skjærkraft [4]. Bruddformen på dette bildet minner om brudd form for ren skjærkraft på Figur 7 med den diagonale utbøyingen, men bulen er bredere og forskjøvet mot trykkflensen. Figur 9 Typisk bruddform fremkalt av kombinasjon av bøyemoment og skjærkraft [4] 3.7 Flensindusert stegknekking Flensindusert knekking kontrolleres med følgende slankhetskrav fra Eurokode 3, Del 1-5 [3] 0,55 Faktoren lik 0,55 gjelder for tverrsnitt utnyttet med elastisk momentkapasitet. 16

35 Flensindusert knekking er ikke aktuelt i følge håndberegninger i vedlegg 1 side 9 og er ikke belyst nærmere i denne oppgaven. 3.8 Dimensjonering av stivere Vertikal stiver ved opplager stiver av steget mot knekking og avlaster steget med tanke på opplagerkraften ved å fordele opplagerkraften over lageret. Medvirkende bredde av steget b w i stiversystemet skal etter Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt 9.1 regnes som: 15 Stiversystemet skal dimensjoneres for en total aksialkraft, st st = st,ed +, Dersom stiveren er plassert over støtte settes st,ed som opplagerkraften, og dersom stiveren står i felt benyttes aksialkraft som skyldes strekkfelt i stegpanelet. Tilleggskraften, er en forenkling som tar vare på virkningen av tverrlasten q dev fra.ordens effekten av vertikalkraften [3] punkt Denne tilleggskraften er en fiktiv kraft som ikke eksisterer i noen likevekts betraktning for kreftene i systemet., 1 1,, b = stiverens vertikalspenn mellom bjelkeflensenes senter. Ed settes som den største av maks aksialkraft i bjelken og ekvivalent aksialkraft i bjelkens trykksone. Korreksjon for plateknekking,,, 1 konservativt sett mens a 1 og a skal være avstand mellom vertikalstiverne. For stivere med liten hvelvningsstivhet I w, som åpne tverrsnitt, kan kapasitet for torsjonsknekking påvises uten nærmere analyse ved 5,3 17

36 Hvor I p er det polare. arealmoment av stiveren alene om dens innfestingspunkt til platen, og I T er St Venants tverrsnittskonstant av stiveren alene, i følge Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt Det er nærliggende å tro at dersom denne kontrollen ikke går gjennom kan tillat flytespenning f y for stiveren reduseres tilsvarende 5.3 Stiversystemet skal, i følge Eurokode 3, Del 1-5 [3] 9.3.3, minimum ha et. arealtreghetsmoment lik I st > 0,75 h w t 3 w når avstanden mellom vertikalstiverne delt på steghøyden er større enn kvadratroten av. Stiversystemets totale aksialkraft, st, skal ikke overstige stiverens kritiske kraft (Eulerlast) cr,st i følge P. K. Larsen [1] punkt 9.8.3, hvor, I er stiverens. arealmoment om akse parallelt med steget. Knekklengden, L k skal i følge Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt ikke være mindre enn 0,75h w, noe som tilsvarer knekklengden for en fritt opplagt stav belastet med varierende aksialtrykk fra ca. 0 i en ende og 1 i motsatt ende, [9] Tabell Dersom forholdet st / cr,st > 0.04 kreves påvisning av knekking etter Eurokode 3, Del 1-1 [] punkt med at hvor, 1 1,0 0,51 0,, 18

37 I følge Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt 9.4 skal knekkurve c benyttes, og en finner Imperfeksjonsfaktor 0.49 fra tabell 6.1 i Eurokode 3, Del 1-1 []. er tverrsnittsarealet av stiveren og medvirkende steg med lengden b w. 4 Belastning av brubjelke 4.1 Reel situasjon og statisk analyse I denne oppgaven er det valgt å se på ei kontinuerlig stålbjelkebru og dens kapasitet ved indre opplager. For å begrense omfanget velges det å se på kun en stålbjelke med utsnitt 8,0 m til hver side for indre opplager og da med to typiske geometrier og typisk lastsituasjon. Som utgangspunkt benyttes geometriske størrelser, materialvalg og lastverdier fra Blakkstadbrua på E39 som ble bygget i 01. Dette er ei tre spenns stålbjelkebru med samvirkende betongdekke. Brua har spennviddene 8, 34 og 8 m med konstant total brubredde lik 10,0 m og med to parallelle stålbjelker med høyde lik 1,7 m. Globalanalysen til brua er tidligere utført med numeriske simuleringer i FEM-programmet RM Bridge som ivaretar samvirkeproblematikken til brua, men gir også resultater for stålbjelkene isolert sett. Det er i slike globalanalyser praksis for å modellere uten medvirkende betongdekke, men kun stålbjelker og armering i område over indre støtter da betongen der sprekker opp og blir konservativt sett uvirksom. Dette fører til at de numeriske simuleringene som utføres i denne oppgaven er representative på dette punktet for de beregningsmetodene som ofte benyttes, selv om betongdekket ikke modelleres. Armeringen over støtte er heller ikke medtatt selv om globalanalysen regner med den. Dette gir et tverrsnitt som er mykere enn samvirketverrsnittet i de globale numeriske simuleringene og ble forventet at skulle føre til større krumninger av bjelken om tverraksen. Det er valgt ikke å gå nærmere inn på globalanalysen til slike bruer. 4. Isolering av utsnitt med tilhørende krefter 8 meters lengde av stålbjelken til hver side av opplager er valgt for å sikre at spenningsfordelingen normaliserer seg nære interesseområdet og ikke påvirkes av grensebetingelsene i endene. En annen årsak for valg av utsnittets lengde er at typiske avstander mellom tverrkryss som stiver av brukonstruksjonen sideveis er 8,0 m. Selv om momentnullpunktet mellom støtte og felt varierer, så ligger momentnullpunktet også rundt 8,0 meter fra indre støtte for kontinuerlige bruer med spenn mellom 8 m og 36 m. For å kunne gjøre statiske numeriske simuleringer av utsnittet er det hensiktsmessig å fastholde utsnittet i endene i stedet for ved lageret. På denne måten fås en fritt opplagt bjelke 19

38 med spenn på 16,0 m. Opplagerkraften fra lageret kan da påføres som vertikal last midt på bjelken. En kan i tillegg manipulere seg frem til ønskede snittkrefter ved fokusområdet på midten ved å påføre bjelken endemomenter, vertikale flate laster på overflens og aksial last på bjelkeendene. år utsnittet er bestemt kan en se på lastene på konstruksjonsdelen. Bjelkene til Blakkstadbrua har i globalanalysens bruddgrensetilstand et dominerende opptredende maks moment om tverraksen over indre støtte lik M Ed.z = km. Tilhørende opplagerkraft fra lageret er F Ed.y = 4871 k, aksialkraft pga samvirke er Ed.x =-1457 k og skjerkraft på venstre og høyre side av lager er henholdsvis V Ed.yV = 730 k og V Ed.yH = 140 k. Oppgaven tar for seg variasjoner av denne lastsituasjonen. Disse snittkreftene er valgt som referanseverdier og oppnås midt på en fritt opplagt bjelke med spenn lik 16 m og med følgende last situasjon, se Figur 10. Figur 10 Lastsituasjon referanseverdier i k og meter for Blakstadbrua Det regnes også på et lasttilfelle tilsvarende referansetilfellet men uten aksiallast og et tilfelle kun med punktlast fra lager F Ed.y = 4871 k. Tilfellet med kun punktlast gir følgende snittkrefter rett over lageret: M Ed.z = k x 8 m x 8 m / 16 m = km V Ed.yV = V Ed.yH = 4871 k / = 435,5 k Ed.x = 0 0

39 5 FEM-simulering av utsnitt i Abaqus 5.1 Generelt Abaqus regner uten benevning på alle verdier. Dette betyr at inndataverdier må være valgt med konsekvent benevning. For lengdeverdier er det her benyttet meter som enhet og for kraft benyttes ewton. 5. Geometri Geometrien til tverrsnitt A, se Figur 11, som er benyttet i både håndberegningene og i FEMberegningene, tar utgangspunkt i geometrien til Blakstadbrua, men er forenklet i forhold til virkeligheten. Figur 1 viser utdrag av en arbeidstegning for stålbjelkene og stiversystem over indre støtte på Blakstadbrua. Forenklingene antas å være konservative, da virkelig bru har større stiver og i tillegg et sett med mindre stivere på hver side av hovedstiveren. Figur 1 viser også enda et stiversett ytterst for opptak av jekkekrefter ved lagerreparasjon. I tillegg har hovedstiveren i virkeligheten en diagonal flens som stiver av hovedstiveren og som gir den større bøyekapasitet. En annen forskjell er tverrkrysset som er festet til hovedstiveren på Blakstadbrua. Tverrkrysset stiver av brubjelkene mot vipping og sikrer overføring av tverrkrefter fra overbygningen til underbygningen til brua. Kreftene som går gjennom tverrkrysset antas å kunne holdes utenfor denne simuleringen på grunn av hovedstiverens ekstra tverrsnittsareal og flensen til hovedstiveren som ikke medtas i modellene. Tverrsnitt A på Figur 11 består av en overflens og en underflens, begge med total bredde lik 1100 mm og en tykkelse på 50 mm. Steget er 0 mm tykt og 1600 mm høyt mellom flensene. På hver side av steget er det en 40 mm tykk vertikal stiver med total bredde lik 450 mm hver. Stiverne har 50 mm utsparing i hjørne mellom steg og flens. Denne er i virkeligheten ¼ sirkel, men modelleres i elementprogrammet som kvadratisk for å forenkle elementnettet. Etter noen simuleringer visses ikke tegn til spenningskonsentrasjoner eller andre uregelmessige effekter rundt utsparingene. Det antas derfor at denne forenklingen ikke har noen betydning for resultatene. Under I-tverrsnittet er det tegnet et 440 mm bredt rektangel som tilsvarer den bredden av brulageret som overfører de tilhørende opplagerkreftene fra brua. Dette er også en forenkling hvor det er lagt vekt på egenskapen til lageret med det minste areal for trykkoverføring til bjelken. I virkeligheten er de øvre delene av lageret noe bredere og det kan 1

40 tenkes at det sørger for en «mykere» kraftoverføring enn i FEM-modellen som har kontant avslutning av på sidene. Figur 11 Tverrsnitt A med stiver

41 Figur 1 Utdrag av arbeidstegning for stålbjelke med stiversystem, Blakstadbrua Det er også utført beregninger og numerisk simulering av en geometri tilsvarende tverrsnitt A, men uten vertikal stiver. Den geometrien omtales som «Tverrsnitt A uten stiver». Tilsvarende er det utført beregninger og simulering av tverrsnitt B både med og uten stiver. Tverrsnitt B er lik tverrsnitt A bortsett fra at stegtykkelse er redusert til 15 mm. Dermed er hele tverrsnitt A i tverrsnittsklasse 3, mens tverrsnitt B har steg i tverrsnittsklasse 4 med en tverrsnittsreduksjonsfaktor 0,89 for referanselasten og 0,94 for lasttilfellet med kun punktlast på steg, kfr vedlegg 1 side 13. Bjelkens stivhet blir med reduksjon i stegtykkelse fra 0 mm til 15 mm redusert fra I A =0,08 m 4 til I B =0,080 m 4, se vedlegg 1 side. I følge Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt. kan effektene av plateknekking ignoreres i en globalanalyse dersom 0,5. Det antas med bakgrunn i dette at forholdene mellom lastene i referansetilfellet er realistiske også for tverrsnitt B og kan benyttes for analyse. På Figur 13 vises en del av modelleringen av tverrsnitt A i Abaqus med omriss av vertikalstiver i grått. Modelleringslinjen for flensene ligger helt inntil stegets utstrekning med 3

42 avstand 1600 mm. Dette kommer av at tykkelsen til flensene er modellert utenfor denne linjen slik at det ikke skal kalkuleres med full flenstykkelse og stegtykkelse i de samme krysningspunktene. Figur 13 "Section Sketch" viser deler av modelleringen av tverrsnitt A med omriss av stiver i grått. Ved produksjon av en brukonstruksjon for Statens vegvesen er det tillatt med et avvik fra planlagt geometri. I følge Prosesskode [10] Tabell 85.-, «Tillat avvik på konstruksjonselement, bjelke», tillates det et «Retthetsavvik (krumning) liv», V 3 = +/- 0,6 % av bjelkens høyde, h. Tilsvarende krav er å finne i Eurokode 3, Del 1-5 [3] Tabell C. hvor et panel eller subpanel (stegplate) med horisontalt spenn lik a og vertikalt spenn lik b, ikke skal regnes med en krumningsform med mindre amplitude enn den minste av a/00 og b/00. Resultat fra alle aktuelle krav er vist i Tabell 1. Prosesskode [10] åpner for den største krumningsamplituden i steget for tverrsnitt A: 0,6 % av bjelkehøyden 1,7 m er avrundet til 10 mm krumningsamplitude. 4

43 Tabell 1 Sammenstilling krav til formfeil amplitude Krav: amplitude > h, a, b amplitude Prosesskode [10] 0,6 % av h 1,7 m 10, mm Eurokode 3, Del 1-5 [3] a/00 8 m Den minste av 8,5 mm Eurokode 3, Del 1-5 [3] b/00 1,7 m Det stilles blant annet også krav til skråstilling og eksentrisitet av bjelkelivet, men på grund av at bjelken skal være avstivet med overliggende betongdekke og tverrkryss mot vipping, så antas disse formfeilene ikke å ha innvirkning av betydning på beregninger i denne oppgaven. 5.3 Statisk system og elementmodell Som nevnt i kapittel 4. er det vertikale statiske systemet tilsvarende en fritt opplagt bjelke med opplagerpunkter sentrisk i tverrsnittet i hver ende vist på Figur 14. Det ble gjennom forsøk modellert opplagerbetingelser for bjelkeendene med fastholdning kun i en sentrisk node. Dette førte til store spenningskonsentrasjoner rundt noden. Ved å fastholde alle nodene i endetverrsnittet mot vertikal forskyvning, ble tverrsnittet automatisk strekt i det nodene måtte holde samme høyde samtidig med at tverrsnittet skulle rotere. Dette medførte uønskede tvangskrefter. Bjelkeendene ble derfor modellert som «Rigid Body» med «Reference Point» i en node sentrisk i tverrsnittet. Denne metoden fungerer med å holde fast alle nodene i tverrsnittet i forhold til den ene noden i senter. Med denne metoden kan nodene sammen rotere fritt slik at opplagerreaksjonene fordeles uten tvangskrefter og kunstige spenningskonsentrasjoner. Her er bjelken også fastholdt mot bevegelse i tverretning og rotasjon om bjelkens lengdeakse. Frie kanter på overflensen er fastholdte mot sideveis bevegelse og rotasjon om lengdeaksen for å simulere fastholdning med dybler opp i et betongdekke. Sentrisk rett over lageret er underflensen fastholdt mot bevegelse i bjelkens lengderetning. Dette trengs for å holde bjelken i ro over lageret til tross for symmetrisk horisontal belastning. Lageret er fastholdt i begge horisontalretningene for at det ikke skal forskyve seg i forhold til bjelken. Disse fastholdingene skapte ingen merkbare tvangskrefter. 5

44 Figur 14 Grensebetingelser Abaqus modell For å simulere bjelkens kontakt med lageret på en rasjonell og realistisk måte så modelleres bjelken og lageret adskilt fra hverandre. Under «Interaction» er det opprettet en type «General contact» som sammen med «Interaction Property» definerer at all kontakt mellom elementer skal være såkalt «Hard contact». En friksjonskoeffisient mellom kontaktflater er her satt til verdien 0,04 som er typisk for opptredende belastning- og for benyttet lager som på Blakstadbrua. Elementene er bestemt til å ha en global størrelse på ca. 100 mm. Dette antas å være tilstrekkelig for at modellen skal gi en tilfredsstillende fordeling og variasjon av spenninger over tverrsnittet. Resten av valgene, til og med elementstrukturen, er valgt av programmet selv. På Figur 15 vises elementstrukturen og at det er en viss uorden over elementene i steget, mens flensene er i større grad ordnet. Dette skyldes stiveren og dens utsparinger. Det ble gjort noen manuelle forsøk med å styre elementstrukturen, men uten hell. Forsøk med manuell styring av elementene ble avsluttet da det viste seg at modellen fungerte som ønsket, samt at det ikke ble oppdaget noen form for uheldige virkninger av elementstrukturen. For bjelke og stivere ble det benyttet S4R elementer og S3 elementer. S4R elementene er firkantet med 4 noder og de benytter redusert integrasjon. S3 elementene er trekantet med 3 noder. Begge elementtypene regner med endelige membrantøyninger og er egnet til spenningsberegninger. Lageret ble modellert med C3D8R element, et 8 noders volumelement som også benytter redusert integrasjon. 6

45 Figur 15 Element inndeling tverrsnitt A med vertikal stiver 5.4 Materialverdier Valgt materiale for oppgaven er stålsort S 355 M/ML med flytespenning og strekkfasthet etter Eurokode 3, Del 1-1 []. Tilhørende tøyning for spenning i elastisk område opp til f y, er lineært varierende med stigningstall lik E-modul (,1x10 5 / ) mens fra f y opp til f u er stigningstallet lik E-modul / 100 i henhold til Eurokode 3, Del 1-5 [3] figur C.. Poisson-tall i elastisk område er 0,3. år materialet utsettes for en tøyning i lengderetningen så trekker det seg sammen i tverr-retning og spenningen per tverrsnittsareal blir i virkeligheten større. Denne sammenhengen beskrives av Eurokode 3, Del 1-5 [3] punkt C.6 som følger. 1 ln1 Abaqus tar hensyn til denne tverrsnittsendringen og det benyttes sanne spenninger og sanne tøyninger ved inndata, se understrekte verdier, som vist i Tabell. Den Logaritmiske plastiske tøyningen som benyttes er regnet som total logaritmisk tøyning ved maks sann spenning minus maksspenningens elastiske tøyning, eller som vist i utdrag fra brukermanualen til Abaqus [5] punkt Tøyningen har en logaritmisk fordeling, men det antas å kunne benytte lineær variasjon mellom flytetøyningen og bruddtøyningen da denne kurven er tilnærmet rett. Flytespenningen antas å gi ingen logaritmisk plastisk tøyning. 7

46 Tabell Stålverdier S 355 M/ML Godstykkelse 40 mm 40 mm < Godstykkelse 80 mm ominell spenning [/ ] ominell tøyning [%] Sann spenning [/ ] Logaritmisk tøyning [%] Logaritmisk plastisk tøyning, [%] f y f u f y f u ,1690 5,645 0,1595 5, , , , ,3607 0,1689 5,4916 0,1594 5, ,55 0 5,563 Materialfaktor ble satt til verdien 1,0 i FEM beregningene og i håndberegningene. Dette tilsvarer at materialverdier og geometri er kjent og eksakt. Det forenklet også sammenligningene av resultatene. 5.5 Analysemetode i Abaqus Det ble kjørt to forskjellige numeriske simuleringer etter hverandre i Abaqus for å løse denne oppgaven. Den første er en knekkingssimulering av typen «Linear perturbation, buckle» og den andre er en kapasitetssimulering som benevnes «Static, Riks prosedyre (Riks)». De to modellene må bestå av et identisk elementnett med samme nodenummerering, da Rikssimuleringen benytter deler av resultatene fra knekkingssimuleringen. Det er i denne oppgaven også modellert samme lastsituasjon for de to simuleringene. Knekkingssimuleringen genererer et ønsket antall mulige knekkformer med tilhørende egenverdi. Figur 16 til Figur 0 viser en variasjon av opptredende knekkformer (knekkform 1,, 3, 18 og 19) med egenverdier og farget spenningsplott (von Mises) for referansetilfellet. Disse knekkformene dekker utknekking nære punktlast på midten med lave egenverdier og utknekkinger i nesten hele steglengden, men med høyere egenverdi. Egenverdien beskriver hvor stor andel av modellert last som er påført modellen før tilhørende knekking forekommer. Modellert last er i denne sammenheng bare en enhetslast som skaleres et nødvendig antall 8

47 ganger inntil modellens stivhetsmatrise oppnår singularitet. Siden modellen er modellert i meter og ewton så vises knekkformene med maksimal amplitude lik 1 meter i figurene. Det ble ikke funnet knekkformer som inkluderer knekking av stiver, kun moderat bøyning som ikke gav utslag i farget spenningsbilde. Figur 16 Første knekkform for referansetilfelle med egenverdi lik,834 Figur 17 Andre knekkform for referansetilfellet med egenverdi lik,8834 Figur 18 Tredje knekkform for referansetilfellet med egenverdi lik 3,703 9

48 Figur 19 Attende knekkform for referansetilfellet med egenverdi lik 4,7981 Figur 0 ittende knekkform for referansetilfellet med egenverdi lik 4,9876 For knekkingssimuleringen kan en under programmets funksjon «Edit keywords» legge til følgende kommandolinjer: *node file, global=yes, last mode=5 U Dette medfører at programmet lager en nodefil med nodedeformasjoner U i globalt aksesystem for modellen med eksempelvis de første 5 knekkformene. Denne filen benyttes av Riks-simuleringen og innføres som geometriske formfeil med ønsket amplitude i første simuleringssteg ved at følgende kommandolinjer tastes inn i «Edit keywords» etter «Material»: *imperfection, file=knekkinga, step=1 1,0.01,0.01 3,0.01 4,0.01 5,

49 Rekkefølgen på knekkformene (formfeilene) bestemmer deres prioritet i simuleringen. Tallet etter knekkformen bestemmer amplitude verdien til hver enkelt knekkform. Kravene til amplitude i Tabell 1 gjelder i følge figurer i kildene for eksempel krumning over hele steghøyden, men de er uklare i forhold til andre knekkformer hvor en utbøying bare dekker en del av steghøyden og det kanskje er to utbøyinger over hverandre. Det kan tenkes at et tilfelle med to utbøyinger over hverandre burde ha en mindre amplitude enn en utbøying som dekker hele steghøyden, for å gi et realistisk forhold mellom de to formfeilene. Riks-simuleringen finner statisk likevekt under en ustabil fase av responsen hvor lastforskyvningsresponsen viser negativ stivhet og konstruksjonen må frigi tøyningsenergi for å forbli i likevekt, i følge brukermanualen til Abaqus [5] punkt Den egner seg derfor til ikke-lineære materialmodeller og geometrisk ikke-lineære statiske problemer hvor maksbelastning og knekkingstilstander er av interesse. Riks metoden behandler lastverdien som en ukjent i tillegg til deformasjonen. Derfor benyttes «arc length» som målestokk for progresjon i beregningen og resultater blir fortløpende loggført i forhold til denne. En slik fremgangsmåte gir løsninger uavhengig av om responsen er stabil eller ustabil. Riks holder oversikt over påført last med en last proporsjonalitets faktor (LPF) som multiplisert med modellert last gir påført last for tilfellene i denne oppgaven. En simulering kan inneholde flere steg med hver sine prosedyrer og last sett. Dersom Riks steget er en fortsettelse med en tidligere lasthistorikk fra et annet steg som inngår i simuleringen, gjelder ikke denne sammenhengen med LPF, men det vises til brukermanualen til Abaqus [5] 6..4 hvor det står detaljert beskrevet. Dersom det er modellert flere laster i Riks-steget, viser resultatene at alle lastene påføres proporsjonalt i takt med LPF. Figur 1 viser hvordan maksbelastningen i Riks-simuleringen av Snitt A med 19. knekkform prioritert, leses av på den vertikale LPF aksen ved grafens høyeste punkt (blå pil). Langs den horisontale aksen avleses Arc Length for dette punktet til å være ca. 3,6743 (hvit pil). Med en zoom-funksjon kan en lese av grafen med tilstrekkelig nøyaktighet. Figur 9 viser deformasjon- og spenningsbilde for samme Riks beregning og med Arc Length lik 3,674. Det avrundede toppunktet er karakteristisk for lignende modeller med formfeil som fungerer. Eksentrisiteten mobiliserer bøyningskapasiteten før modellen knekker og går til brudd. En eventuell høyere og spiss topp kan bety at modellen er helt rett og oppnår større kapasitet før den plutselig bryter sammen når modellen først knekker ut og får en eksentrisitet. 31

50 Figur 1 Plott av LPF for Riks beregning av Snitt A med 19. knekkform prioritert Figur viser fargeplott av bjelke med snitt A, referanselast og knekkform nr. 19 over lager hvor de første opptredende flytetøyningene oppstår. Fire aktuelle punkter er her markert med pil og tekst. Funksjonen PEEQMAX i Abaqus viser på figuren de største plastiske tøyningene gjennom godstykkelsen for gitt Arc Length lik,004. Første flytning oppstår ved punkt 1 i flens rett over kant av lager på grunn av lavere flytespenning i flensen enn for steget. Flensen oppnår ved Arc Length lik,004 en von Mises lik 336 / på undersiden og 137 / på oversiden. Middelverdien av disse to spenningene er 37 /. I steget oppstår det flytning først i punkt ved et element i kanten av en utbøying tre elementlengder fra lageret. Von Mises er i dette elementet lik 356 / på en side og 16 / på den andre siden noe som gir middelspenning lik 59 /. Deretter flyter et element i steget ved punkt 3 helt i kant med underflens og yttersiden av lageret. Dette elementet har von Mises lik 31 / på første side og 356 / på andre side med middelspenningen lik 94 /. Alle tre punktene er vist på Figur og en sammenstilling av spenningene er vist i Tabell 3. Den midlere von Mises spenningen som opptrer sentrisk i platetverrsnittet er størst i punkt 3. Stålet er også mest utnyttet i forhold til tillat flytespenning fy i dette punktet når en kun ser på de midlere spenningene. Dette stemmer med håndberegningene (kfr. vedlegg 1 side 15 til side 3) siden dette punktet er mest belastet av bjelkekreftene som virker over hele godstykkelsen samtidig som elementet ikke berøres av de gunstige trykkspenningene fra lageret, som omtalt 3

51 i kapittel 3.6. I de to andre elementene, punkt 1 og punkt, er det platebøyninger som bidrar til de store spenningsutslagene i de ytterste punktene av platetykkelsen. Tabell 3 von Mises spenninger ved Arc Length lik,004 for snitt A, refferanselast og knekkform nr. 19 Punkt 1, flens over kant av lager Punkt, steg ved utbøying Punkt 3, steg over kant av lager Von Mises side 1 Von Mises side Von Mises sentrisk Utnyttelse fy sentrisk 336 / 137 / 37 / 71 % 356 / 16 / 59 / 73 % 31 / 356 / 94 / 83 % Figur Fargeplott med de første opptredende flytetøyningene (PEEQMAX) i mest belastet del av godstykkelse, utdrag senter bjelke. Figur 3 viser en forstørret graf av LPF og Arc Length for samme bjelke. Grafen viser bruddpunktet i øvre høyre hjørne av figuren. I nedre venstre hjørne viser pilene avlesing av LPF = 1,1600 for flytepunktet med Arc Length lik,004 (flytning i flens og steg). Figur 4 viser plastisk tøyning uttrykt ved energi med funksjonen «ALLPD». En forstørret versjon av grafen viser at første flytning oppstår ved Arc Length lik 1,834 som gir LPF = 1,064. Første flytning oppstår med funksjonen «PEEQMAX» i flens ved Arc Length lik 1,844 som stemmer 33

52 overens med «ALLPD» funksjonen. Disse formene for å oppdage første opptredende plastiske tøyning kan påvise en form for elastisk kapasitet for bjelken men blir påvirket av elementstørrelse og spisse kanter. Første plastiske tøyning opptrer i Figur 4 ved liten Arc Length verdi. Først ved Arc Length med 5 % større verdi opptrer flytning i et omfang som vises på Figur 4. Verdiene opptrer også som svært konservative og vil ikke bli benyttet som resultater eller undersøkt nærmere i denne oppgaven. Derimot vil funksjonene kunne benyttes i en mindre eksakt vurdering gjerne hvor plastisk tøyning dekker et større område. Von Mises sentrisk i stegtykkelsen rett over ytterkant av lageret (Punkt 3) og sentrisk over lager (Punkt 4) for LPF = 1 er av interesse. Disse resultatene er sammenlignbare med håndberegninger i vedlegg 1 side 15 til side 3 som regner med laster tilsvarende LPF = 1. Disse to punktene belyses nærmere i kapittel 6. Figur 3 Plott av LPF for Riks beregning av Snitt A med 19. knekkform prioritert. Forstørret rundt flyteog bruddpunkt 34

53 Figur 4 Plastisk tøyning uttrykt med energi, ALLPD 5.6 Analyse av knekkformer Knekkformene 1,,3,18 og 19 (omtalt i kapittel 5.5) for referansetilfellet ble valgt som prioritert knekkform i hver sin Riks-simuleringen av tverrsnitt A. Deformasjons- og spenningsbilde fra disse simuleringene ved brudd er vist på Figur 5 til Figur 9 hvor deformasjonen U er forstørret 30 ganger. Til tross for at de har forskjellige formfeil så er bruddformene her nesten identiske. Andre tilfeller gav større forskjeller mellom bruddformer med forskjellige prioriterte knekkformer. Til hvilken side et område ble bøyd ut kan skyldes tilfeldigheter og er ikke belyst nærmere i denne oppgaven. Det antas at dette ikke påvirket resultatene, med bakgrunn i at de videre analysene viste liten spredning av LPF verdiene, men likevel inneholdt forskjeller nok til å antyde tendensen at lave knekkformer med lav egenverdi er minst gunstig, som vist i Tabell 4. På Figur 5 til Figur 9 er størrelsen på enkelte utbøyinger og deres spenningsvariasjoner synlige forskjeller, men lettest er det å se forskjellene på de tilhørende LPF-grafene. Der viser resultatene i dette tilfellet at det ikke er knekkform 1 med lavest egenverdi som gir lavest belastning (LPF) ved brudd, men derimot knekkform 19 med høyere egenverdi. Knekkform 19 har flere utbøyinger over en større del av steget. Det kan tenkes at en slik formfeil burde gis en mindre amplitude for å bli mere realistisk og for dermed å oppnå større kapasitet enn knekkform som er nest minst gunstige formfeil. Forskjellen mellom maks LPF for knekkform og 19 er uansett bare ca. 0,8 %. 35

54 Forskjellen mellom LPF for knekkform 1 og 19 er 1,8 % og begge forskjeller anses som ubetydelige. Det er nærliggende å tro at denne forskjellen er ubetydelig også for andre tilfeller, men at en bør være oppmerksom på knekkformene og prøve forskjellige formfeil i simuleringer for i praksis å unngå matematisk helt rette deler av modellen. Figur 5 Deformasjonsbilde fra Riks med første knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1,847 Figur 6 Deformasjonsbilde fra Riks med andre knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1,

55 Figur 7 Deformasjonsbilde fra Riks med tredje knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1,815 Figur 8 Deformasjonsbilde fra Riks med attende knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1,8089 Figur 9 Deformasjonsbilde fra Riks med nittende knekkform prioritert, U x 30, LPF = 1,796 Både tverrsnitt A og tverrsnitt B, med stiver og uten stiver, samt med alle 3 lastkombinasjonene ble undersøkt med flere knekkformer i numeriske simuleringer for å finne de mest ugunstige formfeilene. Aktuelle resultater fra en sammenligning av disse er vist i Tabell 4, hvor maks LPF er listet for noen knekkformer for alle geometri- og aktuelle belastningsvarianter. Tabellen viser også prosentvis forskjell fra minst gunstige knekkform for samme snitt og belastning. Den knekkformen som gav lavest LPF ved brudd var av alle kombinasjonene enten en lav knekkform som nr. 1 og eller en høy som nr. 15 og 19. Forskjellen i maksimal LPF som den minst gunstige knekkformen gav sammenlignet med 1. knekkform for en modell var i alle tilfellene under %. Erfaringer viste at to individuelle 37

56 numeriske simuleringer av tilsynelatende samme modell kunne gi forskjeller i resultatene av denne størrelsesorden. Det er valgt ikke å se nærmere på denne effekten. De minst gunstige knekkformene ble antatt for å være mest konservative og ble derfor benyttet i videre analyser. Tabell 4 Et utvalg knekkformer med oppnådd LPF og differanse i % av minst gunstige LPF for alle modeller Det ble også utført numeriske simuleringer av referansetilfellet med knekkformene 1 og som prioriterte geometrifeil, men med andre amplitudeverdier. Det viste seg at endring av formfeilamplitude fra 0,01 m til 0,005 m gav 1 % høyere maksimal LPF 0,01 m til 0,001 m gav 4 % høyere maksimal LPF 0,01 m til ingen formfeil gav 1 % høyere maksimal LPF Om denne tendensen gjelder for flere modeller er det valgt ikke å gå nærmere inn på, men resultatene viser for denne modellen at det viktigste er å ha en formfeil i modellen. En matematisk helt rett konstruksjon belastet aksialt krever større belastning før knekking opptrer enn en konstruksjon med skjevheter som gir eksentrisitetsmoment. Hvilken type form eller hvor eksakt verdi det er på amplituden som benyttes ser ut til å ha mindre betydning. 38

57 5.7 Feilkilder Alle lastene på modellen ble en og en kjørt i beregning alene og analysert for å være sikker på at de fungerte slik de var tenkt. Da ble det registrert om opplagerreaksjonene sto i likevekt med belastningen, samt om spenningsbilde og forskyvninger virket fornuftige. Dette er også gode indikasjoner på at opplagerbetingelser og elementnett fungerte som planlagt. På grunn av at det bare er modellert et utsnitt av broen oppnås det ikke noen omlagringseffekter i felt eller resten av spennene. Økning av laster i global simulering gir ikke proporsjonale reaksjoner på alle snittkreftene og når lastene økes proporsjonalt i Abaqus er de ikke lengre i likevekt med den globale simuleringen i RM. Dette fører til at krefter gjelder kun for et lastbilde, maks BRD last med LPF = 1. Like vel antas det at resultatene fra Abaqusmodellene gir et innblikk i forholdet mellom maks BRD last og tverrsnittskappasitet. Håndberegninger er utført med snittkrefter avlest fra global simulering (RM). Verdiene her er oppnådde verdier rett over indre støtte, selv om gjeldende standarder åpner for at noen snittkrefter kan benyttes fra område ved siden av lagerpunktet. Dette gjelder for eksempel kontroll for interaksjon mellom skjærkraft, aksialkraft og moment (Eurokode 3, Del 1-5 [3], punkt 7.1) hvor kontrollen ikke skal utføres nærmere enn en halv steghøyde fra vertikal stiver over opplager. Det kan tenkes at standarden her forutsetter at verste knekking av steget opptrer som en halv sinusbølge med toppunkt ikke nærmere stiveren enn en halv steghøyde. Tverrsnitt i tverrsnittsklasse 4 skal heller ikke regnes med redusert tverrsnitt på grunn av plateknekking i områder nære vertikal stiver. Beregningene er likevel utført med verdier fra sentrisk over lageret av regnepraktiske årsaker og det antas at resultatene ikke er for konservative som sammenligningsgrunnlag. Tverrsnittskontroll uten reduksjon for knekking skal være tilfredsstilt i alle punkter. Modellene benyttet i denne oppgaven tar ikke hensyn til tvangsspenninger i stålet på grunn av sveising. Programmet skriver ut advarselsmeldinger under simuleringer. De fleste av de oppnådde meldingene gjaldt fasen etter at bjelken har gått til brudd eller at enkelte uinteressante valgte utdata kategorier ikke støttes av for eksempel valgt type numerisk simulering. En melding i knekkingssimuleringene omhandler at kontaktegenskaper ikke skrives til ut-verdi databasen (ODB). Med mistanke om at kreftene fra kontakten derfor ikke ble medregnet, ble opplagerkreftene fra lageret modellert som last direkte på bjelken for å være sikker på at lasten ble påført i knekkingssimuleringene. Det gav en endring i 4. desimal for egenverdien til 39

58 knekkform 1 og ingen merkbare endringer i knekkformene. På grunn av den minimale endringen antas det at lastene som ble påført lageret også ble medtatt i simuleringen. En annen advarselsmelding omhandlet ytterste node i overflensens hjørner og at de inngår i «Rigid Body» for endene og samtidig er tildelt opplagerbetingelser for flensen. Disse nodene fikk i følge meldingen inaktive frihetsgrader, noe som antas ikke å ha påvirke resultatene. Det ble ikke funnet flere feilmeldinger av betydning for simuleringen. 40

59 6 Resultater 6.1 Sammenstilling Aktuelle resultater fra Abaqus modellene og håndberegninger er listet i Tabell 5 med de forskjellige geometri- og lastsittuasjonene i venstre kolonne. Resultater fra Abaqus modellen er listet fra andre til femte kolonne. Kolonnen «LPF maks» viser den største oppnådde LPFverdien før brudd. «Utnyttelse 1/LPFmaks» viser tilhørende utnyttelsesgrad regnet som 1 delt på LPFmaks-verdien i den andre kolonnen. Deretter er det to kolonner for von Mises spenningsutnyttelse i forhold til f y, avlest ved LPF = 1 for element henholdsvis i ytterkant av lageret (Punkt 3 på Figur ) og sentrisk over lageret (Punkt 4 på Figur ), begge for underkant steg. Resultater fra håndberegninger i vedlegg 1 side, side 8 og side 3 etter kapittel 3 og Eurokode 3 Del 1-1 [] og Del 1-5 [3] er listet til høyre i Tabell 5. Her vises enkeltvis minst gunstige utnyttelsesgrad av dimensjonerende aksialkraft, dimensjonerende moment M, dimensjonerende skjærkraft V, samt dimensjonerende punktlast på steg F. Deretter vises de tilsvarende minst gunstige utnyttelsesgrader av interaksjonsformlene for dimensjonerende moment og aksialkraft M, moment og aksial- og skjærkraft MV, samt moment og aksialkraft og punktlast på steg MF. De to siste kolonnene i tabellen viser von Mises spenningsutnyttelse fra henholdsvis kun bjelkevirkninger uten spenningsbidrag fra opplagerreaksjonene og bjelkevirkninger med spenningsbidrag fra opplagerreaksjonene, begge for et teoretisk punkt nederst på steget og rett over lageret. For hver rekke er den mest ugunstige verdien for utnyttelse i spenninger og krefter uthevet med tykk skrift. De tre nederste rekkene for spenningsutnyttelse i Abaqus har verdier i kursiv. Disse verdiene er vektet i forhold til LPFmaks for å bli representative i sammenligningen på grunn av at modellene her gikk til brudd før refferanselastens verdier ble oppnådd (LPF < 1). 41

60 Tabell 5 Sammenstilling av utnyttelser i Abaqus og håndberegninger 6. Tverrsnitt A med vertikalstiver I Tabell 5 kolonne for M og MV ser vi for tverrsnitt A med vertikalstiver at interaksjonsformlene er dimensjonerende for håndberegningene med utnyttelse på ca. 70 %, dette på grunn av moment og skjærutnyttelse. Utnyttelse for brudd ved maks LPF i Abaqus ligger ca. 5 % under de mest ugunstige interaksjonsformlene. Figur 30 og Figur 31 viser bruddformasjon i Abaqusmodellene for tilfellet med referanselast og tilfellet med kun punktlast fra lageret. Det er på figurene klare tegn til interaksjon mellom moment og skjærkraft som omtalt i kapittel 3.6 og Figur 9. Referanselasten gir betydelige utbøyinger kun nærmest lageret mens brudd-deformasjon ved bare punktlast gir typiske skjærbrudddeformasjoner (se kapittel 3.4 og Figur 7) som strekker lengre til sidene av bjelken. Denne forskjellen skyldes trolig at referanselasten reduserer skjærkreftene fra lagerreaksjonen et stykke fra lageret med den fordelte og motsatt rettede lasten på overflensen. Spenningene fra Abaqus avlest i steget utenfor kant av lageret (Punkt 3, σjk) stemmer overaskende bra med håndberegnede spenningene fra bjelkevirkningene uten bidrag fra opplagerkrefter i nest siste kolonne (fra 0 % til 6 % differanse). Spenningene fra Abaqus avlest i steget sentrisk over lageret (Punkt 4, σjs) stemmer bra med spenningene fra bjelkevirkningene med bidrag fra opplagerkrefter i siste kolonne ( % differanse). Denne 4

61 maksimale elastiske spenningsutnyttelsen er ca. 70 % som også stemmer overaskende bra med interaksjonsformlene, men kan godt være en tilfeldighet. I dette tilfellet viste det seg at en ved kravene i interaksjonsformlene i praksis også tar hensyn til elastisk kapasitet og at det ikke oppstår store plastiske deformasjoner ved flytning eller brudd i konstruksjonen på grunn av gjentatt flytning i stålet. Figur 30 Bruddform Tverrsnitt A med referanselast, Ux30 Figur 31 Bruddform Tverrsnitt A med kun punktlast fra lager, Ux Tverrsnitt A uten vertikalstiver Tverrsnitt A uten stiver er i følge håndberegningene overutnyttet på grunn av punktlast på steg fra lageret. Tabell 5 viser med kolonne for F og MF en utnyttelse i overkant av 130 % for alle 3 lasttsittuasjonene. Utnyttelse for brudd ved maks LPF i Abaqus ligger ca. 30 % under den mest ugunstige interaksjonsformelen og viser at bjelken ikke går til brudd ved bruddgrenselastene fra globalanalysen (LPF = 1). Figur 3 og Figur 33 viser bruddformasjon i Abaqusmodellene for tilfellet med referanselast og tilfellet med kun punktlast fra lageret. Det er på figurene tegn til et globalt knekkmønster hvor de nedre ¾ av steget knekker ut i en halv sinusbølge (Bucling). Dette tyder på at steget kan karakteriseres som middels slankt steg, som 43

62 omtalt i kapittel 3.5. Også for denne geometrien mobiliserer lastsittuasjonen med bare punktlast en større del av bjelkelengden enn referansetilfellet og gir de typiske diagonale skjærknekkformene. Spenningene fra Abaqus avlest i steget utenfor kant av lageret (Punkt 3, σjk) og i steget sentrisk over lageret (Punkt 4, σjs) stemmer ikke med de håndberegnede spenningene på samme vis som de gjør for tverrsnitt A med stiver. Den store spenningsutnyttelsen fra bjelkevirkningene med bidrag fra opplagerkrefter i siste kolonne, i forhold til den lave spenningen for tilsvarende tverrsnitt med stiver, skyldes at all opplagerkraften går i steget uten å fordeles til noen stiver. Spenningene fra bjelkeeffektene uten bidrag fra opplagerreaksjonen er derimot uendret og mye lavere. Dette er motsatt reaksjon som for Abaqus-modellen med større spenninger ved siden av lageret i forhold til sentrisk over lageret både med og uten stiver. Deformasjonene av FEM-modellen i tverretning av steget er ca. 70 % større ved brudd for bjelke uten stiver enn for bjelke med stiver, i tillegg er deformasjonsformene totalt forskjellige. Trolig er spenningsomlagringer grunnet de store deformasjonene av FEM-modellen årsaken til differansen med de teoretiske spenningsverdiene fra håndberegningene. Figur 3 Bruddform Tverrsnitt A uten vertikalstiver, med referanselast, Ux30 Figur 33 Bruddform Tverrsnitt A uten vertikalstiver, kun med punktlast fra lager, Ux30 44

63 6.4 Tverrsnitt B med vertikal stiver Tverrsnitt B med vertikal stiver har et tynt steg i tverrsnittsklasse 4 og er i følge håndberegningene ca. 100 % utnyttet ved skjærkappasitet for refferansetilfellet med og uten aksiallast. Tilfellet med kun punktlast fra lager gir ca. 90 % utnyttelse for skjær. Denne forskjellen skyldes i hovedsak at skjærkraftfordelingen i bjelken er usymetrisk for refferansetilfellet og gir da en høyere verdi på en side av lageret mens det ved kun punktlast på steg er symetrisk fordeling og lavere skjærkraftverdi. Utnyttelsen for brudd i FEMmodellene er ca. 70 % noe som er ca. 30 % lavere enn ved håndberegningene med referanselast. Bruddformene på Figur 34, Figur 35 og Figur 36 er som forventet karakteristiske for høy skjærbelastning, som beskrevet i kapittel 3.4. Spenningene i de aktuelle punktene er også som forventet tilsvarende som for tverrsnitt A bare med ca. 10 % høyere verdier og ca. 5 % større innbyrdes forskjeller. Dette skyldes at brutto stegareal i tverrsnitt B er 5 % redusert i forhold til tverrsnitt A, samt at plateknekking reduserer steget ytterligere ca. 10 % for normalspenninger. Spenningsberegningene gir mer gunstige resultater enn skjærkraftberegningene på grunn av at reduserende skjærknekkingseffekter ikke inngår i spenningsberegningene. Figur 34 Bruddform Tverrsnitt B med referanselast, Ux30 Figur 35 Bruddform Tverrsnitt B uten aksiallast, Ux30 45

64 Figur 36 Bruddform Tverrsnitt B med kun punktlast fra lager, Ux Tverrsnitt B uten vertikalstiver Abaqus-modellen av tverrsnitt B uten vertikalstiver gikk som forventet til brudd før hele referanselasten ble påført (LPF < 1). Utnyttelsesgraden for disse tilfellene av FEM-modellene ligger ca. mellom 140 % og 150 % både ved avlesing av LPF ved brudd og ved spenningsavlesing. For håndberegningene er spenningkontrollen med bidrag fra bjelke og opplagerreaksjoner minst gunstig med en utnyttelse på ca. 30 % for alle tre lasttilfellene. Punktlast på steg (kolonne F) samt interaksjonsformel for moment, aksialkraft og punktlast (kolonne MF) viser også høy utnyttelse med henholdsvis verdier lik 6 % og ca. 00 %. Figur 37 og Figur 38 viser bruddformasjon i Abaqusmodellene for tilfellet med referanselast og tilfellet med kun punktlast fra lageret. Det er på figurene tegn til et globalt knekkmønster hvor hele steget knekker ut, men nedre 1/5 knekker til motsatt side som øvre 4/5 i en form for foldingsmekanisme (Crippling). Dette tyder på at steget kan karakteriseres som steg med høy slankhet, som omtalt i kapittel 3.5. Figur 37 Bruddform Tverrsnitt B uten vertikalstiver, med referanselast, Ux30 46

65 Figur 38 Bruddform Tverrsnitt B uten vertikalstiver, kun med punktlast fra lager, Ux Vertikal deformasjon De globale numeriske simuleringene i RM viste en maksimal nedbøyning av Blakstadbrua lik 60 mm i et felt med den bruddgrenselastkombinasjonen som er utgangspunkt for denne oppgaven. 8 meter fra indre opplagerpunkt var nedbøyningen lik 40 mm. Modellen i Abaqus viste tilsvarende vertikal deformasjon lik 30 mm mellom utsnittets senter og utsnittets ender 8 meter til siden, med antatt samme belastning. Det ble antatt i kapittel 4.1 at den globale RMmodellen skulle være stivere enn Abaqus modellen av utsnittet og dermed gi mindre nedbøyning, noe den ikke gjorde. Denne uventede forskjellen kan skyldes effekter som globalanalysen tar hensyn til, men som ikke fanges opp av et utsnitt. Lastbildet i globalanalysen har større kompleksitet enn utsnittet i denne oppgaven. I tillegg har modellen av hele brua en mere komplisert geometri med forskjellig ståltverrsnitt i felt og over støtte, samt at betongen regnes med langtidsvirkninger som kryp og svinn. Dette fører til at snittkreftene langs bjelken er forskjellige for RM-modellen og Abaqus-modellen. Til tross for deformasjonsforskjellene så antas kreftene rundt senter av utsnittet for å være representative for gitt lastsituasjon i globalanalysen. De store likhetene mellom de håndberegnede spenningene og spenninger avlest i Abaqus-modellen støtter opp under denne antagelsen. 47

66 48

67 7 Konklusjon I denne oppgaven er det sett nærmere på stålbjelker og problematikken tilknyttet til indre opplagerpunkt for ei stålbjelkebru med flere spenn. Geometri og lastsituasjon er valgt med utgangspunkt i Blakstadbrua på E39 i Gjemnes kommune. To tverrsnitt, A og B, er beregnet med og uten vertikal stiver. Tverrsnitt A som er likt med Blakstadbrua er i tverrsnittsklasse 3, mens tverrsnitt B har tynnere steg i tverrsnittsklasse 4. Det er utført numeriske simuleringer i elementprogrammet Abaqus som er sammenlignet med håndberegninger etter gjeldende standarder samt Statens vegvesens håndbøker. Komplett eksempel på håndberegninger av tverrsnittskontroll er vist i vedlegg 1. Beregninger og tilhørende teori er beskrevet i eget kapittel. umeriske simuleringer ble utført i to trinn. Første trinn var en knekkingssimulering hvor aktuelle knekkformer ble funnet. Andre trinn var en kapasitetsberegning som benyttet knekkformene i første trinn som formfeil. Et dekkende utvalg knekkformer ble benyttet og minst gunstige formfeil ble identifisert og benyttet i videre analyse. Kapasiteten til en modell med den minst gunstige knekkformen som formfeil sammenlignet med kapasiteten til en modell med 1. knekkform som formfeil hadde i alle tilfellene en differanse under %. Formfeilene ble alle gitt en maks utbøynings amplitude lik 10 mm, men forskjellige verdier av amplituden ble ut prøvd for noen tilfeller. En matematisk helt rett konstruksjon belastet aksialt krever trolig større belastning før knekking opptrer enn en konstruksjon med skjevheter som gir eksentrisitetsmoment. Hvilken type form eller hvor eksakt verdi det er på amplituden som benyttes ser ut til å ha mindre betydning. Blakstadbrua (Tverrsnitt A med stiver) har i følge de numeriske simuleringene ca. 5 % større kapasitet enn funnet ved håndberegningene. Spenningsverdiene fra de numeriske simuleringene og fra håndberegningene viste en differanse hovedsakelig lik %. Resultatene viser også store likheter mellom interaksjonsformlene og spenningsberegningene med differanser mellom 0 % og 8 %. For denne oppgavens tilfeller viste det seg at en ved å tilfredsstille kravene i interaksjonsformlene i praksis også tar hensyn til elastisk kapasitet og at det ikke oppstår store plastiske deformasjoner ved flytning eller brudd i konstruksjonen på grunn av gjentatt flytning i stålet. Om dette gjelder for andre tilfeller enn de beregnet i denne oppgaven er ikke belyst. 49

68 Tverrsnitt B med stiver viste samme tendens som tverrsnitt A, men med ca. 30 % større kapasitet ved numerisk simulering enn ved håndberegnede interaksjonsformler og tilsvarende differanse i spenningsutnyttelse mellom 0 % og 16 %. Tverrsnitt A uten stiver gikk til brudd ved håndberegninger med ca. 130 % utnyttelse. Tilsvarende geometri og last førte ikke til brudd i FEM-simuleringen med utnyttelse under 95 %. Spenningsresultatene gav noe større differanser mellom simuleringer og håndberegninger med verdier under 40 %. Tverrsnitt B uten stiver viste samme tendens som tverrsnitt A men med større utnyttelse og med differanser under 54 %. Tendensen viser at forskjellene mellom numeriske simuleringer og håndberegninger øker noe ved økende utnyttelse av tverrsnittet, men at håndberegningene ved denne oppgavens tilfeller viser minimum 5 % lavere kapasitet enn FEM-simuleringene. De største forskjellene opptrer for spenninger i tverrsnitt uten stivere. Dette skyldes trolig store deformasjoner som gir omfordeling av krefter i FEM-modellene ved bruddbelastning. Resultatene viser i sin helhet mindre spredning enn det ble antatt at de skulle gjøre før simuleringene startet. Referanselasttilfellet med og uten aksiallast gav nesten like resultater med ca. 1 % differanse. Lasttilfellet med kun lagerlast gav noe større forskjeller (under 10 %) i forhold til de to andre lasttilfellene, men viste ingen klare tendenser. Bruddformene av FEM-modellene virket logiske og var lett gjenkjennelige med bruddformer beskrevet i litteraturen. 50

69 8 Referanser [1] Larsen, Per Kr., Dimensjonering av stålkonstruksjoner,. utgave, Tapir Akademiske Forlag, Trondheim 010. [] Standard orge, Eurokode 3: Prosjektering av stålkonstruksjoner Del 1-1: Allmenne regler og regler for bygninger, S-E : 005+A:008, norsk versjon 005. [3] Standard orge, Eurokode 3: Prosjektering av stålkonstruksjoner Del 1-5: Plater påkjent i plateplanet, S-E : 006+A:009, engelsk versjon, 006. [4]. Saliba, L. Gardner, Engineering Structures,Volume 46, January 013, Pages Experimental study of the shear response of lean duplex stainless steel plate girders, Department of Civil and Environmental Engineering, Imperial College London, London SW7 AZ, UK, Copyright Clearance Center License umber: [5] Abaqus 6.1 Online Documentation, Abaqus Analysis User s Manual, version 6.1 [6] Statens vegvesen Vegdirektoratet, Håndbok 185 Bruprosjektering, Eurokodeutgave, november 011. [7] Standard orge, Eurokode 3: Prosjektering av stålkonstruksjoner Del : Bruer, S-E 1993-: 006+A:009, norsk versjon 006. [8] Standard orge, Eurokode 4: Prosjektering av samvirkekonstruksjoner av stål og betong, Del : Bruer, S-E 1994-: 005+A:009, engels versjon 005. [9] P. K. Larsen, A. H. Clausen, A. Aalberg, Stålkonstruksjoner, Profiler og formler, Tapir Forlag, Trondheim [10] Statens vegvesen Vegdirektoratet, Håndbok 06, Prosesskode, Standard beskrivelse for bruer og kaier, november 007 [11] Darko Berg, Ulrike Kuhlmann, Laurence Davaine, Benjamin Braunm, Design of Plated Structures, ECCS European Convention for Constructional Steelwork, 1 st Edition,

70 5

71 9 Vedlegg 1 53

72

73 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken kontroll spenninger mot maks krefter stål indre støtte 100 RM Bridge effektivt tverrsnitt kl 4 og redusert tverrsnitt pga shear-lag Kontroll bjelkekrefter og oppleggslast på steg og stivere Konstruksjonsdel: platebærer og stivere Inndata: Basert på S E :006+A:009 S-E :005+A:008 Stålbjelke Spennvidde side spenn L 1 := 8m Spennvidde midt spenn L := 34m bredde overflens b sof := 1100mm tykkelse overflens t sof := 50mm bredde underflens b suf := 1100mm tykkelse underflens t suf := 50mm høyde kun steg h ss := ( )mm tykkelse steg t ss := 15mm total høyde stålbjelke h a := h ss + t sof + t suf = 1.7m a-mål/radius r s := 5mm Senteravstand mellom stålbjelker c ss := 5.7m flytespenning f y := 355 flens fy f := 335 steg fy w := 355 E - modul stål E a := ε f := ε fy w := f fy w tverrkontraksjonstall v := 0.3 γ M0 := 1.0 γ M1 := 1.0 Stålbjelke utregnede tverrsnittsverdier areal overflens A sof := b sof t sof = 0.055m underflens A suf := b suf t suf = 0.055m steg A ss := h ss t ss = 0.04m sammenlagt bjelke A a := A sof + A suf + A ss = arm ok bj. til tp overflens z sof := t sof = 0.05 m 1 arm ok bj. til tp underflens z suf := t sof + h ss + t suf = m 1 arm ok bj. til tp steg z ss := t sof + h ss = 0.85 m A sof z sof + A suf z suf + A ss z ss arm ok bj. til tp bjelke z a := = 0.85m A a Vedlegg 1 side 1

74 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Stålbjelkens. arealmoment om tverrakse 1 I zsof 1 b 3 := sof t sof + A sof z a z sof 1 I zsuf 1 b 3 := suf t suf + A suf z a z suf 1 I zss 1 t 3 := ss h ss + A ss z a z ss I za := I zsof + I zsuf + I zss = 0.08m 4 Stålbjelkens. arealmoment om vertikalakse 1 I ya 1 t sof b := sof + t suf b suf + h ss t ss = m 4 1 Torsjonstreghetsmoment stål I Ta 3 b sof t := sof + h ss t ss + b suf t suf = m 4 = 50 mm t max := max t sof, t ss, t suf t Statisk moment maks i tyngdepunkt S max A suf ( z a + z suf ) suf 1 := + t ss z a + z suf = 0.05 m 3 Statisk moment uk steg S uks := A suf z a + z suf = m 3 t sof Statisk moment ok steg S oks := A sof z a = m 3 Vedlegg 1 side

75 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Shear lag at ultimate limit state S E :006+A:009 Effektiv lengde L e := 0.5 L 1 + L (1 ) b) kombinert shear lag og plateknekking = 15.5 m overflens α 0.sof := 1 = 1 ingen reduksjon dersom b sof b sof κ sof := α 0.sof = L e L e < = 0 50 effektiv breddefaktor β.sof := 1 if κ sof κ sof κ κ sof sof κ if κ sof > 0.7 sof if 0.0 < κ sof 0.7 = 0.87 underflens α 0.suf := 1 = 1 ingen reduksjon dersom b suf b suf κ suf := α 0.suf = L e L e < = 0 50 effektiv breddefaktor β.suf := 1 if κ suf κ suf κ κ suf suf κ if κ suf > 0.7 suf if 0.0 < κ suf 0.7 = 0.87 Overskriver effektiv bredde ved reduksjon for shear lag overflens beffs sof := β.sof b sof = m underflens beffs suf := β.suf b suf = m Vedlegg 1 side 3

76 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Stålbjelke redusert for shear lag, utregnede tverrsnittsverdier betegnes med indeks "effs" areal overflens Aeffs sof := beffs sof t sof = 0.048m underflens Aeffs suf := beffs suf t suf = 0.048m sammenlagt bjelke Aeffs a := Aeffs sof + Aeffs suf + A ss = Aeffs sof z sof + Aeffs suf z suf + A ss z ss arm ok bj. til tp bjelke zeffs a := Aeffs a = 0.85 m Stålbjelkens. arealmoment om tverrakse 1 Ieffs zsof 1 beffs 3 := sof t sof + Aeffs sof zeffs a z sof 1 Ieffs zsuf 1 beffs 3 := suf t suf + Aeffs suf zeffs a z suf 1 Ieffs zss 1 t 3 := ss h ss + A ss zeffs a z ss Ieffs za := Ieffs zsof + Ieffs zsuf + Ieffs zss = 0.07m 4 Stålbjelkens. arealmoment om vertikalakse 1 Ieffs ya 1 t sof beffs := sof + t suf beffs suf + h ss t ss = m 4 1 Torsjonstreghetsmoment stål Ieffs Ta 3 beffs sof t sof := + h ss t ss + beffs suf t suf = m 4 Statisk moment maks i tyngdepunkt t Seffs max Aeffs suf ( zeffs a + z suf ) suf 1 := + t ss zeffs a + z suf = m 3 Statisk moment uk steg Seffs uks := Aeffs suf zeffs a + z suf = 0.04 m 3 t sof Statisk moment ok steg Seffs oks := Aeffs sof zeffs a = 0.04 m 3 Vedlegg 1 side 4

77 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Resultat fra RM: Krefter fra RM Envelopes: BRD_max.sup, minmz split, element 131 node 13 samt tillegg i vertikal skjær og torsjon fra samvirke element 731 node 13 akser etter RM M Ed.z := k m M Ed.y := 0k m Opptredende moment ståltversnitt Aksialkraftens M Ed.x := ( 0)k m Opptredende torsjon ståltversnitt+ samv eksentrisitet =0 for tvsk 1, og 3 V Ed.y := ( )k V Ed.z := 0k Opptredende skjærkraft ståltversnitt+samv Opptredende aksialkraft ståltversnitt Opptredende last på steg regnet ut fra skjær på begge sider Ed.x := k e y := 0mm e z := 0mm F Ed.y := ( )k = k Krefter fra RM Envelopes: BRD_max.sup, uavhengige maksimalverdier split, element 131 node 13 samt tillegg i vertikal skjær og torsjon fra samvirke element 731 node 13 akser etter RM M Ed.zm := 18855k m M Ed.ym := 0k m M Ed.xm := 0k m Maks opptredende moment ståltversnitt V Ed.ym := ( )k Maks opptredende skjærkraft ståltversnitt Ed.xm := k Maks opptredende aksialkraft ståltversnitt Maks opptredende last på steg F Ed.ym := k Bøyespenninger fra RM Envelopes: BRD_max.sup, element 131 node 13 - underkant og overkant stålbjelke - venstre del av underflens og høyre del av overflens σ SP100uk := σ SP100ok := σ SP100ukv := σ SP100okh := Von Mises spenninger fra RM -Sets: BRD_max.sup, element 131 node 13 - underkant og overkant stålbjelke - venstre del av underflens og høyre del av overflens - underkant steg og overkant steg - senter steg σj SP100uk := σj SP100ok := σj SP100ukv := σj SP100okh := σj SP1stegUK := σj SP1stegOK := σj SP1senter := Vedlegg 1 side 5

78 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken spenningsbilde for klassifisering av tverrsnitt regnet av ikke redusert tverrsnittt Ed.x M Ed.z σ fx := = A a σ Mfzo := ( z I a ) = za Stålspenning uk bjelke M Ed.z σ Mfzu := ( z I a + h a ) = za Stålspenning ok bjelke σ UK := σ fx + σ Mfzu = σ OK := σ fx + σ Mfzo = M Ed.y b suf M Ed.y b sof σ Mfyuv := = 0 I ya σ Mfyov := = 0 I ya σ OKv := σ fx + σ Mfzo σ Mfyov = σ OKh := σ fx + σ Mfzo + σ Mfyov = σ UKv := σ fx + σ Mfzu σ Mfyuv = σ UKh := σ fx + σ Mfzu + σ Mfyuv = Klassifisering av tverrsnitt, flenser S-E :005+A:008 Tabell 5. utstikkende overflens Tverrsnittsdel som utsettes for trykk i felt, sveist profil. b sof t ss c sof := r s c sof = 0.538m xc sof := c sof t sof ε f xc sof = overflenstverrsnittsklasse := 1 if xc sof 9 ( ) ( xc sof > 9) ( ) ( xc sof > 10) if xc sof 10 3 if xc sof 14 4 otherwise overflenstverrsnittsklasse = 3 fk sof := overflenstverrsnittsklasse Vedlegg 1 side 6

79 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken utstikkende underrflens Tverrsnittsdel som utsettes for trykk over støtte, sveist profil. b suf t ss c suf := r s c suf = 0.538m xc suf := c suf t suf ε f xc suf = underflenstverrsnittsklasse := 1 if xc suf 9 underflenstverrsnittsklasse = 3 fk suf := underflenstverrsnittsklasse ( ) ( xc suf > 9) ( ) ( xc suf > 10) if xc suf 10 3 if xc suf 14 4 otherwise 4.4 Plate elements without longitudinal stiffeners S E :006+A:009 trykkbelastet overflens σ = ψσ1 ψ sof := 1 Spenninger i senter tverrsnitt av element Table 4. - knekkfaktor kσ sof := 0.43 if ψ sof = 1 skiller her mellom størst trykk langs fri kant eller langs steg if ψ sof 1.7 if ψ sof = 0 < 1 0 < ψ sof ψ sof ψ sof 3.8 if ψ sof = 1 kσ sof := ψ sof ψ sof 0.43 if ψ sof = 1 ( = ) ( = ) 0.57 if ψ sof if ψ sof 1 if if 1 < ψ sof < 0 3 ψ sof < 1 = 0.43 = 0.43 σe sof := π E a 1 1 v t sof = c sof Vedlegg 1 side 7

80 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken platens lineariserte knekkspenning (A.1) σcr sof := kσ sof σe sof = c sof 1 redusert plateslankhet λ_p sof := = t sof 8.4 ε f kσ sof reduksjonsfaktor ρ sof := 1 if λ_p sof σ OK 0 ψ sof = 1 fk sof 3 σok=strekk og λ_p sof ψsof=1 gir min1, otherwise strekk i hele flens gir λ_p fult effektivt tversnitt sof tversnittsklasse 3 eller lavere gir fullt effektit tversnitt Aceff sof := ρ sof c sof t sof = 0.07m = 1 Forutsetter trykk i hele flens Reduserer bredde dersom trykkspenning. ceff sof := ρ sof c sof = m if ( σ OK < 0) beff sof := ceff sof + t ss + r s b sof otherwise = 1.1m ΔA sof := A sof beff sof t sof = 0 trykkbelastet underflens σ = ψσ1 ψ suf := 1 Spenninger i senter tverrsnitt av element Table 4. - knekkfaktor kσ suf := 0.43 if ( ψ suf = 1) ψ suf if 0 < ψ suf < if ψ suf = ψ suf ψ suf if 3.8 if ( ψ suf = 1) skiler her mellom størst trykk langs fri kant eller langs steg kσ suf := ψ suf ψ suf if 0.43 if ψ suf = 1 platens lineariserte knekkspenning (A1) σe suf := ( = ) ( = ) 0.57 if ψ suf if ψ suf 1 π E a 1 1 v t suf = c suf σcr suf := kσ suf σe suf = < ψ suf < 0 3 ψ suf < 1 = 0.43 = 0.43 Vedlegg 1 side 8

81 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken c suf 1 redusert plateslankhet λ_p suf := = t suf 8.4 ε f kσ suf reduksjonsfaktor ρ suf := 1 if λ_p suf σ UK 0 ψ suf = 1 fk suf 3 σuk=strekk og ψsuf=1 λ_p suf gir strekk i hele flens min1, otherwise gir fult effektivt tversnitt λ_p tversnittsklasse 3 eller suf lavere gir fullt effektit tversnitt Aceff suf := ρ suf c suf t suf = 0.07m = 1 Forutsetter trykk i hele flens Reduserer bredde dersom trykkspenning. ceff suf := ρ suf c suf = m if ( σ UK < 0) beff suf := ceff suf + t ss + r s b suf otherwise = 1.1m ΔA suf := A suf beff suf t suf = Shear lag at ultimate limit state S E :006+A:009 Effektiv lengde L e := 0.5 L 1 + L (1 ) b) kombinert shear lag og plateknekking = 15.5 m beff overflens sof α 0.sof := = 1 ingen reduksjon dersom b sof b sof b sof κ sof := α 0.sof = L e L e < = 0 50 effektiv breddefaktor β.sof := 1 if κ sof κ sof κ κ sof sof κ if κ sof > 0.7 sof if 0.0 < κ sof 0.7 = 0.87 Vedlegg 1 side 9

82 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken beff underflens suf α 0.suf := = 1 ingen reduksjon dersom b suf b suf b suf κ suf := α 0.suf = L e L e < = 0 50 effektiv breddefaktor β.suf := 1 if κ suf κ suf κ κ suf suf κ if κ suf > 0.7 suf if 0.0 < κ suf 0.7 = 0.87 Overskriver effektiv bredde ved reduksjon for shear lag overflens beff sof := β.sof beff sof = m underflens beff suf := β.suf beff suf = m Aceff sof := β.sof Aceff sof = 0.03m Aceff suf := β.suf Aceff suf = 0.03 m ceff sof := β.sof ceff sof = m ceff suf := β.suf ceff suf = m ΔA sof := A sof beff sof t sof = ΔA suf := A suf beff suf t suf = spenningsbilde for klassifisering av tverrsnitt steg med redusert flensareal, betegnes med indeks "eff.f" Avstand fra det effektive ståltversnittets nøytralakse A a z a til OK bjelke zeff f.a := A a ΔA sof z sof ΔA sof ΔA suf z suf ΔA suf = 0.85m Aeff f.a := A ss + beff suf t suf + beff sof t sof = 0.1m avstand fra oprinnelig nøytralakse til det efektive tversnittets tyngdepunkt e a := zeff f.a z a = 0m Stålbjelkens. arealmoment effektivt tversnitt av flenser FORUTSETTER TRYKK I HELE FLES 1 Ieff f.zsof 1 beff 3 := sof t sof + beff sof t sof zeff f.a z sof = m 4 1 Ieff f.zsuf 1 beff 3 := suf t suf + beff suf t suf zeff f.a z suf = m 4 Ieff f.za := Ieff f.zsof + Ieff f.zsuf + I zss = 0.07m 4 Vedlegg 1 side 10

83 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Ed.x M Ed.z σeff f.fx := = Aeff f.a σeff f.mfzo := ( z Ieff a ) = f.za M Ed.z σeff f.mfzu := ( z Ieff a + h a ) = f.za Stålspenning uk bjelke Stålspenning ok bjelke σeff f.uk := σeff f.fx + σeff f.mfzu = σeff f.ok := σeff f.fx + σeff f.mfzo = Klassifisering av tverrsnitt, steg S-E :005+A:008 steg Tverrsnittsdel som utsettes for bøyning d ss := h ss r s r s d ss = 1.59m d ss xd ss := xd t ss ε ss = w stegtverrsnittsklasse := 1 if xd ss 7 ( ) ( xd ss > 7) ( ) ( xd ss > 83) if xd ss 83 3 if xd ss 14 4 otherwise stegtverrsnittsklasse = 4 sk ss := stegtverrsnittsklasse steg Tverrsnittsdel som utsettes for bøyning og trykk σeff f.ok ψ ss := = ψ σeff ss > 1 = 1 ψ ss := max ψ ss, 1 f.uk = Ed.x α ss := + = fy w t ss d ss d ss 13 α ss 1 d ss α ss xdpc ss := = xdpt t ss ε ss := w t ss ε w = Vedlegg 1 side 11

84 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken d ss + ψ ss xdec ss := t ss ε w = stegtverrsnittsklasse_c := 1 if xdpc ss 396 ( ) ( xdpc ss > 396) ( ) ( xdpc ss > 456) if xdpc ss if xdec ss 16 4 otherwise = 4 stegtverrsnittsklasse_t := 1 if xdpt ss 36 ( ) ( xdpt ss > 36) ( ) ( xdpt ss > 41.5) if xdpt ss if xdec ss 16 4 otherwise stegtverrsnittsklasse_ct := stegtverrsnittsklasse_c if α ss > 0.5 stegtverrsnittsklasse_t otherwise = 4 = 4 stegtverrsnittsklasse_ct = 4 skct ss := stegtverrsnittsklasse_ct = 4 Bjelketverrsnittsklasse := max fk sof, fk suf, sk ss, skct ss trykkbelastet steg σ = ψ σ1 ψ ss = Table knekkfaktor kσ ss := 4 if ψ ss = 1 8. if 0 < ψ ψ ss < 1 ss 7.81 if ψ ss = ψ ss ψ ss 3.9 if ψ ss = ψ ss if if 3 ψ ss < 1 1 < ψ ss < 0 = σe ss := π E a 1 1 v t ss = d ss Vedlegg 1 side 1

85 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken platens lineariserte knekkspenning σcr ss := kσ ss σe ss = d ss 1 redusert plateslankhet λ_p ss := = t ss 8.4 ε w kσ ss reduksjonsfaktor ved tverrsnittsklasse 4 ( +, 0) ρ ss := 1 if λ_p ss skct ss 3 λ_p ss max 3 ψ ss λ_p ss trykksonehøyde b c.ss := d ss if 0 ψ ss 1 d ss if 1 ψ ss 0 otherwise ( ψ ss < 0) otherwise = 0.89 fy w = 0.99 σcr ss ψ ss = B! fore videre bearbeiding kfr table 4.1 beff ss := be1 ss := be ss := ρ ss d ss if 0 ψ ss 1 d ss ρ ss if ψ 1 ψ ss < 0 ss 0 otherwise 0.5 beff ss if beff 5 ψ ss ss 0.4 beff ss if 0 otherwise ( ψ ss = 1) ( ψ ss < 0) if = m 0 ψ ss < 1 ( 0.5 beff ss ) if ( ψ ss = 1) ( beff ss be1 ss ) if ( 0 ψ ss < 1) if ( ψ ss < 0) 0.6 beff ss 0 otherwise = 0.98 m = m d ss bt ss := d ss 1 ψ ss 0 otherwise if ( ψ ss < 0) = m Effektiv steghøyde heff ss := be1 ss + be ss + bt ss + r s = m Effektivt areal trykk og strekk Aeff ss := heff ss t ss = 0.03m uvirksomt areal av steg ΔA ss := t ss h ss heff ss = m Vedlegg 1 side 13

86 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Stålbjelke redusert for plateknekking og shear lag, utregnede tverrsnittsverdier betegnes med indeks "eff" arm senter uvirksomt areal til OK bjelke h ss heff ss z Δsso := + be ss + bt ss + r s + t sof = m Avstand fra det effektive ståltversnittets nøytralakse A a z a til OK bjelke zeff a := ΔA ss z Δsso A a ΔA ss ΔA sof z sof ΔA sof ΔA suf ΔA suf z suf = m Aeff a := Aeff ss + beff suf t suf + beff sof t sof = 0.118m avstand fra oprinnelig nøytralakse til det efektive tversnittets tyngdepunkt e a := zeff a z a = m Stålbjelkens. arealmoment effektivt tversnitt om hor senter effektivt stål FORUTSETTER TRYKK I HELE FLES 1 Ieff zsof 1 beff 3 := sof t sof + beff sof t sof zeff a z sof = 0.03 m 4 1 Ieff zsuf 1 beff 3 := suf t suf + beff suf t suf zeff a z suf = m 4 1 Ieff zss 1 t 3 := ss h ss ( h ss heff ss ) 3 + A ss zeff a z ss ΔA ss zeff a z Δsso = m 4 Ieff za := Ieff zsof + Ieff zsuf + Ieff zss = 0.07m 4 I za = 0.08m 4 Stålbjelkens. arealmoment effektivt tversnitt om vert senter effektivt stål 1 Ieff ya 1 t sof beff := sof + t suf beff suf + heff ss t ss = m 4 Torsjonstreghetsmoment effektivt stål Ieff Ta := beff 3 sof t sof + heff ss t ss + beff suf t suf = m 4 Statisk moment maks i tyngdepunkt, effektivt tversnitt Statisk moment uk steg effektivt tversnitt Seff max := beff suf t suf Seff uks := t ( zeff a + z suf ) suf 1 + t ss zeff a + z suf = m 3 beff suf t suf zeff a + z suf = 0.04 m 3 Statisk moment ok steg effektivt tversnitt t sof Seff oks := beff sof t sof zeff a = m 3 Vedlegg 1 side 14

87 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Resultat fra håndberegning av fullt tverrsnitt: Kontroll bjelke spenninger S E :005+A:008 Spenninger i overflensens senterlinje M Ed.z t sof Ed.x Bøyespenning midt overflens σ ao := z I a + + = za A a Bøyespenning overflens høyre M Ed.y b sof σ aoh := σ ao + = I ya Skjerspenning overflens midt V Ed.z b sof t sof τ ao := 4 I ya t sof + V Ed.y b sof t sof 4 I za t sof M Ed.x + t I sof = Ta Gjevnføringsspenning midt overflens σj ao σ ao 3 τ := + ao = Gjevnføringsspenning overflens høyre M Ed.x σj aoh := σ aoh + 3 t Ieff sof = Ta Grad av sammenfallende resultat bøyespenning fra RM og håndberegning σ ao = σ SP100ok σ aoh = 0.98 σ SP100okh σj ao = σj SP100ok σj aoh = σj SP100okh spenningsutnyttelse σj ao γ fy M1 = f σj aoh γ fy M1 = f Spenninger i overkant steg M Ed.z Bøyespenning ok steg σ aoks := I za z a + t sof Ed.x + = A a V Ed.y S oks Skjerspenning ok steg τ aoks := I za t ss M Ed.x + t I ss = Ta Gjevnføringsspenning ok steg σj aoks σ aoks 3 τ := + aoks = Vedlegg 1 side 15

88 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Grad av sammenfallende resultat σj aoks = σj SP1stegOK spenningsutnyttelse σj aoks γ fy M1 = 0.71 w Spenninger i senter tversnitt Bøyespenning i senter tverrsnitt σ atp := M Ed.z h a z I a + za Ed.x + = A a Skjerspenning i senter tverrsnitt τ atp := V Ed.y S max I za t ss M Ed.x + t I ss = Ta Gjevnføringsspenning i senter tverrsnitt σj atp σ atp 3 τ := + atp = Grad av sammenfallende resultat σj atp = 1.16 σj SP1senter spenningsutnyttelse σj atp γ fy M1 = w Spenninger i underk stegant M Ed.z Bøyespenning uk steg σ auks := I za z a + h a t suf Ed.x + = A a V Ed.y S uks Skjerspenning uk steg τ auks := I za t ss M Ed.x + t I ss = Ta Gjevnføringsspenning uk steg σj auks σ auks 3 τ := + auks = Vedlegg 1 side 16

89 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Grad av sammenfallende resultat σj auks = 1.14 σj SP1stegUK spenningsutnyttelse σj auks γ fy M1 = w Spenninger i underflensens senterlinje Bøyespenning underflens midt σ au := M Ed.z t suf Ed.x z I a + h a + = za A a Bøyespenning underflens venstre M Ed.y b suf σ auv := σ au + = I ya Skjerspenning underflens midt V Ed.z b suf t suf τ au := 4 I ya t suf + b suf V Ed.y t suf 4 I za t suf M Ed.x + t I ss = Ta Gjevnføringsspenning underflens midt σj au σ au 3 τ := + au = Gjevnføringsspenning underflens venstre M Ed.x σj auv := σ auv + 3 t I suf = Ta Grad av sammenfallende resultat bøyespenninger fra RM og håndberegning σ au = σ SP100uk σ auv = σ SP100ukv σj au = σj SP100uk σj auv = σj SP100ukv spenningsutnyttelse σj au γ fy M1 = f σj auv γ fy M1 = f Vedlegg 1 side 17

90 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Resultat fra håndberegning av effektivt tverrsnitt redusert for SHEAR LAG: Kontroll bjelke spenninger S E :005+A:008 Spenninger i overflensens senterlinje M Ed.z t sof Ed.x Bøyespenning midt overflens σeffs ao := zeffs Ieffs a + + = za Aeffs a Bøyespenning overflens høyre M Ed.y beffs sof Regner fult bidrag fra σeffs aoh := σeffs ao + = Ieffs hovedmoment og aksialkraft over ya hele effektive flensbredden, forenkling av Del 1-5, 3.. V Ed.z beffs sof t sof V Ed.y beffs sof t sof M Ed.x Skjerspenning τeffs ao := + + t overflens 4 Ieffs ya t sof 4 Ieffs za t sof Ieffs sof = Ta midt Gjevnføringsspenning midt overflens σjeffs ao σeffs ao 3 τeffs := + ao = Gjevnføringsspenning overflens høyre M Ed.x σjeffs aoh := σeffs aoh + 3 t Ieffs sof = Ta Grad av sammenfallende resultat bøyespenning fra RM og håndberegning σeffs ao = 1.13 σ SP100ok σjeffs ao = σj SP100ok σeffs aoh = σ SP100okh σjeffs aoh = σj SP100okh spenningsutnyttelse σjeffs ao γ fy M1 = 0.64 f σjeffs aoh γ fy M1 = 0.63 f Spenninger i overkant steg M Ed.z Bøyespenning ok steg σeffs aoks := Ieffs za zeffs a + t sof Ed.x + = Aeffs a V Ed.y Seffs oks Skjerspenning ok steg τeffs aoks := Ieffs za t ss M Ed.x + t Ieffs ss = Ta Gjevnføringsspenning ok steg σjeffs aoks σeffs aoks 3 τeffs := + aoks = Vedlegg 1 side 18

91 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Grad av sammenfallende resultat fra RM og håndberegning σjeffs aoks = 1.4 σj SP1stegOK spenningsutnyttelse σjeffs aoks γ fy M1 = w Spenninger i senter tversnitt Bøyespenning i senter tverrsnitt σeffs atp := M Ed.z h a zeffs Ieffs a + za Ed.x + = Aeffs a Skjerspenning i senter tverrsnitt τeffs atp := V Ed.y Seffs max Ieffs za t ss M Ed.x + t Ieffs ss = Ta Gjevnføringsspenning i senter tverrsnitt σjeffs atp σeffs atp 3 τeffs := + atp = Grad av sammenfallende resultat fra RM og håndberegning σjeffs atp = σj SP1senter spenningsutnyttelse σjeffs atp γ fy M1 = w Spenninger i underkant steg M Ed.z Bøyespenning uk steg σeffs auks := Ieffs za zeffs a + h a t suf Ed.x + = 6.41 Aeffs a V Ed.y Seffs uks Skjerspenning uk steg τeffs auks := Ieffs za t ss M Ed.x + t Ieffs ss = Ta Gjevnføringsspenning uk steg σjeffs auks σeffs auks 3 τeffs := + auks = Vedlegg 1 side 19

92 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Grad av sammenfallende resultat fra RM og håndberegning σjeffs auks = 1.6 σj SP1stegUK spenningsutnyttelse σjeffs auks γ fy M1 = 0.81 w Spenninger i underflensens senterlinje Bøyespenning underflens midt σeffs au := M Ed.z t suf Ed.x zeffs Ieffs a + h a + = za Aeffs a Bøyespenning M underflens venstre Ed.y beffs suf σeffs auv := σeffs au + = Ieffs ya Skjerspenning underflens midt V Ed.z beffs suf t suf τeffs au := 4 Ieffs ya t suf + V Ed.y beffs suf t suf 4 Ieffs za t suf M Ed.x + t Ieffs suf = Ta Gjevnføringsspenning underflens midt σjeffs au σeffs au 3 τeffs := + au = Gjevnføringsspenning underflens venstre M Ed.x σjeffs auv := σeffs auv + 3 t Ieffs suf = Ta Grad av sammenfallende resultat bøyespenninger fra RM og håndberegning σeffs au = 1.13 σeffs auv σ = 1.1 SP100uk σ SP100ukv σjeffs au = 1.1 σj SP100uk σjeffs auv = 1.11 σj SP100ukv spenningsutnyttelse σjeffs au γ fy M1 = f σjeffs auv γ fy M1 = f Vedlegg 1 side 0

93 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Resultat fra håndberegning av effektivt tverrsnitt redusert for både PLATEKEKKIG OG SHEAR LAG: Kontroll bjelke spenninger S E :005+A:008 Spenninger i overflensens senterlinje M Ed.z t sof Ed.x Bøyespenning midt overflens σeff ao := zeff a + + = Ieff za Aeff a Bøyespenning overflens høyre M Ed.y beff sof σeff aoh := σeff ao + = Ieff ya Skjerspenning overflens midt V Ed.z beffs sof t sof τeff ao := 4 Ieffs ya t sof + V Ed.y beffs sof t sof 4 Ieffs za t sof M Ed.x + t Ieffs sof = Ta mm Gjevnføringsspenning midt overflens σjeff ao σeff ao 3 τeff := + ao = 08.8 Gjevnføringsspenning overflens høyre M Ed.x σjeff aoh := σeff aoh + 3 t Ieffs sof = Ta Grad av sammenfallende resultat bøyespenning fra RM og håndberegning σeff ao = 1.1 σ SP100ok σjeff ao = σj SP100ok σeff aoh = σ SP100okh σjeff aoh = σj SP100okh spenningsutnyttelse σjeff ao γ fy M1 = 0.6 f σjeff aoh γ fy M1 = 0.61 f Spenninger i overkant steg M Ed.z Bøyespenning ok steg σeff aoks := Ieff za zeff a + t sof Ed.x + = Aeff a V Ed.y Seffs oks Skjerspenning ok steg τeff aoks := Ieffs za t ss M Ed.x + t Ieffs ss = Ta mm Gjevnføringsspenning ok steg σjeff aoks σeff aoks 3 τeff := + aoks = 68. Vedlegg 1 side 1

94 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Grad av sammenfallende resultat fra RM og håndberegning σjeff aoks = 1.37 σj SP1stegOK spenningsutnyttelse σjeff aoks γ fy M1 = w Spenninger i senter tversnitt Bøyespenning i senter tverrsnitt σeff atp := M Ed.z h a zeff Ieff a + za Ed.x + = Aeff a Skjerspenning i senter tverrsnitt τeff atp := V Ed.y Seffs max Ieffs za t ss M Ed.x + t Ieffs ss = Ta mm Gjevnføringsspenning i senter tverrsnitt σjeff atp σeff atp 3 τeff := + atp = Grad av sammenfallende resultat fra RM og håndberegning σjeff atp = σj SP1senter spenningsutnyttelse σjeff atp γ fy M1 = w Spenninger i underkant steg M Ed.z Bøyespenning uk steg σeff auks := Ieff za zeff a + h a t suf Ed.x + = Aeff a V Ed.y Seffs uks Skjerspenning uk steg τeff auks := Ieffs za t ss M Ed.x + t Ieffs ss = Ta mm Gjevnføringsspenning uk steg σjeff auks σeff auks 3 τeff := + auks = Vedlegg 1 side

95 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Grad av sammenfallende resultat fra RM og håndberegning σjeff auks = 1.34 σj SP1stegUK spenningsutnyttelse σjeff auks γ fy M1 = w Spenninger i underflensens senterlinje Bøyespenning underflens midt σeff au := M Ed.z t suf Ed.x zeff Ieff a + h a + = za Aeff a Bøyespenning M underflens venstre Ed.y beff suf σeff auv := σeff au + = Ieff ya Skjerspenning underflens midt V Ed.z beffs suf t suf τeff au := 4 Ieffs ya t suf + V Ed.y beffs suf t suf 4 Ieffs za t suf M Ed.x + t Ieffs suf = Ta mm Gjevnføringsspenning underflens midt σjeff au σeff au 3 τeff := + au = Gjevnføringsspenning underflens venstre M Ed.x σjeff auv := σeff auv + 3 t Ieffs suf = Ta Grad av sammenfallende resultat bøyespenninger fra RM og håndberegning σeff au = σeff auv σ = SP100uk σ SP100ukv σjeff au = 1.13 σj SP100uk σjeff auv = σj SP100ukv spenningsutnyttelse σjeff au γ fy M1 = f σjeff auv γ fy M1 = f Vedlegg 1 side 3

96 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Bøyespenninger av moment grafisk fremstilt for ståltverrsnitt xeff a := zeff a, zeff a 1mm.. zeff a h a xeff := zeff a, zeff a 1mm.. zeff a h a σeff a ( xeff a ) := M Ed.z xeff Ieff a za xeff a xeff σeff a xeff a, 0 Vedlegg 1 side 4

97 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Kontroll steg over opplager 5 Resistance to shear S E :006+A: Basis stegets slankhet slankhet := d ss t ss avstand mellom tverrstivere ats := 8000mm skjerknekkingskoeffis ient (A3) Ingen bidrag fra langsgående stiver d ss kτ := ats d ss ats if if ats 1 d ss ats < 1 d ss = materialfaktor knyttet til virkning av flens osv. η := 1. η = 1, for s35, s75 og s355 η = 1,05 for s40 og s460 slankhet = 106 < < 7 ε w η 31 ε w η = for uavstivede steg kτ = for avstivede steg Hvis slankheten overskrider verdiene over, så skal steget undersøkes for skjærknekking 5. Design resistance krav flens := 15 ε f t sof > beff sof = 1 Stegets relative slankhet med tverrstiver kun ved opplegg λ_w := 1 d ss = ε w t ss Stegets relative slankhet med mellomliggende tverrstivere λ_w := ε w d ss = kτ t ss 1.6 beffs sof t sof fy f c f := ats t ss h ss fy w Momentkapasitet flenser Redusert av aksialkraft (antar det skal være bjelkens aksialkraft) M f.rd := fy f Ieff zsuf + Ieff zsof 1 γ M1 ( zeff a h a ) Ed.x γ M0 beff sof t sof + beff suf t suf fy f beffs sof t sof fy f M Ed.z Flensenes skjerbidrag V bf.rd := 1 c f γ M1 M f.rd V bf.rd = k Vedlegg 1 side 5

98 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken knekkingsfaktor for skjerknekking av plater myk endestiver (ugunstig) χw η λ_w < 0.83 := if η if λ_w < 1.08 λ_w η 0.83 if ( λ_w 1.08) λ_w χwfy w h ss t ss Bidrag fra steg V bw.rd := 3 γ M1 χw = V bw.rd = k Overkritisk skjerkapasitet η fy w V b.rd := minv bw.rd + V bf.rd, t ss h ss V b.rd = k γ M Bøyning, skjær og aksialkraft S-E :005+A:008 t suf Skjærareal A v := min A a b suf t suf + t ss + r s, η h ss t ss A v = 0.05m fy w A v 3 Plastisk skjerkapasitet V pl.rd := = k γ M0 Reduksjonsfaktor flytegrense for moment og aksial kapasitet pga opptredende skjær. V Ed.y ρ := 1 = V pl.rd Resistance to transverse forces S E :006+A:009 Punktlast fra opplager på steg Lastutbredelse minimum S s := 440mm Kantavstand bjelkeende - lastkant c e := 8m Faktor for lastsittuasjon. For valg av a, b eller c kfr Figure 6.1 k Fa 6 d ss d ss := + k ats Fb := k ats Fc min 6 S s + c e := +, 6 d ss k F := k Fa = Effective loaded length fy f beffs suf d ss m 1 := = m fy w t := 0.0 = 0.5 λ_f >0,5 ss t suf k F L e.s := min E a t ss fy w d ( S s + c e ), ss = 0.54 m Vedlegg 1 side 6

99 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Stegets belastningslengde L y := S s + t suf 1 + m 1 + m if k F = k Fa k F = k Fb m min S s + t suf ( 1 + m 1 + m ) 1 L e.s, L e.s + t suf + + m t, L e.s + t suf m 1 + m suf 0 otherwise L y = 1.437m Kritisk last (linearisert knekklast) F cr := 0.9 k F 3 t ss E a = k d ss if ( k F = k Fc kontroll for bruk av m fy w t ss L y λ_f := = 1.77 λ_f > 0.5 = 1 F cr Knekkingsfaktor χf := min 0.5 λ_f, 1 = 0.8 Stegets effektive belastningslengde L eff := χfl y = m fy w Lastkapasitet på steg F Rd.y := t γ ss L eff = k M1 F Ed.y = k Aksial- og momentkapasitet Momentkapasitet sterk akse elastisk fy f Ieff za M Rd.z := = γ M0 ( zeff a h a ) 4 k m M Ed.z = k m Momentkapasitet svak akse elastisk fy f Ieff ya M Rd.y := = k m M γ M0 beff Ed.y = 0 k m suf fy f Aksialkraftskapasitet Rd.x := Aeff γ a = k Ed.x = k M0 Del 1-1, Plastisk momentkapasitet effektivt flensareal om M senter fult effektivt steg f.rdi redusert av aksialkraft Plastisk momentkapasitet effektivt flensareal + fult effektivt steg redusert av aksialkraft := beff sof t sof fy f 1 h γ ss M0 t + ( sof + t suf ) Ed.x 1 = k m Rd.x 1 M pl.rdi M f.rdi 4 t fy w Ed.x := + ss h ss 1 = k m γ M0 Rd.x Vedlegg 1 side 7

100 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Kapasitetskontroll S E :006+A:009 Utnyttelse aksialkraft Ed.xm krav := = krav 1 = 1 Rd.x Utnyttelse moment M Ed.zm + Ed.xm e y kravm := = kravm 1 = 1 M Rd.z 4.6 Verification med reduksjon for skjær etter del 1-1, kravmv := Ed.x Rd.x ( 1 ρ) M Ed.z + Ed.x e y + = 0.75 M Rd.z 1 ρ kravmv 1 = 1 kravm := Ed.x M Ed.z + Ed.x e y + Rd.x M Rd.z M Ed.y + Ed.x e z + = 0.73 M Rd.y kravm 1 = 1 V Ed.ym 5.5 Verification kravv := = kravv 1 = 1 V b.rd kravv < 0.5 = 0 F Ed.ym 6.6 Verification kravf := =.55 kravf 1 = 0 F Rd.y 7.1 Interaction between shear, bending moment an axial force η_1 := M Ed.z + Ed.x e y = M pl.rdi M f.rdi = η_1 1 = 1 M pl.rdi V Ed.y M f.rdi η_3 := = η_1 > = 0 η_3 1 = 1 V bw.rd M pl.rdi M f.rdi KravI1 := η_1 + 1 ( η_3 1) = 0.74 KravI1 < 1 = 1 M pl.rdi 7. Interaction between F transverse force, Ed.y Ed.x M Ed.z + Ed.x e y kravi := =.834 kravi 1.4 = 0 bending moment and F Rd.y Rd.x M Rd.z axial force kravi = Vedlegg 1 side 8

101 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Flange inducted buckling S-E :005+A:009 Elastisk tverrsnittsutnyttelse k := 0.55 slankhetskrav h ss E a A ss = k = t ss fy f beff suf t suf h ss t ss E a A ss k = 1 fy f beff suf t suf Innfører vertikal stiverplate på begge sider av steg over støtte for å fordele last på platerand da steget alene ikke har kapasitet til dette. 6 Resistance to transverse forces S E :006+A:009 Vertikal stiver minimumsmål på hver side av steg b stiv := 400mm t stiv := 40mm S s = 0.44 m Radius utsparing hjørne steg/flens r stiv := 50mm avstand mellom stivere e stiv := 0mm Horisontal lengde stivere L stiv := b stiv + r stiv + t ss = 915 mm Stiver tverrsnittsareal begge sider A stiv := L stiv t stiv = 0.037m 5.5 Klassifisering av tverrsnitt stiver S-E :005+A:008 Tabell 5. utstikkende plate Tverrsnittsdel som utsettes for trykk, sveist profil c stiv c stiv := b stiv + r stiv 5mm = mm xc stiv := = t stiv ε w stivertverrsnittsklasse := 1 if xc stiv 9 ( ) ( xc stiv > 9) ( ) ( xc stiv > 10) if xc stiv 10 3 if xc stiv 14 4 otherwise stivertverrsnittsklasse = 3 Vedlegg 1 side 9

102 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Stiffeners and detailing S-E :005+A: General Medvirkende bredde av steget for opptak av opplagerkraften Stiver tverrsnittsareal + medvirkende steg Stiver.arealmoment + medvirkende steg Torsjonstreghetsmoment b w := 15 ε w t ss = mm A st := A stiv + b w t ss = 0.04m 1 I stx 1 t 3 1 stiv L stiv 1 b 3 := + w t ss = mm 4 1 I stz 1 t 3 1 ss b w 1 L 3 := + stiv t stiv = mm 4 1 I T.st 3 b 3 t ( stiv + r stiv ) stiv := t stiv = mm 4 b stiv + r stiv 3 1 Polart arealmoment I P.st := 1 t stiv b stiv + r stiv t stiv b stiv + r stiv = mm minimum requirements for transverse stiffeners Stiverens vertikalspenn mellom bjelkeflensenes senter 1 b := h ss + t suf + t sof = 1.65 m t ss Bjelkens trykkareal Aeffs c := be1 ss + be ss + beffs suf t suf = 0.059m Den største av maks aksialkraft bjelke og ekvivalent aksialkraft i platebærerens trykksone Avstand fra stiverens arealsenter til ytterste fiber Ed max 1 := Ed.xm, σeff au Aeffs c = k 1 e maks := b stiv + r stiv + t ss Avstand mellom vertikalstivere a 1 := ats = 8m a := ats = 8m min a 1, a, b Formavvik w 0 := 300 = 5.5 mm Korreksjon plateknekking kontra søyleknekking settes konservativt lik 1 σ cr.c = 1 σ cr.p Ed σ m 1 d ss a 1 a := = Vedlegg 1 side 30

103 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Ekvivalent aksialkraft i stiver for. ordens effekt av aksialkraft og formavvik i steget Total aksialkraft i stiversystem σ m b Δ st := π = k st := F Ed.ym + Δ st = k Kontroll for torsjonsknekking I T.st fy w 5.3 = 0 I P.st E a I T.st fy w = 5.3 = I P.st E a Dersom kontrollen ikke holder må det nærmere analyse til for å forsikre kapasitet mot torsjonsknekking Antar at en tilsvarende reduksjon i tillat spenning for stiver er tilstrekkelig. En kan tenke seg at spenningen i stiveren ikke skal overstige: I T.st E a = I P.st Intermediate transverse stiffeners 3 3 t ss I stz.krav := 1.5 h ss ats h ss t ss if if ats < h ss ats h ss = mm 4 I stz.krav I stz = 1 Stiverens kritiske kraft Elastisk knekklast (Eulerlast) π E a I stx 6 cr.st := ( 0.75 h ss ) = k cr.st st = 1 kreves ikke påvisning av knekking når st 0.04 = 1 cr.st = 0.54m Stiver belastningslengde ok flens L bs.stiv := min S s + t suf, L stiv = m Stegets belastningslengde ok flens L bs.ss := min S s + t suf t stiv, b w Stiver og stegets belastningsareal i overkant under flens A bs := L bs.stiv t stiv + L bs.ss t ss = 0.07m Stiver belastningslengde senter flens = 0.49m L bf.stiv := min S s + t suf, L stiv Vedlegg 1 side 31

104 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Stegets belastningslengde senter flens = m L bf.ss := min S s + t suf t stiv, b w Stiver og stegets belastningsareal i senter under flens A bf := L bf.stiv t stiv + t suf + L bf.ss t ss + t suf = 0.068m 1 Tilleggsutbøyning Δw w b := = mm Δw = 1 cr.st st Maksimal spenning i stiver fra aksiallast og eksentrisitetsmoment σ st.maks := st st w e A bs I stx maks = st 1 cr.st Spenningskontroll med redusert tillat spenning pga torsjonsknekking fy w I T.st E a σ st.maks = 1 σ γ st.maks = 1 M1 I P.st 5.3 Spenningskontroll steg og underflens Vertikal aksialspenning i steg over flens pga opplagerkraft uten stiver σy s := F Ed.y min S s + t suf, b w t ss = 887 Total jevnføringsspenning bunn steg over opplager med bidrag fra maks moment og tilhørende krefter i snittet uten stiver Vertikal aksialspenning i steg og stiver over flens pga opplagerkraft σjeffs s_opplager := σeffs auks + σy s σeffs auks σy s + 3 τeffs auks σy ss := F Ed.y = A bs σjeffs s_opplager = Total jevnføringsspenning bunn steg over opplager med bidrag fra maks moment og tilhørende krefter i snittet med stiver σjeffs ss_opplager := σeffs auks + σy ss σeffs auks σy ss + 3 τeffs auks σjeffs s_opplager = spenningsutnyttelse over opplager Bunn steg uten stiver ueffs s_opplager := σjeffs s_opplager γ fy M1 =.303 w ueffs s_opplager 1 = 0 spenningsutnyttelse over opplager Bunn steg med stiver ueffs ss_opplager := σjeffs ss_opplager γ fy M1 = w ueffs ss_opplager 1 = 1 Vedlegg 1 side 3

105 Tverrsnittskontroll stål Stålbjelke bru Indre støtte Vegard Fossbakken Vertikal bøyespenning i flens pga opplagerkraft σy f := F Ed.y = A bf Total jevnføringsspenning underflens over opplager med bidrag fra maks moment og tilhørende krefter i snittet spenningsutnyttelse over opplager senter underflens σjeffs f_opplager σeffs au + σy f σeffs au σy f 3 τeffs := + au = σjeffs f_opplager ueffs f_opplager := γ fy M1 = f Regner overslagsvis at hele opplagerkraften går i stiver og får følgende ueffs f_opplager 1 = 1 fy w kapasitet stiver begge sider Fsigdstiv y := L bs.stiv t stiv = k γ M1 Kapasitetskontroll F Ed.ym kravfsigstiv := = kravfsigstiv 1 = 1 Fsigdstiv y Bøyningsknekking, stiver S-E :005+A:008 A st fy w relativ slankhet λ_ st := = cr.st Tabell 6.1, Imperfeksjonsfaktor for knekkurve c α st := 0.49 ϕ st := α st λ_ st 0. + λ_ st = Reduksjonsfaktor for relevant knekkform 1 χ st := min, 1 = 1 ϕ st + ϕ st λ_ st fy w Knekkingskapasitet st b.rd := χ st A st = k γ M1 st Utnyttelse av knekkingskapasitet ust b.rd := = ust st b.rd 1 = 1 b.rd Vedlegg 1 side 33