UNIAXIAL BEHAVIOUR. Tensile test Strekk-test AR

Transkript

1 Plasticity Theory 6 UNIAXIA BEHAVIOUR Tensile test Strekk-test Mest vanlige tester for info om material Enkel å utføre Uniform deformasjon: Utsatt for last materialet fastner, konstant volum A =A astning kompenserer for mindre areal spenning øker Til slutt v/: arealreduksjon > økning av last Dette skjer først et sted hvor prøven er noe svakere enn andre steder Videre plastisk deformasjon konsentreres her necking/tynning lokalt Arealreduksjon raskere enn lasten kan øke av fastning kraft/spenning synker inntil brudd, s s U s 3 racture A A Neck Uniform deformation Non-uniform deformation Δ, e AR 6

2 Plasticity Theory 6 Stress and strain measures () Nominal stress (engineering stress) - Ingeniørspenning s = A True stress (Cauchy stress) Sann spenning = A Initial area Current area Nominal strain (engineering strain) - Ingeniørtøyning d d Δ de = e = = = True strain (logarithmic strain) Sann tøyning d d d= = ln = Plastisk inkompressibilitet (antar små elastiske tøyninger) Konstant volum A = A True strain (logarithmic strain) Sann tøyning A = ln = ln A 3 Stress and strain measures () Relation between nominal stress and true stress (based on plastic incompressibility) A Δ = = = = ( + ) A A A A A = s( + e) Relation between nominal strain and true strain Δ = ln = ln + ( e) = ln + 4 True strain is an additive measure/ sann spenning er et additivt mål Specimen with initial length pulled to e = = ln The same specimen is now pulled to e = = ln Total strain e= e+ e = ln = ln + ln = + AR 6

3 Plasticity Theory 6 Stress and strain measures (3) Nominell tøyning gir bare mening for uniform deformasjon sammenheng mellom sanne og nominelle spenninger er bare gyldige inntil begynnende diffuse necking/innsnøring Plastisk inkompressibilitet d da dv = d(a ) = da + A d = = A Etter innsnøring (after necking) A d da da A d= = = ln A = A A A NB Vanligvis er det sann spenning- plastisk tøyningskurve som brukes som input i data-analyser. 5 Nominal vs. true stress-strain curves s, () True stress keeps increasing until failure ( ) = s( + e) s= =e (+ e ) ds ds d d d e d = = e e = = e de d de d + e d e d True ln( + e) = ln + e e = e = (+ e) e= e ds d = = de d s(e) Nominal Max load d = Since is positive, d is also positive, d 6 e, AR 6 3

4 Plasticity Theory 6 Stress-strain relations () p = Ε E p E e p p e = = E 7 Stress-strain relations () Strain decomposition into elastic and plastic parts e p e p = +, =, = E E Stress vs. plastic strain relation p = f( ) Eksempler på spenning-tøyningsfunksjoner udwik relation (power law) = + p n K( ) Voce relation (basis in dislocation mechanics): = + p Q ( exp( C )) 4 True stress [MPa] NB Som nevnt før - Vanligvis er det sann spenningplastisk tøyningskurve som brukes som input i data-analyser. NB Ofte blir stykkevis lineær representasjon (punkter) av sann spenningtøyningskurve brukt i data-analyser. 3 AA73 T test fitted curve.4.8. Plastic strain 8 AR 6 4

5 Plasticity Theory 6 Stress-strain relations () 5 True stress (MPa) 5 5 Voce relation udwig relation (best fit)..4.6 Plastic strain Voce law: Power law: p = + ( exp( )) [N / mm ] p.36 = + 4( ) [N / mm ] 9 Stress-strain relations (3) or fler-aksielle spenningstilstander Ønsker at en spenningsfunksjon også skal gjelde i en tilstand med flere spenningskomponenter. Definerer en effektiv spenning som et skalart spenningsmål som har samme effekt i forhold til flyt som den virkelige fler-aksielle spenningstilstanden e = f(,, 3) Den effektive spenningen defineres sånn at den faller sammen med sann spenning i enakset strekk e = if > and = 3 = von Mises effektivspenning = + + ( ) ( ) ( ) e 3 3 / AR 6 5

6 Plasticity Theory 6 Tensile instability: Diffuse necking () Incremental force =A d= d A+dA Criterion for instability (plastic incompressibility and infinitesimal elastic strains are assumed, i.e. p, e ) d da d = = = d A d d Δ d = d Diffuse necking Tensile instability: Diffuse necking () Picture I Picture VI Picture II Picture VII Picture III Picture VIII Picture IV Picture V Picture IX AR 6 6

7 Plasticity Theory 6 Tensile instability: Diffuse necking (3) 8 II III IV V VI VII VIII Stress s [MPa] 6 4 IX I Strain s [mm/mm] 3 Tensile instability: Diffuse necking (4), d p d d = d d p d Diffuse neck Diffuse necking p Note: It is assumed that the elastic strain is negligible compared with the plastic strain. 4 AR 6 7

8 Plasticity Theory 6 Tensile instability: Diffuse necking (3) Power law p n n = K( ) K d Diffuse necking nk n d n nk K U = n = = n == n K NB The true strain at diffuse necking, U, is called the true uniform strain. 5 Tensile instability: Diffuse necking (3) Voce relation + Q( exp( C )) d Diffuse necking = QCexp( C ) = d = + Q( exp( C )) = + Q Qexp( C ) QCexp( C ) + Qexp( C ) = + Q Qexp( C )(C + ) = + Q + Q exp( C ) = Q(C + ) + Q Q(C+ ) = = C ln U ln Q(C + ) C + Q 6 AR 6 8

9 Plasticity Theory 6 Tensile instability: Diffuse necking (4) 4 True stress (MPa) 3 d = CQexp( C ) d = + Q( exp( C )) Plastic strain Q(+ C) = Q = N / mm, C = U = ln =.7 C + Q Behavior after necking Bridgman analysis () Spenning i lengderetning z er ikke lenger lik effektivspenning e til materialet pga utviklingen av treaksiell spenningstilstand i innsnøringen. ( x og y ) Sann spenning-tøyningskurve vil derfor ikke representere riktig fastningsoppførsel etter innsnøring. Bridgman analyse kan brukes til å estimere effektiv spenning som funksjon av geometri til innsnøringen. Antakelser i Bridgman analyse for aksesymmetrisk prøvestykker (Dieter, 988) Konturen til innsnøringen er tilnærmet ved sirkulær bue. Tverrsnittet forblir sirkulært gjennom testen. von Mises flytekriterium gjelder. Tøyningene er konstante over tverrsnittet i innsnøringen. 8 AR 6 9

10 Plasticity Theory 6 Behavior after necking Bridgman analysis () Z r z Z θ r R r a Stress distribution/ spenningsfordeling d/ z z e 9 a Behavior after necking Bridgman analysis (3) True (plastic) strain in neck (infinitesimal elastic strains are assumed): p A =ln A Effective stress in terms of mean longitudinal stress and neck geometry z e = R a + ln + a R Bridgman s empirical relation for the neck geometry (after Hill, 95): a p p U R = Empirical relation for the neck geometry after eroy et al. (98): a R p p ( U ) =κ where κ. for steel. Measured true stress AR 6

11 Plasticity Theory 6 Behavior after necking Bridgman analysis (4) Stress z = πa e = Y (Bridgeman Bridgman correction) S s = π 4 d Strain Bibliography Bridgman, P.W., 944. Trans Am Soc Met 3, 553. Dieter, G.E., 988. Mechanical Metallurgy. McGraw Hill, Singapore. Hill, R., 95. The mathematical Theory of Plasticity. Oxford University Press, Khan, A.S., Huang, S., 995. Continuum Theory of Plasticity. John Wiley & Sons Inc., New York. e Roy, G., Embury, G.E., Ashby, M.., 98. A model of ductile fracture based on the nucleation and growth of voids. Acta Metallurgica 9, AR 6