UNIVERSITET I BERGEN Det matematisknaturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Eksamen i emnet MAT Lineær algebra September 5 kl 9: : Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetes regler Oppgavesettet er på sider Alle svar skal begrunnes Det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen Betrakt A 6 a b Oppgave 5 b 6 5 For hvilke verdier av a b har systemet Ax b: (i) ingen løsning? (ii) uendelig mange løsninger? (iii) én løsning? Regn ut løsningen av systemet når den eksisterer Finn en basis for Nul A For hvilke verdier av a b er det sant at b Col A? Regn ut [b] B 5 Regn ut determinaten av matrisen 6 5 Gitt vektorene v 6 og underrommet V Span{v v v } Oppgave 5 v 6 5 v 6 5
Vis at B {v v v } er basis for V Begrunn svaret Hva er dimensjonen av V? Gitt vektorer w w w slik at v w w v w w v w +w forklar hvorfor C {w w w } er også en basis for V Finn basisskifte matrisen fra B til C 6 Gitt at x er en vektor i V med koordinater [x] B 5 regn ut [x] C Sjekk om basisen B er ortonormal hvis ikke ortonormalisér den Gitt matrisen Oppgave A 6 Finn alle egenverdiene og egenvektorene til A Er A diagonaliserbar? Hvis ja finn matrisene P og D som diagonaliserer A Gitt basisen B {xx } for vektorrommet P av polynomer av grad to La T : P! P være en lineær transformasjon slik at 5 T () x x T(x) x T(x ) x x Finn standardmatrisen av T Regn ut T (x ) ved å: i) bruke lineariteten av T og uttrikkene for T ()T(x)T(x ); og ii) ved å bruke standardmatrisen (Tips: hva er koordinatene [x ] B?) Hooke s lov sier at lengden L av en streng er en lineær funskjon av kraften F detvilsi L a + bf Tabellen nede viser et eksperiment der ulike vekt (krefter) er hengt på strengen: Vekt (F ) 6 8 Lengde (L) 6 Finn a b som best passer de eksperimentelle data Hva representerer a? Hva er den forventet lengden for F? Oppgave Anta at u v 6 er to vektorer i R n og at de ikke er ortogonale La A uv T (a) Forklar hvorfor ranka (b) Gitt w være en vektor ortogonal til v Vis at w er en egenvektor for A Hva er egenverdien? (c) Finn alle egenverdiene og egenvektorene til A Er A diagonaliserbar? (d) Regn ut A A A Finn en formel for A k og bruk induksjon for å bevise formelen Antonella Zanna MuntheKaas
H Oppqaul Fasit MATRI 5 old :!lh Hillstn#lItH I e RNI R } Ru > Ru ZR ~ ( I I a :L :X l : I I o + + R } Rs Rz i )for b a syshemit har ingmlfsnimg siobn oh to siste likningw er > s Som er inkomputihle K x }o X }o ii ) Syskmrt hair iii ) for @ X b alle Kdonmm er pivot Kdonmr og I } I Y } uenddiy alt mange bdsninger siokn noir ba oht er variable ingen fri haven Ved system baklemgs substitution : tydiglf Za Xi : ax xz } ( Za ) ( lashing erewtydig foroli vihar " fikwt a b ) Uanntt vahg air a b alle Kdonmm er pivot kdonmm owrmrd rank A Fm rang teoremrt : dim Nula trunk A ( n anlwll Kdonmr ) fir vi at dim Nulato ohrmd Nula Siohn rank A dim 6 A :# en basis av 6 A er kolonmm til A Btk/i#ifkb)aazas } dvs
/ Komb avkobnmm # For at b E GIA dvs b b mci Kuhne skins Som tin x at + xzqztxza } og [ b ]Bµj;] til A Med anohe end syskmrt Ae : b min ha ( minst ) en hashing owtskjer noir b ( se pkt iii ) ) " Koorolinalemfb ]pfg} " ) se pkt Kmt : a His :ft*t:iihihi ly iltth" art not ; npl! t DK :L ) Hy / it ) /+ ) ) (+)
red / uavh uavh Mathisen Oppgan@VektoremvvzverKdonmmtilmatnihnAioppgmeobrablbaViharaHmoksutatko6nmmtilAerlinuarhuannH_valgavab der mid ogsci noir abo Siohn oh Spenner ut V og er bin oh er en basis for V dim V ( anlull basis ehmwhr ) # Vi Moi sjekke at x ua x f eks in er bin at c x + sjekke czxztcsw }e ether wed d finne basisskifk matrisn og Bette Kan gjoms pin forskjehige har kun ohn tririelle lashing se at matrinn ikke er singular Vi gjonr oht Sisk siohn vi tmngwbasisskifn Mathisen uansitt M skal mere slik at [ : x ]qpme[ Dp B minter t M a [X]p y dvs ++ owrmud : [ x ]q[ L ytdwz + ]y L [ y ]qtt[r±]qtxs[ I ]y [ [ He [ He Vi hair : B E [ He ] [ [ a ]ee t Heft # ftpowrmomy#:# out ( BM ) / / ;} Lİnc )!!/ ++ er ikke singular obrmwl bilk nl I } er en basis for V
normalinm Ui (f K Stemmer It Ohneem et ehi!h!t :[ Dobbrttsjekk : () It (/ + ) y } : fl ) ( x wt ) + I / xz ) Ki tdz twz Is (Dx + nd + I ) ± } I dvs It µy ++++5 to @VinrativsoVmenav dermal I µ VI For a ortogonahiswir vi Kan ortoyonalisrk vi mht Vi is die ( N B Y vii µ yz ) I le 5 ( k our ) Ii :#) pe/:h: s H Kt fy utility :Httt t Kl tit swtt Hull : fee Fs vekbnm ; ± t :( tk % tk#rshuhitshs6ttfihiets en ortomrmal basis for V er ohrmwl : tried to#ttrskl
For Dll y x ( I I Oppgme anti!! :p ohtlasz ) / "o h Tto Bo to g f } ( p( Sohn matnsen er triangular determinate er proowklot diagonal lkmewhem ) av Eller Kan man broke Kofaktorformihn : " outlaws ) ṗd! / jt% / p ) / ljx! / :( x ) ( n xp Egnnroliem : out ( A it )o > ( Dh tpo ) to ti L ( algebraic mutt his ( ay ) mit ) Egrnuktonm : A t tee#nhll!lkmintirammaj%eayegen amgwue iosmnsn ±nfi µ a Kun en eginnktor µ dvs at owt er kun in egrnuktor assosiert til egennrolien 6 Som how alfrbiaisk multi plisitet at A skd were diagonal mins vi faint at dim ( Nulla )) min vaere ser bar dim ( Nulla )) A er ikke diagonalinrb
kradnatir D D Th ( xy x { ( D X x T ( D T ( x ) x la µ EPZ ± cintcz xtcsix Standard mariner A [ ENBEKD!± Ha [j siohn Tci ) [TlD]p(g x itlyxtfh :# x Pin Sammie mcihn : [ Tamai µ HxDpH;) Regner ut T( ) i ) T ( ) TH ) ( Zx D 6 T +5 lineaeikt art ii ) [ ] s ] [ tin A[x Dp p ; }t ][! ) :# ohrmd TAX () (5) X + ) +5 @ Minsk problem : F i : at 5 F : at 56 > Fi 6 : at 6 bi F8 : a +85 " } [D ;D A " " I : " b " 6++ +6+6+6+ :de#iki:lazikiid Normale highingw ATA ; Atb aiatii
fish t s :D air a ± a represents hngohn or noir F stnngen ( lengohn av Strenge n I hviltilstawl ) F : : L at b 5+8 5 fornnlet lengoh av strenyn hair Fi
Ifo ten In y uavh egennktomr tn uavh klto egenrektorer xn OppgtvTdiruvto@KoonneiavAeravtypeuViobrmrdalleKolonneneermulKfpelavohnfdrsteKoonneDvsatkunohnfdrskKoonmerlinuavhengigohrmolranKAdimGlAlddhdvshhTVoyTuAxuvTwulvIw ) p he owned he er eginrektor til A mid efenreroli t @ EIR " Det finns n i vektorer xi Stikat { Yi ± } er en orthogonal basis for R " ( hrofor? ) der mud W En er h i bin assosiert Siohn ± I Span ±s } A d ddtu ( Ie ) ± obrmidueginvektor av A mid egenwroli teu vi harfvnmt n bin for A A diagnaliserbar Diagonal inning : A P DP P[ he ] D okay ( ganger Itu ) ( d) A :( yy #±ij±( III :(ytu ) ±yt KI ) A xall A A AHA ted ) A :(Itu ) AKT±TA At AA : A ( v IPAlI±5A ( Eu )A
Q Ansatz : AK(E± ) s " A ( A±I ) For Satnn er Sant siohn n hair allmoh ngmtut A?_ He ) A vh" a Antu at Satnn k? at da er Sant gjehhr for ogsai for A H±M viser AH±j He ) A Sant for k [K+ ) ) dermal Satsen er Sant ogsai for Rtl Ah "A AhiA(±T±jK ft±)ka KEI A Rtl : Siden K var hrilkoirlig Satan er Sann for all e K ED