FILTERDESIGN Ukeoppgavene skal leveres som selvstendige arbeider. Det forventes at alle har satt seg inn i instituttets krav til innleverte oppgaver: Norsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/erklaring.pdf Engelsk versjon: http://www.ifi.uio.no/studinf/skjemaer/declaration.doc Krav til godkjenning av innleverte oppgaver er beskrevet i filen: http://www.ifi.uio.no/inf3470/h07/kursmateriell/oppgaver/kravtilgodkjenning.pdf Denne uken er oppgavesettet todelt. Først er det oppgaver om filterdesign, deretter kommer fjorårets eksamen. Totalt er det mer enn 0 poeng på dette oppgavesettet. Det er likevel ikke mulig å oppnå mer enn 0 poeng denne uka. Oppgave Betrakt pol-nullpunktsplottet vist i figuren under. a) Avgjør og begrunn om det representerer et FIR filter. b) Avgjør og begrunn om systemet har lineær fase. a) FIR, b) Linear phase Oppgave (tidl. eks. oppg.) I denne oppgaven skal du designe et enkelt reelt diskret filter som slipper igjennom frekvensen w = π/4 uten demping og stopper frekvensen w = π/. a) Hvilke krav gir dette til filterets frekvensrespons, H(w). b) Bestem filterets systemfunksjon, H(z). c) Hva blir filterets impulsrespons, h(n). a) H(π/4) =, H(π/) = 0 b) H(z) = ( + z ) c) h[n] = [,0,]

Oppgave 3 Vekt:.5 a) Causal, FIR, length N (N is even). h[n] has length N and is right-sided. h[n] 0 for n = 0,...,N jπ N e N k for k = 0,...,N/4 b) Type II filter. τ(ω) = (N )/ c) H d [k] = 0 for k = N/4,...,3N/4 j(π N e k π(n )) N for k = 3N/4 +,...,N d) Largest amplitude error: at each end of the transition band, that is: ω π 3 π N,ω π + 3 e) Expect h[n] to be real and symmetric around M/. h[n] = h [n (N )/] = N π. Symmetry No phase error. N sin π (N/ )(n (N )/) N sin π, n = 0,...,N N (n (N )/)

Oppgave 4 Oppgave 0.8 fra boka a) H(z) = (z e j0.5π )(z e j0.5π ), Type b) H(z) = (z 0.5e j0.5π )(z 0.5e j0.5π )(z e j0.5π )(z e j0.5π )(z + ), Type b) H(z) = (z 0.5e j0.5π )(z 0.5e j0.5π )(z ), Type 4 b) H(z) = (z 0.5e j0.5π )(z 0.5e j0.5π )(z e j0.5π )(z e j0.5π )(z + )(z ), Type 3 Oppgave 5 Oppgave 0.0 fra boka a) h W [n] = {0.,0.5,0.},h C [n] = {0.,0.5,0.},H C = 0. + 0.5z + 0.z b) h W [n] = { 0.07,0.09,0.48,0.48,0.09, 0.07},h C [n] = { 0.07,0.09,0.48,0.48,0.09, 0.07},H C =... c) following similar pattern Oppgave 6 Oppgave 0. fra boka a) F T = F p F s = 0. 0. = 0.. N = C/F T = 3./0. 33 b) F T = F S F p = 0.5 0.5 = 0.5. N = C/F T = 5.7/0.5 46 c) Trans. widths: 4 8 5 and 5. Using the smaller: F T = /5 = 0.08.. Table 0.4 N = C/F T = 3.47/0.08 44. d) Same as above, but bandstop filter odd length: N = 45. Oppgave 7 Oppgave 0.0 fra boka Sampling rates between 30 and 40 khz makes us avoid signal contamination by the aliased spectrum. Choose for example S = 40 khz, Passband edge = 0 khz, passband attenuation = 0. db (minimum loss), stopband edge = 30 khz, minimum stopband attenuation = 40 db (reduction by factor 00) EKSAMEN 008 Oppgave Fourier-transformasjon Vekt: Fourier-transformasjonen til et signal x[n] er gitt som X(Ω) = e jω. Skisser magnituden til Fourier-transformasjonen til signalet. Finn et uttrykk for fasen til Fourier-transformasjonen til signalet. (Det skal ikke plottes!) Husk akser og benevning på plottet. Oppgave Opp- og nedsampling Vekt: Et signal x[n] har Fourier transformasjon X(Ω) som gitt under X(Ω) 0 π/3 π/ π Ω 3

Signalet benyttes som inngangssignal på systemene I og II definert under: I: x[n] 3 w [n] H 0 (z) z [n] y [n] II: x[n] w [n] 3 z [n] H 0 (z) y [n] M betyr nedsampling med faktor M (beholde hvert Mte sampel) og N betyr null-interpolering med faktor N (sette inn N nuller mellom hvert sampel). H 0 (z) er et ideelt lavpassfilter med cut-off frekvens w c = π/3 og forsterkning (gain) lik. For begge systemer, skisser Fourier transformasjonen til signalene w [n], w [n], z [n], z [n], y [n] og y [n]. Husk akser og benevning på alle plott. Oppgave IIR-filtre Vekt: Et kausalt IIR-filter med én, reell pol z p har impulsrespons: h[n] = α n u[n],α > 0 () a) Gitt systemet med impulsrespons h[n] gitt av (), finn systemfunksjonen H(z) med tilhørende ROC og pol. b) Finn systemfunksjonen H (z) med tilhørende ROC, og tegn pol/nullpunkts plott for α = 0.5, for systemet med impulsrespons h [n] = h[n]cos(πn) () c) Finn frekvensresponsen H (Ω) uttrykt ved H(Ω). Beskriv hva slags filtre h[n] og h [n] er hvis 0.5 < α <. d) La oss se på operasjonen i ligning () som et system T { } slik at h [n] = T {h[n]}. Vis at systemet T { } ikke er LTI. Oppgave Sampling Vekt:.5 Vi vet at for at et signal x(t) skal kunne rekonstrueres perfekt fra en sampling x[n] = x(nt s ) = x( n F s ) så må vi ha F s > F max (3) der F max er den høyeste frekvensen i signalet x(t). Hvis ikke dette er tilfredsstilt, vil alle frekvenser f > F s aliases. Vi skal nå se på hva som skjer med frekvensen F s. a) Finn et uttrykk for x[n] gitt x(t) = cos(π00t + π/) og F s = 400 Hz. b) Finn uttrykk x [n] og x [n] gitt x (t) = cos(π00t + π/4), x (t) = cos(π00t) og F s = 400 Hz. c) Vis at for et signal x(t) = Acos(πF s t + φ), uansett valg av parametrene A,φ, så finnes det alltid et annet signal w(t) = Bcos(πF s t) slik at x[n] = w[n] når samplingsraten er lik F s. Beregn B som funksjon av A og φ. Hint: Finn et generelt uttrykk for forholdet mellom x[n] og x[n + ], og bruk dette til å regne ut verdien for B fra de kjente verdiene A, φ. Oppgave MA-filtre Vekt: Et MA-filter av orden K er et kausalt FIR-filter med K koeffisienter, og en impulsrespons gitt ved : h[n] = K K δ[n k] (4) k=0 a) Finn frekvensresponsen H(Ω) til MA-filteret av orden K. b) Finn ved regning hvor mange nullpunkter et MA-filter av orden K har, og hvilke frekvenser de nuller ut. c) Hvilke ordner kan et MA-filter ha hvis det skal nulle ut frekvensen Ω = π P, der P er et heltall. d) Vis at et MA-filter av orden K kan implementeres som et FIR-filter med impulsrespons h FIR [n] i kaskade med et IIR-filter med impulsrespons h IIR [n] der Formulas h FIR [n] = K (δ[n] δ[n K]), h IIR[n] = u[n] (5) 4

Some basic relations: Convolution: The Discrete time Fourier transform (DTFT): The Discrete Fourier transform (DFT): sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ sinα = sinα cosα cosα = cos α sin α sinα + sinβ = sin α + β sinα sinβ = sin α + β cosα + cosβ = cos α + β cosα cosβ = sin α + β cos α + sin α = cosα = (e jα + e jα ) sinα = N a n = n=0 cos α β sin α β cos α β sin α β j (e jα e jα ) { N for a = a N a otherwise ax + bx + c = 0 x ± = b ± b 4ac a y[n] = x[n] h[n] = x[k]h[n k] = x[n k]h[k] = h[n] x[n] k= k= Analysis: X(Ω) = = x(n)e jωn n= π Syntesis: x[n] = X(Ω)e jωn dω π π Analysis: X[k] = Syntesis: x[n] = N N x[n]e jπkn/n, 0 k N n=0 N X[k]e jπkn/n, 0 k N k=0 The z-transform: Analyse: X(z) = x[n]z n n= Expectation and variance { Expectation: E{x(ζ )] µ x = k x k p k x f x (x)dx x(ζ ) discrete Varianse: var[x(ζ )] = σ x = γ () x = E{[x(ζ ) µ x ] } x(ζ ) continuous 5