HØGSKOLEN I NARVIK Institutt for data-, elektro-, og romteknologi Masterstudiet EL/RT Side 1 av 3 STE 6219 Digital signalbehandling Løsningsforslag Tid: Fredag 20.04.2007, kl: 09:00-12:00 Tillatte hjelpemidler: Godkjent programmerbar kalkulator, med tomt minne. Ingen trykte eller håndskrevne hjelpemidler tillatt. Eksamen består av 3 sider (derav 1 side med formler) og 12 oppgaver med totalt 20 deloppgaver. Faglærer: Førsteamanuensis, Dr.ing. Per J. Nicklasson, Tlf. 76 96 64 01/48 29 72 37 Hver deloppgave gir 5 poeng.
Side 2 av 3 Oppgaver 1. Forklar kort følgende begreper (ved bruk av ord og matematiske symboler): a. Lineært system Et system Txn er lineært dersom det tilfredsstiller Tax 1 n bx 2 n atx 1 n btx 2 n. b. Tidsinvariant system Et system Txn er tidsinvariant dersom inngangen xn n 0 gir yn n 0 når xn gir yn, dvs. responsen på en gitt inngang (og dermed systemets egenskaper) er ikke avhengig av tidspunktet for påføring av inngangen. c. Kausalt system Et system Txn er kausalt dersom x 1 n x 2 n, n n 0 gir y 1 n y 2 n for n n 0. Systemet er ikke avhengig av fremtidige inngangsverdier. d. Hukommelsesløst system Et system er hukommelsesløst dersom yn for enhver n ikke avhenger av andre verdier enn inngangen xn for samme verdi av n. 2. Er systemet med impulsresponsen hn 4 n un BIBO-stabilt? BIBO-stabilt vil si at det for xn B n finnes A slik at yn A n, dvs. at en begrenset inngang gir begrenset utgang. Systemet er ikke BIBO-stabilt fordi det ikke finnes noen slik A når n, da 4 n. Kan eventuelt vise at impulsresponsen ikke er absolutt summberbar, eller at polen til systemfunksjonen ligger utenfor enhetsirkelen. 3. Anta at et kausalt tidsinvariant lineært system har systemfunksjon Hz 1 1 5 z1 /1 1 2 z1 1 3 z2 1 1 4 z1 Tegn følgende signalflytgrafer: a. Direkte form I b. Direkte form II
c. Transponert direkte form II 4. Utled den Fourier-transformerte He j til følgen: 1 for 0 n M rn 0 ellers
Hint: Se formelsamlingen. Benytter Xe j n formelen x k 1x N /1x. Vi får k0 5. Et kausalt system har systemfunksjon Hz 1/1 1 4 z1 M xne jn som gir Xe j e jn. For å beregne denne summen benytter vi n0 M11 e j n 1e j M1 /1 e j k0 a. Hva blir konvergensområdet til systemfunksjonen? Systemet har en pol i z 1/4 og er kausalt. Det betyr at konvergensområdet må være utenfor ytterste pol, altså z 1/4. b. Er systemet stabilt? Begrunn svaret. Systemet har alle poler innenfor enhetsirkelen, og er dermed stabilt. c. Eksisterer den Fourier-transformerte av impulsresponsen hn? Begrunn svaret. Ja, konvergensområdet til systemfunksjonen inneholder enhetssirkelen, og dermed eksisterer den Fourier-transformerte av impulsresponsen. 6. Forklar sammenhengen mellom den Fourier-transformerte Xe j av et diskret signal og DFT en Xk av det samme signalet. Xk ene kan anses som jevnt fordelte sampler (i frekvens) av Xe j. 7. Forklar hovedprinsippene for reduksjon av beregningsbehov i FFT-algoritmer. Beregningsbehovet for en ordinær Npunkts DFT er proposjonalt med N 2. Man benytter symmetri og periodisitet av faktoren W kn N e j2kn/n for å redusere beregningsbehovet. Etter anvendelse av symmetrigenskapene, vil beregningsbehovet fortsatt være proporsonalt med N 2. Ved bruk av periodisitetsegenskapen og en suksessiv inndeling av en N-punkts DFT i kortere DFT er, vil man kunne redusere beregningsbehovet slik at det blir proporsjonalt med Nlog 2 N. I hovedsak gir dette to klasser av FFT-algoritmer desimasjon i frekvens og desimasjon i tid, avhengig av om det er følgen av Xk er eller xn er som deles inn i underfølger. 8. Anta at en skal beregne konvolusjonen x 3 n av to diskrete signaler x 1 n (lengde P) og x 2 n (lengde L). Forklar hvordan dette kan gjøres vha. DFT og angi eventuelle forutsetninger som må oppfylles for korrekt resultat. En kan beregne DFT ene X 1 k og X 2 k, multiplisere sammen X 3 k X 1 k X 2 k, og benytte den inverse DFT en for å beregne x 3 n. Forutsetningen for korrekt resultat er at de individuelle DFT ene X 1 k og X 2 k minimum har lengde N LP1. 9. Bergen DFT en til det diskrete signalet xn n. Xk nw kn N W 0 N 1, 0 k, W N e j2/n n0 10. Skisser en typisk designspesifikasjon for et digitalt lavpassfilter. Angi på skissen ulike parametre som eventuelt inngår i spesifikasjonen. a. I spesifikasjonen inngår som oftest tillatt rippel i pass- og stoppbånd 1 og 2, samt angivelse av grensefrekvenser for pass- og stoppbånd p og s.
11. Forklar kort hvilke designmetoder som eksisterer for følgende typer digitale filtre: a. Filtre der kun amplituderesponsen er angitt i designspesifikasjonen som stykkesvis konstant. Filtre med krav til kun amplituderesponsen designes ofte ved hjelp av den bilineære transformasjonen, eller impulsinvariansmetoden. i begge tilfeller er det snakk om å tilpasse analoge filtre til gitte amplitudekrav, og karakteristikkene er som regel ganske enkle. Impulsinvariansmetoden kan ikke anvendes for høypassfiltre grunnet aliasing. Dersom amplitudekrakteristikkene er litt mere kompliserte, kan det være aktuelt å benytte optimale metoder, der søket etter en beste tilpasning foregår iterativt. b. Filtre med krav til lineær fase. Her er det utelukkende snakk om FIR-filtre, og da benytter man normalt enten vindusmetoden eller optimale metoder. 12. Ved frekvensanalyse av signaler oppstår effekter som lekkasje og redusert oppløsning. Forklar hva dette er og hva skyldes. Hint: Multiplikasjon i tid gir konvolusjon i frekvens. Siden signalet yn som analyseres nødvendigvis er av endelig varighet, tilsvarer dette at det opprinnelige signalet xn kuttes av slik at yn wnxn, der wn er en eller annen vindusfunksjon. Multiplikasjon i tid gir konvolusjon i frekvens, slik at den opprinnelige Forurier-transformerte Xe j blir endret i henhold til Ye j Xe j We j d, der We j er den Fourier-transformerte av vindusfunksjonen. Denne har en form som tilsvarer en bred og høy hovedlobe, samt sidelober av varierende bredde og amplitude. Topper og skarpe knekker i Xe j vil bli smurt utover i det beregnede resultatet grunnet effekten av konvolusjonen. En skarp og isolert topp i Xe j vil fremstå som bredere (redusert oppløsning), og adskilte topper i Xe j vil påvirke hverandre (lekkasje), slik at de får endret bredde og amplitude. Den første effekten skyldes i hovedsak bredden av hovedloben, mens årsaken til den andre effekten (i alla fall når de adskilte toppene ligger langt fra hverandre) i hovedsak er betinget av den relative forskjellen i amplitude mellom hoved- og sidelobene.
Laplace-transformasjonen Fourier-transformasjonen Sum av geometrisk rekke DFS Konvolusjon Den ensidige Z-transformasjon Den bilineære transformasjonen Begynnelsesverditeoremet Formelsamling L 1 1/s n t n1 /n1!, (n 1, 2,3,... L 1 1/sa n t n1 e at /n 1!, n 1,2, 3,... L 1 1/s 2 2 1/ sint Xe j n xne jn x k 1x N /1x k0 X k xnw kn N, xn 1 X kw kn N N,W N e j2/n n0 k0 xn yn xkyn k k Xz xnz n n0 Zun 1/1 z 1, z 1 Zun 1 1/1 z 1, z 1 Zn m z m Za n un 1/1 az 1, z a Za n un 1 1/1 az 1, z a Zna n un az 1 /1az 1 2, z a Zna n un1 az 1 /1az 1 2, z a z 1 T/2s/1T/2s xn 0, n 0 x0 lim z Xz