eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - Oppgae Vi kaller lengden a en runde for Faren il joggerne er da: A = m/s = m/s 6 6 + 48 48 = m/s = m/s 7 6 + 4 Når de møes, ar de løp like lenge Da er + 5 m 5 m = = A Seer inn for A og, og dropper beneninger for enkeles skyld: + 5 5 = 48( + 5) = 4( 5) 48 4 48+ 4 = 4 6 4 = 4 = 75 m Oppgae : a) x = 8 a = 4 x = = egger en akse langs skråplane med posii rening nedoer og nullpunk i skråplanes øerse punk Da er x = m, x = 8m, = m/s, og a = 4 m/s Seer opp beegelseslikningene for konsan akselerasjon, og merker a kjene sørrelser: x = x + + a, = + a Finner førs a den førse likningen (ser bor fra beneninger): 8 = + + 4 = 64 =± 8 Vi kan kun bruke den posiie erdien, slik a = 8s Da er = m/s + 4 m/s 8s = m/s b) x = 8 a = 4 = x = x = x + + a, = + a øser førs a den førse likningen, og får: 8m = m + s + 4 m/s s Nå er de mes naurlig å legge en ny akse med nullpunk neders på skråplane og posii rening oppoer Da er x = m og akselerasjonen a = 4 m/s I opp-punke er x = 8m Da blir beegelseslikningene: 8m m/s s 464m/s = + s = Dereer blir = + a = 464 m/s + 4 m/s s = 6 m/s
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - c) Kaller parikkelen som sendes opp for A og parikkelen som slippes på oppen for ruker aksen fra del a) a oppgaen egge pariklene ar samme akselerasjon a = 4 m/s Ellers gjelder: For A: x A = 8m, A = 5 m/s xa = xa + A + a For : x = m, = m/s x = x + + a Når pariklene passerer (eller reffer) erandre ar de samme posisjon slik a xa = x Seer inn, dropper beneninger og får: x + + a = x + + a A A 8m 8 m 5 m/s = + = = 56s 5 m/s Da er posisjonen x A = x = a = 4 m/s 56s = m under oppen a skråplane c) Nå er sarfaren A ukjen, men i e a xa = x = 8m = 64m 64 m x = 64 m a = 64 m = = s 4 m/s =± 566s Vi bruker den posiie erdien, og får xa = xa + A + a 64 m = 8m + A 566s + 4 m/s s ( 64 8 64) m A = = 6 m/s 566s Oppgae : Vi må dele opp -meeren i o srekninger: En srekning x = 5m som ilbakelegges på en id med konsan akselerasjon a Slufaren eer denne srekningen er En srekning x = 75m som ilbakelegges på en id = s med konsan far lik, som ar slufaren fra sarsrekningen Vi kan nå see opp disse likningene: For den førse srekningen der sarfaren er lik null: x = a, = a = a For den sise srekningen: x = = ( s ) Vi ar nå likninger med ukjene Vi sarer med å see inn for x, sam eliminere a: 5m = = 5 m Så seer i inn for x : 75m = ( s ) = ( s ) 5 m ( s ) = 5m 5m = = 5m/s s
Oppgae 4: = e e Fysikk for ingeniører Klassisk mekanikk eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - d a( ) = = e + e dx x ( ) = dx = ( ) = ( e e ) [ x] = e + e x x = e + e + x= e e + = e Oppgae 5: ( ) = 9, d( ) a) a( ) = = 9 = Faren er sørs når d( ) = = = = 6 Vi ser direke a =, som ikke kan ære maksimumserdi Faren er da sørs når = 6 Da er = ( 6) = 6 6 = b) max 9 dx 4 = x( ) = ( τ) dτ = ( τ 9τ ) dτ = 6 dx( ) x( ) er sørs når = ( ) =, ds når 9 = = = 9 Siden parikkelen sarer i origo, må asanden ære sørs når = 9 4 4 Da er x = x( 9) = 9 9 = max 6 4 Oppgae 6: = ( + ) a) ds s s = ds = = [ s] = ( + ) ( ) + + + s = = = + + + bi) A ar sørre sarfar enn, og asanden mellom dem il øke så lenge A ar sørre far enn Men A's far aar ele iden Alså il A ære lengs foran når A og ar like sor far Da er: ( + ) = 4 + = 4 + =± = = (Den negaie løsningen kan ikke brukes) Når i ar med a måles i sekund, blir = s
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - 4 xa = s = + x = = bii) Vi ar allerede is a Siden ar konsan far, er 4 når igjen A når xa( ) = x( ) = 4 + = + = 4 = = Når i ar med a måles i sekund, blir = s c) Dersom A så i skal nå igjen, må de a beege seg like lang når de ar samme far Fra b) e i a dee skjer når = Da befinner A seg i posisjonen xa = = + Siden ar få e forsprang på l, il da befinner seg da i posisjonen x = l + 4 = l + 4 A ar så i igjen dersom x = x = l + l = = A 4 4 4 Her må l måles i meer, mens må måles i m/s Den ilsynelaende feilen i benening skyldes a undereis er mulipliser med sekund, noe som ikke ises i slusare Oppgae 7: 6,9 m m y 6,9 Vi legger e koordinasysem med origo på bakken m under de punke der kula søes u, og med reninger som angi på figuren Da blir kulas posisjon gi ed r x x = y = y + y g A geomerien ser i a x = cos69 = 8, = sin 69 = 6 y x Ide kula reffer bakken er r m 8 = m = m + 6 49 m/s A den øerse likningen får i nå m 8 = m = = 5 m 8 Seer dee inn i den nederse likningen, og får m m = m + 6 5 m 49 m/s = = 4s 49 m/s
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - 5 Da blir = 4s = 5s slik a 5 m = 5 m = = m/s 5s Oppgae 8: y θ x Seer opp beegelseslikningene for e slik kas egger origo i kulas sarpunk, med x-akse orisonal og y-akse re oppoer: x x + x m + cosθ r = y = = y + y g m + sinθ g x cos θ = = y sinθ g a) Når kula er i si øyese punk, er = sinθ g = y = ( sinθ ) = ( 5 m/s sin 5 ) = 9s g 98m/s Da er y = = sinθ g = 5 m/s sin 5 9s 98m/s 9s = 49 m max b) Kula reffer eggen en id eer a den er sku u x = = cosθ m = = = 488s cosθ 5 m/s cos 5 Da er y = = sinθ g = 5 m/s sin 5 488s 98m/s 488s = m c) Når i skal finne den sarinkelen θ som fører il a kula reffer øyes opp på eggen, må i førs finne y som funksjon a θ Vi må da sare med å eliminere iden De gjør i ed jelp a likningen for x som i e er lik lengden ide kula reffer eggen: x = = cosθ = cosθ Dee sees inn i likningen for y:
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - 6 g sinθ sinθ an θ cos cos cos y = g = g = θ θ θ Derierer med ensyn på θ (og benyer a = ( cosθ ) sam kjerneregel): cos θ dy g g = ( )( cosθ) ( sinθ) = anθ dθ cos θ cos θ Vi får sørs øyde når d g = anθ = dθ ( 5 m/s) anθ = = = 74 θ = 59 g 98m/s m Da er g ( 98m/s )( m ) ymax = anθ = ( m ) an 59 = 489 m cos θ ( 5 m/s ) cos 59 Oppgae 9: a) Sarasigeen il kule A er cos 6 A = sin 6 = Da blir ra ( ) = ra + A+ a = + + = g g A ( ) = A + a = + = g g Sarasigeen il kule er = Da blir r ( ) = r + + a = + + = g g g g = + a = + = b) Kulene reffer erandre når ra = r = g g Vi merker oss a for alle erdier a er xa = x Vi finner reff-idspunke ed å løse likningen
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - 7 ya = y g = g = = Da blir rt = r g = = g ( ) 6 Vi kunne også benye a = T A Når y =, får i a T g g g 6 6 = = = Med denne sarfaren reffes kulene når = = = g g r r, men de ser li mer kompliser u Da ar kule A asigeen g g A = g = = g g g g Hasigesekoren er orisonal, slik a A er på oppen a kasbanen Oppgae : a) Seinenes posisjon er gi ed x cosθ ( m/s ) r = y = sinθ g = ( m/s ) ( m/s ) ( 5 m/s ) = ( 5 m/s ) ( 5m/s ) åebru ar gi ed likningen y = 5 x Når seinen reffer låebrua, må både x og y passe i likningen for låebrua Seer opp den algebraiske likningen som dee fører il: y = 5 x 5 5 = 5 5 + = ± 4 ± 99 6 = = = 6 Her er de den laese -erdien i skal bruke (den øyese angir når seinen ille ruffe låebrua på ei ned dersom den adde gå gjennom låebrua) Vi får nå x = 5 m/s = 5 m/s 6s = m y = 5 x = 5m m = 45 m (Vi kunne også sa inn i urykke for r ( ), men de gir li mer regning) b) Unnlaer å see inn for Da blir:
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - 8 x cosθ r = y = = sinθ g g Seer inn i likningen for låebrua: y = 5 x 5 = 5 5 + + 5= 4 6 ± 46 = For å få løsning, må i a noe posii under roegne: 46 8 896 m/s Oppgae : egger origo i uskyningspunke I alle deloppgaene er kulas posisjon gi ed ˆ x cosθ 6 r = g j y = sinθ = g 8 g der jeg ar sa inn allerdiene for sinθ og cosθ 5m a) Kulas reffpunk på muren er gi ed Seer inn = m/s, og får a 6 m/s 5 m = 8 m/s g A likningen for x-reningen får i nå 5m 6 m/s = 5 m = 8s 6 m/s Seer dee inn i likningen for y-reningen: 8m/s 8s 98m/s ( 8 s ) = = 6m x b) Kulas reffpunk i bakken er nå gi ed x Seer inn = m/s, og får a 6 m/s x 8 m/s g = x ikningen for x-reningen gir nå x = 6 m/s, som sees inn i likningen for y-reningen: 8 m/s g = 6 m/s 8 m/s m/s = g 5 m/s = g Denne likningen ar de o løsningene = (som er sar-idspunke) og 5 m/s ms 5 m/s = g = = = s g 98m/s Da gir likningen for x-reningen
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - 9 x = 6 m/s s 6 m Til slu gir dee y = x = 6m = 6m x c) Dersom måsen ar sarposisjonen r = 8m ide kula skyes u, er måsens posisjon gi ed xm x 5 m/s x + 5 m/s rm = r + M = + = y M 8m m/s 8m mens kulas posisjon er gi ed x 6 5m/s y = 8 g = m/s g der jeg ar sa inn = 5m/s Kula reffer måsen når x + 5 m/s 5m/s 8m = m/s g A likningen for y-reningen får i (når i ser bor fra benening) 8 = 98 495 + 8 = øser denne andregradslikningen: ± 4 495 8 ± 559 = 45s = = 495 98 = 6s Her er iden før kula kommer en øyde = 8m oer den flae marka på ei opp, mens er iden da kula passerer samme øyde på ei ned Vi benyer bare i resen a regningene Vi finner x a likningen for x-reningen: x + 5 m/s = 5m/s x = 5m/s 5 m/s = m/s 45s = 45m Da blir reffpunkes x-erdi x = 5m/s 45s = 68m Oppgae : a) 4 y a b) = ( + ) + ( 6 + 9) r i j dr = = ( + 6) i+ ( + 9) j d a= = ( 6 + 6) i+ ( 6 ) j 4 x c) Når =, blir = ( + 6 ) i+ ( + 9) j = i+ j a= 6 + 6 i+ 6 j= i 6 j
c) Fysikk for ingeniører Klassisk mekanikk eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - Vi ser a a sår inkelre på når = fordi a = i + j i 6j = + 6= Vi e a når skalarproduke a o ekorer er lik null, sår ekorene inkelre på erandre Vi ser a da er r = + i+ 6 + 9 j= i+ 4 j slik a parikkelen befinner seg i punke (, 4 ) På figuren er egne inn med samme lengdeeneer som r, mens a er egne inn med alparen så sore lengdeeneer a T a N a Generel kan akselerasjonsekoren a dekomponeres i en komponen a N inklere på banen og en komponen a T langs banen, der a T sørger for a endrer sørrelse mens a N sørger for a farsekoren endrer rening Mer presis er d a T = der = Når a sår inkelre på, og i e a er angen il banen, beyr de a d a T = = slik a ar enen lokal maksimum eller lokal minimum c) a og sår inkelre på erandre dersom ˆ ˆ ˆ a = 6 + 6 i+ 6 j + 6 i+ + 9 ˆj = ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 6 + 6 + 6 + 6 + 9 = 6 + 6 4+ = 8 + 8 = 8 + = = = = De ilørende punkene blir: = : x = + =, = : x = + = 4, y = 6 + 9 = 4 y = 6 + 9 = = : 7 x = + =, 8 7 6 9 8 y = + =