TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 1 av 8 Eksamen FY1005/TFY4165 Termisk fysikk kl 15.00-19.00 torsdag 6. juni 2013 Ogave 1. Ti flervalgsogaver. (Poeng: 2 r ogave) a. T arme tilføres et rent stoff i en lukket beholder. Tilført varme r tidsenhet er konstant. Figuren viser hvordan stoffets temeratur T endrer seg med tiden. Hva er forholdet mellom stoffets smeltevarme L s og stoffets fordamningsvarme L f? t A L s /L f = 0.33 B L s /L f = 0.60 C L s /L f = 1.00 D L s /L f = 1.67 b. a Figuren viser en reversibel kretsrosess der arbeidssubstansen er en gass. Hva er netto arbeid som utføres i kretsrosessen? d b c A Null. B Arealet omsluttet av kurven abcda. C Arealet under kurven abc. D Arealet under kurven ab minus arealet under kurven dc. c. edrørende ligningen Q = U +W, hvilken åstand er feil? A Ligningen uttrykker energibevarelse. B W er arbeidet gjort av systemet. C Størrelsen Q kan være både ositiv og negativ. D Mens Q er en rosessvariabel, er både U og W tilstandsvariable. d. Hvilken åstand om ulike termodynamiske rosesser er feil? A I en isentroisk rosess er systemets indre energi konstant. B I en isobar rosess er trykket konstant. C I en adiabatisk rosess tilføres systemet ikke varme. D I en isoterm rosess er temeraturen konstant. e. I en gitt mengde ideell gass som fyller en beholder med volum, er trykket og midlere molekylfart v. Hvis volum og trykk endres til hhv 2 og 2, hva blir da midlere molekylfart? A 4v B 2v C v D v/4
TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 2 av 8 f. Hva skjer med molekylenes midlere kinetiske energi når en ideell gass utvider seg ved konstant trykk? A Den øker. B Den endrer seg ikke. C Den minker. D Den kan øke eller minke, men flere olysninger trengs for å avgjøre hva som skjer. g. a b Figuren viser en kretsrosess for en ideell gass, bestående av en isobar, en isokor og en adiabat. Ranger temeratureneia, bog c. c A T b > T a = T c. B T c > T b > T a. C T b > T a > T c. D T c > T a > T b. h. 1 4 2 3 Med notasjonen g = gass, v = væske og f = fast stoff, hvilke faser otrer i koeksistens i de ulike områdene? A 1 = v + f, 2 = g + v, 3 = g + f B 1 = g + v, 2 = g + f, 3 = v + f C 1 = g + f, 2 = v + f, 3 = g + v D 1 = g + f, 2 = g + v, 3 = v + f i. Hva kalles unktet merket 4 i figuren i ogave h? A Kritisk unkt. B Trielunkt. C Kokeunkt. D Smelteunkt. j. 3 1 2 T Figuren viser koeksistenskurver i et T-diagram. Hvilke rosesser foregår i tilstandene 1, 2 og 3? A 1 = fordamning, 2 = smelting, 3 = sublimasjon B 1 = sublimasjon, 2 = fordamning, 3 = smelting C 1 = smelting, 2 = sublimasjon, 3 = fordamning D 1 = smelting, 2 = fordamning, 3 = sublimasjon
TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 3 av 8 Ogave 2. Kretsrosess. (Poeng: 5+3+4+8) α 0 0 1 2 4 3 0 α 0 Figuren viser en kretsrosess som består av to isobarer og to isokorer. Arbeidssubstansen er en toatomig ideell gass med N molekyler, og α er en ositiv konstant, større enn 1. Trykket 0 og volumet 0 kan anses som kjent. a. Bruk det klassiske ekviartisjonsrinsiet til å begrunne at C = 5Nk/2 omkring romtemeratur. Hva er C omkring romtemeratur? Hva er C ved riktig høye temeraturer? Enn ved riktig lave temeraturer? Begrunn dine svar. b. Hva er arbeidet W som gassen utfører å sine omgivelser r syklus? c. Bestem temeraturene T j (j = 1,2,3,4) i de fire avmerkede tilstandene i figuren. d. Bestem kretsrosessens virkningsgrad η(α) = W/Q inn, der Q inn er varmen som tilføres gassen r syklus. Anta at hele syklusen foregår omkring romtemeratur, slik at C og C begge er konstante. Ogave 3. armeledning i gass med sylindersymmetri. (Poeng: 10+5) r 2 κ Τ 1 Τ 2 r 1 En fortynnet gass med atomer ( enatomige molekyler ) fyller rommet mellom en indre sylinder med radius r 1 og et ytre sylinderskall med radius r 2, begge med så stor lengde L at vi kan se bort fra randeffekter og betrakte systemet som sylindersymmetrisk. Atomene har masse m og kan betraktes som harde kuler med radius a. Figuren til venstre viser et tverrsnitt av systemet. a. Anta at atomenes midlere fri veilengde λ er liten sammenlignet med avstanden r 2 r 1 mellom indre og ytre sylinder. Da er gassens varmeledningsevne uavhengig av artikkeltettheten n = N/, og gitt ved κ(t) = β T, med β = 2c k/(3σ πm). Anta stasjonære forhold, med konstant temeratur T1 å indre sylinder og konstant temeratur T 2 < T 1 ved ytre sylinderskall, og bestem varmestrømmen r lengdeenhet Q/L i den fortynnede gassen. (Tis: Bruk Fouriers lov og uttrykk svaret ved koeffisienten β samt de gitte temeraturene T 1 og T 2 og radiene r 1 og r 2. Med sylindersymmetri er T = ˆr dt/dr. Merk at κ ikke er konstant men avhenger av T. i ser bort fra varmeoverføring ga stråling.)
TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 4 av 8 b. Anta at gassen er argon, med m = 40u og a = 0.71 Å, at indre sylinder har radius 3.5 cm og ytre sylinderskall har radius 4.0 cm, og at T 1 = 100 C (kokende vann) og T 2 = 20 C (romtemeratur). Regn ut tallverdi for varmestrømmen r lengdeenhet, Q/L. Rund av til heltallig verdi i enheten W/m. Ogave 4. System med tre ekvidistante energinivåer. (Poeng: 5+5) 3E 0 E 0 2E 0 E 0 E 0 Et system med ikke-vekselvirkende artikler er i termisk likevekt med et varmereservoar som har temeratur T. En gitt artikkel befinner seg i en av tre mulige tilstander, og da med energi E j = je 0, der j = 1,2,3 nummererer de tre mulige tilstandene. E 0 er en konstant som angir energiforskjellen mellom nabonivåer, dvs mellom nivå 1 og 2 og mellom nivå 2 og 3. Det er ingen begrensning å antall artikler som kan befinne seg i en gitt energitilstand. a. Bestem sannsynlighetene π j (j = 1,2,3) for at en gitt artikkel befinner seg i tilstand j med energi E j. Kontroller at verdien av 3 j=1 π j er som forventet. Hva blir de ulike π j i grensene kt E 0 (dvs T 0) og kt E 0 (dvs T )? b. Bestem midlere energi r artikkel, E. Hva blir E i grensene kt E 0 (T 0) og kt E 0 (T )? Ogave 5. Helmholtz fri energi. (Poeng: 5) Naturlige variable for Helmholtz fri energi F er T og. is dette ved å uttrykke df ved dt og d, og bestem dermed ( F/ T) og ( F/ ) T. Utled også Maxwell-relasjonen ( / T) = ( S/ ) T. (Tis: Benytt den termodynamiske identitet, med konstant artikkeltall N.)
TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 5 av 8 Ogave 6. Damtrykk. (Poeng: 4+8+8) Figuren viser målte molare fordamningsvarmer som funksjon av temeraturen, l f (T) (kj/mol), for vann og tre andre stoffer. i skal bruke kurven for vann ( Water ) og Clausius-Claeyrons ligning til å beregne metningstrykket for vanndam, (T), heretter kalt damtrykket. Av figuren ser vi at en lineær tilnærmelse, l f (T) = α βt, vil gi brukbar tilasning til den målte fordamningsvarmen i temeraturområdet 280 K < T < 440 K, med l f (280) = 45 kj/mol og l f (440) = 37 kj/mol. a. Bestem koeffisientene α og β i den lineære tilnærmelsen for l f (T). Angi enheter. b. Finn et uttrykk for damtrykket (T), med utgangsunkt i Clausius-Claeyrons ligning, som beskriver helningen til damtrykk-kurven, dvs d/dt. Bruk vannets trielunkt som referanse, dvs 0 = 611 Pa ved T 0 = 273.16 K, og bruk den lineære tilnærmelsen for vannets molare fordamningsvarme, slik at (T) uttrykkes ved 0, T 0, α, β, R (gasskonstanten), og T. Anta at = g v g, og bruk ideell gass tilstandsligning for gassvolumet g (,T). c. Den lineære tilnærmelsen for l f (T) blir gradvis dårligere for temeraturer over 440 K, men funksjonen l f (T) = l 0 f ( 1 T T c ) 1/3, med l 0 f = 54 kj/mol og T c = 647 K, viser seg å beskrive den målte fordamningsvarmen ganske bra helt o til det kritiske unkt (se figuren til høyre). is hvordan damtrykket (T) nå kan beregnes numerisk med utgangsunkt i Clausius-Claeyrons ligning, ogmedtrielunktet(t 0, 0 )somstartverdiforenenkel iterativ metode. Bruk de samme tilnærmelsene for som i unkt b. (Tis: Det er ikke nødvendig å skrive et rogram, men detskalframgåav besvarelsenhvordan(t 0 + T)bestemmesfra (T 0 ) = 0, og mer generelt hvordan [T 0 +(j+1) T] bestemmes fra [T 0 +j T]. Hvorfor blir tilnærmelsen g dårlig når vi nærmer oss det kritiske unkt? Molar fordamningsvarme (kj/mol) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 Lineær modell 54(1 T/647) 1/3 0 250 300 350 400 450 500 550 600 650 Temeratur (K)
TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 6 av 8 FORMLER OG UTTRYKK. Formlenes gyldighetsområde og symbolenes betydning antas å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. ektorer med fete tyer. Utvidelseskoeffisienter, trykk-koeffisient, isoterm komressibilitet: α L = 1 L ( ) L T α = 1 ( ) T α = 1 ( ) T κ T = 1 ( ) T Syklisk regel: Første hovedsetning: armekaasitet: Termodynamiske otensialer: H = U + ( ) x y z ( ) y z x dq = du + dw C = dq dt ( ) C C = T T ( ) z = 1 x y ( ). T F = U TS G = H TS G = j µ j N j Den termodynamiske identitet: TdS = du +d j µ j dn j Ideell gass tilstandsligning: van der Waals tilstandsligning: Adiabatisk rosess: Joule-Thomson-koeffisienten: PCH 4.18: irkningsgrad for varmekraftmaskin: irkningsgrad for Carnot-maskin: = NkT = nrt = NkT Nb an2 2 µ JT = ( ) U T dq = 0 = T ( ) T H ( ) T η = W Q inn η C = 1 T 1 T 2
TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 7 av 8 Maxwells hastighetsfordeling: g(v x ) = Gauss-integraler: ( ) m 1/2 ( ) e mv2 x m 3/2 /2kT F(v) = e mv2 /2kT 2πkT 2πkT I 2 (α) = I 0 (α) = e αx2 dx = π α x 2 e αx2 dx = d dα I 0(α) etc ( ) m 3/2 f(v) = 4π v 2 e mv2 /2kT 2πkT Det klassiske ekviartisjonsrinsiet: Hver frihetsgrad som inngår kvadratisk i energifunksjonen E bidrar med kt/2 til midlere energi. Partisjonsfunksjon: Z = j e E j/kt = e βf (β = 1/kT) Kjøleska, virkningsgrad (effektfaktor): armeume, virkningsgrad (effektfaktor): Entroi og Clausius ulikhet: Boltzmanns rinsi: Stirlings formel: Eksergi: Kjemisk otensial: Ideell blanding: Clausius-Claeyrons ligning: Strålingshulrom, frekvensfordeling: Stefan-Boltzmanns lov: ds = dq rev T ε K = Q ut W ε = Q inn W ds = 0 S = klnw dq T 0 N! = 2πNN N e N (N ) W max = G med G = U T 0 S + 0 S mix = k j µ j = ( ) G N j N j lnx j d dt = S,T,N i j µ j = µ 0 j +kt lnx j du df = 8πh c 3 f 3 ex(hf/kt) 1 I(T) = c 4 u(t) = σt4 (σ = 2π 5 k 4 /15h 3 c 2 )
TFY4165/FY1005 6. juni 2013 Side 8 av 8 Fouriers lov: armeledningsligningen: Ficks lov: Diffusjonsligningen: U-verdi: Midlere fri veilengde, fortynnet gass: armeledningsevne, fortynnet gass: Diffusjonskonstant, fortynnet gass: Fysiske konstanter: j = κ T ; j = Q/A T t = D T 2 T j = D n n t = D 2 n j = U T λ = 1 2nσ κ = 2c 3σ D = κ nc kt πm k = 1.38 10 23 J/K R = 8.314 J/molK N A = 6.02 10 23 mol 1 h = 6.63 10 34 Js e = 1.60 10 19 C m e = 9.11 10 31 kg u = 1.66 10 27 kg c = 3.00 10 8 m/s σ = 5.67 10 8 W/m 2 K 4 Omregningsfaktorer: 1 e = 1.60 10 19 J 1 Å = 10 10 m 1 cal = 4.184 J 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = 1.013 10 5 Pa GOD SOMMER!