ECON3610 Samfunnsøkonomisk lønnsomhet og økonomisk politikk Forelesning 5 Diderik Lund Økonomisk institutt Universitetet i Oslo 23. september 2011 Vil først se nærmere på de siste sidene fra forelesning 4, S&V s. 109 114 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 1 / 20
Tema for dagens forelesning Generell likevektsmodell med flere konsumenter (S&V kap. 3) I dag: Kriterier for effektivitet Produksjonseffektivitet Bytteeffektivitet (bytte av varer mellom konsumentene) Sammensetningseffektivitet (der sammensetning betyr sammensetning av produksjonen, hvor mye skal produseres av hver vare) Neste uke: Frikonkurranselikevekt gir effektivitet under visse forutsetninger Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 2 / 20
Oversikt over økonomien i S&V kap. 3 p i er pris på konsumvare i, X i = x i1 + x i2, i = 1, 2; q er pris på kapital, K = K 1 + K 2 ; w er pris på arbeidskraft, N = N 1 + N 2 Husholdn. 1 Husholdn. 2 Bedrift 1 Bedrift 2 Preferanser & teknologi U 1 (x 11, x 21 ) U 2 (x 12, x 22 ) X 1 = F 1 (N 1, K 1 ) X 2 = F 2 (N 2, K 2 ) Ressurser N K Budsjett p 1 x 11 + p 2 x 21 p 1 x 12 + p 2 x 22 π 1 = π 2 = = R 1 = wn = R 2 = p 1 F 1 (N 1, K 1 ) p 2 F 2 (N 2, K 2 ) π 1 + π 2 + qk wn 1 qk 1 wn 2 qk 2 Leveranser: til hush. 1 x 11 (p 1, p 2, R 1 ) x 21 (p 1, p 2, R 1 ) til hush. 2 x 12 (p 1, p 2, R 2 ) x 22 (p 1, p 2, R 2 ) til bedr. 1 N 1 (p 1, w, q) K 1 (p 1, w, q) til bedr. 2 N 2 (p 2, w, q) K 2 (p 2, w, q) Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 3 / 20
Husholdningssektoren To husholdninger; hhv. arbeidere og kapitalister Denne inndelingen er unødvendig for hovedresultatene Kunne ha modell der begge eier både arbeidskraft og kapital Husholdning 1 arbeider en gitt arbeidstid N, uavh. av lønn (forenkling) Husholdning 2 eier kapital K, men ingen arbeidskraft Husholdning j har nyttefunksjon U j (x 1j, x 2j ) for j = 1, 2 x ij er konsum av vare i for husholdning j for i = 1, 2; j = 1, 2 I markedsøkonomien: Oppfatter prisene p1, p 2, w, q som eksogene; maksimerer nytten Etterspørsel xij (p 1, p 2, R j ) for i = 1, 2; j = 1, 2; kan skrives x ij ( p 1 Budsjettbetingelser for husholdning 1: p 1 x 11 + p 2 x 21 = R 1 = wn for husholdning 2: p 1 x 12 + p 2 x 22 = R 2 = π 1 + π 2 + qk p 2, R j p 2 ) der R j er inntekt Kapitalinntekt er delvis en markedsbestemt pris q, delvis en residualt bestemt profitt i hver bedrift, π 1 og π 2 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 4 / 20
Privat næringsliv To privateide bedrifter i modellen, i = 1, 2 Produserer konsumvarer ved hjelp av arbeidskraft og kapital, X i = F i (N i, K i ) X i = x i1 + x i1 ; alt konsumeres av husholdningene I markedsøkonomien: Oppfatter prisene p1, p 2, w, q som eksogene; maksimerer profitt π i = p i F i (N i, K i ) wn i qk i Faktoretterspørsel Ni (p i, w, q) og K i (p i, w, q), kan skrives Ñi( p i, w ) og q q K i ( p i, w ) q q Tilbud Xi (p i, w, q), kan skrives X i ( p i, w ) q q Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 5 / 20
Optimal ressursallokering, S&V avsn. 3.2 3.3 Eksogene variabler er N, K En allokering er en vektor (N 1, N 2, K 2, K 2, X 1, X 2, x 11, x 21, x 12, x 22 ) Normalt vil ti likninger være nødvendige for å gi løsningen Seks av likningene har vi allerede; de er gitt nedenfor Disse definerer tillatte allokeringer, det som er fysisk mulig å få til Ytterligere fire likninger finner vi ved å løse et maksimeringsproblem Vi skal se at tre av disse fire er førsteordensbetingelser Den fjerde har å gjøre med hvilken type maksimering vi ser på Det vil si, fire variabler velges optimalt, dermed er alle ti fastlagt De seks likningene er (nummerert som i S&V s. 123 124) (1) K 1 + K 2 = K (4) X 2 = F 2 (N 2, K 2 ) (2) N 1 + N 2 = N (5) x 11 + x 12 = X 1 (3) X 1 = F 1 (N 1, K 1 ) (6) x 21 + x 22 = X 2 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 6 / 20
Pareto-optimal allokering I modellene i kap. 1 og 2 var optimum definert som maksimal nytte Rimelig målsetting fordi det bare var en husholdning i økonomien Med mer enn en husholdning: Hva er målsettingen? Pareto-optimum (PO): Ingen kan få det bedre uten at noen får det dårligere Et mye brukt kriterium for samfunnsøkonomisk effektivitet Beskjeden målsetting, unngår spørsmål om fordeling (men se kap. 5) Kan formuleres matematisk på flere måter: Maksimer nytte for en person for gitte nyttenivåer for de øvrige Merk: Definisjon av PO sier ikke hva de andre nyttenivåene skal være Eller: Maksimer et veid gjennomsnitt av nyttene for alle Merk: Definisjon av PO sier ikke hva slags vekter som skal brukes Skal bruke det første alternativet, der U 2 = Ū2, eksogen Dette er den tiende likningen og er med på å fastlegge allokeringen Fins derfor mange PO-allokeringer, en for hver verdi av Ū2 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 7 / 20
Maksimeringsproblemet for PO Setter inn for X 1, X 2, N 2, K 2, står igjen med seks variabler max x 11,x 21,x 12,x 22,N 1,K 1 U 1 (x 11, x 21 ) gitt at og og U 2 (x 12, x 22 ) = Ū2 x 11 + x 12 = F 1 (N 1, K 1 ) x 21 + x 22 = F 2 (N N 1, K K 1 ) Definerer Lagrangefunksjonen for dette problemet L = U 1 (x 11, x 21 ) λ [Ū 2 U 2 (x 12, x 22 ) ] µ [x 11 + x 12 F 1 (N 1, K 1 )] ν [x 21 + x 22 F 2 (N N 1, K K 1 )] Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 8 / 20
Betingelser for PO Gjentar Lagrangefunksjonen L(x 11, x 21, x 12, x 22, N 1, K 1, λ, µ, ν) = U 1 (x 11, x 21 ) λ [Ū 2 U 2 (x 12, x 22 ) ] µ [x 11 + x 12 F 1 (N 1, K 1 )] ν [x 21 + x 22 F 2 (N N 1, K K 1 )] Førsteordensbetingelser fra Lagrange-problemet L x 11 = U 1 x 11 µ = 0 L x 12 = λ U 2 x 12 µ = 0 L N 1 = µ F 1 N 1 ν F 2 N 2 = 0 og og og L x 21 = U 1 x 21 ν = 0 L x 22 = λ U 2 x 22 ν = 0 L K 1 = µ F 1 K 1 ν F 2 K 2 = 0 Partielt deriverte mhp. λ, µ, ν skal også være null Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 9 / 20
Tre marginalbetingelser Fra førsteordensbetingelsene finner vi F2 µ ν = N 2 F 1 N 1 (8) = F 2 K 2 F 1 K 1 (14) = U 1 x 11 U 1 x 21 (10) = U 2 x 12 U 2 x 22 der likningsnumrene over likhetstegnene viser til likninger i S&V. Likning (8) er knyttet til begrepet produksjonseffektivitet Likning (14) er knyttet til begrepet sammensetningseffektivitet Likning (10) er knyttet til begrepet bytteeffektivitet Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 10 / 20
Produksjonseffektivitet Kan skrive om (8) til F 2 N 2 F 2 K 2 = F 1 N 1 F 1 K 1 Dette betyr at helningene på isokvantene skal være like for de to bedriftene Helningen (i absoluttverdi) kalles marginal teknisk substitusjonsbrøk X i = F i (N i, K i ) dx i = F i N i dn i + F i K i dk i Når X i skal være konstant langs isokvanten, er dx i = 0, og vi får at (absoluttverdien av) helningen på en isokvant er gitt ved MTSB i (N i, K i ) def dk i dn i = dxi =0 F i N i F i K i Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 11 / 20
Produksjonseffektivitet: Definisjon Med produksjonseffektivitet mener vi en situasjon der det ikke er mulig å produsere mer av en vare uten å produsere mindre av minst en annen vare Dette er i hvert fall en meningsfylt definisjon i en økonomi der det foreligger gitte mengder av begge (evt. alle) innsatsfaktorer Hvis husholdningene kan velge arbeidsinnsats, og har nytte av fritid, blir situasjonen annerledes Likevel meningsfylt å definere produksjonseffektivitet betinget på de mengdene som faktisk brukes av innsatsfaktorene; ønsker ikke å bruke dem slik at det kan produseres mer av en vare uten å produsere mindre av en annen Produksjonseffektivitet i vår modell er formulert matematisk som et maksimeringsproblem på s. 127 i S&V; likner på PO S&V viser at når funksjonene er deriverbare, og vi har en indre løsning, er (8) et nødvendig betingelse for produksjonseffektivitet T (X 1, X 2, N, K) = X 1 [max N2,K 2 F 1 (N N 2, K K 2 ) gitt F 2 (N 2, K 2 ) = X 2 ] definerer transformasjonsfunksjonen; T (X 1, X 2, N, K) = 0 betyr effektivitet Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 12 / 20
Produksjonseffektivitet: Tolkning i figur Fig. 3.1 i S&V kalles en bytteboks for produksjonen Rektangel; lengden av hver side = eksogent gitt mengde av en produksjonsfaktor Hvert punkt i figuren svarer derfor til en fordeling av N mellom N 1 og N 2 og samtidig en fordeling av K mellom K 1 og K 2 Kurvene er isokvanter Kravet om produksjonseffektivitet definerer ikke ett entydig punkt, men en kurve, tilnærmet diagonal Produksjonseffektivitet der to isokvanter tangerer I ethvert annet punkt er det mulig å øke produksjon av begge varer Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 13 / 20
Bytteeffektivitet Gjentar likning (10) U 1 U 2 x 11 x U 1 = 12 U 2 x 21 x 22 Dette betyr at helningene på indifferenskurvene skal være like for de to husholdningene Helningen (i absoluttverdi) kalles marginal substitusjonsbrøk U j = U j (x 1j, x 2j ) du j = U j x 1j dx 1j + U j x 2j dx 2j Når U j skal være konstant langs indifferenskurven, er du j = 0, og vi får at (absoluttverdien av) helningen på en indifferenskurve er gitt ved MSB j (x 1j, x 2j ) def dx 2j dx 1j = duj =0 U j x 1j U j x 2j Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 14 / 20
Bytteeffektivitet: Definisjon Med bytteeffektivitet mener vi en situasjon der det ikke er mulig å oppnå høyere nytte for en husholdning uten å redusere nytten for minst en annen husholdning Dette er i hvert fall en meningsfylt definisjon i en økonomi der det foreligger gitte mengder av begge (evt. alle) konsumvarer Hvis mengdene som foreligger, ikke er gitt, blir situasjonen annerledes Vil likevel være meningsfylt å definere bytteeffektivitet betinget på de mengdene som faktisk blir konsumert; ønsker ikke å fordele disse slik at det kan oppnås høyere nytte for en konsument uten å redusere nytten for en annen Bytteeffektivitet i vår modell er formulert matematisk som et maksimeringsproblem på s. 134 i S&V;et spesialtilfelle av PO, det tilfellet at samlet mengde av hver konsumvare er eksogent gitt S&V viser at når funksjonene er deriverbare, og vi har en indre løsning, er (10) et nødvendig betingelse for bytteeffektivitet Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 15 / 20
Bytteeffektivitet: Tolkning i figur Fig. 3.4 i S&V kalles en bytteboks, denne gangen for konsum Rektangel; lengden av hver side = eksogent gitt mengde av en konsumvare Hvert punkt i figuren svarer derfor til en fordeling av X 1 mellom x 11 og x 12 og samtidig en fordeling av X 2 mellom x 21 og x 22 Kurvene er indifferenskurver Kravet om bytteeffektivitet definerer ikke ett entydig punkt, men en kurve, tilnærmet diagonal Bytteeffektivitet der to indifferenskurver tangerer I ethvert annet punkt er det mulig å øke nytten for begge konsumenter Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 16 / 20
Sammensetningseffektivitet Gjentar de tre nummererte likningene fra s. 10 foran F 2 N 2 F 1 N 1 (8) = F 2 K 2 F 1 K 1 (14) = U 1 x 11 U 1 x 21 (10) = U 2 x 12 U 2 x 22 Likning (10) var direkte illustrert i fig. 3.4 Likning (8) måtte omformes for å bli illustrert i fig. 3.1, siden de to sidene i (8) (ovenfor) ikke viser MTSB, men noe annet ( hva?) Hver side i (8) er en marginal transformasjonsbrøk (MTB) mellom de to varene, og viser hvor mye mer vi kan få igjen av vare 2 ved å redusere produksjonen av vare 1 med en enhet, gitt at hele reduksjonen oppnås ved redusert innsats av bare en faktor (N 1 i brøken på venstre side av (8), K 1 på høyre side), og at dette flyttes over til produksjon av vare 2, som dermed øker (se også definisjonen hos S&V s. 136) Sammensetningseffektivitet dreier seg om å finne en allokering der verken husholdning 1 eller 2 har interesse av noen slik overflytting, verken av N eller K; dette følger av (14) som krever likhet med MSB-ene Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 17 / 20
MTB: Tolkning i figur Fig. 1.2 i S&V innførte produksjonsmulighetskurven (PMK) Viser maksimal mulig X 2 for hver mulig X 1, for gitte mengder produksjonsfaktorer og en gitt teknologi Skal vise at MTB er helningen på denne kurven (i absoluttverdi) En slik endring kan bare oppnås ved å overføre faktorer fra bedrift 1 til 2, men ikke åpenbart at helningen illustrerer effekten av overføring av bare N (og også bare K) Helningen viser hvor mye X 2 kan bli økt hvis X 1 blir redusert Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 18 / 20
Begge MTB-ene er lik helning på PMK (i abs.verdi) Differensiering av produktfunksjonene gir, for i = 1, 2 ( ) dx 1 = F 1 N 1 dn 1 + F 1 K 1 dk 1 og ( ) dx 2 = F 2 N 2 dn 2 + F 2 K 2 dk 2 Små endringer langs PMK (og langs diagonalkurven i bytteboksen) oppfyller dn 2 = dn 1 og dk 2 = dk 1 og (fra (8)) F 2 N 2 = F 1 N 1 F 2 F 1 K K 2 1 Setter de tre siste likningene inn i likning ( ) for dx 2 og finner ] ( ) dx 2 = [ F1 N 1 F 2 F 1 dn 1 + F 2 dk 1 K K 2 K 2 1 ( ) og ( ) medfører at dx2 dx 1 = F 2 K 2 F 1 K 1 langs PMK er lik MTB, F2 K 2 / F1 K 1 [ F1 dn 1 + F ] 1 dk 1 N 1 K 1 Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 19 / 20
Sammensetningseffektivitet: Tolkning i figur Fig. 3.2 i S&V illustrerer sammensetningseffektivitet Gjentar fig. 1.4 (optimal løsning med bare en husholdning) PMK er prikket De to heltrukne kurvene er indifferenskurver for en av husholdningene Optimalt at helningene er like, men figuren illustrerer ikke at dette skal inntreffe for begge husholdningene samtidig Helninger (i absoluttverdi) er MTB = MSB I ethvert annet punkt er det mulig å øke nytten ved endret produksjonssammensetning Diderik Lund, Økonomisk inst., UiO () ECON3610 Forelesning 5 23. september 2011 20 / 20