NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglg kontakt under eksamen: Martn Grønsleth, tlf 93772 KONTINUASJONSEKSAMEN I TFY4210 ANVENDT KVANTEMEKANIKK Fredag 13. august, 2004 09.00-14.00 Tllatte hjelpemdler : K.Rottman, Matematsk formelsamlng Godkjent kalkulator Vekttall : 2.5 Språkform : Bokmål Antall sder : 9 Sensurdato : 3.september Oppgave settet nneholder 3 oppgaver, med tl sammen 13 deloppgaver. Hver deloppgave teller lkt ved sensur. Bak oppgave settet fnner du et vedlegg på to sder med formler som det kan, men kke nødvendgvs vl, være bruk for. Kanddaten må tolke symbolene oppgtte formler. Les hver oppgave nøye! 1
Oppgave 1 I denne oppgaven ser v på fotoelektrsk effekt hvor et foton absorberes av et elektron med masse m et hydrogen-lkt atom med ntal-tlstand ψ (r), og elektronet slynges ut en fr-partkkel slutt-tlstand ψ f (r). Overgangs-sannsynlgheten for en slk prosess, ω f,er gtt ved ω f = 2π h Vmp f h 3 M 2 dω hvor dω er et romvnkel-element, V er et stort normerngsvolum, og p f elektronet slutt tlstanden er mpulsen tl ψ f (r) = 1 V e p r/ h Vdere er h = h/2π hvor h er Planck s konstant. Matrse-elementet M er gtt ved M = d 3 r ψf(r) V ψ (r) V = e h m A 0 e k r ê k hvor A 0 er ampltuden på strålngsfeltet, ê k er en enhetsvektor som gr polarsasjons retnngen tl strålngsfeltet, og er en gradent operator. La ntal-tlstanden være gtt ved 2s bølgefunksjonen tl et hydrogen lkt atom med kjerneladnng Z hvor ψ (r) = 1 ( ) Z 3/2 [ 2 2π a 0 a 0 = 4πε 0 h 2 me 2 1 Zr 2a 0 og ε 0 er permttvtetskonstanten vakuum, a 0 0.529Å. a) Vs at matrse-elementet M kan skrves på formen M = K 1 4a2 q 2 (1 + 4a 2 q 2 ) 2 q ê k ] e Zr/2a 0 der a = a 0 /Z og hq = p hk, derp er mpulsen tl utgående elektron og k er bølgetallet tl nnkommende strålngsfelt. Bestem derved konstanten K. Oppgtt: 0 dx x (1 x) sn(ux) e x = 4u( 1+u2 ) (1 + u 2 ) 2 2
b) Vnkelfrekvensen tl nnkommende bølge er gtt ved ω, og ntensteten nnkommende bølge er gtt ved I =2ε 0 ω 2 ca 2 0. Defner størrelsen j nn = I/ hω og beregn derved det dfferenselle sprednngstverrsnttet dσ dω = 1 j nn ω f dω c) Fnn Z- ogω avhenggheten tl det dfferenselle sprednngstverrsnttet høyenergetsk kke-relatvstsk grense (dvs. at elektronet sn bndngsenerg er mye mndre enn øvrge energer nvolvert, og alle hastgheter er langt mndre enn lyshastgheten c). G en kort kvaltatv forklarng på sprednngstverrsnttet sn varasjon med Z. 3
Oppgave 2 I denne oppgaven ser v på en relatvstsk spnnløs boson-partkkel beskrevet av den stasjonære Klen-Gordon lgnngen [ c 2 (p qa) 2 +(mc 2 ) 2] ψ = E 2 ψ Her er c lyshastgheten, q er partkkelens ladnng, og m er partkkelens masse. E er energen tl partkkelen. Impulsoperatoren p er gtt ved p = h der h = h/2π og h er Plancks konstant. Partkkelens bevegelse er to-dmensjonal, dvs. den beveger seg (x, y)-planet et konstant ytre magnetfelt B som står loddrett på (x, y)-planet, og der B er gtt ved B = Bẑ som v assoserer med et vektor-potensal gtt ved A = Bxŷ a) Bruk en Ansatz for bølgefunksjonen for partkkelen på formen ψ(x, y) =e pyy/ h f(x) tl å vse at Klen-Gordon lgnngen kan skrves på formen og bestem derved a(e). h 2 c 2 d2 f dx 2 + c2 (Bqx p y ) 2 f = a(e)f b) Bruk Schrødnger lgnngen for den endmensjonale harmonske oscllatoren h2 d 2 ψ 2m dx + 1 2 2 mω2 x 2 ψ = hω 2 (2n +1)ψ; n =0, 1, 2,... tl å bestemme de mulge egenverdene E Klen-Gordon lgnngen over. Dersom spekteret hadde vært oppgtt for en tlsvarende stuasjon for en Drac partkkel, hvordan kunne da resultatet du har funnet over ha vært skrevet opp uten vdere? c) Fnn et uttrykk for energ-nvåene tl partkkelen kke-relatvstsk grense. 4
d) Fnn et uttrykk for den mnste energen et foton må ha dette systemet for å produsere et partkkel-antpartkkel par. e) Beregn numersk hvor stort feltet B må være for at denne mnste foton energen skal økes med 0.0001% forhold tl null-felt tlfellet, for det tlfellet at Klen-Gordon partkkelen er et kaon K + med assosert antpartkkel K, med ladnng q lk elektronets ladnng og hvleenerg 494MeV. 5
Oppgave 3 Et kvantemekansk system av spnnløse fermoner på et tre-dmensjonalt kubsk gtter, kontakt med et eksternt partkkel reservoar, er defnert ved Hamltonoperatoren H = W c c j + V <,j> <,j> n n j μ n Herer(c,c ) kreasjons- og destruksjonsoperatorer for spnnløse fermoner på gtterpunkt, og n = c c. Operatorene tlfredsstller fermon ant-kommutator relasjoner c c j + c jc = δ j c c j + c j c = 0 c c j + c jc = 0 Vdere er W et tunnelerngs matrse-element som v regner som postvt, V er en nærmestenabo elektrostatsk vekselvrknng mellom fermoner på det to-dmensjonale kvadratske gtteret, og μ er et kjemsk potensal som regulerer mdlere antall partkler på gtteret. Systemet har førngsbetngelsen at det kke kan befnne seg mer enn ett fermon på hvert gtterpunkt. Systemet over kan transformeres tl en Hesenberg modell for en magnetsk solator ved å nnføre spnn-operatorer for S = 1/2 spnn som følger c = S (+) c = S ( ) n S (±) = 1 2 + S z = S x ± S y Her er z en spnn-kvantserngs retnng perpendkulært på det to-dmensjonale gtteret som v legger (x, y)-planet. S x,s y,s z er x, y, z-komponenter av S =1/2 spnn operatorer. ved å bruke antkommutator- a) Fnn kommutator-relasjonene tl spnn-operatorene S z,s (±) relasjonen for fermon operatorene. b) V at H kan skrves som en ansotrop Hesenberg modell ytre magnetfelt, på formen H = E 0 J <,j> [ Sz S jz +ΔS (+) S ( ) ] h S z og bestem ved dette parametrene E 0,J,Δ,hved hjelp av parametrene W, V, μ og Z, N, hvor Z er antallet nærmeste naboer på gtteret, og N er totalt antall gtterpunkt systemet. 6
c) Bestem de verdene på V som gr ferromagnetsk koblng modellen, og de verdene som gr antferromagnetsk koblng modellen. Hva svarer en maksmal spnnpolarserng z- retnng tl fermon systemet? d) Bosonser dette systemet ved å nnføre Holsten-Prmakoff transformasjonen S z S (+) S ( ) = S a a = ( ) 1/2 2S 1 a a a 2S = ( ) 1/2 2Sa 1 a a 2S hvor a,a er kreasjons- og destruksjons operatorer for kvantserte spnn-bølger (magnoner). Regn tl laveste orden magnon-operatorene og fnn energen ω q tl magnonene, defnert ved H = H 0 + q ω q a qa q der a = 1 N q a q e q r hvor r er possjonen tl en partkkel på gtterpunkt nummer. e) Parameteren V er en effektv parameter modellen som beskrver vekselvrknng mellom fermoner på nærmeste nabo gtter punkt. Anta at v kan endre fortegnet på V fra en negatv verd tl en postv verd, ved å endre ltt på de mkroskopske egenskapene tl systemet som modellen vår beskrver. Forklar hva du forventer at skjer med lavtemperatur forløpet tl varmekapasteten tl systemet når V skfter fortegn. (Hnt: For små bølgetall har magnonene en antferromagnet en energ gtt ved hω q,derω q q.) 7
OPPGITTE FORMLER OG KONSTANTER 1 N e k r = δ k,0 k d 3 re q r F (r) = 4π q 0 Kommutator-relasjoner for boson operatorer dr r sn(q r) F (r) hvor λ representerer et sett med kvantetall. Elektronets masse og ladnng [a λ,a λ ]=δ λ,λ m e = 9.1 10 31 kg e = 1.6 10 19 C Plancks konstant h =6.62 10 34 Js Permttvtetskonstanten vakuum ε 0 =8.85 10 12 C 2 /Nm 2 Lyshastgheten c =3.0 10 8 m/s 1eV = 1.602 10 19 J 1MeV = 10 6 ev Drac lgnngen (beskrver S = 1/2 partkler) for en partkkel med ladnng q et elektromagnetsk felt Paul matrsene σ = σ 1 ˆx + σ 2 ŷ + σ 3 ẑ σ 0 = 1 0 ; σ 1 = 0 1 0 1 1 0 [E qφ] ψ = [ cα (p qa)+βmc 2] ψ ; σ 2 = 8 0 0 ; σ 3 = 1 0 0 1
Drac matrsene α = Spnn-bane denttet 0 σ σ 0 ; β = σ 0 0 0 σ 0 ; β 2 =1; α 2 =1 (α π) 2 = π 2 q h Σ B π = p qa Σ = σ 0 0 σ Indre energ U tl et boson system med Hamlton operator gtt ved H = H 0 + q ω q a qa q er gtt ved U = q hω q e βωq 1 der β =1/k B T, k B er Boltzmann s konstant, og T er temperatur. Den tlhørende varmekapasteten er gtt ved C V = U T 9