Inst. fo Mekanikk, Temo- og Fluiddynamikk Om bevegelsesligningene (Repetisjon av utledninge fa IO 1008 Fluidmekanikk) P.-Å. Kogstad I det ettefølgende epetees kot utledningene av de fundamentale bevegelsesligninge, samtidig som en del av det fysiske innholdet i de foskjellige ligninge diskutees. toffet e tidligee utledet i. klassefaget Fluidmekanikk, men en oppfiskning kan væe nyttig, samtidig som dette gi et tilbakeblikk i noe av det som foventes kjent i tømningslæe. Ligningene skives med Eulevaiable, dvs. man betakte et fast punkt elle kontollvolum og beskive hva som skje med patikle som befinne seg i elle passee gjennom dette. (Den ande måten å beskive stømningen, kalt Lagangeepesentasjon, bestå i å følge patikle fo så å uttykke hva som skje nå disse bevege seg gjennom tid og om). 1 Kontinuitetsligningen på diffeensialfom (White kap. 4.) Denne ligningen uttykke hvodan massen i et lite kontollvolum endes med tiden. Dette kan skje hvis det e en kilde inne i volumet og/elle desom det e en netto massestøm inn i elle ut av volumet. Vi betakte et lite kontollvolum med sidekante dx, dy og dz og anta at hastighetene e positive nå de peke i akseetningen. Figu 1 vise massestømmen gjennom sideflatene dxdz. Repetisjon bevegelsesligningene side 1
v ( ) v + v dy z x y Figu 1 Massen som stømme inn i volumet ove et tidsom dt fa alle side bli: { } m = udydz + inn vdxdz + wdxdy dt (1.1) Tilsvaende bli massestømmen ut av volumet: Ï u m u x dx dydz v v y dy dxdz w w ut = + ( ) + + ( ) + + ( ) Ì dz dxdy dt ÓË Ë Ë (1.) I det samme tidsintevall e det fa en eventuell inde kilde poduset massen: dm = mdvdt (1.3) hvo det e antatt en kildestyke på ṁ p. volumenhet. Den totale massen i volumet ha ove tidsommet fått en ending fa m 0 til m som bli: m - m = + t dt Ë dv - dv = t dtdxdydz 0 (1.4) Denne kan nå skives som: m- m = dm+ m - m = 0 inn ut t dtdxdydz mdvdt ( u) v w = - + ( ) + ( ) dtdxdydz Ë (1.5) Omaangees ligningen litt fås: Repetisjon bevegelsesligningene side
u v w + ( ) + ( ) + ( ) = m (1.6) t som nå den intene kilden fosvinne bli lik Ligning (4.3) i White: t u v w + ( ) + ( ) + ( ) = 0 (1.7) Ligning 1.6 og 1.7 kan også skives som vekto ligninge. Vi definee hastighetsvektoen u= ui+ vj+ w k og stedsvektoen = xi+ yj+ zk i. Gadientvektoen bli da = + + i j k slik at Ligning 1.7 elle 1.8 kan skives + ( u)= + ( u)+ u = 0 (1.8) t t som e samme fom som Ligning 4.6 i White. Desom fluidet e inkompessibelt ( = konstant) foenkles kontinuitetsligningen til u = u v w + + = 0 (1.9) Kontinuitetsligningen på integalfom (White kap. 3.3) Ligning 1.8, som gjelde i ethvet punkt i ommet, kan integees slik at vi få en fom som e gyldig fo et endelig volum V. ÚÚÚ V t dv ÚÚÚ + ( ) = V u dv 0 (.1) I vektoalgebaen finnes et teoem som kalles Gauss divegensteoem. Dette beskive sammenhengen mellom et volum- og et oveflateintegal av en geneell vekto, f: ÚÚÚ V ÚÚ fdv = f nd (.) He betegne n oveflatenomalen til oveflaten. Ligning.1 kan defo skives Repetisjon bevegelsesligningene side 3
ÚÚÚ V t dv + ÚÚ u n d = 0 (.3) Dette e ligning (3.1) i White. Vi se hefa at ligningen fo et endelig volum kan femskaffes diekte fa ligningen på diffeensialfom ved en enkel, diekte integasjon. Det føste leddet i Ligning.3 epesentee endingen i masse p. tidsenhet, mens det ande leddet e et uttykk fo den totale massefluks gjennom volumets oveflate. Desom massen i volumet e konstant (f.eks. hvis stømningen e inkompessibel) fosvinne det føste leddet og ligningen edusees til ÚÚ u nd = 0 (.4) dvs. det e en eksakt balanse mellom den massen som stømme inn og den som stømme ut av volumet. 3 Impulsligningene på diffeensialfom (White kap. 4.3) Impulsligningene femkomme nå man anvende Newton s kaftlov på et lite kontollvolum, dvs. summen av keftene som påvike volumet foåsake en akselleasjon av patiklene i volumet i etning av esultantkaften, F a  = m. I figu e vist et lite kontollvolum med sidekante dx, dy og dz, med alle keftene som påvike volumet i y etningen. Disse keftene bestå delvis av kefte som vike på oveflaten av volumet, som tykk og spenninge, og delvis av kefte som vike diekte på massen i volumet, som tyngdekaften, magnetfelt osv. Et tilsvaende sett kefte finnes også i de to ande etningene. He betegne P = tykk som vike på oveflaten t = skjæ- og nomalspenninge som vike på oveflaten X = volumkefte, dvs. kefte som vike diekte på massen Repetisjon bevegelsesligningene side 4
t zy + t zy dz t yy z P YdV t xy t xy + t xy dx t yy + t yy dy P + P dy t zy y x Figu Fo skjæ- og nomalspenningene t ij bukes følgende indekskonvensjon: Føste indeks, i, angi etning fo flatenomalen til flaten som spenningen vike på. Ande indeks, j, angi koodinataksen som spenningen vike langs. (kjæspenningen t zy vike defo på en flate med etningsnomal paallelt med z aksen, dvs. den vike på flaten dxdy, og den peke langs med y aksen). ummees de viste kefte, finnes akselleasjonen i y etningen: È P P- P+ y dy Í dxdz xy Î Ë + È Ë + t Í t Î È t yy y dy Í dxdz yy + - yy zy ÎË + È + t t t Ít ÎË + Ydxdydz = a dxdydz y xy dx - t xy dydz + zy dz - t zy dxdy (3.1) Repetisjon bevegelsesligningene side 5
a y e akselleasjonen til patiklene i y-etning idet de passee gjennom volumet. Denne finnes på følgende måte: La et patikkels posisjon væe spesifiset av stedsvektoen ()= t x()+ t i y() t j+ z() t k (3.) Et patikkels hastighet kan da skives som u = u i + v j + w k d dx dy dz = = + + dt dt i dt j dt k (3.3) hvo u, v og w e funksjone av posisjon og tid, dvs. u u xyzt,,,. iden akselleasjonen til et patikkel med hastighetsvekto u e definet som = ( ) du du dv dw a = axi+ ayj+ azk = = i+ j+ k (3.4) dt dt dt dt se vi at akselleasjonskomponenten a y må bli dv a = v v dt = dx v dy t + v y x dt + y dt + dz dt (3.5) idet hastigheten til patikkelet både endes fodi tiden løpe og fodi patikkelet bevege seg fa sted til sted i ommet. ammenlignes Ligning 3.3 og 3.5 se vi at akselleasjonen kan skives v a = u v v v y t + x + y +w v z (3.6) Akseleleasjonsvektoen (Ligning 3.4) bli da (se White ligning 1.10) u a = a + a + a = + u u + v u + w u xi yj zk i+ v + u v + v v + w v w + + u w + v w j + w w k (3.7) Odne vi Ligning 3.1 og innføe Ligning 3.6 fås impulsligningen i y etningen som v t t t u v v v w v P xy yy zy + + + =- + + + + Y (3.8) I denne ligningen e det koodinaten y og hastighetskomponenten v som Repetisjon bevegelsesligningene side 6
angi hvilken etning ligningen gjelde fo. Vi innse defo lett (elle gjennomføe samme utledning fo de ande to koodinatetningene også) at ligningen fo de to ande etningene bli: u t t t u u v u w u P xx yx zx + + + =- + + + + X (3.9) og w t t t u w v w w w P xz yz zz + + + =- + + + + Z (3.10) i henholdsvis x og z-etningene. Ligningene 3.8-3.10 epesentee Ligning 4.35 i White. Fo et Newton sk fluid e spenningene diekte koblet til hastighetsgadiente på samme måte som de fo faste mateiale e u j koblet til tøyninge, dvs. t ji ~. Det e imidletid lett å vise at tji ª tij i (White kap. 4.4). Dette e bae foenlig med koblingen til hastighetsgadienten hvis spenningene definees som t ij m u u i j = + Ë j i (3.11) (se White, Ligning 4.37). Innføes dette i Ligning 3.8-3.10 fås følgende bevegelsesligninge i henholdsvis x, y og z etning: u u u v u w u + + + = P m u m u v m w u - + X Ë Ï + Ì + Ë + Ï Ó Ë + Ì Ó + (3.1) v u v v v w v + + + = P Ï m u v m v Ï m w v - + Ì + + + Ì + + Y Ó Ë Ë Ó Ë (3.13) Repetisjon bevegelsesligningene side 7
w u w v w w w + + + = P Ï m u w m w v m w - + Ì + Z Ë Ó + Ï + Ì + + Ó Ë Ë (3.14) Fo et inkompessibel medium e og m konstante. Benyttes kontinuitetsligningen (1.9) i Ligningene 3.1-3.14, foenkles disse til u m u u v u w u P u u u + + + =- + + + + X (3.15) Ë v m u v v v w v P v v v + + + =- + + + + Y (3.16) Ë w m u w v w w w P w w w + + + Z =- + Ë + + + (3.17) Disse ligningene e de geneelle impulsligningene på diffeensiell fom slik de vil bli bukt i stømningslæen, gyldig fo et inkompessibelt, Newtonsk fluid. 4 Impulsligningene på integalfom (White kap. 3.4) Denne kan om ønskelig utledes fa Ligning 3.8-3.10, men det e lettee å benytte Reynolds tanspot-teoem (se White, ligning 3.1). elv om impulsligningen på integalfom femkomme nokså diekte på denne måten, epetee vi den he fodi den i White ikke e skevet opp på en endelig fom som kan benyttes diekte på alle poblem. Desom et kontollvolum utsettes fo et sett med kaftvektoe vil dette ette Newtons kaftlov føe til en ending i impuls, som ved hjelp av Reynolds tanspot-teoem kan skives (White 3.37) dmu F = ( ) Â = ÚÚÚ ( u) dv + ÚÚ u( u n) d dt t (4.1) V Vi ha he foutsatt at kontollvolumet e konstant ove tid slik at tidsdeiveingen kan gjøes inne i integalet. Venste side i ligningen epesentee summen av alle type kefte som påvike kontollvolumet (opplagingskefte, tykk- og skjækefte osv). Av de keftene som Repetisjon bevegelsesligningene side 8
påvike volumet vil vi betakte tykk-keftene sepaat fodi disse alltid e tilstede med minde hastigheten e konstant ovealt. Keftene på gunn av positivt tykk på oveflaten vike alltid inn mot kontollvolumet, dvs. motsatt ettet oveflatenomalen, og kan defo skives F p ÚÚ ( ) = -Pn d (4.) De ande kefte som påvike volumet, så som skjæspenninge, eaksjonskefte, tyngdekaften osv. kan vi sammenfatte i en esultantkaft som vi kalle R. Ligning 4.1 kan da skives R+ ÚÚ (-Pn) d= ÚÚÚ ( u) dv + ÚÚ u( u n) d t (4.3) V Eksempel: La oss anvende ligning 4.3 på et tilfelle lignende eksempel 3.10 i boken. En ståle med tvesnittsaeal s komme inn langs enhetsvektoen i og teffe en plate som stå i o. Rundt platen e det et konstant tykk P 1, botsett fa tykkoppbygningen på oveflaten de hvo platen teffes av stålen. He e det midlee tykket P. Ette at stålen ha tuffet platen fosvinne væsken ut vetikalt langs enhetsvektoen j. Vi ha lagt inn to kontollvolum med vetikalt aeal som vi ønske å benytte ligning 4.3 på. Kontollvolumet til venste omslutte stålen helt, men innbefatte ikke platen. Ligning 4.3 gi da: ÚÚ (-Pn) d=-( P -P) i = u( u n) d= su i( u i( -i))=-s u i (4.4) ÚÚ 1 1 1 1 Mek at den utgående stålen i dette tilfellet ikke gi noe netto bidag i impulsligningen siden bidagene fa de to halvdelene kansellee hveande pga. symmeti. Dette uttykket gi oss f.eks. midlee tykkøkning på platen. om foventet finne vi at P e støe enn P 1. Anvendes ligning 4.3 på det høye volumet e alle hastighete null slik at ligningen edusees til ÚÚ ÚÚ ( ) ( ) = fi = = - R+ -Pn d 0 R Pnd P1 P i (4.5) iden P e støe enn P 1, finne vi at eaksjonskaften peke mot venste. Kombinees esultatet i ligning 4.4 og 4.5 få vi samme esultat som vi hadde fått om vi hadde bukt et kontollvolum som hadde Repetisjon bevegelsesligningene side 9
omsluttet begge de to volumene. ÚÚ ( ) =- R = u u n d s u 1 i (5.6) dvs. uten at tykket på platen komme med i beegningen. u j u 1 s P R i P 1 P 1 u Figu 3 5 Foenklingede impulsligninge (White kap. 4.9) Ligning 3.8-10 kalles Cauchy-ligningene og epesentee impulsligningene i sin mest fundamentale fom. Det e he bae satt opp en balanse mellom keftene som vike på volumet uten noen fom fo antagelse elle foenklinge. iden ligningene inneholde flee ukjente (te hastighete: u i, tykk: P, og ni spenninge: t ij ) enn det antall ligninge som e tilgjengelig (kontinuitet og te impulsligninge) e ligningssystemet ubestemt i denne fom. Fo å gjøe ligningssystemet løsbat ble spenningsmodellen 3.11 innføt. Dette epesentee defo både en foenkling av ligningene og en antagelse om hvodan fluidet oppføe seg. Deved fås Navie- tokesligningene (ligning 3.1-14). Disse ligningene antas å gjelde fo alle såkalte Newtonske fluide, dvs. fo alle væske og gasse som følge elasjon 3.11. (Dette gjelde de alle fleste væske og nesten alle gasse). Det finnes imidletid en mengde stømningspobleme hvo videe Repetisjon bevegelsesligningene side 10
foenklinge kan antas. Fo svæt mange stømninge som foegå i god avstand fa faste flate vil de viskøse spenningene væe små. Dette gjelde fo eksempel bevegelse av høytykk og lavtykk i atmosfæen, stømning gjennom vannkaftmaskine, stømning fobi fly osv. I disse tilfellene kan vi neglisjee spenningene i bevegelsesligningene slik at Ligning 3.1-14 foenkles til u u u v u w u P + + + =- + X (5.1) v u v v v w v P + + + =- + Y (5.) w u w v w w w P + + + =- + Z (5.3) elle på vektofom: u + ( u ) u =- P + X (5.4) Disse ligningene kalles Eule-ligningene. All behandling av kompessibel stømning i faget tømningslæe bygge på disse ligningene. I vektoalgebaen finnes det en vektoidentitet som gjø at det ande leddet i akselleasjonsuttykket kan skives u u 1 u u u u u u u Ë + ( ) = 1 Ë + w (5.5) ( ) = hvo w= u e otasjonsvektoen. Demed kan Ligning 5.4 skives u + 1 u u w u P X Ë + =- + (5.6) Hvis stømningen e otasjonsfi (w 0), noe som ofte e tilfellet hvis spenningene kan neglisjees, foenkles Ligning 5.6 til u + 1 u u P X Ë =- + (5.7) Repetisjon bevegelsesligningene side 11
Integet med hensyn på en bane gitt av stedsvektoen vektoen bli 5.7: u u u X t d d P + 1 =- d + d Ë Ú Ú Ú Ú (5.8) om egel e kaftvektoen epesentet ved tyngdekaft-vektoen g =-g k. Benytte vi oss av at f d = df kan Ligning 5.8 skives u u u k t d d P + 1 d g d Ë =- - Ú Ú Ú Ú (5.9) Nå denne ligningen integees fa en efeanseposisjon 1 til en geneell posisjon fås Ú u u u u u t d 1 P + ( - )=- d g z z Ú - - 1 1 1 1 1 ( ) (5.10) Det føste integalet kan bae finnes nå man vet noe om koblingen mellom tids- og stedsvaiasjonene. Det ande integalet kan føst løses nå koblingen mellom tetthet og tykk e kjent. Den enkleste fomen fås fo inkompessibel stømning, dvs. desom tettheten e konstant. Da kan tas utenfo integalet. Fo en inkompessibel og stasjonæ stømning bli Ligning 5.10 1 1 ( u u- u1 u1)=-( P-P1)-gz ( -z1)fi P+ u u+ gz = konstan t (5.11) Dette e Benoullis ligning og gjelde langs en stømlinje fo en stasjonæ, inkompessibel, fiksjonsfi og otasjonsfi stømning. Repetisjon bevegelsesligningene side 1