Gavtasjon og planetenes bevegelse Statkk og lkevekt.5.3 YS-MEK.5.3
otensell eneg tl tyngdekaften en masse m bevege seg tyngdefeltet tl massen M fa punkt tl B Newtons gavtasjonslov abed: W B G d mm G ˆ G u bae den adale komponent bda: gavtasjon e en konsevatv kaft W B B mm ( G d ) GmM d GmM B U( ) U( B ) potensal: U( ) G mm v kan velge nullpunktet: U( ) U G mm ˆ u YS-MEK.5.3
Eksempel: De la tee à la lune Jules Vene, 865 Hvo sto må hastgheten tl kanonkulen (masse m K ) væe fo å folate joden (=kke falle tlbake)? V se bot fa luftmotstand, jodens otasjon, og gavtasjonskaft fa månen tl posjektlet. Gavtasjon e en konsevatv kaft: K m mkmj v G R J K U K U masse tl joden: adus tl joden: m J R J gavtasjonskonstant: 5.97 6.38 4 6 kg m G 6.67 N m kg unnslpnngshastghet GmJ v. R 4 J m/s uavhengg av m K YS-MEK.5.3 3
åvknng av jodens otasjon vnkelhastghet: jodens adus: 5 s - 7.9 T R 6.38 6 m R et punkt på ekvato ha en hastghet tangensal etnng: v T R 465 m/s hastghet Cape Canaveal (=8.5 N): v T R cos 49 m/s gats hastghet hvs aketten skytes mot øst unnslpnngshastghet eduset fa. 4 tl.8 4 m/s YS-MEK.5.3 4
Gavtasjon sol på planet G msm uˆ sentalkaft v ha beegnet banen numesk foelesnng. feb. (komet3.m) ntalbetngelse: 4 ˆ v.5 ˆj.5 ˆj.6 ˆj. ˆj små ntalhastghet lukket ellptsk bane sto ntalhastghet objekt fjene seg mot uendelg v kan fnne ntalbetngelse fo skelbane YS-MEK.5.3 5
En planet () bevege seg en ellpsebane om solen (S). Mens planeten bevege seg fa phelon tl ehelon gjø solens gavtasjonskaft:. Et postvt abed på planeten.. Et negatvt abed på planeten. 3. Null abed på planeten. enegbevang: K U K U mv GmS m mv GmS m abed fa aphelon tl pehelon: W K K U U GmS m GmS m gavtasjon gjø postvt abed, faten øke fa aphelon tl pehelon YS-MEK.5.3 6
Keples love fo planetenes bevegelse (69). lanetene bevege seg ellpsebane; solen e et av fokuspunktene.. En lnje mellom solen og planeten tegne lke aeale ove lke tdsntevalle 3. T a 3 hvo T e peodetden og a e støste halvakse b a bevs fo. og 3. lov keve mye matematkk... v se næmee på. lov YS-MEK.5.3 7
. En lnje mellom solen og planeten tegne lke aeale ove lke tdsntevalle en lnje fa solen tl planeten bevege seg en vnkel d et tdsntevall aeal av tekant: sektohastghet: Keples ande lov: v d v d vsn d d d hastghet e tangensal d v sn vsn d d konst. d d næheten av solen e små og bot fa solen e sto og d mv m L m d v små d d sto Keples ande lov bevang av spnn dl spnn e bevat fod: v YS-MEK.5.3 8
Statkk og lkevekt massesentesats v anvende Newtons love og spnnsatsen fo legeme lkevekt legeme som kke bevege seg d R m m d akseleasjon tl massesenteet bevegelsesmengde tl massesenteet spnnsats om massesenteet cm cm, dl cm cm L cm kaftmoment fa yte kefte om massesenteet spnn om massesenteet lkevekt: og L cm nødvendg betngelse: og cm YS-MEK.5.3 9
v se på et system hvo kaftmoment om vlkålg punkt O: O R cm O, ( R cm cm, cm, ) fo statske pobleme e: cm fo alle punkte O v kan velge et hensktsmessg punkt O YS-MEK.5.3
En masseløs stav med lengde L henge fa taket en sno festet sentum av staven. En kule med masse M henge fa den venste sden av staven. Hvo må v henge en annen kule med masse 3M fo at staven skal fobl hosontal?. x = L/3. x = 3L/4 3. x = 4L/5 4. x = 3L/5 M 3M N Mg ˆj 3Mg ˆj N 4Mg ˆj kaftmoment om mpunkt av staven: m LMg ( x L)3Mg 3 L L 3x x 3 L kaftmoment om venste enden: L4Mg x3mg L 3x x 3 L YS-MEK.5.3
Eksempel Et sklt med masse m henge enden av en masseløs stav med lengde L. Staven e festet med et hengsel punktet O. I den ande enden e staven festet med en kabel som ha en vnkel med hosontalen. Hva e snodaget kabelen? Hva e kaft på hengselet? O T G x etnng: x T cos y etnng: T sn mg y kaftmoment om O: O LT sn Lmg T mg sn snodaget bl sto fo små vnkel y mg sn mg sn y kaft hengselet e hosontal: x T cos mg tan YS-MEK.5.3
En sten på m= kg henge en masseløs sno fa en ende av en metestokk. Hva e massen M tl metestokken desom stokken e lkevekt nå den balansee på en støtte på.5m meket? y N..5 kg..5 kg 3. kg 4. kg 5. 4 kg T O x G kefte på stokken: snodaget nomalkaft gavtasjon T mg ˆj N N ˆj G Mg ˆj angpe massesenteet tl stokken kaftmoment om O L T G 4 mg Mg L 4 massen tl metestokken e M = kg YS-MEK.5.3 3
Eksempel: stge O N kefte: gavtasjon G nomalkeftene N, N fksjonskeftene, x etnng: N y etnng: N G L cos kaftmoment: N L Lsn G cos O G 3 lgnnge men 4 ukjente: N, N,, poblemet e ubestemt y x N v tenge me nfomasjon fo å fnne keftene eksempel: v anta at veggen e fksjonsf: nå kan v fnne keftene N, N, som funksjon av vnkelen og vekten tl stgen v kan også spøe: nå begynne stgen å skl? N fo at stgen kke skl må væe: N YS-MEK.5.3 4
Eksempel: stge O N begge sde må begynne å skl samtdlg det skje hvs N N x etnng: N og N y G x N y etnng: N G G N N N N G cos kaftmoment: N sn cos N G tan N G N G N tan tan tan G G hvs vnkelen e mnde begynne stgen å skl (uavhengg av vekten tl stgen) hvs tan.3. mn mn 56.6 67.4 YS-MEK.5.3 5